Diskussion:Axiom

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Axiom“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Beispiele für moderne Axiome

Ich finde, das Konkrete kommt bei "formales Axiom" ein wenig zu kurz und möchte deswegen vorschlagen, mal ganz konkrete Beispiele zu sammeln, damit man sich das besser vorstellen kann. Ich mach' mal den Anfang und freu mich auf eine gute Diskussion, als deren Ergebnis eine Erweiterung des Artikels stehen könnte.

• Das Prinzip "Eigentum" als ein grundlegendes Element einer Demokratie: die Idee, dass einem etwas gehören kann, das einem nur unter Inkaufnahme einer Sanktion weggenommen werden kann?
• Prinzipien wie Unversehrtheit, die Gleich-Wertigkeit von Menschen und generell Menschenrechte?
• Das Prinzip "Gehorsam", z.B. in Systemen wie Familie, Militär, Schule, etc.?
• Die Art der Legitimation von Macht, z.B. durch Wahlen, Abstammung, Eroberung, etc. als bestimmendes Element einer Gesellschaft?

... Gruß --GeorgW27 20:33, 28. Okt. 2009 (CET)

nicht einordbarer vorgefundener Text

"Ausnahmen"

• der Logizismus (u. a. von Gottlob Frege vertreten), der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte.
• die Protokollsatzlehre, vertreten speziell vom logischen Positivismus. Demnach können Sätze der empirischen Wissenschaften auch logisch auf Wahrnehmungserlebnisse zurückgeführt werden, deren Evidenz unmittelbar klar ist. Insbesondere Popper kritisiert diese Position aufgrund der in den wissenschaftlichen Sätzen auftretenden Universalien.

"alte" Kritik

Ich finde den Artikel generell sehr schlecht. Groebste Fehler habe ich entfernt:

• Axiomensysteme muessen nicht "begrenzt" sein.
• Axiomensysteme koennen widerspruechlich sein.
• Die Koerperaxiome sind zwar vollstaendig, ob sie aber mit dem Anordnungs- und Vollstaendigkeitsaxiom auch widerspruchsfrei oder vollstaendig sind, ist mir nicht bekannt. Habe das Beispiel daher zu den Beispielen verschoben.
• Ich habe den Teil mit der Plausibilitaet praezisiert.
• Ich habe gerade eine Logik-Vorlesung gehoert und Goedel wurde nie mit irgendwelchen "Meta-Sprachen" in Zusammenhang gebracht. Und ich glaube nicht, dass Logiker die Umgangssprache fuer formale Ueberlegungen verwenden. (Auf jedenfall nicht die, die verlinkt wurde.) Hier ist die entsprechende Passage: "Mit Gödel u. a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog. Umgangssprache."
• Folgendes stimmt auch nicht, sondern ist vielmehr eine Folgerung aus verwendeten Metriken: ""Die kürzeste Verbindung von zwei Punkten ist eine Gerade". Das Erstellen einer Geraden, die tatsächlich die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist, ist nach der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht ohne weiteres möglich. Die Physik hat dieses Axiom durch die Erklärungen zur Raumkrümmung – zumindest geometrisch – widerlegt. Ob es eine tatsächliche "kürzeste Verbindung" gibt, lässt sie offen."
• Hab den Unsinn mit dem Jenseits herausgenommen, da diese Aussage nichts mit dem Artikel zu tun hat und (mindestens) in dem Zusammenhang Unfug ist.

Eine Mathematisierung wuerde dem Artikel nicht schaden. Auch was "Aussagen" ueberhaupt sind und der Zusammenhang zu formalen Sprachen sollten erklaert werden. Ich habe daher auch am Anfang des Artikels zur Aussagenlogik verlinkt. -- TB 20:00, 27. JAN. 2007 (CEST)

Was mir etwas sauer aufstößt ist diese Aussage: "tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind" Das kann ich so nicht nachvollziehen. Ich habe noch nie gehört, das namhafte Religionen wie bspw. das Christentum ein Jenseits im physikalischen Raum definieren. Erstens handelt es sich dabei mehr um ein Postulat als um eine Definition, und zweitens impliziert für mich bereits die Bezeichnung "Jenseits", dass es außerhalb der physikalischen Raumzeit leben soll. Wenn keiner Einwände hat oder vorschlägt, wie man das verbessern kann, werde ich es löschen. --Lycidas 23:36, 17. Okt. 2006 (CEST)

Hi, man könnte hier doch auch was über pg-systeme schreiben oder?

Axiom (gr. axioma, Geltung, Forderung) nennt man eine Aussage, die selbstverständlich ist und deshalb keiner Begründung bedarf.

Mir fällt jetzt keine Theorie ein, deren Axiome diese Bedingung erfüllen. Ganz im Gegenteil, typischerweise ist dies gerade nicht der Fall. Axiomatisierung ist ein relativ später Vorgang und immer mit einem sich bewußt werden verbunden, das diese »Evidenz« eben nicht mehr zuläßt. D.h. auch, daß axiomatische Theorien nicht, und dies sieht man doch heute überall, durch Kritik an den Axiomen herausgefordert werden können. Ptrs 00:07, 4. Aug 2003 (CEST)

Den zitierten Satz sehe ich auch als veraltet und unvollständig. Aber naturwissenschaftliche Theorien können doch durch Falsifizierung ihrer naturwissenschaftlichen (nicht-mathematischen, nicht-logischen) Axiome zu Fall gebracht werden (z.B. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit - Relativitätstheorie). Heizer 01:21, 4. Aug 2003 (CEST)

Na ja nicht als Theorie, sondern die Anwendbarkeit wird dann fraglich. Das ist aber etwas ganz anderes. Ptrs 20:12, 4. Aug 2003 (CEST)

Schon richtig. Eine schöne aber falsifizierte Theorie ist aber nicht mehr von Interesse und die Axiome werden dann modifiziert. Heizer 12:30, 3. Sep 2003 (CEST)

Eine bessere Definition wäre: Axiom nennt man eine Aussage, die für eine weitere Beweisführung als selbstverständlich vorausgesetzt wird und daher unbegründet bleibt. Eine Anführung von unterschiedlichen philosophischen Positionen (Antike, Scholastik, Empirismus und Rationalismus) wäre durchaus hilfreich. 139.18.24.148 16:23, 21. Aug 2003 (CEST)

'Begründung' findet auf der Meta-Ebene statt. 'Selbstverständlichkeit' ist die klassische historische Begründung; die modernen sind 'Vollständigkeit' und 'Widerspruchsfreiheit' des Axiomensystems. Heizer 12:30, 3. Sep 2003 (CEST)

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Hab den folgenden Satz aus dem Artikel entfernt:

Das ist kein Axiom, sondern die Definition der natürlichen Zahlen: Jede Menge N, die das Element EINS (1) sowie für jedes beliebige Element x von N auch x+1 enthält, ist identisch mit der Menge der natürlichen Zahlen

Er bezieht sich auf die Aussage

Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1

Die Definition der nat. Zahlen erfolgt z.B. mengentheoretisch ueber das Unendlichkeitsaxiom als kleinste transitive Menge, oder sie erfolgt ueber ein Axiomensystem, z.B. die Peano-Axiome. Im ersten Fall ist die Existenz des Nachfolgers ein Satz der Mengenlehre, im zweiten Fall ist sie ein Axiom der Arithmetik. In beiden Faellen ist ist die Existenz des Nachfolgers innerhalb der Arithmetik der natuerlichen Zahlen ein Axiom. --SirJective 12:32, 23. Dez 2003 (CET)

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Folgender Satz sollte anders formuliert oder mit einem Hinweis auf Gödel ergänzt werden:

Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten.

Der gödelsche Unvollständigkeitssatz beweist doch, dass es gerade nicht so ist. -- Hmenders 16:38, 14. Apr 2006 (CEST)

Sehe den Bezug nicht mehr, aber es ging wohl um die Axiome eines vollständigen angeordneten Körpers. Dann stimmt der zitierte Satz, zumindest, wenn man wahre Aussagen durch wahre und in diesem System ausdrückbare Aussagen ersetzt. Gödels Unvollständigkeitssatz bezog sich auf N und nicht auf R - "x Element N" ist aber nicht ausdrückbar.--Hagman 09:36, 15. Mär. 2007 (CET)

Fehlender Link

Unter Punkt 1. der Beispiele gibt es einen Link zu "Euklid" und einen Link zu "Geometrie", aber keinen Link zu "Euklidische Geometrie".

Axiome in der Informatik

In der Informatik meint man mit Axiomen bestimmte Regeln, die ein abstrakter Datentyp erfüllt, also was genau eine bestimmte Funktion macht. Sollte man das hier einfügen oder eine Begriffsklärung machen? --Prometeus 21:29, 22. Apr 2005 (CEST)

Mit dem Begriff Axiom wird arg schindgeludert. Ein Axiom ist eine Aussage, welche sich logisch auf keiner tieferen Ebene mehr begründen läßt. Es ist also ein Urbaustein jeglicher Theorie. Ein Postulat dagegen kann niemals ein Axiom sein, wenn es nicht aus Axiomen abgeleitet wurde. Aus Axiomen können dagegen logisch weitere Aussagen abgeleitet werden, welche dann richtig sein müssen. Der Begriff Axiom sollte daher nur dann zur Anwendung kommen, wenn es sich wirklich um ein Axiom handelt. Ansonsten muß man sich fragen, wie man zur Unterscheidung dann ein "richtiges" Axiom nennt. Ein Axiom kann daher auch niemals widerlegt werden. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und insbesonders die Beobachterinvarianz ist z.B. auf gar keinen Fall ein Axiom. Das ist ein Postulat, eine reine nicht auf Axiomen begründete Behauptung und widerspricht sogar jeglicher Logik.

Tja Sprache hält sich dummerweise nicht an die schone kristallklare Logik der Mathematik. Müssen die Mathematiker eben regelmäßig den Rethorikern auf die Finger hauen. Immerwieder.--Gerd Marquardt 21:35, 3. Nov. 2006 (CET)

Es fehlt der Link zu "Theorem"

Löschdiskussion: Grundaxiom

Mein Artikel "Grundaxiom" wurde sofort gelöscht, nachdem ich ihn eingestellt hatte. In der Löschliste erschien nur der Hinweis: "gelöscht (steht korrekt in Axiom)". Ich habe dagegen die folgenden Einwände: Siehe Benutzer_Diskussion:Greypanter#Löschdiskussion: Grundaxiom

Abgrenzung Definition

Hey danke für den Artikel. Könnt ihr bitte noch einen Absatz hinzufügen, der die Abgrenzung zum Wort "Definition" zeigt--91.6.13.137 13:26, 14. Sep. 2007 (CEST)

Nicht so einfach. Vielleicht kann folgendes Zitat weiterhelfen:

"Wenn ein Ausdruck durch einen Satz definiert wird, so wird dadurch seine Bedeutung mit der eines anderen Ausdrucks identifiziert. Diese Identifizierung ist eine Festsetzung, auf Grund deren die Definition als wahr erklärt wird, und zwar als wahr, unabhängig davon, wie die Sprache interpretiert wird. Definition dürfen deshalb in Ableitungen und in Beweisen wie logische Axiome benützt werden. Die logischen Wahrheiten zusammen mit den sich auf Grund von Definitionen ergebenden Wahrheiten bilden die Klasse der analytischen Wahrheiten."Essler, Einführung in die Logik, 2. Aufl. (1969), S. 162

Dies setzt allerdings eine bestimmte Definitionstheorie voraus.

Von der Frage, was ein Axiom von einer Definition unterscheidet, ist die andere Frage zu unterscheiden, was eine axiomatische Definition ist.

Dazu: „Man sagt, die Funktoren eines Systems sind durch ein Axiomensystem definiert, wenn eine (oder mehrere) Aussagen als wahr vorausgesetzt werden, die diese Funktoren enthalten und sich daraus nach vorgegebenen Regeln alle wahren Aussagen herleiten lassen, die diese Funktoren enthalten.“ Menne (Logik), 31

--Hans-Jürgen Streicher 22:39, 25. Nov. 2007 (CET)

Sinn von Axiomen ?

Hallo ihr Schlauköpfe! Ich habe ein grundlegends Problem und zwar ich was nicht warum man Axiome braucht - obwohl ich mich sehr bemühe dahinter zu kommen schaff ich es einfach nicht. bitte also um einen Erklärung

Axiome dienen der Axiomatisierung einer Theorie, dieser der besseren Überschaubarkeit und Überprüfbarkeit einer Theorie.

Oder aus wissenschaftstheoretischer Sicht: Die Axiomatisierbarkeit ist „Ideal und Ziel aller Wissenschaften“ (Weingartner, Wissenschaftstheorie I, 2. Aufl. (1978), S. 221)

--Hans-Jürgen Streicher 22:23, 25. Nov. 2007 (CET)

Komprehensionsaxiom von Cantor?

Cantor hatte kein Komprehensionsaxiom. Er hatte überhaupt keine Mengenaxiome, sondern eine intuitive Mengenlehre. Diese war nicht naiv (siehe Cantorsche Antinomie). Die Zuschreibung des zitierte Komprehensionsaxiom stammt aus einer obskuren Quelle.--Wilfried Neumaier 12:32, 23. Jan. 2008 (CET)

Fehler

Es wurden von mir einige kleinere grammatische Fehler beseitigt.

-Edit-

..., was sofort wieder rückgängig gemacht wurde. Was ist denn falsch an meinen Verbesserungen?

Axiom im Sinne --> eines unabgeleiteten Ausgangssatzes einer Theorie

Im genannten Absatz findet sich der Satz:

Teilweise wird behauptet, ein Axiom sei "ein unbewiesener und daher unverstandener Satz"[3] und zugleich, ob ein Axiom verstehbar sei, „weil auf einsichtigen Operationen beruhend“ ist, „kann zunächst offenbleiben“[4].

Hier werden Zitate, die ich natürlich nicht ändern will, zu einem grammatisch unglücklichen Satz verbunden. Der Autor möge daraus einen, besser wohl zwei, korrekte Sätze bauen.--FerdiBf 16:18, 13. Apr. 2009 (CEST)

Peano?

Sollten Giuseppe Peano und seine Axiome zu den natürlichen Zahlen hier nicht wenigstens genannt werden? --Delabarquera 13:13, 6. Jun. 2010 (CEST)

Doppelt gemoppelt?

"deduktiv abgeleitet"

Ist das nicht ein Pleonasmus? "Deduktiv" heisst doch so viel wie "abgeleitet".

--TG 20.10.2010 (nicht signierter Beitrag von 109.90.28.251 (Diskussion) 09:19, 20. Okt. 2010 (CEST))

Der Meinung bin ich auch! Und auch sonst ist der Artikel miserabel. -- Tunc 12:04, 7. Dez. 2010 (CET)

Naja, man kann ja auch etwas assoziativ herleiten. Wenn mam es deduktiv tut, so hält man sich in jedem Schritt streng an eine bestimmte Form.-- Leif Czerny 12:53, 4. Feb. 2012 (CET)

Artikel ist unverständlich

Ich habe mir gerade den Artikel durchgelesen; komplizierter formulieren geht wohl nicht, oder? Wer hat diesen Artikel verfasst? Schon mal ewtas von "Oma-Test" gehört? Obwohl ich vorher wusste, was ein Axion ist, bin ich nun verwirrter als vorher. Der Artikel und vor allem die Einleitung gehört umgeschrieben und verständlicher formuliert. Wie wär's mit ein paar Beispielen? -- Tunc 12:03, 7. Dez. 2010 (CET)

Die englische Wikipedia gibt da einen wesentlich besseren Einstieg. "In other words, an axiom is a logical statement that is assumed to be true." Natürlich ist das keine ausschöpfende und abschließende Erläuterung, aber zumindest weiß dann jeder Interessierte, um was es geht. -- Fabian Schölzel 11:51, 4. Feb. 2012 (CET)

Beispiel tragen nur bedingt zur Deutlichkeit bei. Ehrlich gesagt, was ein "logical statement" sein soll, und wer wann annimmt, dass es wahr sei, ist höchst unklar. -- Leif Czerny 13:00, 4. Feb. 2012 (CET)

Dogmen sind meist deduktiv

Dogmen sind in der Regel sehr wohl deduktiv, sprich von anderen Glaubensaussagen herrührend abgeleitet und somit nicht unbedingt Axiome. Sie sind schließlich häufig einfach Folgerungen einer unbeweisbaren Theorie. Daher, finde ich, kann man bei einem Dogma nicht wirklich von einem Axiom sprechen.--77.180.168.217 20:04, 9. Dez. 2010 (CET)

Abschnitt "Verhältnis von Experiment und Theorie" unklar

"Diese Axiome hat man jahrhundertelang (im ersten Fall) bzw. jahrelang (im zweiten Fall)"

Auf was bezieht sich diese Formulierung? Welche Axiome sind gemeint? Und welche Fälle? Ich vermute, dass die Physikbeispiele aus dem vorhergehenden Abschnitt gemeint sind. Der Bezug sollte dann aber auch klar hergestellt werden. -- 84.178.187.200 12:20, 23. Sep. 2011 (CEST)

Physik-Beispiele

Sind die Newtonaxiome sinnvolles Beispiel? Ich denke nicht, dass sie den Ansprüchen einer Axiomatisierung der Theorie der klassischen Mechanik gerecht werden. Es bleibt ja doch einiges offen, was nun Kräftefreiheit bedeutet, wie der Bezug zwischen Masse und Kraft ist etc. Man kann sie vllt. als Axiome ansehen, aber sie stellen doch keine vollständige Axiomatisierung dar. Und die Einsteinschen Axiome sind ja lediglich unhaltbares Geschwätz. Dagegen scheint es ja aber auch ernsthafte Versuch zu geben, physikalische Theorien zu axiomatisieren (s. etwa Axiomatische Quantenfeldtheorie, wovon ich keine Ahnung habe). --Chricho ¹ 16:45, 25. Dez. 2011 (CET)

Eine nachträgliche Axiomatiserung der klassischen Mechanik ist vorgenommen worden, und zwar von Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow. Können wir uns darauf einigen, dass man Newtons Beschreibung zumindest für formalisierbar ist, halten wir ihm aber zu gute, das die Formelsprache der Logik noch gar nicht klar genug entwickelt war. Schließlich muss auch zählen, dass in Standarddarstellungen Newton als Beispiel auftaucht, auch wenn das ungenau sein mag. -- Leif Czerny 11:01, 11. Aug. 2012 (CEST)

Sind Axiome Theoreme?

Zu diesen beiden Änderungen; [diff] und [diff]. M.E. wird ein Zirkelschluss beschrieben, der formal nicht als Beweis zulässig ist. bestimmte formale Sprachen verzichten deshalb ja sogar darauf, Axiomen die formen von Sätzen zu geben und verwenden Statt dessen Axiomenschemata (die Satzschemata sind und als solche innerhalb des Kalküls nicht beweisen werden können) auch im Vormodernen Verständnis sind Axiome eigentlich keine Theoreme. Ansonsten ist recht viel zum Verhältnis Axiom-Theorem im Artikel gesagt. Dass dieser eine Satz mit der etwas schrulligen Begründung "Die formal korrekte Ableitung eines Satzes aus den Voraussetzungen nennt man Beweis. Axiome sind denknotwendig beweisbar, also Sätze." zu streichen sei, kann ich nicht ganz nachvollziehen. -- Leif Czerny 18:45, 9. Aug. 2012 (CEST)

Aus Sicht der mathematischen Logik sage ich: Natürlich sind Axiome aus den Axiomen heraus beweisbar, die Ableitung braucht dann eben null Schritte, aber ich sehe keinen sinnvollen mathematischen Grund, das auszuschließen, im Gegenteil, $\varphi \vdash \varphi$ sollte wohl eine sehr grundlegende Eigenschaft sein. Mit Axiomenschemata hat das nichts zu tun, die sind dann eben unendliche Mengen von Axiomen, die man nur metasprachlich endlich beschreiben kann. Ansonsten: Man nennt Axiome nicht Theoreme, genauso wenig wie man Hilfssätze, Korollare etc. Theoreme nennt. --Chricho ¹ ² ³ 18:52, 9. Aug. 2012 (CEST)

Ich vermute, es ging der IP darum, ob man $\varphi \vdash \varphi$ einen Beweis nennen soll. Deinen Einwand gegen die Axiomenschemata verstehe ich nicht. Aber ich habe meine Logik eben nicht von Mathematikern gelernt. Für mich ist es ein Unterschied, ob ein Axiom eine wohlgeformte Formel ist und es eine Subsitutionregel innerhalb des Kalküls gibt, oder ob das Axiom schematisch ist und die Substitution metasprachlich stattfindet. In dem Fall ist das Axiom das Systems definitiv kein Theorem, denn in diesem kommen keine ungebundenen Variablen für Individuenkonstanten vor, insbesondere keine metasprachlichen und auch keine für Satzkonstanten.-- Leif Czerny 18:57, 9. Aug. 2012 (CEST)

Es wird unterschieden zwischen Axiom und Schlussregel. Ein Axiom ist eine Formel. Eine Schlussregel nicht, da besteht in der Tat ein Unterschied. Aber ein Axiomenschema ist nichts anderes als eine metasprachlich beschriebene Menge von Axiomen. Man würde nicht $\varphi \vdash \varphi$ einen Beweis nennen, man würde ganz einfach $\varphi$ einen Beweis nennen, wenn $\varphi$ ein Axiom ist. Das ist eine Kette von Formeln der Länge eins, beginnend mit einem Axiom und endend mit dem zu beweisenden (verbunden durch gültige Schlussregeln, in diesem Fall null in der Zahl). Dies ist der formale Beweis von $\varphi$ ausgehend vom Axiomensystem $\{\varphi \}$. --Chricho ¹ ² ³ 19:09, 9. Aug. 2012 (CEST)

"ist nichts anderes als" - das ist eine Frage der Philosophie der Logik. Es gibt Leute, die haben etwas gegen unendliche Mengen (z.B. Wittgenstein II). Und es ist auch ein Unterschied, ob die Substitutionsregel metasprachlich oder objektsprachlich gilt. Als Beweis in einem semantisch starken sinn würde ich, wie gesagt, $\varphi \vdash \varphi$ nicht ansehen wollen, und es gibt, wie gesagt, Logiker, die daher keine Objektsprachlich formulierten Axiome haben wollen. $\varphi$ ist keinesfalls ein Beweis. Es müsste ja mindestens $\vdash \varphi$ heißen, wenn nicht sogar $\Vdash \varphi$.-- Leif Czerny 19:40, 9. Aug. 2012 (CEST)

In der mathematischen Logik hat man jedenfalls üblicherweise nichts gegen unendliche Mengen und fasst Axiomenschemata als solche auf. Und einen „leeren“ Beweis akzeptiert man natürlich, wenn es sich um ein Axiom handelt, mathematisch würden andere Begrifflichkeiten nur für unsinnige Fallunterscheidungen sorgen. --Chricho ¹ ² ³ 20:19, 9. Aug. 2012 (CEST)

Weißt du, ich hab auch schon einmal von einem Typen gehört, dem gefiel es nicht, dass die leere Menge eine Menge sein soll. Man kann jetzt natürlich die ganze Mathematik so umformulieren, dass die leere Menge nicht als Menge auftritt, man muss dann an allen Ecken und Enden Fallunterscheidungen einführen, wenn jetzt normalerweise etwas die leere Menge ergeben würde, müsste man dann dort etwas anderes machen etc. Ebenso könnte man dann auch sagen, die null sei keine Kardinalzahl mit weiter Komplikationen. Es ginge, aber es wäre umständlich. Und genauso ist das hier auch. Man könnte sagen: Sei $\Phi$ Axiomensystem, $\varphi \in \Phi$, dann gelte nicht $\Phi \vdash \varphi$. Das macht aber alles viel komplizierter, wenn man etwas bewiesen hätte, müsste man anschließend wiederum prüfen, ob das nicht im Axiomensystem enthalten ist, um sagen zu können, dass es beweisbar ist. Da sagt man eben lieber, dass jedes Axiom beweisbar ist, mittels einer leeren Kette von Schlüssen. --Chricho ¹ ² ³ 20:33, 9. Aug. 2012 (CEST)

Die Aussage, dass sich mit äquivalenten Axiomensystemen dieselben Sätze zeigen lassen, wäre dann auch nicht mehr richtig. --Chricho ¹ ² ³ 20:37, 9. Aug. 2012 (CEST)

Das ist alles schön und gut, aber es ist eben von der Frage Abhängig, ob man logische Systeme durch objektsprachliche Axiommengen bestimmen will oder metapsrachlich. in der philosophische Logik sind, jeweils vermutlich ganz gut begründet, meines Wissens beide Varianten üblich. Das ist mitnichten so willkürlich wie Du andeutest. Die eigentliche Frage war aber nun, ob Axiome in formalen System beweisbar und damit auch Theoreme wären. Und das sind sie eben nicht in allen. Und wenn sie ableitbar sind, entspricht das dem Vorverständnis von Beweis nicht mehr, das für die klassischen Bestimmungen von Axiomen einschlägig wäre, da es Zirkelschlüsse wären. Der eigentliche Beweisgrund wäre dann nicht die Ableitbarkeit im log. System, sondern was auch immer ihnen zuvor Axiomstatus verliehen hat. -- Leif Czerny 20:57, 9. Aug. 2012 (CEST)

Ich rede doch die ganze Zeit von dieser Frage (ab „und einen ‚leeren‘ Beweis“), um die es eigentlich geht. Und Ableitbarkeit definiert man nunmal so, dass man z. B. sagt, die Axiome sind ableitbar, alles, was sich durch Anwendung einer Schlussregel aus ableitbaren Formeln ergibt, ist ableitbar, und die Menge der ableitbaren Formeln sei die kleinst mögliche, die diese Bedingungen erfüllt. Das ist einfach und führt zu klaren Begrifflichkeiten, etwa dazu, dass zwei Axiomensysteme genau dann Äquivalent sind, wenn aus ihnen dieselben Formeln ableitbar sind. Und wo soll da ein Zirkelschluss sein? Ich habe eine Ableitungskette, die aus einem Axiom und null Regelanwendungen besteht, und damit das Axiom aus den Axiomen bewiesen. Da ist kein Kreis. Das ist ein valider Beweis, ich sehe nicht, was dafür sprechen sollte, dass das keiner ist, zumindest nicht mehr, als dafür spricht, dass die null keine Zahl ist. Oder geht es dir um formale Systeme mit völlig anderen Voraussetzungen, die ich mir gerade nicht vorstellen kann? Dann nenne mir bitte eines. --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 9. Aug. 2012 (CEST)

1. Es gibt mehr als einen nur formalen Beweisbegriff. 2. Wenn ein Satz aus sich selbst beweisen wird, nennt das die Tradition einen Zirkelschluss. 3. Wenn man Axiome in der Objektsprache eines Logischen Systems formuliert, dann sind die Axiome in diesem System auch ableitbar. Aber nicht überhaupt-ableitbar, logisch wahr, sondern eben nur in diesem System, dessen Axiome sie sind. 4. $\Vdash \varphi$ ist ein anderer Ausdruck als $\varphi$ 5. Dass 0 eine natürliche Zahl ist, ist ein Axiom der Arithmetik, wie es bspw. von Peano aufgestellt wurde. Da 0 nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist, alle anderen Natürlichen zahlen aber schon, braucht Peano dafür ein eigenes Axiom. -- Leif Czerny 22:44, 9. Aug. 2012 (CEST)

3. gut, dann sind wir uns ja einig, dass ein Axiom eines Systems in diesem System auch ableitbar ist. Und diese triviale Ableitung ist dann auch ein Beweis, zumindest in einem gewissen Verständnis, und deshalb sollte dieser Satz auch nicht in der Form im Artikel stehen, dass das kein Beweis wäre. --Chricho ¹ ² ³ 22:59, 9. Aug. 2012 (CEST)

Oh Mann. Bitte sehr.-- Leif Czerny 18:22, 10. Aug. 2012 (CEST)

Ja, die Diskussion ist albern, aber es ist besser so. --Chricho ¹ ² ³ 18:31, 10. Aug. 2012 (CEST)

Aha, "lediglisch syntatiktsch" ist abwertend gegenüber der formalen Logik: hier. offenbar gehört eine formalsemantische Betrachtungsweise jetzt nicht mehr zur formalen Logik. Darf ich persönlich ein kleines bisschen genervt sein? Darf ich darum Bitten, nicht in Editkommentaren zu diskutieren, sondern hier? -- Leif Czerny 10:56, 11. Aug. 2012 (CEST)

Mein Editkommentar ist nicht als Diskussionsbeitrag gemeint, sondern dient der Information über den Grund meiner Editierung. "Lediglich syntaktisch" will und soll relativieren, dass Axiome Theoreme mit vollem Bürgerrecht sind. Im Übrigen halte ich die immer noch im Artikel vorhandene Behauptung, dass es sich "semantisch betrachtet" um einen 'Zirkelschluss' handelt, entweder für einen Kategorienfehler oder für sinnlos. Welche Semantik ist damit gemeint? Gödelscher_Vollständigkeitssatz#Grundbegriffe: »Eine Formel $\varphi$ ist eine semantische Folgerung aus $\Gamma \$ (in Zeichen $\Gamma \vDash \varphi$), wenn $\varphi$ in jedem Modell von $\Gamma \$ wahr ist.« Wenn ich das richtig verstehe, ist jede Formel aus $\Gamma \$ semantisch wahr, weil Modelle gerade solche Strukturen sind, in denen genau das gewährleistet ist. Für einen Zirkelschluss (im Sinne von "selbstbezüglicher Stützung der Aussage, vgl. Petitio principii) ist somit gar kein Raum, weil die Axiome bereits aus sich heraus semantisch wahr sind. --91.9.120.101 16:56, 11. Aug. 2012 (CEST)#

Was soll denn heißen "da ist kein Raum?" Zirkelschlüsse sind ja nicht formal unzulässig, mit der korrekten Ableitbarkeit ist das doch durchaus vereinbar. Das Axiome als Theoreme hingeschrieben werden dürfen, ist in der tat in einigen Kalkülen der Fall, insbesondere bei denen, die ihre Axiome mit Individuenkonstanten formulieren. Das so zu machen, wie bereits mehrfach erwähnt, aber überhaupt nicht notwendig, sondern kann auch durch Schemate, also mit metasprachlichen Individuenvariablen erfolgen, und wird auch gelegentlich so gemacht, gerade auch weil es dem Vorverständnis von Axiomen widerspricht. Ich hätte daher gerne im Sprachgebrauch des Artikels Ablenkbarkeit und Beweisbarkeit unterschieden, das wird ja nun nicht akzeptiert. -- Leif Czerny 19:57, 11. Aug. 2012 (CEST)

Was soll der Unterschied denn sein? --Chricho ¹ ² ³ 20:24, 11. Aug. 2012 (CEST)

"da ist kein Raum" für die Behauptung, dass es sich um einen Zirkelschluss handelt, bedeutet, dass es nicht ein Zirkelschluss ist, der den Axiomen ihren semantischen Wahrheitswert verleiht. Wahrheit kommt den Axiomen bereits durch die Definition des Modellbegriffs zu. So habe ich den Begriff jedenfalls verstanden. Deinen Einwand, dass man Axiome(nsysteme) auch als Nicht-Aussagen (du schriebst "als Theoreme hingeschrieben" und meintest höchstwahrscheinlich "als Aussagen hingeschrieben") hinschreiben könnte leuchtet mir nicht ein, das mag gleichermaßen an meiner mangelnden Phantasie wie auch meine mangelnden Erfahrung liegen. Vielleicht hast du einen Link zu einer entsprechenden Seiten in der WP oder extern? Der Unterschied zwischen Ableitbarkeit und Beweisbarkeit lässt sich so formulieren: »Axiome sind sowohl ableitbar als auch wahr.« --93.192.175.46 21:16, 11. Aug. 2012 (CEST)

Beachte bitte, dass eine Verwendung des Modellbegriffs zur Definition gewisser Konzepte (was du hier Wahrheit nennst) in längst nicht allen Logiken möglich ist. „Semantischer Wahrheitswert“ ist ein modelltheoretischer Fachbegriff, zur Erklärung der allgemeinen Bedeutung von Axiomen taugt er nicht. Ich sehe keinen Grund, wieso man hier irgendwie Modelltheorie ins Spiel bringen sollte, die spielt hier gar keine Rolle. --Chricho ¹ ² ³ 21:23, 11. Aug. 2012 (CEST)

Derzeit steht im Artikel der folgende unglaublich voraussetzungsvolle und wertende Satz: »Dabei handelt es sich im formalen oder syntaktischen Sinne zwar um einen Beweis, allerdings nur innerhalb des Kalküls, der das Axiom voraussetzt; semantisch betrachtet handelt es sich um einen Zirkelschluss.« Voraussetzungsvoll insofern, als man erst einmal darauf kommen muss, zu glauben, die Eigenschaft, Ableitung zu sein, würde dem Abgeleiteten noch anhaften, wenn man die Voraussetzungen entfernt ("außerhalb des Kalküls"). Zu deinem Hinweis, dass wir hier keine Modelltheorie betreiben müssen: Was soll "semantisch betrachtet" konkret bedeuten? Ich habe das nicht in den Artikel geschrieben. --84.130.231.250 22:08, 11. Aug. 2012 (CEST)

Ich weiß auch nicht, was das genau bedeuten soll, aber auf Modelltheorie bezieht es sich jedenfalls nicht. @Leif Czerny Was meinst du damit, dass Axiome „mit Individuenkonstanten formuliert“ werden? Sie werden als logische Formeln aufgefasst. Es wäre wirklich mal gut, wenn du ein Beispiel anführen würdest, wo ein Axiom keine Formel ist. Das würde vielleicht klarer machen, worum es dir geht. --Chricho ¹ ² ³ 22:12, 11. Aug. 2012 (CEST)

Ich kann meine Axiome objektsprachlich als Sätze angeben, die mit Individuenkonstanten und ohne ungebundene Variablen angeben. Ich kann meine Axiome auch metasprachlich, mit Variablen für Individuenkonstanten angeben. So kann ich Beipielsweise $p\rightarrow (q\rightarrow (q\land p))$ als Axiom zur Einführung der Konjunktion verwenden (verbunden mit einer Substitutionsregel von Individuenkonstanten durch Individuenkonstanten). ich es kann aber auch metaprachlich als Schlussregel angeben: $\phi ,\psi \vdash \phi \land \psi$), und das kann ich, wenn ich möchte, auch noch semantisch begründen: Genau dann, wenn zwei Sätze der objektsprache $\phi$ und $\psi$ die Belegung "wahr" haben, so hat auch der Satz $\phi \land \psi$ die Belegung "wahr". $\phi \land \psi$, $\phi$ etc. sind dann Schemata für objektsprachliche Sätze, die mit Logischen Konstanten und Individuenkonstanten formuliert werden, aber eben keine Formeln der Objektsprache selbst. Zudem geht es hier darum, das Axiome nicht immer Theoreme sind. Der Satz »Axiome sind sowohl ableitbar als auch wahr.« bringt keinen unterschied zum Ausdruck, und nein, nicht alle Axiome eines Logischen Systems folgen aus einem Modell. Das ist für die spezifischen Axiome der Modallogik der Fall. Die Voraussetzung, dass es sich bei der ableitung im System um einen Beweis handelt, ist der Erwartung an Leser geschuldet, die Beweis als Nachweis der Wahrheit verstehen. Warum der Beanstandende Satz jetzt schon wieder wertend sein soll, kann ich nicht ganz nachvollziehen. Inwiefern wird denn etwa pejoratives geäußert, wenn auf den unterschied zwischen Ableitbarkeit und Wahrheit hingewiesen wird? 14:13, 12. Aug. 2012 (CEST)

Für pejorativ halte ich ihn auch nicht, lediglich kann man durchaus neutral verwenden. Und die Formulierung mit dem wahr halte ich auch für überflüssig. Aber: So etwas wie $p\rightarrow (q\rightarrow (q\land p))$ ist gemäß dem mir geläufigen Axiomenbegriff kein Axiom sondern ein Axiomenschema, eine metasprachliche Beschreibung des Axiomensystems, anhand derer man eine Formel als Axiom erkennen kann. Auf was für einen Axiomenbegriff berufst du dich da? --Chricho ¹ ² ³ 14:22, 12. Aug. 2012 (CEST)

Chricho, der Vorwurf der Abwertung kam ja auch nicht von dir, aber er wurde oben von 84.130 ja wieder erhoben, obschon das Wort lediglch bereits getilgt wahr. Zu deinem Punkt Ich versteh ehrlich gesagt nicht, wieso $p\rightarrow (q\rightarrow (q\land p))$ ein Schema sein soll, wenn p und q und $\land$ Konstanten der Objektsprache sind, handelt es sich eindeutig um einen in der Objektsprache formulierten Satz. Evtl. kann man in der Metaprache daraus ein Schema bilden, indem man sagt "Alle Sätze, die durch die Ersetzung von p und q je durch ein und die selbe Individuenkonstante aus $p\rightarrow (q\rightarrow (q\land p))$ hervorgehen", und wenn man will, kann man Alle Sätze, die diesem Schema genügen, direkt zu Axiomen erklären. Meinst Du das so? -- Leif Czerny 14:32, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ja, so dachte ich das. Ich dachte an Prädikatenlogik, wenn man jetzt in Aussagenlogik ist und $p$ und $q$ aussagenlogische Variablen sind, ist das natürlich ein Satz der Sprache. Zu dem Rest: „ich es kann aber auch metaprachlich als Schlussregel angeben“ Ja, das ist dann aber eben eine Schlussregel und kein Axiom. Und Definitionen von Wahrheitswerten unter Interpretationen sind ebenso wenig Axiome. --Chricho ¹ ² ³ 14:46, 12. Aug. 2012 (CEST)

Wenn man jetzt die Metasprache untersucht, dann kann eine solche Schlussregel natürlich als Axiom aufgefasst werden: Man hat eine Metasprache, in der man objektsprachliche Sätze als Terme, $\vdash$ und vllt. noch ein paar andere Sachen zur Verfügung hat, und ein Axiom könnte dann eben wie so eine Schlussregel aussehen. Muss man aber nicht so machen. Man kann in der Metasprache zum Beispiel auch mit Modellen arbeiten und dann die Schlussregel beweisen. Wie auch immer: Das tritt dann erst bei der Betrachtung der Metasprache auf, ein Axiom ist und bleibt ein Satz der Objektsprache und ist von einer Schlussregel zu unterscheiden. In dem eben skizzierten Fall wäre die Schlussregel eben ein Satz des metasprachlichen Systems, aber so lange man von dem nicht spricht, ist eine Schlussregel eben kein Axiom. Wenn man es dagegen betrachtet, ist die Formulierung ein Axiom ist ein Satz immer noch richtig, es wäre dann eben nur einer in einer anderen Sprache. --Chricho ¹ ² ³ 14:56, 12. Aug. 2012 (CEST)

(BK)Aha, ich kenne die Konvention, griechische Kleinbuchstaben für metapsr. Aussagenvariablen zu verwenden, und lateinsche Kleinbuchstaben p q r etc immer als Konstanten für Sätze (Hätte ich Satzkonstante statt Individuenkonstante sagen sollen? jetzt fällt mir auch auf, dass das missverständlich ist). Wenn dich das mit den Belegungen und der Schlussregelform stört, kann ich natürlich auch $\phi \rightarrow (\psi \rightarrow (\phi \land \psi ))$ als Schema angeben.-- Leif Czerny 15:02, 12. Aug. 2012 (CEST) Nachtrag: In der Metasprache wäre dies der Name eine objektsprachlichen Satzes oder eines Begriffs von objektsprachlichen Sätzen, aber kein Satz.-- Leif Czerny 15:04, 12. Aug. 2012 (CEST)

Du meinst so etwas wie $p\wedge q$? Ja, das wäre in so einer Metasprache dann kein Satz, wohl aber $\forall \phi \forall \psi (\phi ,\psi \vdash \phi \land \psi )$ o. ä. --Chricho ¹ ² ³ 15:20, 12. Aug. 2012 (CEST)

ja, wegen $\vdash$. -- Leif Czerny 15:24, 12. Aug. 2012 (CEST)

Was ich sagen wollte: Schlussregeln und Axiomenschemata können als Sätze einer zu axiomatisierenden Metasprache aufgefasst werden. Und dann und nur dann kann man sich auch für sie als Axiome entscheiden. Solang man von einer Metasprache aber gar nicht spricht, sind sie eben einfach da und keine Axiome, Axiome sind nur die Sätze der Sprache, die als gültige „Startpunkte“ einer Ableitung definiert werden. --Chricho ¹ ² ³ 15:28, 12. Aug. 2012 (CEST)

diese Definition erfolgt für moderne formale kalküle aber doch üblicherweise in einer Metasprache?-- Leif Czerny 17:13, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ja, aber Axiome sind es zunächst nicht, Axiome sind immer Sätze, Axiome können sie nur werden, wenn man die Metasprache axiomatisiert. Und es sind dann auch nur Axiome des metasprachlichen Systems. --Chricho ¹ ² ³ 17:17, 12. Aug. 2012 (CEST)

Das kann ich so nicht nachvollziehen. -- Leif Czerny 17:34, 12. Aug. 2012 (CEST)

Dann kannst du mal bitte auf Literatur verweisen, in der nicht-Sätze Axiome genannt werden? Du scheinst die Ansicht zu vertreten, dass alles was man beim aufstellen eines formalen Systems so formuliert, Axiom genannt würde, das kann ich nicht nachvollziehen und habe ich noch nie gesehen. Bei Bourbaki etwa werden Axiome ganz explizit Theoreme genannt (versteh mich nicht falsch, ich habe kein Problem damit, dass man dort schreibt, dass man Theoreme im allgemeinen Sprachgebrauch von Axiomen abgrenzt) („Toute relation [das ist ein Satz der Sprache], formée par application d'un schéma[…], est appelée axiome implicite“„Every relation contructed by applying a scheme[…] is called an implicit axiom“, „Un théorème[…] est une relation figurant dans une démonstration“, „A theorem[…] is a relation which appears in a proof“). Wer ordentlich vorgeht, unterscheidet da ganz klar, zwischen Axiom und Axiomenschema und Schlussregel. Dafür haben die auch eigene Artikel hier in der Wikipedia. --Chricho ¹ ² ³ 20:05, 12. Aug. 2012 (CEST)

Und ja, man ist da manchmal schlampig, man spricht vom Ersetzungsaxiom etc., nichts desto trotz gibt es aus gutem Grund die Unterscheidung Axiom, Axiomenschema, Axiomensystem, Sprache, formales System, Kalkül, Schlussregel – und deshalb haben die hier auch eigene Artikel. --Chricho ¹ ² ³ 20:11, 12. Aug. 2012 (CEST)

Verstehe nicht ganz, worauf du eigentlich hinauswillst, so steht es ja auch im Artikel. mir geht es um den Punkt, das Axiome in einem semantisch starken Sinn eben nicht beweisen werden. Das scheint auf den Ersten blick in modernen formalen Kalkülen anders zu sein. Aber $\phi \vdash \phi$ ist ein Zirkel. In der philosophischen Logik habe ich es sogar so gelernt (etwa bei Benson Mates), dass es eine explizite Kalkülregel sein sollte, dass man objektsprachlich Formulierte Axiome ohne weiteres in den kalkül schreiben darf. und, wie gesagt, die Verwendung von Schemata anstatt objektsprachlich formulierter Axiome bringt auch die Intuition zum Ausdruck, das Axiome eigentlich nicht beweisen werden können (etwa bei Stuhlmann-Laiesz, Philosophische Logik). Deine Äußerung vom "17:17, 12. Aug. 2012 (CEST)" kann ich so nicht verstehen bzw. halte das schlicht für eine unpassende Erwiderung.-- Leif Czerny 11:08, 13. Aug. 2012 (CEST)

Was genau soll "in einem semantisch starken Sinne" denn nun bedeuten, das ist immer noch nicht klar! Geht es hier um "Schemata" oder um Axiome? Ich wehre mich dagegen, dass Axiomen der Theoremstatus mit zweifelhaften Argumenten abgesprochen bekommen, über "Schemata" habe ich mich nicht geäußert, der Artikel auch nicht. Das Adjektiv "eigentlich" deutet darauf hin, das etwas nicht so ist, wie es sein sollte, als Grund wird nun die "Intuition" angeführt. Kann es sein, dass die Tatsache, dass Axiome ableitbar sind, einfach nur deiner Intuition widerspricht? Dann sollte man das in den Artikel schreiben, aber nur dann, wenn diese Intuition verbreitet ist. --93.192.185.93 12:08, 13. Aug. 2012 (CEST)

In einem Sinn, der die Semantik nicht beachtet, ist jedes korrekt ableitbare Theorem beweisbar. In Kalkülen, wo Axiome in der Objektsprache formuliert werden und es eine Importationsregel gibt, ist damit in diesem Sinne jedes dieser Axiome beweisbar. Sie sind dann aber - wie alle Theoreme des kalküls - beweisbar innerhalb der bestimmten Objektsprache und unter Annahme der Axiome und Schlussregeln, d.h., sie sind beweisbar unter der Annahme, dass die Axiome gelten. Während somit die Theoreme in Abhängigkeit der Axiome beweisen sind, sind die Axiome aus sich selbst heraus beweisen, was Argumentationstheoretisch ein Zirkel ist. Dieser Unterschied ist syntaktisch aber nicht erfasst. Das hat etwas mit dem unterschied zwischen Gültigkeit und Korrektheit zu tun. Nun ist es Teil der klassischen Definition des Axioms, das es keines Beweises bedarf. in diesem sinne habe ich von "Intuition" gesprochen, als von einem vor-formales Verständnis. Ich habe auch davon gesprochen, dass es durchaus Logiken gibt, in denen die Axiome daher nicht als objektsprachliche Theoreme formuliert werden. ich habe nie behauptet, Axiome seien nicht ableitbar oder wären keine Theoreme, und diese Unterstellung finde ich als einigermaßen grob.-- Leif Czerny 12:47, 13. Aug. 2012 (CEST)

Kannst du bitte ein Beispiel einer Logik benennen, möglichst mit frei zugänglicher Quelle, "in denen die Axiome daher nicht als objektsprachliche Theoreme formuliert werden.". --93.192.188.175 13:55, 13. Aug. 2012 (CEST)

Wie das gemacht wird, habe ich oben zur Genüge erläutert. jede moderne, analytisch geprägte Einführung zur Logik sollte das gewünschte liefern. Eine spezifische habe ich ebenfalls bereits genannt. zudem sehe ich auch nicht, dass aus der hochnotpeinlichen Befragung meiner Person irgendein sinnvoller Änderungsvorschlag für den Artikel erwächst.-- Leif Czerny 14:23, 13. Aug. 2012 (CEST) Und bevor auch das wider missverstanden wird: Was ich versuchthabe zu beschreiben, ist keine Eigenschaft einer Speziallogik, sondern eine Möglichkeit, recht normale Systeme zu beschreiben.-- Leif Czerny 14:27, 13. Aug. 2012 (CEST)

Für Deine Positionen bist du beleg- und beweispflichtig. Ich muss mich bei Aussagen, die mir nicht einleuchten, nicht wohlwollend auf die Suche machen, um irgendeinen Beleg zu finden, der sie stützt. Die Änderungsvorschläge habe ich bereits angedeutet. Sie gehen von Löschung bis zur Klarstellung, dass es einer verbreiteten Intuition widerspricht, dass Axiome Theoreme sind. Der Satz, "Axiome sind Theoreme", ist selbstverständlich als falsch zu bewerten, wenn es einen anerkannten, dokumentierten Sprachgebrauch gibt, bestimmte Ausdrücke "Axiom" zu nennen, aus denen Sätze abgeleitet werden, die selbst aber aus formalen oder anderen Gründen keine Theoreme darstellen. In diesem Fall müssten wenn ich das richtig sehe, ebenfalls der Artikel geändert werden. Aktuell steht im Artikel noch folgendes: »Im Rahmen eines formalen Kalküls sind die Axiome dieses Kalküls immer ableitbar. Dabei handelt es sich im formalen oder syntaktischen Sinne zwar um einen Beweis, allerdings nur innerhalb des Kalküls, der das Axiom voraussetzt;« Diese "Einschränkung" ist keine Besonderheit, sie gilt für jeden solchen Beweis eines jeden Theorems. Außerdem steht die Behauptung immer noch im Artikel, dass es sich um einen Zirkelschluss handele. Es handelt sich, wie bereits dargestellt, nur der Form nach, um einen Zirkelschluss. Dass die Axiome bereits im Kalkül gelten, verdanken Sie ihrem Axiom-Status. Insofern konstituiert der "Zirkelschluss" nicht etwas, was nicht ohnehin schon vorhanden ist. --93.192.186.127 14:57, 13. Aug. 2012 (CEST)

Einen Literaturtipp hast Du ja, jetzt sieh ihn dir bitte auch an. Nicht alles, was Du nicht kennst, ist deswegen schon falsch oder abwegig. Im entsprechenden Abschnitt habe ich mich gerade darum bemüht, Axiome und Theoreme zu differenzieren, und in dieser Diskussion wohl auch - wenn hier nicht immer nur Einzelaussagen meine Einzelaussagen angegriffen würden, sondern über eine Artikeländerung diskutiert würde, viele das vielleicht auch auf. -- Leif Czerny 17:17, 13. Aug. 2012 (CEST)

Bunge unterscheidet klar zwischen Axiomen und Theoremen (siehe z.B. diverse Abschnitte in seinem Buch "Philosophy of Physics"). Axiome sind bei ihm die konzeptionelle Basis einer Theorie, und Theoreme sind daraus abgeleiteten Statements. An keiner Stelle bezeichnet er Axiome auch als Theoreme.--Belsazar (Diskussion) 16:19, 13. Aug. 2012 (CEST)

Ja. Axiome müssen nicht die Gestalt von Theoremen haben und sind dann auch nicht im formalen System ableitbar sein. Aber das kann der Fall sein.-- Leif Czerny 17:17, 13. Aug. 2012 (CEST)

Axiome sind ja aber gerade aus den Axiomen abgeleitet, per definitionem der Ableitbarkeit. Dass er sich mit dem Wort Theorem nicht explizit auf Axiome bezieht, heißt gar nichts. Er interessiert sich eben nicht für den trivialen Fall, wenn es ihm um Theoreme geht. Ich habe auf Bourbaki verweisen, dort gibt es eine explizite, sorgfältige Darlegung des Bezuges von Axiom- und Theorem-Begriff. Mag sein, dass manche Autoren nur das Theorem nennen, was einen längeren Beweis erfordert, das würde aber auch nichts heißen. Wenn manche Leute den nulldimensionalen Raum als euklidischen Raum oder die leere Menge als topologischen Raum ausschließen, dann mag das für deren Betrachtungen praktisch sein, ändert jedoch nichts am Verständnis des nulldimensionalen Raumes als euklidischen Raum. Man könnte ohne Vorbehalte den nulldimensionalen Raum in einem Artikel euklidischen Raum nennen, auch wenn er irgendwo aus Bequemlichkeit, um manche Formulierungen anders machen zu können, ausgeschlossen wird. --Chricho ¹ ² ³ 16:36, 13. Aug. 2012 (CEST)

Oder anders ausgedrückt: Es sagt überhaupt nichts über Axiome aus, wenn man sie irgendwo als Theoreme ausklammert (was immer noch nicht belegt ist). @Leif Czerny Ich hatte es so verstanden, dass du sagtest, Axiome müssten gar nicht immer Formeln in der Objektsprache sein, und deshalb könnten sie schon nicht immer Theoreme sein. Deshalb habe ich eben mit den obigen Punkten erwidert, dass das dann keine Axiome sind, sondern Schlussregeln, Schemata oder was auch immer. --Chricho ¹ ² ³ 16:41, 13. Aug. 2012 (CEST)

Hallo Chricho, wenn ich sage: Axiome müssen keine Formeln der Objektsprache sein, so heißt das nicht, dass ich diesen Fall ausschließe. Ich möchte auch garnicht behaupten, dass Axiome prinzipiell nicht ableitbar sind, nur dass das eben unter gewissen Bedingungen steht. ich möchte das alles nicht noch einmal wiederholen und verweise daher pauschal auf obiges. wenn Du mir weder Glauben schenken willst, und auch in kein Buch sehen magst, kann ich dir auch nichts belegen. Ich habe diese Diskussion eröffnet, weil mehrfach mit recht pauschaler Begründung aus einem Absatz ein einzelner Satz gelöscht wurde, und mich a) hier um eine Ausführliche Begründung meiner Position bemüht und b) versucht den Artikeltext an dieser Stelle zu differenzieren. Leider habe ich den Eindruck, dass nichts davon zur Kenntnis genommen wird, dafür figurativ ständig ein Strohmann abgefackelt. man verzeihe mir, dass mich das nicht begeistert. Schau dir sonst doch einfach mal Axiomenschema an, da ist kein Wort von mir, vielleicht ist das ja glaubwürdiger, oder [[1]]. -- Leif Czerny 17:17, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das habe ich schon ganz recht verstanden, dass du das nicht ausschließen möchtest. Wohl aber möchte ich den anderen Fall ausschließen, dass ein Axiom kein objektsprachlicher Satz ist, um damit dein Argument zu entkräften, Axiome könnten nicht immer Theoreme seien, weil sie gar nicht immer Elemente der Objektsprache wären. Die Darstellung bei Plato und Wikipedia deckt sich übrigens mit meiner Darstellung und dem Verweis auf Bourbaki: Ein Axiomenschema ist kein Axiom, Axiome sind nur die Formeln der Objektsprache, die sich durch Anwendung des Schemas ergeben können („Any formula obtained by substituting formulas for the Greek letters is an axiom“). --Chricho ¹ ² ³ 17:26, 13. Aug. 2012 (CEST)

plato= Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eintrag: Schema von John Corcoran. Bitte beachte, dass dort (Im Shapiro-Zitat) explizit eine Regel angegeben wird, wie man vom Axiom als Schema zum Axiom als Theorem des Kalküls kommt. Bitte gibt mir daraufhin zu, dass so etwas tatsächlich gemacht wird. Und wenn wir uns Zitate um die ohren hauen: "In early twentieth-century formalizations of logic, it was common to use a substitution rule and a finite set of axioms instead of schemata. Church (1956: 158) credits von Neumann with “the device of using axiom schemata,” which rendered the (notoriously difficult to state) substitution rule unnecessary." -- Leif Czerny 18:21, 13. Aug. 2012 (CEST)

Von einem „Axiom als Schema“ steht da nichts (sonst sag bitte, wo das da gemacht wird), da steht etwas von Axiomen und Axiomenschemata, als wohlunterschiedene Begriffe. Es ist, wie ich schon beigepflichtet habe, in der Tat möglich, statt der typischerweise auftretenden Axiomenschemata Ersetzungsschlussregeln einzuführen. Das sind aber auch keine Axiome, sondern eben Schlussregeln. --Chricho ¹ ² ³ 18:37, 13. Aug. 2012 (CEST)

Kolmogorow-Axiome in der Physik

Erstmal danke für den neuen Physikabschnitt! Was mir nicht klar ist: Wozu die besondere Betonung der Kolmogorow-Axiome? Die definieren eben das mathematische Konzept eines Wahrscheinlichkeitsraumes. Aber wozu müssen sie jetzt erwähnt werden? Definiert man jetzt beispielsweise in der Quantenmechanik Wahrscheinlichkeiten bei einem Messprozess, so ergibt sich eine Erfüllung dieser ganz automatisch aus den verwendeten Strukturen. Die Kolmogorow-Axiome bilden einfach nur eine Definition einer bestimmten Klasse mathematischer Strukturen, die auch in physikalischen Theorien auftreten. Die in diesen Strukturen auftretenden Wahrscheinlichkeiten (einfach nur als Zahlen aufgefasst) werden dann benutzt, um die statistische Überprüfung zu beschreiben. Genauso könnte man auch sagen, dass zum Beispiel Körper dort besonders wichtig sind, weil die rationalen, reellen und komplexen Zahlen Körper bilden, und diese eben zur mathematischen Erfassung von Messwerten benutzt werden. --Chricho ¹ ² ³ 00:50, 16. Aug. 2012 (CEST)

stimmt im Grunde alles, ist aber auch etwas Ansichtssache, kann man meinetwegen gern verschieben. ca$e 00:57, 16. Aug. 2012 (CEST)

Man könnte wohl sagen, dass das eben mathematische Eigenschaften sind, die in bestimmten Situationen physikalischer Beschreibung nahezu zwangsläufig auftreten. Bloß wundert man sich, wieso die da jetzt so hervorgehoben stehen, und es erscheint sprachlich irgendwie so als Parallele „phys. Axiomatisierung“ – „Axiom. Wahrscheinlichkeitstheorie“, obwohl die mir inhaltlich nicht recht erkennbar ist.

Es ist eben so, dass Studienanfänger, die Seminare, Vorlesungen etc zu Wissenschaftstheorie, Philosophie der Physik etc belegen, wenn sie etwas über Axiomatisierungen im Kontext von Physik hören, dann mindestens unter den, sagen wir, Top 5, auch Kolmogorow hören. Schaust du herum in den Textbooks zur Philosophie der Physik, zur QSM etc, werden in den besseren Darstellungen den Studis recht bald die K-Axiome erklärt (oder vorausgesetzt) (und siehe, wie gesagt, auch Hochkirchen 1999). Die K-Axiome selbst gehören natürlich, wie du zurecht ausführst, nicht eigentlich in die Physik, daher, wie gesagt, meinetwegen ruhig verschiebbar. Zu diversen wichtigeren Axiomatisierungen in der Mathematik ist umseitiger Artikelversuch ja sowieso noch extrem lückenhaft. ca$e 01:09, 16. Aug. 2012 (CEST)

Zusammenführen mit Axiomatisierung?

schiene mir sinnvoll ... ca$e 09:12, 16. Aug. 2012 (CEST)

auch philosophie (und psychologie)

In der Philosophie werden einige traditionell konstituierte Inhalte als klassische oder verhüllte Begriffe axiomatisch verwendet, nämlich wenn sie als Voraussetzungen notwendiger Aussagen dienen ohne eigene Voraussetzungen erkennen zu lassen. Philosophie als systematisch/deskriptive Spekulation kann im Gegensatz zu dogmatisch arbeitenden Disziplinen auf Axiome nicht verzichten. 178.19.228.0 19:21, 10. Nov. 2014 (CET)

In der Kommunikationswissenschaft, die ja mehr psychologisch als linguistisch basiert ist, finden sich z.B. die Metakommunikativen Axiome von Watzlawick et al. --Hodsha (Diskussion) 13:55, 2. Sep. 2016 (CEST)

Vollständigkeit selten gefordert

Den Satz „Axiome beruhen auch nur in pointierter Formulierung auf Willkür. In einem formalen System werden an sie gewöhnlich die Forderungen nach Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des axiomatischen Systems gestellt“ mochte ich so nicht stehen lassen. Mathematik ist doch das formale System schlechthin. Gerade in der Mathematik wird aber von Axiomen nur ganz selten die Vollständigkeit gefordert: Gruppe, Körper, Vektorraum, Metrik und Ideal sind nur ein paar Beispiele aus tausenden von Strukturen, die in der Mathematik heutzutage durch Axiome beschrieben, aber keineswegs eindeutig beschrieben werden. Der Wert der axiomatischen Methode liegt ja gerade darin, dass ein Beweis oft eine Fülle von Objekten betrifft. Auch bei Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit finde ich das Wort ‚Forderung‘ eigentlich zu hart. Als Entgegnung auf ‚Willkür‘ würde etwas mit ‚wünschenswert‘ reichen. Unabhängigkeit der Axiome ist nicht all zu wichtig. Sie bedeutet zwar größere Klarheit für die betreffende Theorie. Der Bestand an bewiesenen Theoremen ändert sich aber nicht, wenn eines der verwendeten Axiome sich nachträglich als ableitbar aus den andern Axiomen erweist. Widerspruchsfreiheit ist zwar sehr erwünscht, aber oft unbewiesen oder gar unbeweisbar. Sollte sich herausstellen, dass sie nicht besteht, so wird die betreffende Theorie leer, nicht falsch.

Gegen den Vorwurf der Willkür würde ich anführen, dass der Mathematiker zwar die Freiheit hat, beliebige (hoffentlich) widerspruchsfreie Axiomensysteme auf ihre Konsequenzen hin zu untersuchen, dass seine Ergebnisse aber wenig Interesse wecken werden, wenn sie nicht zum besseren Verständnis vorliegender Probleme beitragen, oder zuvor unbemerkte Gemeinsamkeiten in verschiedenen Sachgebieten aufdecken.-- Binse (Diskussion) 15:38, 11. Nov. 2014 (CET)

Beispiele in der Physik

Der Abschnitt "Physik" steht unter dem übergeordneten Abschnitt Beispiele, enthält jedoch gar keine Beispiele für (physikalische) Axiome (=Artikellemma!!), sondern nur für Axiomatiken - also wer wann in der Physik bestimmte Axiomatisierungs-Versuche vorgenommen hat. Mich würden jedoch auch mal (physikalische) Beispiele für die Axiome selbst sehr interessieren! Hab nur mal gelesen, dass die Axiome in der Physik nicht etwa die Gravitation oder die Hauptsätze der Thermodynamik seien, sondern viel grundlegender wie z.B. die axiomatische Annahme "Materie existiert". Gerade dieses Axiom wird jedoch z.B. von Philosophen (wozu ja auch die Philosophie der Physik gehört, welche da ja also auch mitreden kann!) durchaus bestritten, z.B. der radikale Konstruktivismus oder subjektive Idealismus oder besonders deutlich der ontologische Solipsismus... "Materie existiert" sei nur EIN Beispiel eines physikalischen Axioms (habe ich gelesen). Stimmt das und was gibt es noch für Beispiele? (ein weiteres, von dem ich wie gesagt nur gelesen habe sei: "Wahrnehmung und Messung entsprechen der Realität")--Lorenzo (Diskussion) 14:36, 2. Apr. 2015 (CEST)

Quantenphysik

Da heißt es

Für die Axiomatische Quantenfeldtheorie war v. a. die Formulierung von Arthur Wightman aus den 1950er Jahren wichtig.[29]

Da habe ich noch nicht mal den Namen gehört. Was ich gehört habe ist die Axiomatik von John von Neumann, über die in Mathematische Struktur der Quantenmechanik berichtet wird. Wäre schön, wenn eine Wissende das angemessen darstellt.—Hfst (Diskussion) 09:20, 13. Feb. 2022 (CET)