Ungleichung von Schur
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Die Ungleichung von Schur (englisch Schur’s inequality) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.[1][2][3]
Darstellung der Ungleichung
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1][2][3]
- Gegeben seien reelle Zahlen und dabei gelte .
- Dann besteht die Ungleichung
- und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen alle übereinstimmen.
Anwendung
In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit ) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:[4]
- Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck gegeben, dessen Seiten die Längen haben sollen, und ist hier gleich dem halben Umfang von , so gilt stets die Ungleichung
Literatur
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836).
- G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973.
- D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).