Diskussion:Affine Abbildung

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Lineare Trafo

Habe nach Diskussion mit DaTroll den Artikel Lineare Transformation hier mit eingebracht. Ich muss noch ändern: Gliederung neu. Vektorenschreibweise anpassen, wobei ich die Schreibweise mit Unterstrich für die beste halte.

Ich habe noch nicht geprüft, ob nicht beispielsweise Lineare Abbildung die bessere Adresse wäre. Aber ich nehme an, es gibt mindestens ein Element der Menge "Mathematiker in Wikipedia", das sich bezüglich des Gesamtkunstwerks Linear/Affin Gedanken gemacht hat und weiß, wo der Artikel am besten aufgehoben ist.

--Philipendula 09:37, 6. Jul 2004 (CEST)

Der leise Verdacht, hier angesprochen zu sein, hat mich veranlasst, den allgemeinen Teil des AA-Artikels zu restrukturieren; spätestens jetzt, meine ich, passt die im-Sinne-der-Statistik-lineare Transformation gut hinein. -- Weialawaga 10:33, 6. Jul 2004 (CEST)

Auch auf die Gefahr hin, zu nerven (auch mich): Ich habe das unbestimmte Gefühl, dass „meine linearen Trafos“, die ja keine linearen Abbildungen sind, auch nicht in die affine Abbildung gehören. Ich habe mal versucht, mich auf diesem Gebiet ein bisschen schlau zu machen. Hier ein vorläufiges Kurz-Resumée:

Die affine Abbildung geht von einem n-dimensionalen Vektorraum aus und es geht hier letztlich um die Abbildung von Punkten im n-dimensionalen Raum auf Punkte in einem anderen n-dimensionalen Raum, wobei als Verallgemeinerung eines Raums nicht-kartesische Koordinatensysteme denkbar sind. Da diese Abbildungen auch wieder umgekehrt werden können, (z.B. Bildbearbeitung), ist die Abbildung i.a. bijektiv.

Bei meiner Form y = a + Bx kann die Matrix B aber mxn sein (m < n), es wird also ein Punkt des n-dimensionalen Raums in einen Punkt des m-dimensionalen Raums abgebildet. Vielleicht könnte man das auch als Projektion interpretieren. Bei einer Projektion wären es ja immer noch n Komponenten. Man erhält aber einen Vektor mit m Komponenten. Jedenfalls liegt hier meiner unbedeutenden Meinung nach keine Umkehrbarkeit der Abbildung mehr vor.

Vielleicht finde ich selber die Lösung, das kann aus beruflichen Stressgründen allerdings ein bisschen dauern (und mir ist bewusst, dass ich mir wieder ein paar Ohrfeigen einhandeln werde).

--Philipendula 17:01, 8. Jul 2004 (CEST)

Ich habe mal kurz gegoogelt, was so die Statistik-Kollegen im anglophonen Bereich sprechen: Die "Statistiker" scheinen auch dort die Translation stillschweigend in der linearen Transformation zu verwursten und die "Mathematiker" verwenden nur die Matrix A und verschweigen die Translation vollständig. Es wäre vielleicht methodisch (wobei es auf die Lehrmeinung ankommt) am saubersten, wenn man schon im Bereich Statistik diese eingeschränkte Definition verwendete und dann bezüglich der Translation (falls man sie so bezeichnen möchte) ein paar verbale Verrenkungen machte.

Mir (als Statistiker aus der Ecke Wirtschaft) scheint jedenfalls momentan der Euklidische Raum + lineare Abbildung (ev. + der Vorschlag des vorherigen Absatzes) die richtige Adresse zu sein.

In Erwartung weiterer Ohrfeigen ;-) --Philipendula 17:41, 8. Jul 2004 (CEST)

Lineare Trafo II

Habe ein bisschen recherchiert: Die lineare Abbildung kommt nicht in Frage, weil das Postulat der Additivität nicht erfüllt ist. Bei den affinen Abbildungen sind offensichtlich auch Abbildungen von einem n-Raum in einen m-Raum mit erfasst (Dieser ganze "Topologien-Zoo" ist halt nicht meine Thema). Von daher vielen Dank an die Beteiligten! --Philipendula 13:54, 10. Jul 2004 (CEST)

Koordinatendarstellung ausschließlich mit Matrix und homogenen Koordinaten?

Sollte eventuell noch in den Artikel, dass man eine affine Abbildung auch vollständig mit einer Matrix darstellen kann (inkl. dem Translationsanteil) wenn man homogene Koordinaten verwendet?

Vorschlag (als Ergänzung zum Absatz "Koordinatendarstellung"):

Unter Verwendung von homogenen Koordinaten läßt sich auch die Translation mit einer Matrixmultiplikation darstellen, so dass man damit die komplette affine Abbildung in einer Matrix zusammenfassen kann:

$g(x)=A'\cdot x'$

mit $A'={\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1n}&t_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\A_{m1}&\cdots &A_{mn}&t_{m}\\0&\cdots &0&\mathbf {1} \end{pmatrix}}$ und $x'={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{m}\\\mathbf {1} \end{pmatrix}}$ der Vektor $x$ erweitert mit der homogenen Komponente 1.
Das Ergebnis $g(x)$ erhält man nun zwar wiederum in homogenen Koordinaten - da jedoch dabei die homogene Komponente immer 1 ist, lässt sich der eigentliche Vektor $f(x)$ einfach durch Entfernen dieser letzten Komponente aus $g(x)$ bestimmen.

Biektive Abbildung kann eine gerade nicht auf einen Punkt abbilden.

Hier wird als Affine Abbildung eine bijektiven Abbildung zwischen zwei affinen Räumen definiert, dann aber die Möglichkeit angedeutet, dass alle Punkte einer Geraden auf einen Punkt abgebildet werden können. Das ist doch ein Widerspruch zur Bijektivität. --Joachim Mohr (Diskussion) 17:59, 14. Mär. 2013 (CET)

Affinität - Ähnlichkeit

Mir scheint für Nichtmathematiker wichtig zu sein, dass es sich bei affinen Abbildungen um Abbildungen handelt, bei denen Bild und Urbild ähnlich zu einander sind. Dieses kann mit den aus dem Schulunterricht der Geometrie hoffentlich erinnerten Affinitäts-Sätzen von Dreiecken vermittelt werden. Zwei Dreiecke sind sich ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen, da die Winkelsumme auf der Ebene bekannt ist, reicht die Übereinstimmung in zwei Winkeln. Als weiteres Beispiel ist der Strahlensatz mit der perspektivischen Abbildung sinnvoll. --TumtraH-PumA (Diskussion) 18:10, 16. Nov. 2014 (CET)

Nein, das stimmt nicht: Nicht bei allen affinen Abbildungen sind Bild und Urbild ähnlich. Das ist nur bei ganz speziellen der Fall, den Ähnlichkeitsabbildungen, siehe dort. Das aus der Schule sind auch keine Affinitäts-Sätze, sondern Ähnlichkeitssätze. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:35, 16. Nov. 2014 (CET)

Hallo HilberTraum, ich habe mein Anliegen vielleicht nicht klar genug dargestellt. Ich denke über die Ähnlichkeitssätze der Dreiecke könnte, sollte für Nichtmathematiker ein anschaulicher Zugang geschaffen werden und damit diese Ähnlichkeitssätze als Ausgang zu ihrer Erweiterung beschrieben werden. gruß--TumtraH-PumA (Diskussion) 22:52, 18. Nov. 2014 (CET)

Ich sehe immer noch nicht den Zusammenhang oder was Ähnlichkeit hier zum Verständnis beitragen soll. Was für eine Erweiterung der Ähnlichkeitssätze? Jedes beliebige Dreieck kann mit einer Affinität auf jedes andere abgebildet werden. -- HilberTraum (d, m) 20:30, 19. Nov. 2014 (CET)