Darstellungsvarietät

In der Mathematik sind Darstellungsvarietäten ein wichtiges Hilfsmittel in Gruppentheorie, Topologie und Geometrie.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} eine endlich erzeugte Gruppe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine halbeinfache algebraische Lie-Gruppe. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma=\langle x_1,\ldots,x_n\mid R_1,\ldots,R_r,\ldots\rangle} eine Präsentierung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} mit endlich vielen Erzeugern. Man gibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}(\Gamma,G) = \left\{f\colon \Gamma\rightarrow G \text{ Homomorphismus}\right\}}

die Struktur einer algebraischen Menge (d. h. einer nicht notwendig irreduziblen algebraischen Varietät) als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}(\Gamma,G) = \left\{(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\mid R_1(g_1,\ldots,g_n) = e,\ldots,R_r(g_1,\ldots,g_n) = e,\ldots,\right\}} ,

wobei $e$ das neutrale Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} bezeichnet und ein Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \Gamma\rightarrow G} mit dem Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g_1,\ldots,g_n) = (f(x_1),\ldots,f(x_n))} identifiziert wird.

Es folgt aus dem Hilbertschen Basissatz, dass man die Varietät bereits durch endlich viele Gleichungen definieren kann.

Man kann zeigen, dass der Isomorphietyp der Darstellungsvarietät nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Quotientenbildung

Die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} wirkt auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}(\Gamma,G)} durch Konjugation

$(gf)(\gamma )=gf(\gamma )g^{-1}$.

Der Quotient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}(\Gamma,G)/G := \operatorname{Hom}(\Gamma,G)/\text{conj.}} ist im Allgemeinen keine Varietät, stattdessen betrachtet man oft einen etwas kleineren Quotienten, die Charaktervarietät Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal{R}}(\Gamma,G) = \operatorname{Hom}(\Gamma,G)//G} .

Nicht-algebraische Gruppen

Für beliebige (nicht notwendig algebraische) halbeinfache Lie-Gruppen kann man wie oben die Darstellungsvarietät als analytische Mannigfaltigkeit definieren. Der Quotientenraum $\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/G:=\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/conj.$ ist im Allgemeinen nicht Hausdorffsch. Jedoch hat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}^{red}(\Gamma,G) := \left\{\rho\in \operatorname{Hom}(\Gamma,G):\not\exist P \text{ parabolisch mit } \rho(\Gamma)\subset P\right\}}

(also die Untermannigfaltigkeit derjenigen Homomorphismen, deren Bild nicht in einer parabolischen Untergruppe liegt) eine analytische Mannigfaltigkeit als Quotienten.

Invarianten

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein CW-Komplex mit Fundamentalgruppe $\pi _{1}X=\Gamma$, dann entspricht jede Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\colon\Gamma\to G} einem flachen Bündel

$G\to E_{\rho }\to X$

und die mittels Obstruktionstheorie definierten topologischen Invarianten der Bündel sind Invarianten der Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät.

Die erste Obstruktionsklasse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle o_1\in H^1(X,\pi_0(G))}

verschwindet, wenn $G$ zusammenhängend ist.

Die zweite Obstruktionsklasse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle o_2\in H^2(X,\pi_1(G))}

entspricht für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=SL(2,\R)} der Euler-Klasse und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=SL(n,\R), n\ge 3} der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_2(E_\rho)} .

Literatur

• Alexander Lubotzky, Andy Magid: Varieties of representations of finitely generated groups. In: Mem. Amer. Math. Soc., 58, 1985, no. 336.
• Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Boston MA 2009, ISBN 978-0-8176-4912-8
• Marc Culler, Peter Shalen: Varieties of group representations and splittings of 3-manifolds. In: Ann. of Math., (2) 117, 1983, no. 1, S. 109–146, doi:10.2307/2006973, JSTOR 2006973.
• William Goldman: Topological components of spaces of representations. In: Invent. Math., 93, 1988, no. 3, S. 557–607; doi:10.1007/BF01410200