Diskussion:Stellenwertsystem/Archiv/1

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[[Diskussion:Stellenwertsystem/Archiv/1#Thema 1]]

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Namensgebung

Diskussion zur Namensgebung dieses Artikels verschoben nach Diskussion:Stellenwertsystem/p-adische Zahlen. --SirJective 12:58, 21. Nov 2003 (CET)

• Verzeiht, wenn ich hier eine alte Diskussion aufwärme, aber die momentane Abgrenzung von b-adisch gegen p-adisch suggeriert für mein Gefühl, dass der Unterschied im Namen der Basis liegt. Hier sollte Klärung geschaffen werden (der Unterschied liegt mehr oder weniger im verwendeten Konvergenzbegriff; für "beidseitig abbrechende" Zahlen gibt es keinen Unterschied).-- Gunther 17:09, 8. Apr 2005 (CEST)

Ist denn b-adisch überhaupt quellenmäßig gesichert? Schließlich heißen die ersten Varianten binär (oder dual), ternär und später octal, dezimal usw. während die p-adischen manchmal explizit dyadisch, triadisch usw. heißen. Sinnvoll wäre daher wohl n-äres System (oder n-ales?), vgl. engl n-ary (was ich allerdings eher aus dem Zusammenhang n-ary relation = n-stellige Relation kenne).(nicht signierter Beitrag von Hagmann (Diskussion | Beiträge) 23:51, 23. März 2007 (CET))

's gibt b-adische und unsym-b-adische! --Tobias b köhler 13:05, 16. Mär. 2009 (CET)

Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, 20. Aufl. 1981, Abschnitt 2.1.1.1.: „Es gilt dann, daß jede von null verschiedene natürliche Zahl a genau eine p-adische Darstellung […] besitzt, […]“ --Lückenlos^wecken! 19:24, 1. Apr. 2018 (CEST)

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Eine ganz elementare Frage: Es gibt das Dualsystem, gleichbedeutend mit Zweiersystem oder Binärsystem und das Zehnersystem oder Dezimalsystem. Während nun beim Dezimalsystem der Begriff „Dezimalstelle“ ausschließlich für eine Nachkommastelle reserviert ist, scheint das bei einer „Binärstelle“ nicht der Fall zu sein, die Bezeichnung Binärstelle gilt wohl für alle Stellen einer Binärzahl, für Vor- und Nachkommastellen. Bei Dezimalzahlen hat man mit Nachkommastellen, Dezimalen und Dezimalstellen gleich drei Bezeichnungen für die Stellen rechts vom Komma. Wie heißt nun bei Dezimalzahlen eine Stelle links vom Komma? Eine Dezimalstelle ist es ja wohl nicht. Da man vom „dekadischen Stellenwertsystem“ spricht, ist es vielleicht eine „dekadische Stelle“, die dann auch alle Stellen einer Dezimalzahl bezeichnet? --WA Reiner (Diskussion) 12:02, 13. Sep. 2012 (CEST)

b>1

Diejenigen, die hier in letzter Zeit immer wieder die Bedingung $b>1$ zu torpedieren versuchen, sollen bitte einmal erläutern, wie eine formale Anwendung der Definition auf den Fall $b=1$ irgendetwas Sinnvolles produzieren kann! Schließlich besteht er Ziffernvorrat aus den Ziffern von 0 (einschließlich) bis $b$ (ausschließlich), im Fall $b=1$ ist also die 0 die einzige Ziffer. Dann ist aber auch $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}=0$.--Hagman 19:10, 24. Apr. 2007 (CEST)

Wer sagt, dass die Ziffernmenge {0,...,b−1} sein muss? Mit der Ziffernmenge {1} kann man jede natürliche Zahl 1-adisch darstellen, auch bekannt als Strichliste.--80.136.159.37 10:52, 26. Jun. 2007 (CEST)

Wenn man keine Ahnung hat: Einfach mal Klappe halten! --Koethnig 13:40, 26. Jun. 2007 (CEST)

Nun, wenn man ein Stellenwertsystem so definiert, dass es die Ziffern 0 bis b-1 enthält, dann gibt es wohl kein sinnvolles 1-adisches System. Und genau das sollte im Artikel so beibehalten werden, da es ja die herrschende Ansicht ist. Den Gedanken jedoch mit einer Beleidigung abzutun, ist nicht gerechtfertigt. Meiner Meinung nach kann und sollte man durchaus untersuchen, ob sich Begriffe nicht verallgemeinern lassen. Das führt nicht selten zu einem Erkenntnisgewinn. Auch die folgende Definition macht durchaus Sinn: Ein Stellenwertsystem enthält jedenfalls die Ziffern 0 und 1 und darüber hinaus die Ziffern bis b-1. Für den Fall b=1 bleiben damit nur die Ziffern 0 und 1 übrig. Dann gilt: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot 1^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Das ist eine Liste mit 1 und 0, wobei alle Ziffern gleich viel Wert sind und somit die Ziffernsumme den Wert der Zahl bestimmt. Da es nicht auf die Stelle ankommt, an der eine Ziffer steht, ändert sich der Wert einer Zahl nicht, egal ob und wie viele Nullen enthalten sind. Sei $n_{1}$ die Anzahl der Einser und $n_{0}$ die Anzahl der Nullen so gilt: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n_{1}}1+\sum _{i=1}^{n_{0}}0=n_{1}\cdot 1+0=n_{1}$

Der Wert einer 1-adischen Zahl ist somit gleich der Anzahl der Ziffern 1, die sie enthält. Dies als Stellenwertsystem aufzufassen, ist meiner Meinung nach durchaus berechtigt. Ebenso wie in jedem anderen Stellenwertsystem bestimmt sich der Wert einer Ziffer innerhalb einer Zahl durch das Produkt aus dem Wert der Ziffer mit dem Wert der Potenz aus Basis hoch Stellenexponent. Für 1101 ergibt das zB $1\cdot 1^{3}+1\cdot 1^{2}+0\cdot 1^{1}+1\cdot 1^{0}=1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=3\cdot 1=3$ --Lukas Neubauer (nicht signierter Beitrag von 194.0.73.114 (Diskussion | Beiträge) 00:13, 6. Mai 2009 (CEST))

"Stellenwert" generell

Unsinnigerweise werden meine Ergänzungungen pauschal gelöscht, mit Beleidigungen garniert. (Es folgt nunmehr meine Beleidigung: Dies ist eine Enzyklopädie. Oder, sachlicher:) Nicht nur Mathematiker suchen nach dem Wortumfeld von "Stellenwertsystem", und von „Stellenwert“ wird nun einmal HIERHER UMGELEITET! Ironiefestigkeit ist o.k.; also grabesernst: Bitte, argumentiert im Einzelnen, verbessert Einzelheiten usw., wie man das so macht. Meine Argumente sind: (1) "Stellenwert" ist nun einmal auch gehobene Umgangssprache; (2) es gibt/gab in der Güntherlogik einen Spezialgebrauch; wo, wenn nicht hier, das ansprechen? Wäre ein Abschnitt "Abweichender Sprachgebrauch" o.ä. am Artikelende angemessener, so wäre auch das eine Lösung. Herzlicher Gruß -- €pa 09:56, 24. Jan. 2008 (CET)

Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Terminus (und dabei dürfte es sich wohl um die "Haupt"-Bedeutung handeln). Abweichende Bedeutungen von Stellenwert, insb. solche in anderen Fachgebieten, machen eine Begriffsklärung erforderlich. Welche der verschiedenen bekannten Varianten zu verwenden wäre, sei vorerst einmal dahingestellt. Die Relevanz der Güntherlogik zu beurteilen, traue ich mir nicht zu, obwohl es sich zumindest nach flüchtigem Überblick über die Verweise um einen recht engen Kreis von Autoren zu handeln scheint.--Hagman 17:21, 24. Jan. 2008 (CET)

Das würde dann so aussehen, aus der Linkseite eine BKL zu machen, und eine Seite "Stellenwert (Philosophie)" oder was auch immer anzulegen. Bitte gleich zu Anfang mit genug Text und einiger Literatur/Links, damit das nicht sofort durch's Raster fällt.--LutzL 19:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Darstellung rationaler Zahlen

Im Artikel steht:

Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b auf, denn falls n die Ziffer mit dem Wert b-1 bezeichnet, dann hat die Ziffernfolge

$0{,}0\mathbf {nnn} \ldots =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$

den Wert ${\tfrac {1}{b}}$.

Das ist nicht richtig. Die Rechnung und damit der Wert ${\tfrac {1}{b}}$ führt in jedem Stellenwertsystem ausschließlich zur Zahlendarstellung 0,1. Denn jedes b wird mit der Zahlendarstellung 10 dargestellt. Allerdings drückt der Wert ${\tfrac {1}{b}}$ im Dezimalsystem eine kleinere reelle Zahl aus als beispielsweise im Dualsystem oder Oktalsystem, während zugleich der Wert b selbst im Dezimalsystem eine größere natürliche Zahl darstellt als im Dual- bzw. Oktalsystem.

Ich bitte daher um Korrektur. --Wikilaser 00:48, 1. Jul. 2011 (CEST)

Sei $x=0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$. Dann ist

$x\cdot b=0{,}{\overline {\mathbf {n} }}$

und

$x\cdot b-0{,}\mathbf {n} =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$

Daraus folgt:

$x=x\cdot b-0{,}\mathbf {n} =x\cdot b-(b-1)/b$

also

$x(1-b)=-(b-1)/b$

und mithin

$x=1/b$.

--Daniel5Ko 01:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Hallo Daniel, bis zur vierten Zeile einschließlich kann ich noch folgen (auch wenn bereits die zweite Zeile meiner Intuition widerspricht, aber lassen wir das mal beiseite). Wie ganz genau kommst Du von der vierten zur fünften und dann weiter zur letzten Zeile? --Wikilaser 11:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Zur letzten Gleichung komme ich durch eine Division der vorletzten Gleichung durch $(1-b)$.

Die vorletzte Gleichung entsteht durch Ausammeln der x-Koeffizienten in $x=x\cdot b-(b-1)/b$ auf der linken Seite, oder anders ausgedrück: Subtraktion von $x\cdot b$ auf beiden Seiten, anschließende Ausklammerung von x. --Daniel5Ko 12:27, 1. Jul. 2011 (CEST)

Den vorletzten Schritt habe ich jetzt verstanden:

$x=x\cdot b-(b-1)/b$ $|-x\cdot b$

$x-x\cdot b=-(b-1)/b$

$x\cdot (1-b)=-(b-1)/b$

Jetzt müßte es so weitergehen:

$x\cdot (1-b)=-(b-1)/b$ $|/(1-b)$

$x=(-(b-1)/b)/(1-b)$

Und dann? --Wikilaser 15:51, 2. Jul. 2011 (CEST)

Es gilt $-(b-1)=1-b$. --Daniel5Ko 02:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Jetzt sehe ich es auch. Dann kürzt man diese beiden Werte jeweils zu 1 und erhält:

$x\cdot 1=1/b/1$

$x=1/b$

Danke!

Bei der Gelegenheit: Warum werden manche Zeilen nicht in mathematische Schriftzeichen umgewandelt? --Wikilaser 12:09, 3. Jul. 2011 (CEST)

Benutzereinstellungssache. Default ist: wenn texvc weiß wie's geht, kriegst du html-Fragmente, sonst Bilder. --Daniel5Ko 01:05, 5. Jul. 2011 (CEST)

Da es bei Dir auch nicht immer funktioniert, nehme ich an, daß der Fehler bei Wikipedia selbst zu suchen ist. Oder machen wir beide etwas falsch? --Wikilaser 21:58, 7. Jul. 2011 (CEST)

Die Bemerkung von Daniel5Ko ist völlig korrekt.

Sie trifft evtl. jedoch nicht den von Wikilaser aufgeworfenen Einwand, der trotzdem zurückzuweisen ist, denn der Darstellung $0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$ geht nicht notwendigerweise eine irgendwie geartete „Rechnung“ voraus, sondern sie ist zunächst einfach nur möglich (und erfüllt alle Bedingungen, bspw. konvergiert auch). Im Text wird darauf hingewiesen, dass es zu „endlichen“ Stellenwertsystembrüchen im Prinzip 3 Darstellungen gibt:

1. eine endliche der Art $0{,}1$ (evtl. mit abgezählt endlich vielen Nullen),
2. die unendliche mit Enden der Art $0{,}1\mathbf {000} \ldots =0{,}1{\overline {\mathbf {0} }}$,
3. die unendliche mit Enden der Art $0{,}0\mathbf {nnn} \ldots =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$.

Normalerweise kann man alle zugleich zulassen, da kaum Missverständnisse zu befürchten sind. Wenn jedoch von der Situation her die Eindeutigkeit der Darstellung unbedingt erforderlich ist (z.B. bei der $b$-adischen Bruchpressung àla Z-Kurve, wo $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ injektiv abgebildet wird und wo 2 $b$-Brüche versetzt in einen gepresst werden), sollte man eine klare Auswahl treffen. Meist arbeitet man dann mit einer unendlichen Darstellung und meist ist man in der Auswahl völlig frei. -- Nomen4Omen 09:16, 1. Jul. 2011 (CEST)

Vielleicht ist es leichter verständlich, wenn man es anders aufbaut:

Zunächst gilt: 1/10 = 0,1 = 0,1000... bzw. 1/b = 0,b = 0,b000...

Durch Umformung {Angabe der einzelnen Schritte} kommt man jedoch auch auf: 1/b = $0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$ --Wikilaser 11:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Falsche Definition hier im Artikel! (vermutlich seit Jahren?)

Zitat: "Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit einem endlichen Vorrat von Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) beliebig große Zahlen darstellen kann. "

Ha, ha, ha. Das ist Bloedsinn und falsch. Auch eine Strichliste oder das roemische Zahlenssytem kann mit endlich vielen Symbolen beliebig grosse Zahlenwerte darstellen. :-(

Etwas wesentliches, was jetzt erst in einer Anmerkung in einer Fussnote implizit untergeschoben wird ist: Der Wert einer Ziffer haengt wesentlich von ihrer Position in der Darstellung ab! Dies ist ein ganz (DAS?) entscheidendes Kriterium. Auch die Basis 1 ist ansonsten ein Stellenwertsystem -- jede Stelle hat eben den gleichen Wert. Na und? -- ist fuer die jetzige Artikeldefinition des Stellenwertsystems absolut zulaessig. (nicht signierter Beitrag von 2001:638:504:C00E:214:22FF:FE49:D786 (Diskussion | Beiträge) 16:30, 20. Sep. 2012 (CEST))

Nein die 1 als Basis funktioniert nicht, denn wie stellst du es rechts vom Komma an? 1 hoch -1 oder 1 hoch -2 usw. ist halt alles 1. (nicht signierter Beitrag von 77.4.84.250 (Diskussion) 20:27, 5. Feb. 2014 (CET))

im römischen Additionssystem dagegen gilt etwa I < III < V

@YMS!

Bei Deiner Korrektur musst Du mir erklären, wie ein Römer 10⁹ hinschreibt, ohne wenigstens 10⁶ Zeichen zu verbrauchen!

Mit der Erklärung "dagegen gilt etwa I < III < V" kann ich das nicht unmittelbar lösen.

--Nomen4Omen (Diskussion) 17:36, 24. Sep. 2012 (CEST)

Dafür muss der Römer eine neue Ziffer erfinden, klar. Aber erkläre du mir doch bitte, wo die Länge der Zahlendarstellung z.B. beim Übergang von 999 (CMXCIX) zu 1000 (M) linear ansteigt. --YMS (Diskussion) 17:42, 24. Sep. 2012 (CEST)

@YMS.

1. Die Römer sind alle tot, da gibt's keinen, der eine neue Ziffer erfindet.
2. Vielleicht hast Du schon mal gehört, dass diese Aussagen immer "asymptotisch" gemeint sind. Da kommt's auf so Kleinigkeiten nicht an, sondern nur auf die Umgebung von ∞. Also selbst, wenn er erfände, der Römer, würde er nicht fertig.

--Nomen4Omen (Diskussion) 17:55, 24. Sep. 2012 (CEST)

Deine Formulierung enthielt keinen Hinweis darauf, dass das eine asymptotische Betrachtung sein sollte. Da stand in umgangssprachlichen Worten, dass die Länge bei Additionssystemen linear von der Größe der Zahl abhängt. Den Beweis des Gegenteils (also dass die Länge bei zunehmender Größe nicht monoton steigt) habe ich durch Beispiele erbracht. --YMS (Diskussion) 20:45, 24. Sep. 2012 (CEST)

Da stimme ich Nomen4Omen zu. @YMS: vgl. dazu z.B. Landau-Symbole. Ein endlicher Zeichenvorrat ist außerdem explizit vorausgesetzt, so dass also nicht unendlich oft ein neues Zeichen hinzugefügt werden kann. Um den Satz noch etwas sauberer zu formulieren, könnte man ein "asymptotisch" einfügen. Ich ändere das mal entsprechend und hoffe, dass alle diese Version akzeptabel finden. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 20:48, 24. Sep. 2012 (CEST)

Hmm, der zweite Verweis auf Landau-Symbole in dieser kurzen Diskussion, ohne dass ein solches Landau-Symbol im fraglichen Text verwendet würde. Wäre die Landau-Notation verwendet worden, hätte ich mich vermutlich nicht hier gemeldet. In der nunmehr modifiziert wieder eingesetzten Artikelversion ist es zwar per Nennung des Stichworts "asymptotisch" sicher sachlich korrekt, gefallen tut mir aber auch diese nicht. In der Praxis interessiert mich das Verhalten für Zahlen nahe unendlich nicht, da ist es viel relevanter, dass in einem solchen System auch z.B. die Zahl 1000 kürzer dargestellt werden kann als die Zahl 3. --YMS (Diskussion) 21:02, 24. Sep. 2012 (CEST)

So war's gemeint. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:51, 24. Sep. 2012 (CEST)

Ich hatte den Link unter "asymptotisch" in Nomen4Omens Text gar nicht verfolgt - Entschuldigung für die Dopplung für die Landau-Symbole.

Abgesehen von der asymptotischen Betrachtung, wird für gewöhnlich bei Längen-/Aufwandsbetrachtungen der "schlimmste Fall" betrachtet, vereinfacht ausgedrückt stellt man sich also die praxisnahe Frage "Wie viele Zeichen brauche ich maximal, um jede beliebige der ersten n Zahlen ausdrücken zu können?" In dem vorliegenden Fall kann man bereits bei kleinen Zahlen so den schneller steigenden Charakter in additiven Systemen gegenüber dem logarithmischen Stellenwertsystem gut erkennen. Im Stellenwertsystem kann man mit n Stellen jede beliebige Zahl bis ($b^{n}-1$) darstellen, im Umkehrschluss benötigt man also für alle Zahlen bis k-1 ($log_{b}k$) Stellen. Im 7er-Stellenwertsystem* sind also die "schlimmsten Fälle", d.h. die kleinsten Zahlen, die eine bestimmte Stellenzahl benötigen: 1 -> 1 Stelle, 7 -> 2 Stellen, 49 -> 3 Stellen, 343 -> 4 Stellen, 2.401 -> 5 Stellen, 16.807 -> 6 Stellen, 117.649 -> 7 Stellen usw.; in additiven Systemen braucht man bereits deutlich früher weitere Stellen (auch wenn der komplette lineare Charakter natürlich erst mit der Verwendung des letzten Elementarzeichens einsetzt). Im römischen hat man: 1 -> 1 Stelle, 2 -> 2 Stellen, 3 -> 3 Stellen, 8 -> 4 Stellen, 18 -> 5 Stellen, 28 -> 6 Stellen, 38 -> 7 Stellen usw.

Um also z.B. die Stundenzahl (0-23) einer Digital-Uhr darstellen zu können, benötigt das 7er-Stellenwertsystem 2 Stellen, das römische, additive Zahlensystem 5 Stellen.

• Wieso das 7er-System? Im römischen System hat man 7 Elementarzeichen: I, V, X, L, C, D, M. Entsprechend ist das 7er-System der "faire" Vergleich.

Man kann also insbesondere gut erkennen: Das Stellenwertsystem weist hier wiederum logarithmisches Wachstum auf; das additive System gemäß seinen Elemenarzeichen ein "gestuftes" lineares Wachstum. Sogar bevor es seine letzte Stufe erreicht, ist es - bei gleichem Zeichenvorrat - bereits bei deutlich längeren Darstellungen angekommen als das Stellenwertsystem (in obigem Beispiel: das Stellenwertsystem braucht zur Darstellung aller Zahlen bis 1000 nur 5 Stellen, das additive System benötigt bereits bei den ersten 38 Zahlen 7 Stellen, bis 1000 sogar 12 Stellen (vgl. 888 = DCCCLXXXVIII). Schon bei kleinen Zahlen übersteigt also die in der Praxis notwendige Stellenzahl im additiven System durch seinen (gestuft-)linearen Charakter also bereits die Stellenzahl, die ein Stellenwertsystem mit selber Anzahl an Symbolen benötigt.

Diese ganzen Ausführungen sind schon recht lang und sie müssten formal eigentlich noch ausgeweitet werden. Daher denke ich, dass die aktuelle Version an Informationsgehalt in Relation zur Länge die bessere Version darstellt. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 22:19, 24. Sep. 2012 (CEST)

Grundlagen

(Zitat Anfang)

Insbesondere bei ungeradem $b$ sind Ziffern mit den Wertigkeiten $-{\tfrac {b-1}{2}},\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,{\tfrac {b-1}{2}}$ interessant. Knuth nennt diese Systeme „balanciert“. Sie haben die Eigenschaften:

• Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
• Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an.
• Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

(Zitat Ende)

Zwei Anmerkungen:

1. Was sind denn nun "balancierte Systeme"? Jedes System mit b ungerade? Oder nur "insbesondere" jedes System mit ungeradem b (was auch immer das heißen mag)? Und müssen die Ziffern die genannten Wertigkeiten haben oder sind sie dann nur "interessant". Bitte noch einmal weniger missverständlich formulieren. Ansonsten löschen.

2. Wodurch ist denn die Einordnung so früh und auch noch unter "Grundlagen" motiviert? Ziffern mit negativen Wertigkeiten sind wohl für 99% der Laien in dieser nicht erklärenden Form kaum zu verstehen und selbstverständlich auch nicht als bekannt vorauszusetzen. Ich sehe jetzt auch nicht, wo im Artikel sonst noch andere Ziffern als die üblichen 0, ..., b-1 (mit "handelsüblicher" Wertigkeit) verwendet werden. Die genannten Eigenschaften erscheinen mir auch eher von akademischem Interesse. Bei den anderen mir bekannten Darstellungsformen von Zahlen ist das Ermitteln des Negativen, des Vorzeichens sowie des nächstgelegenen ganzzahligen Wertes zumindest ähnlich trivial... Also wie unter 1. empfohlen entweder löschen oder wenigstens in einen späteren Abschnitt verschieben. Ein wenig "dramaturgisches Gespür" schadet auch bei Wikipedia nicht. --VerwunderterLeser (nicht signierter Beitrag von 92.229.39.237 (Diskussion) 11:59, 19. Nov. 2012 (CET))

erledigtErledigt --Nomen4Omen (Diskussion) 09:19, 5. Feb. 2014 (CET)

Also mir ist 1. auch jetzt nicht ganz klar: Warum muss die Basis ungerade sein? Es geht doch auch z.B. für Basis 4 mit Ziffern -1,0,1,2?

Im englischen Wikipedia gibt es einen Artikel zu Redundant binary representation (Basis 2, Ziffern -1, 0, 1). Ist das dann kein Stellenwertsystem? Was soll es denn sonst sein? --130.133.8.114 18:48, 17. Jan. 2016 (CET)

Meines Wissens stammt der Begriff „balanced number Systems“ von Knuth. Er stellt für ihn keine Definition heraus. Man kann aber implizit schließen, dass die 3 genannten Forderungen – wovon m.E. die erste („the negative number is obtained by interchanging 1 and 1“) die stärkste ist (und auch von der Wortbedeutung "balanciert" her) – als definierend angesehen werden können/kann. Das impliziert auf jeden Fall zusammen mit der 0 (die wegen 0=0 nicht gepaart ist) einen ungeradzahligen Ziffernsatz. Bei Deinem Vorschlag [Basis 4; Ziffern -1,0,1,2] ist die 2 nicht gepaart, er ist also kein balanciertes System.
Ist 2 die Basis, dann kommt man mit 2 Ziffern (plus ggf. einem Vorzeichen) aus. Hat man aber Basis 2 und 3 Ziffern (bspw. im Ziffernsystem [Basis 2, Ziffern 0, 1, 1 (:= -1)]) zur Verfügung, dann entsteht "Redundanz": Gemeint ist vermutlich, dass die Anzahl an Varianten, in denen sich die Zahlen sich darstellen lassen, riesig ist. Bspw.: 1₁₀ = 1 = 11 = 111 =… . --Nomen4Omen (Diskussion) 22:25, 17. Jan. 2016 (CET)

In diesem Fall habe ich noch zwei Anmerkungen: Erstens möchte ich wissen, wie deine Quelle heißt (Knuth hilft mir nicht). Zweitens müsste gerade an dieser Stelle auf das redundante Stellenwertsystem hingewiesen werden. Schon vor Knuth wurden Stellenwertsysteme mit -1 = 1 verwendet (siehe John Colson (1726) "A Short Account of Negativo-affirmative Arithmetick", Philosophical Transactions of the Royal Society 34: 161-73). --160.45.45.11 16:30, 18. Jan. 2016 (CET)

Ich meinte mit "Knuth hilft mir nicht", dass mir das korrekte Zitat fehlt (Welcher Text von Knuth). Sorry, war etwas missverständlich. (nicht signierter Beitrag von 87.152.51.89 (Diskussion) 17:35, 18. Jan. 2016 (CET))

Das Zitat ist korrekt. Und es stammt aus Volume 2: Seminumerical Algorithms. Third Edition (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1997), xiv+762pp. ISBN 0-201-89684-2 p.207.
Du erwähnst den enwiki-Artikel zu den „redundanten“ Stellenwertsystemen. Mehr weiß ich dazu nicht; zudem halte ich persönlich sie für wenig interessant. Und beim ersten Satz im Abschnitt #Arithmetic operations, wo das Zitat fehlt, halte ich die „Begründung“ nicht für eine. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:31, 18. Jan. 2016 (CET)

Ok, dann habe ich mich geirrt, es wurde korrekt zitiert. Ich habe mir jetzt das Buch angesehen. Es ist mir allerdings vier Seiten weiter aufgefallen, dass mit einem "balanced decimal" system gearbeitet wird (mit den Ziffernwerten {-4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5}. Dieses System ist offenbar redundant. Seit mindestens drei Jahren wird hier unterstellt, balanciert heißt ungerade Basis.

Wenn du wissen möchtest, warum ich ein solches redundantes Stellenwertsystem interressant finde, les dir doch John Colson durch. Da ist ein On-Line Algorithmus zur Addition angegeben (einen solchen Algorithmus gibt es für das herkömmliche Stellenwertsystem nicht. Wir können die erste Ziffer in der Rechnung "3,141... + 0,858..." nicht angeben. Weiteres kann man später hoffentlich in meiner Bachelor-Arbeit nachlesen. --141.23.82.214 16:00, 19. Jan. 2016 (CET)

@141.23.82.214:

1. Mir scheint, dass der Begriff »redundant« im Kontext der Stellenwertsysteme noch schlechter definiert ist als der Begriff »balanciert«. Ich beobachte, dass alle Stellenwertsysteme bei archimedischem Betrag bzw. der daraus resultierenden Metrik Mehrfachdarstellungen wie $1=0,{\overline {9}}$ kennen – obwohl ich keinen Beweis davon gelesen habe. (Übrigens sind bei den ultrametrischen [oder auch nicht-archimedischen] Beträgen die Darstellungen ein-eindeutig.) Man rechnet die archimedischen Systeme mit minimalem Ziffernvorrat trotzdem nicht zu den redundanten, weil die Menge der mehrfach darstellbaren Zahlen das Maß 0 hat (sogar abzählbar (unendlich) ist; sie stimmt oft überein mit der Menge der abbrechenden Darstellungen, die abzählbar ist). (Der Begriff »Maß 0« kommt bei Knuth auf p.211 vor.) Den Begriff »redundant« sollte man dementsprechend so definieren, dass ein System dann redundant heißt, wenn die Menge der mehrfach darstellbaren Zahlen keine Nullmenge ist.
2. Wenn man so definiert, dann sind alle Systeme mit minimalem Ziffernvorrat nicht redundant. So auch (vermutlich) das von Dir zitierte "balanced decimal" System mit dem Ziffernvorrat {-4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5}. Denn wenn ich richtig rechne, hat zwar die Null alleine schon abzählbar viele Darstellungen der Sorte $\textstyle (\pm 1)10^{j}(-0.5+\sum _{i>0}4.5\cdot 10^{-i})$, weil $\textstyle \sum _{i>0}10^{-i}={\tfrac {1}{9}}$. Trotzdem könnte die Menge der mehrfach darstellbaren Zahlen eine Nullmenge sein. Oder stimmt das nicht?
3. John Colson: Ich habe mir en:Signed-digit representation und en:Non-adjacent form angesehen und komme zum Schluss, dass man redundante Systeme nicht wirklich haben will. (Den On-Line Algorithmus zur Addition habe ich nicht gesehen.) Natürlich kann es zweckmäßig sein, für Zwischenrechnungen den Ziffernvorrat aufzubohren. Dennoch haben alle diese Darstellungen zusammen mit den Carries und Flags, die ja recht eigentlich maschinenintern auch zur Darstellung gehören – und so gesehen eine jede reale Maschine mit einem redundanten Ziffernsystem versehen –, eine „kanonische“ Darstellung zum Ziel.

Ansonsten wünsche ich viel Erfolg bei der Bachelor-Arbeit. Mir scheint, dass es beim Thema »Positional Number Systems« immer noch Klärungsbedarf gibt, obwohl doch so viele schon daran gearbeitet haben. Knuth ist sehr umfassend, aber auch er grast anscheinend das Gelände nicht vollständig ab. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:24, 20. Jan. 2016 (CET)

@Nomen4Omen: Vielen Dank für deine Mühe! Ich würde jetzt folgendes vorschlagen: Wenn ich mir über die Begriffe und Definitionen klarer geworden bin würde ich den Abschnitt „Balancierte Stellenwertsysteme“ überarbeiten. Dafür habe ich mir jetzt einen Wikipedia-Acount erstellt. Die Wörter „redundant“ und „Nullmenge“ sollten dann im Artikel nicht vorkommen, vielleicht eher „eindeutige Darstellung“, wie auch schon im Abschnitt „Darstellung rationaler Zahlen“. Ich entschuldige mich für meine schlechte Wortwahl in der Diskussion: Ich habe mit „redundante Darstellung“ „eindeutige Darstellung“ gemeint. Dieses Klarwerden über Definitionen und Begriffe dürfte bei mir aber noch mindestens einen Monat Zeit in Anspruch nehmen.

Das würde ich ändern: Balanciert heißt nicht eindeutige Darstellung. Balanciertes Stellenwertsystem wird auf englisch auch en:Signed-digit representation genannt. Für ungerade Basen gibt es auch eindeutige Darstellungen der ganzen Zahlen. Da ich ein absoluter Wikipia-Neuling bin und mich mit dem Thema noch nicht umfassend auskenne, würde ich mich freuen, wenn jemand anderes den Abschnitt überarbeiten könnte.--Bejahend (Diskussion) 13:33, 21. Jan. 2016 (CET)

Was war zuerst da?

Frage: Wenn ich die Zahl "10" hinschreibe, dann muss ich im Stellenwertsystem erst einmal "10" hoch 0 und "10" hoch 1 definieren. Dabei nutze ich aber schon die Zahl "10", die ich doch aber erst durch 1x10^1 + 0x10^0 konstruieren will. (nicht signierter Beitrag von 77.4.255.34 (Diskussion) 01:37, 5. Feb. 2014 (CET))

Liebe/r 77.4.255.34! Bei jeder Basis b gilt: 10_b = b. Das ist eine Aussage über das b-adische Stellenwertsystem und keine Definition von b. Du hast also recht: Mit 10₁₀ = 10 kann man 10 (zehn) nicht definieren. Eine Möglichkeit wäre, auf das unäre System zurück zu greifen: 2 := || und zehn := ||||||||||. Man könnte also schreiben 10_{|||| ||||} = zehn. Wir rechnen alle seit Ewigkeiten im ||||||||||-adischen oder dek-adischen System und haben uns so daran gewöhnt, dass wir zehn gar nimmer anders als 10 schreiben können. Und so viel ich weiß, gilt deshalb die Abmachung: Wenn bei 10 kein Suffix dranhängt, dann ist die Zahl zehn gemeint. Wenn ich was anderes meine, muss ich ein Suffix beigeben, zB 10₂ = 2. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:30, 5. Feb. 2014 (CET)

Länge der Darstellung logarithmisch in der Anzahl der Stellen ?

Mit der letzten Änderung von Benutzer:Saure habe ich Schwierigkeiten. Ich hätte gedacht, dass die Länge logarithmisch zur Größe der Zahl und gleich zur Anzahl der Stellen ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:03, 8. Apr. 2014 (CEST)

Du hast recht; das muss ich ändern. Danke sagt der Saure 18:34, 8. Apr. 2014 (CEST)

Ziffer

Die Definition des Begriffs "Ziffer" gehört in den Artikel Zahlzeichen, und nicht hierhin. --Röhrender Elch (Diskussion) 21:58, 11. Mai 2014 (CEST)

Siehe QS. Bitte die Diskussion nicht zerfasern. --Quartl (Diskussion) 06:11, 12. Mai 2014 (CEST)

Definition Basis

Auch wenn bei natürlichen Basen die Anzahl der verwendeten Ziffern mit der Basis identisch ist, kann man die Basis nicht als Anzahl der verwendeten Ziffern definieren, sondern sie ist die Zahl, als deren Potenzsumme die darzustellende Zahl aufgefasst wird. Sonst gäbe es keine nichtnatürlichen Basen, weil die Anzahl der verwendeten Ziffern immer natürlich ist. Die Anzahl der verwendeten Ziffern ist von der Basis abhängig. --Röhrender Elch (Diskussion) 23:15, 9. Jan. 2015 (CET)

Gibt es denn Stellenwertsysteme mit nicht-natürlicher Basis? Das ist doch dann höchstens eine Spielerei. --Digamma (Diskussion) 19:48, 10. Jan. 2015 (CET)

Es gibt sie, siehe Stellenwertsystem#Nicht-nat.C3.BCrliche_Zahlen_als_Basis. Ob sie einen praktischen Nährwert haben oder nur Spielerei sind, weiß ich nicht. --Röhrender Elch (Diskussion) 19:55, 10. Jan. 2015 (CET)

Ich denke im Sinne der Allgemeinverständlichkeit sollte man die Definition von "Basis" als Anzahl der verfügbaren Ziffern an dieser Stelle so lassen. Im Abschnitt zu den nichtnatürlichen Basen sagt man dann, dass man auch eine mehr oder weniger beliebige Zahl als Basis zulassen kann (wobei dann klarerweise nicht mehr die Anzahl der Ziffern gemeint ist). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:29, 11. Jan. 2015 (CET)

Quater-imaginäres System

So weit mir bekannt ist, muss bei einem nichtbalancierten Stellenwertsystem der höchste Ziffernwert die größte natürliche Zahl sein, die kleiner ist als der Betrag der Basis. (Bei einer natürlichen Basis ist das die Basis minus eins.) Wie kann dann ein System mit der Basis 2i die Ziffern 2 und 3 verwenden? --Röhrender Elch (Diskussion) 22:20, 24. Jan. 2015 (CET)

Lies am besten den englischen Artikel dazu. --Digamma (Diskussion) 23:11, 24. Jan. 2015 (CET)

Übrigens diskutiert Knuth in seinem Kapitel "Positional Number Systems" noch ganz andere nicht-zusammenhängende Ziffernvorräte. Um alle ganze Zahlen darstellen zu können, braucht man für jede Restklasse modulo Basis zumindest eine Ziffer. Ist es genau eine, ist eine (fast) eindeutige Darstellung schon garantiert. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:33, 25. Jan. 2015 (CET)

6.2 Umrechnung

Das Beispiel mit "AFFE" ist undurchsichtig/unvollständig, es fehlt die sprechende Zuordnung der Hexadezimalwerte "A=10, F=16, E=15".--Mideal (Diskussion) 13:08, 13. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe die Werte ergänzt. Ist es so OK? --Digamma (Diskussion) 20:33, 14. Okt. 2015 (CEST)

Ich halte das für überflüssig. Steht doch alles in Stellenwertsystem#Ziffernvorrat! --Röhrender Elch (Diskussion) 00:45, 17. Apr. 2016 (CEST)

Welche Ziffern benutzt werden ist aber mathematisch nicht zwingend. (Beim Dualsystem sind z.B. auch andere Ziffern als 0 und 1, z.B. O und L üblich.) Außerdem steht das ein deutliches Stück von dem Beispiel entfernt. Es steht dort auch keine konkrete Zuordnung der Ziffern zu den Werten, die muss man sich selbst erschließen. Ich denke nicht, dass es schadet, hier noch mal zu wiederholen, welche Ziffern verwendet werden und welchen Wert sie haben. Offensichtlich gibt es Leser, die das hier vermissen. --Digamma (Diskussion) 10:06, 17. Apr. 2016 (CEST)

Ich bin der Meinung das der Wert für AFFE=61434 ist. A für 10*16^0=10 und E=14*16^3=57344 (bei den anderen Werten ändert sich natürlich nichts), da die Position des Wertes nicht irrelevant ist. Berechnet wurde EFFA nicht AFFE. 9001 ist ja auch nicht 1009 (Dezimalzahlensystem). (nicht signierter Beitrag von 77.179.75.211 (Diskussion) 02:38, 9. Jul 2016 (CEST))

Beim Stellenwertsystem stehen bekanntlich die kleinen Exponenenten hinten und die großen vorne. AFFE ist somit gleich $10\cdot 16^{3}+15\cdot 16^{2}+15\cdot 16+14=45054$. --Digamma (Diskussion) 07:47, 9. Jul. 2016 (CEST)

PS: Ich habe im Artikel die Reihenfolge der Berechnung umgekehrt. Vielleicht wird das so klarer. --Digamma (Diskussion) 07:52, 9. Jul. 2016 (CEST)

Entschuldige Digamma, mein Fehler, völlig richtig! (nicht signierter Beitrag von 77.179.61.182 (Diskussion) 20:00, 9. Jul 2016 (CEST))

Unerklärter Begriff

Im Artikel ist viel die Rede von einer $b$-adischen Darstellung von Zahlen. Bitte, wovon redet der Verfasser? Ich finde bei WP keine Erklärung für „adisch“. Das Stichwort Adische Darstellung von Zahlen erklärt nichts, sondern verlinkt auf genau den Artikel, zu dem ich meine Frage stelle, also auf den Artikel, der der Erklärung bedarf.

Ich bitte um Erläuterung des Begriffs „adisch“, sinnvollerweise in [Adische Darstellung von Zahlen]. Der Hinweis im Artikel „(nicht zu verwechseln mit $p$-adischen Zahlen)“ leistet keinen Beitrag zur Erhellung und müsste (genauso wie alles weitere „Adische“) gelöscht werden. --der Saure 17:52, 18. Feb. 2018 (CET)

Ich habe die Stelle mal ein bisschen umformuliert. Besser? -- HilberTraum (d, m) 18:54, 18. Feb. 2018 (CET)

Danke, im ersten Moment sehe ich erst einmal eine klare Hilfe. Ich fürchte nur, dass die Stelle der Erklärung zu versteckt ist. Deshalb behalte ich meinen Vorschlag auf einen kleinen Artikel [Adische Darstellung von Zahlen], der sich nicht an Mathematiker wendet, bei. Es grüßt dich der Saure 19:09, 18. Feb. 2018 (CET)

Den Begriff "Adische Darstellung" gibt es nicht. "-adisch" ist nur eine Nachsilbe, die zum Beispiel in "dyadisch" (Basis 2) oder "dekadisch" (Basis 10) vorkommt. Deswegen bedeutet "b-adisch" einfach nur: Darstellung zur Basis b. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen, bzw. alles, was es mehr dazu zu sagen gibt, sollte unter "Stellenwertsystem" stehen bzw. in Artikeln zu den konkreten Basen, z.B. Dezimalsystem (Basis 10), Dualsystem (Basis 2), Hexadezimalsystem (Basis 16) oder Sexagesimalsystem (Basis 60). --Digamma (Diskussion) 19:28, 18. Feb. 2018 (CET)

Euch beiden vielen Dank für die Erklärung, insbesondere die prompte Einfügung im Artikel. Der Begriff ist nun kein „unerklärter Begriff“ mehr. --der Saure 09:57, 19. Feb. 2018 (CET)

Ziffernsymbole vs. Zahl

Warum wird die Formel als $\sum _{i=0}^{n}f(a_{i})\cdot b^{i}$ und nicht als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}$ angegeben? Welchen Wert hat es, die Mantisse als Funktion zu betrachten?

Die a_i sind Ziffern, also Symbole, keine Zahlen. Die Abbildung f ordnet jeder Ziffer a_i ihren Zahlenwert f(a_i) zu. Die Zeichenkette "12" ist eine Ziffernfolge, der erst durch eine Definition ein Zahlenwert zugeordnet werden muss. Einigen wir uns auf das Dezimalsystem, dann bedeutet diese Zeichenkette die Zahl f(1)*10 + f(2)*1 = 1*10 + 2*1 = 12. Genausogut könnten wir aber die Ziffern n,e,z,d,v,f,s,S,a,N für die Zahlen 0 bis 9 verwenden. Die Zeichenkette "ez" hätte dann im Dezimalsystem den Zahlenwert 12. Bei einer anderen Zuordnung von Ziffern zu Zahlenwerten würde diese Zeichenkette eine andere Zahl bezeichnen. Klar geworden? :-) --SirJective 21:12, 23. Okt 2004 (CEST)

Es überzeugt mich nicht ganz. Was ist f? Keine Funktion, denn Symbole sind keine Objekte. Was ist eine Zifferndarstellung? Entweder eine Folge von Symbolen, also eine Formel des formalen Systems, oder eine Folge als mathematisches Objekt, und dann kann man als Ziffern auch einfach die Zahlen 0,...,b−1 nehmen.--Gunther 18:56, 27. Apr 2005 (CEST)

Die Unterscheidung zwischen den Ziffernsymbolen und den Ziffernwerten via f ist durchaus sogar von praktischer Bedeutung, etwa in der Programierung, wo die Symbole ASCII-Zeichen sind und man nicht vergessen darf, erst '0' abzuziehen, hier ist also f(c)=c-'0'.--Hagman 22:56, 23. Mär. 2007 (CET)

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Lesenswert-Diskussion

Im Review kam nicht mehr viel, deshalb versuch ich es hier nochmal. Als Autor enthalte ich mich. --Koethnig 04:01, 16. Jan 2006 (CET)

•  Pro Mir gefällt's. --Udq8 14:14, 16. Jan 2006 (CET)
• Grundsätzlich pro, schöner Theorieartikel. Ich habe in der Einleitung bei den Beispielen noch mal die b-adisch-Form wiederholt, weil sonst m.E. der Zusammenhang etwas fehlt. Vielleicht könnte man noch erwähnen, das die -adisch-Vorsilben griechisch sind und die gebräuchlichere Variante (dual, dezimal...) lateinisch. Was für den Laien bestimmt schwer verständlich ist, ist der Unterschied zwischen Ziffer und Zahl. Eventuell könnte man hier das Hexadezimal-Beispiel nach oben nehmen, da es dort am besten klar wird (Ziffer A = Zahl 10). So ganz oma-tauglich ist es imho noch nicht, aber trotzdem gut.--Wiggum 20:15, 16. Jan 2006 (CET)
• pro stark laiengeprägt, aber fachlich verlass ich mich auf koethnig, ich als ahnungsloser finde den artikel relativ gut verständlich und an mangelnden stimmabgaben soll es dann nicht scheitern. -- southpark Köm ?!? 21:03, 21. Jan 2006 (CET)
• pro --Andreas ?! 19:12, 22. Jan 2006 (CET)
• pro - Kleine Anregung: das Hexadezimal-Beispiel vielleicht nicht gerade mit der Ziffer B nehmen; es könnte beim Verständnis zu Komplikationen mit dem b-adischen System kommen (hab das übrigens in der Einleitung fett und kursiv gesetzt). Ich weiß nicht, wie allgemeingebräuchlich der Begriff Dezimalsystem wirklich ist. Vielleicht könnte man noch darauf hinweisen, dass dies das "normale" System ist, um einem Laien einen ihm bekannten Anhaltspunkt zu geben (sofern er den Artikel überhaupt liest). --Griensteidl 23:48, 22. Jan 2006 (CET)

Hab das Beispiel mal auf C geändert und noch ein "das im Alltag gebräuchliche" hinzugefügt... --Koethnig 04:41, 23. Jan 2006 (CET)

• pro - fachlich einwandfrei (soweit ich das als Nichtmathematiker, aber mit 4 Semestern Mathegequälter beurteilen kann), dazu noch verständlich formuliert (besonders die Zuordnung Zahlen <=> Ziffern ist gelungen), ausserdem ist das Layout gut --Henristosch 05:57, 23. Jan 2006 (CET)

•  Neutral - Der Artikel ist zwar bei dem Teil des Lemmas, den er behandelt sehr gut, aber ich denke der Begriff Stellenwertsystem ist hier nicht allgemein genug erklärt. Es gibt auch Stellenwertsysteme, die nicht b-adisch sind (Bsp: BCD-Zählcode, JEDE Stelle hat den Stellenwert 1). Denkbar wären auch Stellenwertsysteme, bei denen der Stellenwert nicht mit dem Wert der Ziffer multipliziert, sondern dazu addiert wird. Bevor der Artikel für mich als Lesenswert durchgeht, sollte herausgehoben werden, dass b-adische Systeme nur eine (wichtige) Untermenge der Stellenwertsysteme sind. Außerdem sollte in der Einleitung präzise darauf eingegangen werden, was man unter dem Wert einer Stelle versteht. Ich habe gerade nicht viel Zeit, sonst würde ich das übernehmen, so kann ich nur darauf aufmerksam machen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob b-adisch eine eindeutige Bezeichnung für Stellenwertsysteme ist, die Stellenwerte haben, die durch eine Basis und natürlich hochgezählte Exponenten gebildet werden. --Supaari ^bla!_bla! 16:47, 7. Jun 2006 (CEST)

Ergänzung: Ich hab gerade doch noch mal im Bronstein (Taschenbuch der Mathematik BSB B.G. Teubner 1979) nachgeschaut. Dort Ist das Stellen- oder Positionssystem genau das, was im Artikel beschrieben steht. Dort steht auch, dass für die Basiszahl Eins kein Positionssystem existiert. Was zu meinem Beispiel BCD-Zählcode einen direkten Widerspruch bildet, es sei denn, man nennt diesen Code nicht Positionsystem. Da dort aber eindeutig jeder Stelle ein Wert zugeordnet ist, denke ich, kann man es schon Stellenwertsystem nennen. Ist nun der Bronstein veraltet oder

Positionsystem = Stellensystem $\not =$ Stellenwertsystem ? Oder sind meine Überlegungen Quatsch? --Supaari ^bla!_bla! 17:13, 7. Jun 2006 (CEST)

Nein, kein Quatsch. Die Frage nach den Grenzfällen ist immer spannend. Allerdings handelt es sich hierbei um eine Begriffsdefinition (finis[lat.]:Grenze). Diese Eingrenzung dessen, was man als Stellenwertsystem bezeichnen möchte, ist nicht von sich aus richtig oder falsch, sie ist selbstgewählt. Allerdings möchte ein Mathematiker, dass sich alle Fälle innerhalb einer Definition in gleicher Weise betrachten lassen. Das "1-adische Stellenwertsystem" weicht in einigen Eigenschaften derart von anderen Stellenwertsystemen ab, dass es sinnvoll ist, dieses auszuschliessen. (Bsp.: 10101 = 111 (fehlende Bijektivität/nicht eineindeutig)) Der Wert einer Ziffer ist unabhängig von ihrer Stelle - wieso soll es dann "Stellenwert"system heißen? --95.222.210.145 13:24, 19. Jul. 2009 (CEST)

•  Kontra - ...und zwar vehement! Dieser Artikel enthält wenig Fehler (sowohl grammatikalisch als auch inhaltlich). Er ist trotzdem schlecht. Die "Oma" versteht ihn nicht und derjenige, der schon Vorwissen hat, kennt bessere Erklärungsansätze. (...und weniger laienhaftes Rumgeeier (...was haben denn die rationalen Zahlen hier verloren? Es ist doch irrelevant, wie die Zahlen "heißen"; wenn 3 gleich ELSBETH wäre und 5 gleich HORST, dann wären 3/5 eben ELSBETH/HORSTEL,..(das Problem hierbei besteht nicht aus den Brüchen, sondern daraus, dass man Dezimalbrüche (KOMMA-Zahlen) in b-adische Brüche (auch wieder Kommazahlen, nur zu einer anderen Basis) überführen möchte (...tja, "Kommazahlen" sind oft nur eine Krücke und zum Rechnen unvorteilhafter,.. )))) (Zahlensysteme zu einer von zehn verschiedenen Basis kenne ich seit der zweiten Klasse. Eine(!) Vertretungsstunde reichte aus, mir das näherzubringen. Der didaktische Ansatz war ungefähr folgender: "Zähl mal, aber ohne 8 und 9. ...und was machst du nach der 7 ? 1 0 . Aha, und was bedeutet die 1? Acht!" Am Ende der Unterrichtsstunde sagte der Lehrer, jetzt könnt ihr zuhause sagen: "Meine Freundin ist 21 zur Basis 3.")

Konstruktive Kritik: Es wäre viel eindrücklicher, die Bedeutung eines "Stellenwertsystems" ZUERST am Beispiel des von allen verinnerlichten Dezimalsystems zu erläutern ("Die Bedeutung der Ziffer 5 ist verschieden, je nachdem, wo sie steht: 5 (fünf), 5000 (fünftausend), 3541 (fünfhundert (die "5" in dieser Ziffernfolge steht für fünfhundert)). Das veranschaulicht doch schon, was ein STELLENWERTSYSTEM ausmacht.) Danach kann man erklären, warum die "5" in "50" gerade "ZEHNMAL-5" bedeutet(Stichwort: Basis des Exponenten, ..und, wo oder was ist der Exponent?).

Abschnitt „Darstellung natürlicher Zahlen“

Gibt es einen Grund warum in "Darstellung natürlicher Zahlen" die Folge an,...a2,a1,a0 als Zahl sum(i=0 ; n-1 ; ai*b^i) dargestellt wird? --Anonymous2 11:30, 3. Dez 2007 (CEST)

Der Endwert der Summe war falsch. Ich habe ihn entsprechend korrigiert. --Stefan Birkner 10:37, 8. Dez. 2007 (CET)

Vigesimalsystem

Woher stammt die Aussage »Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.«, von der ich nie gehört habe, obwohl ich mich ein bißchen damit auskenne, wohingegen das Vigesimalsystem der Mayas nicht einmal erwähnt wird? -- G. Bach 13:31, 10. Aug. 2010 (CEST)

Zur eineindeutigen Darstellbarkeit

Die Abbildung ist meiner Meinung nach immer bijektiv! Oder kennst Du einen Fall, inder sie nur injektiv ist, Flups? Abgesehen davon sollte der Link nicht auf eine Begriffsklärunsseite führen! --Coma 18:50, 29. Apr 2003 (CEST)

Die Diskussion scheint zwar sehr alt zu sein, vermutlich ist dies der fragwürdige Teil:

"Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu beliebig oft die Ziffer 0 =0 anzuhängen (das heißt in der üblichen Schreibweise voranstellen). Werden Folgen verboten, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Entgegen diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die endliche Folge ohne ein einziges Folgenglied) zugeordnet, sondern die Folge, die aus genau einem Folgenglied besteht, nämlich der Ziffer, der der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl leichter typografisch erkennbar zu machen."

Es handelt sich um eine Zuordnung (Relation) insofern muss die Abbildung nicht injektiv und damit nicht bijektiv sein. --130.133.8.114 20:07, 18. Jan. 2016 (CET)

Der Vorredner ist zu ergänzen. Nicht nur wegen der 0 gibt es Duplikate. Sehr wichtige und weniger triviale Duplikate sind die endlichen b-adischen Brüche, die, wenn von 0 verschieden, immer auch eine Darstellung mit einem unendlichen (b-1)-Ende haben (ausführlich im Abschnitt Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung).

Ansonsten darf die Auffassung "meiner Meinung nach immer bijektiv" als überholt gelten. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:45, 8. Mai 2020 (CEST)