Sprungklammer
Die Sprungklammer [[…]] ist eine vereinfachende Schreibweise für die Sprunghöhe einer Funktion an einer Unstetigkeitsstelle, siehe Grafik.
In der Kontinuumsmechanik kommen solche Sprungstellen beispielsweise vor
- an Krafteinleitungsstellen, wo Kräfte flächig eingeleitet werden und am Rand der Einleitungsstelle schlagartig auf null zurückgehen,
- an Materialgrenzen, wo die Dichte einen diskontinuierlichen Verlauf hat, oder
- in Stoßwellen, wo auch die Geschwindigkeit einen Sprung machen kann.
Diese Situationen sind durchaus häufig und teilweise allgegenwärtig, sodass sie im Allgemeinen nicht ignoriert werden dürfen. Die resultierenden Terme in den Gleichungen, beispielsweise dem Reynolds’schen Transportsatz, lassen sich mit der Sprungklammer kurz und lesbar schreiben.
Definition
Für die Definition wird eine reellwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \R\to\R} betrachtet, die an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = s} eine Unstetigkeitsstelle besitze. Bei Annäherung von unten sei der linksseitige Grenzwert
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to s-}f(x)=f^-(s)}
und von oben der rechtsseitige Grenzwert
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to s+}f(x)=f^+(s)}
berechenbar. Dann ist die Sprungklammer eine Kurzschreibweise für die Differenz dieser Grenzwerte an der Sprungstelle:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [[f(s)]]:=\lim_{x\to s+}f(x)-\lim_{x\to s-}f(x)=f^+(s)-f^-(s)}
Die Funktionen können die Komponenten von Vektor- oder Tensorfeldern sein, weswegen sich die Sprungklammer auch auf vektorielle oder tensorielle Argumente verallgemeinern lässt.
Siehe auch
Literatur
- W. H. Müller: Streifzüge durch die Kontinuumstheorie. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-19869-4.
- H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
- P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0.
