Bartlett-Test

Als Bartlett-Test (auch: Bartletts Test) werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet:

• der Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen in $k$ Stichproben und
• der Bartlett-Test auf Sphärizität zur Durchführung einer Faktorenanalyse.

Beide Tests beruhen auf einem Likelihood-Quotienten-Test und setzen eine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen

Dieser Test prüft, ob $k$ Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die Varianzanalyse, setzen voraus, dass die Varianzen der $k$ Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett-Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt. Dieser Test wird auch Bartletts M-Test oder Neyman-Pearson-Bartlett-Test genannt.

Voraussetzung

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung für jede der $k$ Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte $\mu _{i}$ und die Varianzen $\sigma _{i}^{2}$ unbekannt sind, $i=1,\ldots ,k$. Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Hypothesen

Der Bartlett-Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\dots =\sigma _{k}^{2}$ gegen $H_{1}:\exists i,j\quad {\text{mit}}\quad \sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}$

Teststatistik

Wenn die $k$ Gruppen die Stichprobenumfänge $n_{i}$, die Stichprobenmittel ${\bar {X}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}X_{ij}$ und die Stichprobenvarianzen $S_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}(X_{ij}-{\bar {X}}_{i})^{2}$ für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1,\ldots,k} haben, dann wird die Teststatistik definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2 = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum\limits_{i=1}^k(n_i - 1)\ln(S_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)} \left( \left[\sum \limits_{i=1}^k\frac{1}{n_i-1} \right] - \frac{1}{N-k} \right)} }

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N = \sum_{i=1}^k n_i} und $S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)S_{i}^{2}$.

Testverteilung

Die Teststatistik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2} ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k-1} Freiheitsgraden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2_{k-1,1-\alpha}} ist. Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2_{k-1,1-\alpha}} das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1-\alpha)} -Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k-1} Freiheitsgraden. Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer $100\alpha$-Prozentpunkt (engl. upper $100\alpha$ percentage point) der Verteilung bezeichnet und dann auch als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2_{k-1,\alpha}} notiert.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Bartlett-Test auf Sphärizität

Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die Korrelationsmatrix der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

Voraussetzung

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Hypothesen

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} gleich der Einheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_0: R=E\,} gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_1: R\neq E}

Teststatistik

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2 = -\left(n-1 - \frac{2p+5}{6}\right)\log(|R|)}

wobei $n$ die Anzahl der Beobachtungen und $|R|$ die Determinante von $R$ ist.

Die Teststatistik $X^{2}$ ist approximativ $\chi _{p(p-1)/2}^{2}$-verteilt mit $p(p-1)/2$ Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als $\chi _{p(p-1)/2,\alpha }^{2}$.

Weblinks

• NIST page on Bartlett's test