Diskussion:σ-Algebra

Mengenbeziehung

"Als σ-Algebra über eine Menge Ω bezeichnet man in der Mathematik eine Menge Σ von Teilmengen von Ω, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

Σ enthält Ω. "

Enthält denn nun Σ die Menge Ω, oder enthält Ω die Mänge Σ?

Nach der Definition darf doch Σ allerhöchstens genau Ω enthalten, aber nicht noch auch nur ein einziges Element mehr. (nicht signierter Beitrag von Abdull (Diskussion | Beiträge) 23:16, 19. Okt. 2004 (CEST))

Σ enthält Ω. Wer sagt denn, dass es nicht mehr enthalten darf? Beispielsweise ist in der Statistik Σ ein Ereignissystem bei abzählbar unendlichen Ereignissen, etwa wenn eine Zufallsvariable X: Zahl der Zugriffe pro Minute auf einen Server ist. Mögliche Werte von X sind 0, 1, 2, ... Man gibt hier keine Obergrenze an, weil es theoretisch immer noch eine Zahl höher mehr geben kann. Σ muss das Ereignis enthalten, dass 2 ≤ X ≤ 20, X ≥ 100 usw. ist. Σ enthält hier also alle benötigten Ereignisse. --Philipendula 23:38, 19. Okt 2004 (CEST)

Bitte beachtet den Unterschied zwischen der Teilmengenrelation und der Elementrelation. Matthias.goergens (2007-07-19T12:45:43)

hmm, nach deiner aenderung kann ich es mir nicht verkneifen zu sagen: bitte beachte, wie das element-zeichen zu lesen ist. ;-) -- seth 00:25, 20. Jul. 2007 (CEST)

Ist σ ein Hüllenoperator?

In 'Mengentheoretische Topologie' (B.v.Querenburg, Springer 2001) wird von einem Hüllenoperator zusätzlich gefordert, dass er die leere Menge auf sich selbst abbildet. Es ist aber $\sigma (\emptyset )=\{\emptyset ,\Omega \}$, da das die kleinste mögliche σ-Algebra über Ω ist. (nicht signierter Beitrag von Sielenk (Diskussion | Beiträge) 22:46, 12. Mär. 2005 (CET))

Diese eigenschaft erfüllt σ in der tat nicht. Allerdings halte ich das auch nicht für eine standardforderung. Danach wäre z.b. die Lineare Hülle auch kein Hüllenoperator.--Benson.by 23:19, 14. Mär 2005 (CET)

Wohl wahr... Ich glaube, die Hüllenoperator-Seite ist noch nicht endgültig. --Sielenk 22:18, 15. Mär 2005 (CET)

Die kleinste mögliche sigma-Algebra ist meiner Meinung nach $\{\emptyset \}$ - in dem Falle, dass $\Omega =\emptyset$; vergleiche Absatz auf dieser Seite: 'Omega kann auch leer sein'. --Mouhandwoulp 21:03, 16. Dez. 2011 (CET)

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Monotonieeigenschaft nicht erfüllt ist. Zum Beispiel sei Omega = {1, 2, 3} dann gilt $\sigma (\{1,2\})=\{\emptyset ,\Omega ,\{1,2\},\{3\}\}$. Es ist {1} eine Teilmenge von {1,2} aber $\sigma (\{1\})=\{\emptyset ,\Omega ,\{1\},\{2,3\}\}$ keine Teilmenge von $\sigma (\{1,2\})$ ?? 93.210.219.197 22:44, 4. Dez. 2010 (CET)

$\sigma$ operiert auf ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\Omega ))$, nicht auf ${\mathcal {P}}(\Omega )$. --91.32.127.214 23:15, 4. Dez. 2010 (CET)

∑ ⊆ P(Ω) nicht anders herum.

Fehler:

Es scheint sich ein Fehler eingeschlichen zu haben, wie auch in dem ersten Kommentar zu diesem Artikel bereits angemerkt wurde. Allerdings ist die Korrektur in dem Kommentar auch nicht richtig. ∑ ist eine Teilmenge von P(Ω), der Potenzmenge von Ω, da Ω die Ergebnismenge und ∑ die Ereignismenge ist, welche Ω und Teilmengen von Ω enthält bzw. enthalten kann. --Juangamnik 10:48, 11. Apr 2005 (CEST)

Richtig:

∑ ⊆ P(Ω) --Juangamnik 10:48, 11. Apr 2005 (CEST)

aussprache

Aussprache = "Sigma-Algebra"? Danke, --Abdull 17:50, 2. Mai 2005 (CEST)

Ja. --Philipendula 18:24, 2. Mai 2005 (CEST)

Satz über monotone Klassen

Man muss noch den Satz über monotone Klassen einarbeiten Richardigel 08:07, 12. Mai 2006 (CEST)

Verständlichkeit

kann jemand ein einfaches Zahlenbeispiel für eine Sigma-Algebra geben? --qwqch 13:52, 11. Sep. 2007 (CEST)

Mit Hilfe der endlichen Dreiecktopologie: Grundmenge ist $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ und ${\mathcal {A}}$ besteht aus den Teilmengen $\{4,2,3,7\},\{5,1,3,7\},\{6,1,2,7\},\{1,7\},\{2,7\},\{3,7\},\{7\}$ plus die Vereinigungen, Durchschnitte und Komplemente dieser Mengen. Ich glaube, dass dann $|{\mathcal {P}}(\Omega )|=512$ und $|{\mathcal {A}}|=256$. Das müsste man aber schon überprüfen. Wer möchte es ausrechen? --Alexandar.R. 14:59, 11. Sep. 2007 (CEST)

P.S.: Es geht einfacher: $\Omega =\{1,2,3,4\}$u. ${\mathcal {A}}=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$. --Alexandar.R. 18:19, 11. Sep. 2007 (CEST)

und was heißt das in Worten? Kann jemand ein Beispiel mit Äpfeln (oder Birnen) geben? --source 11:55, 21. Jan. 2009 (CET)

Ω = { Apfel, Birne } und A = { leere Menge, { Apfel, Birne } }. --80.129.90.220 12:34, 21. Jan. 2009 (CET)

Danke, das hilft mir aber noch nicht wirklich weiter. Ich dachte an etwas wie ... ist eine Kiste Äpfel. ... ist eine Stichprobe ... . Poasst sowas hier? Ist doch ein Stochastischer Begriff oder? Und was in dem Beispiel ist die Sigmaalgebra, was die Potenzmenge und was Omega? --source 13:18, 21. Jan. 2009 (CET)

Beispiel Würfel: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } und A = P(Ω) = Potenzmenge von Ω = Menge aller Teilmengen von Ω. Das A ist die Sigmaalgebra und enthält alle Ereignisse, zum Beispiel ist { 1, 3, 5 } das Ereignis, eine ungerade Zahl zu würfeln. Wenn man nur gesagt bekommt, ob das Würfelergebnis kleiner ist als 4 oder nicht, dann ist die Sigmaalgebra A = { leere Menge, { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 }, Ω }. Die leere Menge ist das Ereignis, das nie eintritt, und Ω ist das Ereignis, das immer eintritt. --80.129.90.220 14:17, 21. Jan. 2009 (CET)

Das ist doch gut verständlich. Das sollte in den Artikel, finde ich. --source 11:13, 22. Jan. 2009 (CET)

Das Würfelbeispiel ist besser, aber noch immer versteh ich nicht ganz wofür man das jetzt braucht. Es sollte zu den Hoch-Mathematischen Artikeln auch immer ein Praxistaugliches beispiel dabei sein. Dann weiß man wofür es da ist und wie man e snutzen kann.--Kontrollbedarf (Diskussion) 22:04, 25. Sep. 2013 (CEST)

Hilft dir der Artikel Ereignisraum weiter? --Erzbischof 11:13, 26. Sep. 2013 (CEST)

Fehler in den Beispielen?

"Für jede beliebige Menge $\Omega$ ist $\{\emptyset ,\Omega \}$ die kleinste und die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ die größte mögliche σ-Algebra." Aber die Potenzmenge ist doch gar nicht für ein beliebiges $\Omega$ eine σ-Algebra. Siehe dazu auch den Abschnitt über die Bedeutung der σ-Algebra. (Oder irre ich mich da?) 88.65.55.130 16:57, 23. Mai 2008 (CEST)

Da irrst Du dich. Das Banach-Tarski-Paradoxon zeigt nicht, dass es Mengen gibt, deren Potenzmengen keine $\sigma$-Algebra sind. Es zeigt nur, dass man kein im physikalischen Sinne vernünftiges (also translationsinvariantes) Maß definieren kann, wenn man die $\sigma$-Algebra zu fein wählt. Das ist insbesondere für die Potenzmenge der reellen Zahlen der Fall. --Drizzd 20:19, 25. Mai 2008 (CEST)

${\mathcal {A}}_{4}$ ist keine σ-Algebra?

Angenommen $\Omega$ ist überabzählbar. Dann ist $\Omega \not \in {\mathcal {A}}_{4}$, d.h. ${\mathcal {A}}_{4}$ erfüllt Bedingung 1 einer σ-Algebra nicht. Muss man zusätzlich fordern, dass $\Omega$ abzählbar ist? (nicht signierter Beitrag von 2003:D3:A744:6157:71F7:AEDA:7D0:61A4 (Diskussion) 20:30, 8. Nov. 2020 (CET))

Doch, ${\mathcal {A}}_{4}$ ist eine σ-Algebra. ${\mathcal {A}}_{4}$ enthält alle abzählbaren Mengen und deren Komplemente. $\Omega$ ist das Komplement der leeren Menge, die abzählbar ist. --Digamma (Diskussion) 21:34, 8. Nov. 2020 (CET)

Danke für die schnelle Antwort; das macht Sinn. Man müsste aber noch ${\big \{}A\subset \Omega ~\mid ~\ldots {\big \}}$ durch ${\big \{}A\subseteq \Omega ~\mid ~\ldots {\big \}}$ ersetzen, um $\Omega \in {\mathcal {A}}_{4}$ zu erlauben, oder? (nicht signierter Beitrag von 2003:D3:A744:6159:692F:B88F:EF81:7CF (Diskussion) 18:41, 13. Nov. 2020 (CET))

Danke für den Hinweis. Ich habe vor einiger Zeit alle Vorkommen von $\subset$ durch $\subset$ ersetzt, diesen einen Fall aber wohl übersehen. Ich habe es jetzt korrigiert. Manche Mathematiker verwenden $\subset$ im Sinne von $\subseteq$, das wahr wohl beim ursprünglichen Autor auch der Fall. Siehe auch die Diskussion weiter unten über \subset vs. \subseteq. --Digamma (Diskussion) 20:16, 13. Nov. 2020 (CET)

Einfachere Definition

Es wuerde meines Erachtens genuegen, Punkt 3 der Definition fuer zwei Mengen zu fordern:

$A,A'\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cup A'\in {\mathcal {A}}$

dies wuerde die entsprechende Aussage fuer beliebig viele Mengen implizieren.

Haette jemand Einwaende??

--Sinney 08:49, 26. Jun. 2009 (CEST)

Okay, hatte uebersehen, dass es abzaehlbar unendlich viele Mengen sind.

--Sinney 09:14, 26. Jun. 2009 (CEST)

Da liegst du leider falsch. Deine Definition würde nur für endliche Vereinigungen gelten und nicht für abzählbar unendliche. Dass mit zwei Mengen auch ihre Vereinigung in der Algebra liegt ist nicht äquivalent zur unendlichen Vereinigung. Deine Definition wäre eine Algebra und keine Sigma-Algebra! (siehe Algebra (Mengensystem) --91.23.197.96 19:21, 22. Aug. 2009 (CEST)

In der Definiton steht ein Vereinigungszeichen mit einem endlichen Index.

Das sollte demenstprechend geändert werden. Vorschlag: Nur den Text lassen.

-- 80.108.181.191 17:29, 10. Jan. 2012 (CET)

tex

herverschoben von meiner talk page. -- seth 22:15, 11. Jan. 2011 (CET)

Das kann ja wohl nicht sein. Mit einigem Aufwand habe ich das in diesem Fall nicht ganz einfache TeX lesbar gestaltet und dabei auch einige Male die überall sonst im Artikel, ja auch im Titel und in Zwischenüberschriften, verwendete Schreibweise "σ-Algebra" hergestellt. Das einfach zu revertieren ist missbräuchliche Überinterpretation der in Hilfe:TeX angegebenen Regel, math-tags zu belassen. Von mir aus kann man auch alle σ-Algebra in \sigma-Algebra umwandeln, das war nicht die wesentliche Absicht bei meinem Edit. Es dürfte freilich höchst umstritten sein, ob das dann noch eine Verbesserung ist. --91.32.83.23 22:04, 11. Jan. 2011 (CET)

Zur Ergänzung die Regeln:

• Hilfe:TeX: "Jedenfalls sollten existierende TeX-Formeln nicht in HTML umgewandelt werden."
• Portal:Mathematik/Projekt: "Für Formeln sollte generell Hilfe:TeX benutzt werden."
• Wikipedia:Zeichenformatierung#Mathematische Zeichen: "Für kurze mathematische Formeln in fortlaufendem Text stehen die folgenden Sonderzeichen zur Verfügung. [...] Komplizierte mathematische Formeln sollten in TeX geschrieben werden."

Meiner Ansicht nach handelt es sich nicht um eine Formel, schon gar nicht um eine komplizierte, sondern um ein einzelnes Zeichen, das zudem an ein Wort gekoppelt ist, das sowieso nicht in TeX eingegeben wird. Im Titel und in den Zwischenüberschriften gibt es zudem technische Gründe, die TeX sogar ausschließen. --91.32.83.23 22:26, 11. Jan. 2011 (CET)

(bk) gudn tach!

dass deine aenderung aufwendig war, moechte ich nicht bezweifeln. dennoch sehe ich nur wenig vorteil darin, allerdings nachteilig den verlust von semantischer auszeichnung bei den sigma-symbolen. zudem verwendetest du sehr haeufig \textstyle und gestaltetest die formeln teilweise wesentlich kleiner, sodass letztlich alles dicht gedraengt war. besser waere es, laengere formeln auch mal abzusetzen. ich kuemmer mich drum. -- seth 22:30, 11. Jan. 2011 (CET)

Der \textstyle ist, wie der Name schon sagt, von TeX für die in den Text eingebauten Formeln gedacht und führt zu einer dafür optimierten Darstellung. Ich habe es sorgfältig nur dort eingesetzt, wo es auch nötig ist. Ich habe keine Formel, die in den Text eingebaut war, abgesetzt und keine abgesetzte Formel in den Text eingebaut. Dies halte ich im vorliegenden Fall für eine reine Geschmacksfrage, die ich daher so wie vom Originalautor belassen habe. --91.32.83.23 22:36, 11. Jan. 2011 (CET)

Zum Thema Semantik: Das stimmt bei einzelnen Zeichen einfach nicht. Es bezieht sich ausschließlich auf Formeln, in denen mehrere Zeichen in Beziehung zueinander stehen. Da hier das einzelne Zeichen an ein Wort, das nicht in TeX gesetzt ist, gekoppelt ist, ist sogar das Gegenteil richtig: Indizierungen und Suchanfragen, allgemein alle automatisierten Textverarbeitungen werden erschwert. --91.32.83.23 22:39, 11. Jan. 2011 (CET)

gudn tach!

ich habe den formelsatz noch mal etwas ueberarbeitet. laengere formeln sollte kein \textstyle verpasst werden, sondern sie sollten stattdessen abgesetzt werden.

zum sigma: die software ist so clever (was dir als ip-adresse eigentlich aufgefallen sein sollte, weil man als ip-adresse diesbzgl. keine einstellungen vornehmen kann), nur solche formeln als grafik zu rendern, die sich nicht per html darstellen lassen. $\sigma$ sieht also genauso aus wie σ. im html-source-code ist allerdings das eine sigma explizit als texhtml gekennzeichnet und im wiki-source-code ist das sigma eben als mathematisches symbol gekennzeichnet. -- seth 22:55, 11. Jan. 2011 (CET)

Auf meine Einwände ist das aber keine Antwort. Die mit \textstyle formatierten Formeln werden nicht kleiner, sondern nach oben und unten weniger ausladend formatiert. Übrigens, falls das zur Verwirrung beigetragen haben sollte: Mit dem \sigma in den Formeln, also dem σ-Operator, hat das σ in σ-Algebra nichts zu tun (außer dass die Bezeichnung des σ-Operators wohl in Anlehnung an das σ in σ-Algebra erfolgt ist). Das σ in σ-Algebra steht symbolisch für "abzählbar unendlich", und man kann mit gutem Grund bezweifeln, dass es sich überhaupt um ein mathematisches Symbol handelt. --91.32.83.23 22:59, 11. Jan. 2011 (CET)

mit "kleiner" meinte ich ebendies. ich hatte es ja anschliessend noch praezisiert ("dicht gedraengt"). genauer haette ich vielleicht sagen sollen, dass die vertikale ausdehnung der formeln verkleinert wird, aber ich setzte voraus, dass dies verstanden wird. ;-)

zum sigma: ach soo, hab tatsaechlich erst jetzt verstanden, was du meinst. ja, ich muss zugeben, dass man das so sehen kann. insofern soll es mir egal sein, welches sigma in der bezeichnung verwendet wird. wenn du's wieder anders haben moechtest, sag bescheid. dann werd ich es wieder aendern. (heute alerdings nicht mehr, gude nachd.) -- seth 23:16, 11. Jan. 2011 (CET)

Ich würde das σ gegenüber \sigma aus den genannten Gründen bevorzugen, aber es war und ist mir nicht so wichtig, dass ich dafür eine eigene Änderung machen oder fordern würde. (Beispielsweise in Heinz Bauer: "Maß- und Integrationstheorie" wird zwischem normal gedrucktem σ für σ-Algebra und σ-additiv und fett gedrucktem σ für den Operator unterschieden.)

Zum Thema "\left" und "\right" zitiere ich Donald Knuth in "The TeXbook", S. 148f.: "At this point you are probably wondering why you should bother learning about \bigl and \bigr and their relatives, when \left and \right are there to calculate sizes for you automatically. Well, it’s true that \left and \right are quite handy, but there are at least three situations in which you will want to use your own wisdom when selecting the proper delimiter size: [...] (2) Sometimes \left and \right choose a larger delimiter than you want. This happens most frequently when they enclose a large operator in a display [...] The rules of \left and \right cause them to enclose the \sum together with its limits, but in special cases like this it looks better to let the limits hang out a bit [...]"

Also auch in diesem Punkt finde ich es fragwürdig, einen eigenen Geschmack zu pflegen und meine von einem Typographie-Experten empfohlene Änderung rückgängig zu machen. --91.32.83.23 23:25, 11. Jan. 2011 (CET)

gudn tach!

betonung liegt hier auf "and their relatives". die von dir gewaehlten klammern waren denke ich zu klein. -- seth 21:27, 14. Jan. 2011 (CET)

Kurz: Auch dieses letzte Detail, von dem ich ohnehin nur dadurch erfahren habe, dass es ein zweites Mal revertiert wurde, gab keinen Anlass für einen Revert. Ich stelle es mit exakt der von Knuth (in seinem Beispiel für ein Summenzeichen auf S. 149) angegebenen Klammergröße wieder her und weise noch darauf hin, dass auch \left und \right nicht auf den inhaltlich orientierten Originalautor zurückgehen. In diesem Zusammenhang setze ich auch in "σ-Algebra" einheitlich σ statt \sigma ein aus den angegebenen Gründen, die jeder für sich besser sind als das, was mir hier entgegnet wurde (ein pauschales "Semantik", was, wie sich bei genauerer Betrachtung herausstellte, wenn überhaupt irgendetwas sogar das Gegenteil begründet). Die bessere Lesbarkeit des Quelltexts hatte ich dabei noch gar nicht erwähnt – keine Kleinigkeit bei der Häufigkeit, mit der die Bezeichnung in diesem Artikel naturgemäß auftritt. --91.32.54.143 11:27, 15. Jan. 2011 (CET)

Definition Produkt-σ-Algebra

Vielleicht kann schaut jemand, der sich hier besser auskennt als ich. Ich vermute in der Definition der Produkt-Sigma-Algebra muß es in der ersten Formel $\bigotimes _{i\in I}A_{i}$ statt $\bigotimes \Omega _{i}$ heißen, nicht? (nicht signierter Beitrag von 213.191.36.42 (Diskussion) 14:48, 16. Apr. 2011 (CEST))

Das sehe ich genauso. Ich korrigiere es. --91.32.63.84 15:09, 16. Apr. 2011 (CEST)

Omega kann auch leer sein

Der Definition der Sigma-Algebra nach kann die Grundmenge Omega durchaus leer sein. (wie z.B. bei [Bauer])

Im Falle, dass Omega leer ist,

• stimmt die letzte Erläuterung nicht: IN muss nach IN_0 erweitert werden
• Ist das erste Beispiel zumindest irreführend: Omega und die leere Menge wären das selbe Element, d.h. { {} } wäre die kleinste sigma-Algebra
• wäre ein entsprechender Hinweis in den Erläuterungen sinnvoll.

In der Literatur wird teilweise auch eine nicht-leere Grundmenge Omega vorausgesetzt (vgl.: Rudolf Mathar, Dietmar Pfeifer: "Stochastik für Informatiker", Vieweg+Teubner (1990)). Meiner Meinung nach sollte aber hier die allgemeinere Definition erhalten bleiben.

Falls keine wesentlichen inhaltlichen Gegenargumente aufgeführt werden, würde ich die vorgeschlagenen Änderungen in einigen Tagen durchführen.

--Mouhandwoulp 20:51, 16. Dez. 2011 (CET)

Wesentliche inhaltliche Gegenargumente: ℕ bezeichnet nicht zwingend nur die positiven ganzen Zahlen. Es gibt beide Konventionen, siehe Natürliche Zahl. Welche hier gilt, könnte man aber tatsächlich klarer zum Ausdruck bringen. Das erste Beispiel ist nicht irreführend, geschweige denn Schlimmeres: Selbstverständlich gilt {∅, ∅} = {∅}, das ist allgemein bekannt, elementar und klar. Entsprechendes muss auch etwa für das zweite Beispiel beachtet werden, so etwas kommt ständig vor. Wenn durchdachte allgemeine Formulierungen bestimmte Spezialfälle völlig korrekt mit beschreiben, dann halte ich es für falsch, es trotzdem so erscheinen zu lassen, als müsse man diese Fälle gesondert behandeln. Auch einen Hinweis in den Erläuterungen halte ich nicht für erforderlich. --84.130.183.96 23:07, 16. Dez. 2011 (CET)

Du hast vollständig Recht: bei ℕ war ich fälschlicherweise davon ausgegangen, dass die Null nicht drin ist. Mathematisch hast Du auch mit dem Ausdruck {∅, ∅} = {∅} recht - allerdings denke ich, dass hier eine Anmerkung die Verständlichkeit erhöht. Diese Tatsache scheint nicht allen Lesern des Artikels klar. So weit ich das beurteilen kann, ist oben im Absatz 'Ist σ ein Hüllenoperator?' genau dieses Tatsache nicht klar. Meiner Meinung nach sollte man daher bei derartigen 'Trivialitäten' einen halben Satz spendieren, wenn dies die Verständlichkeit erhöht und Missverständnisse vermeidet. --Mouhandwoulp 02:00, 17. Dez. 2011 (CET)

Aber wir schreiben hier kein Lehrbuch, erst recht geben wir keine individuelle Nachhilfe, dafür sind Lexikonartikel nicht da, und dies ist ein völlig nebensächlicher Aspekt des Artikelthemas. Einen anderen Grund, weshalb mehr Text dazu eine Verschlechterung ist, habe ich bereits genannt. "Perfektion ist nicht dann erreicht, wenn es nichts mehr hinzuzufügen gibt, sondern wenn man nichts mehr weglassen kann" schrieb Antoine de Saint-Exupéry. --84.130.175.186 00:22, 18. Dez. 2011 (CET)

Ein schönes Zitat. Für etwas handfestes wie ein Artikel geht mir das allerdings etwas zu weit ins Philosophische. Offensichtlich hängt Dein Herzblut an einem (nicht vorhandenen) Satz - also sei es so. Wer mehr Informationen benötigt kann dann ja auf die Diskussionsseite wechseln ;-) --Mouhandwoulp 01:20, 18. Dez. 2011 (CET)

Das Problem mit der 0, meiner Ansicht nach das einzige, habe ich behoben. --84.130.183.96 23:17, 16. Dez. 2011 (CET)

Ja, das ist besser so. --Mouhandwoulp 02:00, 17. Dez. 2011 (CET)

Noch ein Nachtrag dazu: Wenn Omega leer ist, gibt es ein Problem mit dem Wahrscheinlichkeitsmass (siehe Wahrscheinlichkeitsraum und dortige Diskussion). --Mouhandwoulp 09:16, 17. Dez. 2011 (CET)

Gibt es nicht, siehe dort. --84.130.175.186 00:22, 18. Dez. 2011 (CET)

In der Definiton steht ein Vereinigungszeichen mit einem endlichen Index, im Text daneben steht aber abzählbar. Was is richtig?

-- 80.108.181.191 17:29, 10. Jan. 2012 (CET)

Was meinst Du mit "Vereinigungszeichen mit einem endlichen Index"? Jedenfalls ist die nicht endliche, aber abzählbar unendliche Menge ℕ die Indexmenge an dem einzigen Vereinigungszeichen im Abschnitt Definition. --84.130.250.74 17:46, 10. Jan. 2012 (CET)

Aso wenn das so gemeint war dann ist es gut. Ich habe gedacht damit würde man die Vereinigung von endlich vielen Mengen bis zu einem Index n aus den natürlichen Zahlen meinen.

-- 80.108.181.191 20:16, 10. Jan. 2012 (CET)

Produkt-σ-Algebra

Die Darstellung

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma (\pi _{i},i\in I)=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\sigma (\pi _{i}){\biggr )}=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\pi _{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i}){\biggr )}$

sieht mir sehr kompliziert aus. Wäre nicht

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma \left(\{\pi _{i}^{-1}(A_{i})\mid A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i},\ i\in I\}\right)$

auch richtig und einfacher? --Digamma (Diskussion) 20:01, 5. Dez. 2014 (CET)

Bei der zweiten Darstellung finde ich die $A_{i}$ etwas verwirrend. Das sieht so aus, als ob es eine Familie $(A_{i})_{i\in I}$ gäbe, also so als würde man aus jedem ${\mathcal {A}}_{i}$ nur ein $A_{i}$ nehmen. -- HilberTraum (d, m) 08:11, 6. Dez. 2014 (CET)

Stimmt. Hmm ... --Digamma (Diskussion) 09:48, 6. Dez. 2014 (CET)

subseteq vs. subset

gudn tach!
zu [1]: 1. bereits jetzt wird an einer stelle \subseteq verwendet, insofern ist es schon jetzt nicht ganz konsistent; 2. \subset wird zwar in der literatur sehr haeufig als \subseteq verwendet. meiner ansicht nach waere es aber verstaendlicher, wenn wir hier eindeutige(re) zeichen verwenden wuerden. -- seth 20:40, 6. Nov. 2019 (CET)

Sehe ich auch so. --Digamma (Diskussion) 20:48, 6. Nov. 2019 (CET)

Oh, wegen der Einheitlichkeit hätte ich bei meinem Revert tatsächlich genauer schauen sollen. Aber irgendwie einheitlich sollte es innerhalb eines Artikels wenigstens schon sein. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:13, 6. Nov. 2019 (CET)

Ich habe jetzt alle \subset durch \subseteq ersetzt. Gruß, --Digamma (Diskussion) 20:04, 7. Nov. 2019 (CET)

ok, danke! -- seth 22:57, 8. Nov. 2019 (CET)

Unter-σ-Algebren

"Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra und gilt für ein Mengensystem ${\mathcal {M}}$, dass sowohl ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ist als auch ${\mathcal {M}}$ eine σ-Algebra ist, so heißt ${\mathcal {M}}$ eine Unter-σ-Algebra, Teil-σ-Algebra oder Sub-σ-Algebra von ${\mathcal {A}}$."

Wird hier implizit angenommen, dass ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {M}}$ σ-Algebren über der gleichen Menge $\Omega$ sind?

--80.255.97.37 16:49, 24. Jul. 2022 (CEST)