Autonomisierung

Autonomisierung bezeichnet das Umschreiben eines nicht-autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differentialgleichungssystem in der Numerischen Mathematik.

Beschreibung

Sei das Anfangswertproblem mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u'(t) = f(t,u(t)) \quad \text{mit} \quad u(t_0) = u_0 }

gegeben.

Dann ist das Ziel, dieses nicht-autonome DGL-System in ein autonomes, d. h. von der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} unabhängiges (=invariant gegen Zeittranslation) DGL-System zu überführen (autonomisieren).

Wir können uns auf die Anfangszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0 = 0} beschränken, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t)} bei jeder beliebigen Zeit eine Lösung sein muss, falls die Funktion autonomisiert werden kann.

In den numerischen Verfahren fallen die Zeitpunkte dann entsprechend weg. Das heißt, es gilt für das explizite Euler-Verfahren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{n+1} = u_n + h_n f(u(t_n))}

für eine autonome Differentialgleichung.

Autonomisierung

Schreiben wir nun die nicht-autonome DGL Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u'(t) = f(t,u(t)) , u \in \R^d, t \in [t_0, T]} in eine autonome DGL Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U'(t)=F(U(t)),U\in \mathbb {R} ^{d+1}} um, dann erhalten wir eine zusätzliche Dimension.

Definiere

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau = t - t_0 , U = \begin{pmatrix} u \\ \tau \end{pmatrix} , F(U) = \begin{pmatrix} f(\tau + t_0, u) \\ 1 \end{pmatrix} } .

Dann gilt die Beziehung:

${\frac {dU}{d\tau }}={\frac {d}{d\tau }}{\begin{pmatrix}u\\\tau \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {du}{d\tau }}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {du}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f(t,u)*1\\1\end{pmatrix}}{\underset {t=\tau +t_{0}}{=}}{\begin{pmatrix}f(\tau +t_{0},u)\\1\end{pmatrix}}=F(U)$.

Beispiele

1. Die Euler-Verfahren (explizit, implizit), das Heun-Verfahren und das Trapez-Verfahren sind alle invariant gegen Autonomisierung.

2. Das „schiefe“ Euler-Verfahren (Beachte Zeitschritt in $f$) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_{n+1} = u_n + h_n f(t_{n+1},u_n) } ist nicht invariant gegen Autonomisierung.