Autonome Differentialgleichung

Als autonome Differentialgleichung oder autonomes System bezeichnet man einen Typ von gewöhnlichen Differentialgleichungen, der nicht explizit von der unabhängigen Variable abhängt.

Zum Beispiel ist die Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y''(x)+\lambda \cdot y(x) = 0.}

autonom, die Mathieusche Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y''(x)+[\lambda + \gamma\cos(x) ] \cdot y(x) = 0.}

dagegen nicht, da sie explizit von der unabhängigen Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} abhängt (ein Parameter wird „von außen“ periodisch verändert).

Die unabhängige Variable steht in den Anwendungen häufig für die Zeit.

Definition

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

y^{(n)}(x)=f\left(y(x),y'(x),\dotsc ,y^{(n-1)}(x),x\right)

heißt autonome Differentialgleichung, wenn die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} nicht explizit von der unabhängigen Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} abhängt, das heißt wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^{(n)}(x) = f\left (y(x),y'(x), \dotsc,y^{(n-1)}(x)\right )}

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} im Definitionsbereich gilt.

Diese Differentialgleichung $n$ -ter Ordnung kann auch als ein System aus $n$ Differentialgleichungen erster Ordnung geschrieben werden – dazu führt man neue Variablen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_i \, (x)=y^{(i)} \, (x)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1, \dotsc, n-1}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0 \, (x)=y \, (x)} (die gesuchte Funktion)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_1 \, (x)=y' \, (x) =\frac {d y_0}{dx}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_2 \, (x)=y^{(2)} \, (x)=\frac {d y_1}{dx}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \cdot \cdot}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{n-1} \,(x) =\frac {d y_{n-2}}{dx}}

{\frac {dy_{n-1}}{dx}}=f(y_{0},y_{1},\dotsc ,y_{n-1})

ein.

Dadurch erhält man ein System von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} gekoppelten Differentialgleichungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} gesuchte Funktionen.

Das System der Differentialgleichungen kann man geometrisch interpretieren als System erster Ordnung in einem n-dimensionalen Phasenraum gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec y (x) = \left( y_0 (x), y_1 (x), \dots, y_{n-1} (x) \right)} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {d \vec y}{d x} = \vec f (\vec y )}

Die Differentialgleichung bestimmt die Tangenten der Lösungskurven im Phasenraum. Ein solches System gekoppelter autonomer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung kann aber auch direkt in den Anwendungen vorgegeben sein. Für die qualitative Diskussion von Bedeutung sind die Fixpunkte, an denen die Ableitung verschwindet (siehe unten).

Die Lösungen der autonomen Differentialgleichungen sind translationsinvariant. Ist $y(x)$ eine Lösung einer autonomen Differentialgleichung, so ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(x + c)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \in \R} eine Lösung ebendieser Gleichung bei geeignet verschobener Anfangsbedingung.

In vielen Anwendungen ist die unabhängige Variable die Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} .

Ein nicht-autonomes System in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Variablen $y,y_{1},\dotsc ,y_{n-1}$ , in dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} noch explizit von der unabhängigen Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} abhängt, kann man durch Hinzufügung einer weiteren Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{n}} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {d y_{n}}{dx} =1 }

formal autonom machen.^[1] Damit erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {d y_{n-1}}{dx} =f (y, y_1, \dotsc, y_{n-1}, y_n)} .

Lösungsmethoden

Die Gleichung erster Ordnung (die unabhängige Variable ist im Folgenden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} )

{\frac {dx}{dt}}=f(x)

kann durch Trennung der Variablen gelöst werden, formal:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dt = \frac {dx}{f(x)}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t + C = \int \frac{dx}{f(x)}}

mit einer Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} . Bei Gleichungen zweiter Ordnung kann man häufig wie oben nach Einführung neuer Variabler ebenfalls durch Trennung der Variablen lösen. Sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = f\left(x, \frac {dx}{dt}\right)}

mit der neuen Variablen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \frac{dx}{dt}\,\,\,} (Gleichung 1)

und

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}

erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\frac{dv}{dx} = f(x, v) \,\,\,} (Gleichung 2)

Das ist ein gekoppeltes System von zwei Gleichungen (Gleichung 1,2). Wendet man in der Gleichung 1 Trennung der Variablen an erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t + C_1 = \int \frac{d x}{v(x)} }

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(x)} muss man die Gleichung 2 lösen. Ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,v)=f(x)}

kann man dort ebenfalls Trennung der Variablen ausführen und erhält:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {v^2}{2} + C_2= \int f(x) dx}

und insgesamt:

t+C_{1}=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx-2\,C_{2}}}}

Ebenfalls mit Trennung der Variablen kann man den Fall:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x, v) = v^n \, f(x)}

behandeln, wie man durch Einsetzen in die Gleichung 2 sieht.

Beispiele

Autonome Systeme kommen häufig in der Theorie Dynamischer Systeme vor. Ein Beispiel für eine autonome Differentialgleichung ist die in der theoretischen Biologie verwendete logistische Differentialgleichung und der Lorenz-Attraktor in der Chaostheorie. Beide sind nichtlinear. In der Hamiltonschen Mechanik (mit klassischem Phasenraum aus Orts- und Impulsvariablen) hat man es mit solchen Systemen zu tun falls die Hamiltonfunktion nicht explizit zeitabhängig ist.

Das Umschreiben eines nicht-autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differentialgleichungssystem wird als Autonomisierung bezeichnet.

Qualitative Theorie der Fixpunkte der Differentialgleichung

Als Fixpunkt (Gleichgewichtspunkt) der Differentialgleichung, betrachtet als Vektorfeld (Fluss) im Phasenraum (die Tangenten der Trajektorien (Bahnen) sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {x}_t (t)} ) bezeichnet man eine Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {x}_f} , an der die autonome gewöhnliche Differentialgleichung (unabhängige Variable sei die Zeit t, ein tiefgestellter Index stellt eine Ableitung dar) eine Nullstelle hat:^[2]

{\vec {x}}_{t}={\vec {f}}({\vec {x}})=0

Asymptotisch stabiler Fixpunkt: Senke

An diesem Punkt ist das dynamische System stationär (zeitunabhängig). Ein Fixpunkt ist stabil, falls Trajektorien aus einer Umgebung des Fixpunkts in der Umgebung bleiben, und asymptotisch stabil, falls Trajektorien aus einer Umgebung (die maximale Erweiterung ist das Einzugsgebiet (Basin of attraction) des Fixpunkts) für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \to \infty} gegen den Fixpunkt konvergieren, ein Fall, der häufig bei Problemen mit Dämpfung auftritt. Das ist ein Beispiel eines Attraktors. Es gibt auch kompliziertere Attraktoren zum Beispiel mit Grenzzyklus, hier werden nur solche vom Typ isolierter Punkte betrachtet.

Man linearisiere Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {f} ( \vec {x} ) } um den Fixpunkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {u}=\vec {x} - \vec {x}_f} :

{\vec {u}}_{t}=A\cdot {\vec {u}}+{\vec {g}}({\vec {u}})

mit Termen höherer Ordnung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {g} (\vec {u})} , die vernachlässigt werden, und einer Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , der Jacobi-Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A= \left( \frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right) \,\,} (ausgewertet an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {x}= \vec {x}_f} )

so dass der Fall einer konstanten, als nicht-singulär angenommenen Matrix vorliegt. Der Einfachheit wird hier nur der ebene Fall behandelt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {x} =\left( x_1, x_2 \right)} . Dann hat die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , da sie reell ist, die beiden komplex konjugierten Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1, \lambda_2} , die aus der charakteristischen Gleichung bestimmt werden:

Datei:Phase diagram simple ho.png

Neutrale Stabilität: periodische Bewegung um ein Zentrum, elliptischer Fixpunkt

\operatorname {det} (\lambda -A)={\lambda }^{2}-\lambda \,\operatorname {Sp} (A)+\operatorname {det} (A)=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1,2} = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Sp} (A) \pm \sqrt {{(\operatorname{Sp} (A))}^2 - 4 \, \operatorname{det} (A) } \right)}

ausgedrückt durch die Determinante $\operatorname {det} (A)=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}$ und Spur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp} (A) = \lambda_1 + \lambda_2} der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Die Lösung der linearisierten Gleichung ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {u} (t) = \sum_{i=1,2} u_i (0) \vec {e_i} e^{\lambda_i \, t}}

Der Fall asymptotischer Stabilität (Abbildung rechts) liegt dann für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re} (\lambda_i) <0} vor (beide Eigenwerte negativer Realteil). Das entspricht genau dem Fall dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det} (A) > 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp} (A) < 0} Im Phasenbild liegt eine Senke (stabiler Knoten) vor. In der Abbildung hat sie Spiralform (das heißt die Eigenwerte sind nicht reell, sondern haben nicht verschwindenden Imaginärteil), was auch Fokus genannt wird^[3], sind sie reell liegt ein Knoten vor.

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re} (\lambda_i) = 0} (also rein imaginäre Eigenwerte) hat man den Fall neutraler Stabilität, zum Beispiel die periodische Bewegung eines Pendels (das Phasenbild hat eine Zentrums-Mannigfaltigkeit, elliptischer Fixpunkt). Das entspricht das Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {Sp} (A)=0} .

Falls nur für einen der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re} (\lambda_1) < 0} ist, sind alle Eigenwerte reell und der zweite Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2} ist positiv. Das entspricht dem Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det} (A) < 0} . Hier hat man einen Sattelpunkt. Der Phasenraum der Differentialgleichung wird beim Sattelpunkt durch zwei sich kreuzende Geraden (Separatrix) in vier Bereiche aufgeteilt, in denen die Trajektorien jeweils bleiben. Auf der einen Geraden verläuft die Bahn für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \to \infty} zum Fixpunkt (stabile Untermannigfaltigkeit), auf der anderen vom Fixpunkt fort (Instabile Untermannigfaltigkeit), das heißt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \to -\infty} zum Fixpunkt. Da sie den Fixpunkten nur für unendliche Zeiten erreichen, schneiden sich die zu den Geraden gehörigen Trajektorien nicht.

Datei:Phase Portrait Sadle.svg

Sattelpunkt

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re} (\lambda_i) > 0} hat man keinen stabilen Fixpunkt: die Trajektorien streben vom Punkt weg. Hier liegt ein instabiler Knoten (Quelle) vor bzw. bei nicht-verschwindendem Imaginärteil der Eigenwerte ein instabiler Fokus. Das entspricht dem Fall Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {det} (A)>0} und $\operatorname {Sp} (A)>0$ .

Die Diskussion für den linearisierten Fall gilt lokal. Für sogenannte Hyperbolische Fixpunkte^[4], für die die Realteile der Eigenwerte des linearisierten Systems ungleich Null sind (worunter Quellen, Senken, Sattelpunkte und Foki (Spiralen) fallen), lässt sich aus dem linearisierten Verhalten auf das Verhalten des nichtlinearen Systems nahe dem Fixpunkt schließen (Satz von Hartman-Grobman).

Man unterscheidet zwischen konservativen Systemen, in denen für die Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = \vec x_t}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla \vec v = 0}

gilt (zum Beispiel Hamiltonsche Systeme ohne Zeitabhängigkeit der Hamiltonfunktion nach dem Satz von Liouville) und solchen, in denen dies nicht gilt (dissipative Systeme). Bei konservativen Systemen, in denen das Phasenraumvolumen erhalten ist, gibt es als Fixpunkte nur elliptische Fixpunkte (Zentren) und Sattelpunkte (nicht Quellen, Senken oder Spiralen), und Grenzzyklen sind auch nicht erlaubt. Grenzzyklen sind als mögliche Grenzmengen des Phasenraumflusses zuerst von Henri Poincaré betrachtet worden (der für zwei Dimensionen geltende Satz von Poincaré-Bendixson macht hier Existenzaussagen). Grenzzyklen können bei Variation der Parameter des Systems durch Hopf-Bifurkation aus Fixpunkten entstehen (das entspricht dem Fall, dass $\operatorname {det} (A)\neq 0$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp} (A) \to 0} ). Bei einer Sattel-Knoten-Bifurkation kollidieren zwei Fixpunkte. Das entspricht dem Übergang von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det} (A) > 0} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{det} (A) <0} (von Knoten zu Sattelpunkten und umgekehrt).

In drei Dimensionen hat man drei Eigenwerte und je nachdem deren Real- und Imaginärteil verschwindet, positiv oder negativ ist mehr Möglichkeiten: zum Beispiel neben Sattel und Knoten wie oben stabile und instabile Fokus-Knoten und Sattel-Foki.^[5] Es gibt auch neue Arten nicht-hyperbolischer Fixpunkte, die bei Zuschalten der nichtlinearen Terme nicht strukturell stabil sind. Deren Verhalten hängt vielmehr von den nichtlinearen Termen ab und es entstehen neue Typen nicht-hyperbolischer Fixpunkte etwa bei Hopf-Bifurkationen oder Sattel-Knoten-Bifurkationen. Zum Beispiel tritt die Bogdanov-Takens-Bifurkation in nichtlinearen Systemen auf, in denen zwei der Eigenwerte verschwinden (sie besteht aus einer Kombination von Sattel-Knoten-Bifurkation und Hopf-Bifurkation).

Galerie

Qualitatives Verhalten nahe der Fixpunkte in zwei Dimensionen in Abhängigkeit von Spur p und Determinante q
Phasendiagramme des Pendels mit durchgehender blauer Separatrix mit Sattelpunkten in den scheinbaren Schnittpunkten. Die Separatrix umhüllt die geschlossenen Kurven (periodische Bewegung mit Zentrum)

Literatur

Günther Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner 2006
Hirsch, Smale, Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and Introduction to Chaos, Academic Press 2004

Einzelnachweise

↑ Autonomous, Wolfram Mathworld
↑ Darstellung im Folgenden nach Beltrami, Mathematics for Dynamics Modeling, Academic Press 1987. Auch dargestellt in Hirsch, Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974 und der Neuauflage Hirsch, Smale, Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems and Introduction to Chaos, Academic Press 2004, dort Klassifikation ebener Systeme nach Determinante und Spur der Matrix zusammengefasst in der Abbildung S. 63
↑ Fixpunkte, Spektrum Lexikon der Physik
↑ Manchmal wird auch im engeren Sinn ein Sattelpunkt als hyperbolischer Fixpunkt, der Fall eines Zentrums als elliptisch bezeichnet, siehe das oben zitierte Spektrum Lexikon der Physik.
↑ Siehe die Abbildungen in Eugene M. Izhikevich, Equilibrium, Scholarpedia

[1] Autonomous, Wolfram Mathworld

[2] Darstellung im Folgenden nach Beltrami, Mathematics for Dynamics Modeling, Academic Press 1987. Auch dargestellt in Hirsch, Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974 und der Neuauflage Hirsch, Smale, Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems and Introduction to Chaos, Academic Press 2004, dort Klassifikation ebener Systeme nach Determinante und Spur der Matrix zusammengefasst in der Abbildung S. 63

[3] Fixpunkte, Spektrum Lexikon der Physik

[4] Manchmal wird auch im engeren Sinn ein Sattelpunkt als hyperbolischer Fixpunkt, der Fall eines Zentrums als elliptisch bezeichnet, siehe das oben zitierte Spektrum Lexikon der Physik.

[5] Siehe die Abbildungen in Eugene M. Izhikevich, Equilibrium, Scholarpedia

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