Analytische Torsion

Die analytische Torsion, auch Ray-Singer-Torsion (nach Daniel Burrill Ray, Isadore M. Singer), ist eine Invariante aus dem mathematischen Teilgebiet der Globalen Analysis. Sie wird mittels der regularisierten Determinante des Laplace-Operators definiert und stimmt mit der Reidemeister-Torsion überein (Satz von Cheeger-Müller).

Definition

Es sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $\rho \colon \pi _{1}M\to O(N)$ eine orthogonale Darstellung der Fundamentalgruppe, so dass der mittels der Wirkung der Fundamentalgruppe auf der universellen Überlagerung definierte Kettenkomplex Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_*(\widetilde{M},\R)\otimes_{\R\left[\pi_1M\right]} \R^N} azyklisch ist.

Das zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} assoziierte flache Bündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} hat eine kompatible Metrik, mit der man den auf Differentialformen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda^q(M,E)} wirkenden Hodge-Laplace-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta_q} definiert. Seien $\lambda _{j}$ die Eigenwerte von $\Delta _{q}$, dann definiert man seine Zeta-Funktion durch

$\zeta _{q}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}$

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Re(s)>\tfrac{N}{2}} und durch analytische Fortsetzung dieser Funktion für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\in\Complex} , und seine regularisierte Determinante durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log\det(\Delta_q)=-\frac{d}{ds}\mid_{s=0}\zeta_q(s)} .

Die analytische Torsion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_M(\rho)} wird definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log T_M(\rho)=\frac{1}{2}\sum_q(-1)^qq\frac{d}{ds}\mid_{s=0}\zeta_q(s)}

oder äquivalent durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_M(\rho)=\Pi_q\det(\Delta_q)^{-(-1)^q\frac{q}{2}}} .

Satz von Cheeger-Müller

Der Satz von Cheeger-Müller (vormals Ray-Singer-Vermutung) besagt die Gleichheit von analytischer Torsion und Reidemeister-Torsion. Er wurde zunächst von Cheeger und Müller für orthogonale oder unitäre Darstellungen bewiesen und später von Müller auf unimodulare Darstellungen verallgemeinert. Die Gleichheit der beiden Invarianten findet Verwendung in der perturbativen Chern-Simons-Theorie.

Literatur

• Ray, D. B.; Singer, I. M.: R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. Advances in Math. 7, 145–210. (1971).
• Müller, Werner: Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math. 28 (1978), no. 3, 233–305.
• Cheeger, Jeff: Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 259–322.
• Müller, Werner: Analytic torsion and R -torsion for unimodular representations. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 721–753.
• Bismut, Jean-Michel; Lott, John: Flat vector bundles, direct images and higher real analytic torsion. J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), no. 2, 291–363.

Weblinks

• Lück: Survey on analytic and topological torsion
• Bunke: Six lectures on analytic torsion