Lokale Starrheit

In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.

Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.

Definition

Sei $\Gamma$ eine Matrixgruppe, zum Beispiel $G=GL(n,\mathbb {R} )$ oder $G=GL(n,\mathbb {C} )$, $\Gamma \subset G$ ein Gitter und $\rho _{0}\colon \Gamma \to G$ die Inklusion.

Das Gitter $\Gamma \subset G$ heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von $\rho _{0}$ in der Darstellungsvarietät $Hom(\Gamma ,G)$ gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu $\rho$ äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus $G$ konjugiert) sind.

Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem $\Sigma$ von $\Gamma$ kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung $U$ des neutralen Elements in $G$, so dass für jeden Homomorphismus $\rho \colon \Gamma \to G$ mit

$\rho (\sigma )\in \sigma .U\ \ \forall \sigma \in \Sigma$

gilt: es gibt ein $g\in G$ mit

$\rho (\gamma )=g\gamma g^{-1}\ \ \forall \gamma \in \Gamma$.

Kriterien

Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung $\rho \colon \Gamma \to G$ ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe $H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )$, wobei $Ad$ die adjungierte Darstellung von $G$ bezeichnet.

Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn $H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )=0$ ist.

Beispiele

Lokale Starrheit wurde bewiesen:

• für kokompakte Gitter in $SL(n,\mathbb {R} ),n\geq 3$ von Selberg
• für kokompakte Gitter in $PO(n,1)=Isom(H^{n}),n\geq 3$ von Calabi
• für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu $SL(2,\mathbb {R} )$ von Weil
• für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom $\mathbb {R}$-Rang 1 nicht lokal isometrisch zu $SL(2,\mathbb {R} )$ oder $SL(2,\mathbb {C} )$ von Garland und Raghunathan
• für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom $\mathbb {R}$-Rang $\geq 2$ als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.

Gegenbeispiele

Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn $M$ eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten $M_{p,q}$. Seien $\rho \colon \pi _{1}M\to PSL(2,\mathbb {C} )$ und $\rho _{p,q}\colon \pi _{1}M_{p,q}\to PSL(2,\mathbb {C} )$ die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.

Die Darstellungen $\rho _{p,q}$ können mit dem durch die Inklusion $M\to M_{p,q}$ induzierten Homomorphismus $\pi _{1}M\to \pi _{1}M_{p,q}$ verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen $\pi _{1}M\to PSL(2,\mathbb {C} )$ konvergiert für $p,q\to \infty$ gegen $\rho$, ist aber nicht zu $\rho$ äquivalent. Die Darstellung $\rho$ ist also nicht lokal starr.

Literatur

• Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)