Benutzer:부고/SU(2)

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Topologische Gestalt

Jede Matrix $A\in SU(2)$ lässt sich in der Form

$A=\left({\begin{array}{cc}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{array}}\right)$

mit $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ und $\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}=1$ schreiben.

Die Abbildung

$SU(2)\to S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}\colon \mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right\}$

$\left({\begin{array}{cc}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{array}}\right)\to (z_{1},z_{2})$

ist ein Diffeomorphismus von $SU(2)$ auf die 3-Sphäre. Insbesondere trägt die 3-dimensionale Sphäre die Struktur einer Lie-Gruppe, als einzige Sphäre neben $S^{1}=U(1)$.

SU(2) als Spin-Gruppe

$SU(2)$ ist eine 2-fache Überlagerung der 3-dimensionalen Drehgruppe $SO(3)$, sie ist also die 3-dimensionale Spingruppe $Spin(3)$.

Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Überlagerungsabbildung zu verstehen.

Ein Zugang benutzt Quaternionen. $SU(2)$ ist isomorph zur Gruppe der Einheitsquaternionen und wirkt durch Konjugation auf den Quaternionen. Inbesondere erhält sie den von $i,j,k$ Unterraum der imaginären Quaternionen. Dieser ist ein 3-dimensionaler Vektorraum und man kann zeigen, dass die Konjugation mit Einheitsquaternionen das natürliche Skalarprodukt auf diesem 3-dimensionalen Vektorraum erhält.

Der andere Zugang benutzt die adjungierte Abbildung von $SU(2)$ in die Automorphismen der Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}_{2}$. Diese ist 3-dimensional und die Killing-Form ist (wie auf der Lie-Algebra jeder kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe) negativ definit. Wie in jeder Lie-Gruppe erhält die adjungierte Abbildung die Killing-Form, wir erhalten also eine Abbildung $SU(2)\to SO(3)$.

In beiden Fällen kann man zeigen, dass die Abbildung $SU(2)\to SO(3)$ eine zweifache Überlagerung ist.

SU(2)-Bündel

$SU(2)$-Bündel sind insbesondere in der Theorie der 4-Mannigfaltigkeiten von Bedeutung, unter anderem weil sie zur Konstruktion von Donaldson-Invarianten verwendet werden.

$SU(2)$-Hauptfaserbündel über geschlossenen4-Mannigfaltigkeiten $M$ werden durch ihre 2. Chern-Klasse $c_{2}\in H^{4}(M;\mathbb {Z} )$ klassifiziert.

Die Yang-Mills-Gleichungen sind Gleichungen für einen Zusammenhang auf einem $SU(2)$-Bündel über einer 4-Mannigfaltigkeit. Sie lassen sich formulieren als

$\nabla F=0$

$\nabla *F=0$

wobei $F$ die Krümmungsform des Zusammenhangs und $*$ der Hodge-*-Operator ist.

Darstellungstheorie der SU(2)

$SU(2)$ ist die spaltbare reelle Form der $SL(2,\mathbb {C} )$, ihre Darstellungen ergeben sich also als Einschränkung der Darstellungen der $SL(2,\mathbb {C} )$. Insbesondere erhält man alle komplex-linearen, irreduziblen, endlich-dimensionalen Darstellungen der $SU(2)$ durch die folgende Konstruktion.

F?ur $m\in \mathbb {N}$ betrahten wir den Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad $m$ in zwei komplexen Variablen

$V_{m}:=\left\{f(z_{1},z_{2})=a_{0}z_{1}^{m}+a_{1}z_{1}^{m}z_{2}+a_{2}z_{1}^{m-2}z_{2}^{2}+\ldots +a_{m}z_{2}^{m}\colon a_{0},\ldots ,a_{m}\in \mathbb {C} \right\}$

F?ür $A\in SU(2)\subset GL(2,\mathbb {C} )$ definieren wir

$\rho _{m}(A)(f))(z_{1},z_{2}):=f(A^{-1}(z_{1},z_{2}))$.

Man pr?üft nach, dass $\rho _{m}(A)(f))\in V_{m}$ und dass $\rho _{m}\colon SU(2)\to GL(V_{m})=GL(m+1,\mathbb {C} )$ eine irreduzible Darstellung ist.

Der Satz von Clebsch-Gordan erlaubt es, das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen in eine Summe irreduzibler Darstellungen zu zerlegen:

$V_{m}\otimes V_{n}=V_{m+n}\oplus V_{m+n-2}\oplus \ldots \oplus V_{m-n+2}\oplus V_{m-n}$

für $m\geq n$.

Physik

Die Drehimpulsalgebra ist isomorph zur Komplexifizierung der Lie-Algebra der $SU(2)$. Viele physikalische Situationen sind rotations-invariant und lassen sich also als Darstellungen der $SO(3)$ beschreiben, welche in der Regel unendlich-dimensional sind und sich aber in endlich-dimensionale irreduzible Darstellungen zerlegen lassen. Im Falle des Wasserstoffatoms entsprechen die Anzahlen der Zustände gleicher Energie gerade den Dimensionen dieser irreduziblen Darstellungen. Gewisse Effekte lassen sich aber nur erklären, wenn man die Dimensionen verdoppelt, also statt der SO(3)-Darstellungen die durch Tensorieren mit der Standarddastellung $\mathbb {C} ^{2}$ entstehenden SU(2)-Darstellungen betrachtet.

Die starke Wechselwirkung und damit das Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist $SU(2)$-invariant.

Weblinks

• Woit: SU(2) Representations and Their Applications

Beispiele von Doppelverhältnissen
($\lambda _{S}=(A,B;S),\lambda _{T}=(A,B;T)$ sind die zugehörigen Teilverhältnisse)
Das 3. Beispiel zeigt 4 harmonisch liegende Punkte, siehe harmonische Teilung.

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird zum Beispiel die Strecke $\left[AB\right]$ sowohl durch einen Punkt $S$ als auch durch einen Punkt $T$ in jeweils zwei Teilstrecken $\left[AS\right]$ und $\left[SB\right]$ bzw. $\left[AT\right]$ und $\left[TB\right]$ (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis ${\tfrac {|AS|}{|SB|}}:{\tfrac {|AT|}{|TB|}}$ das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte $S,T$ die gegebene Strecke $\left[AB\right]$ teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen, denn das anschaulichere Teilverhältnis ist zwar invariant unter Parallelprojektionen, aber nicht unter Zentralprojektionen. Eine Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (das heißt, einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird).

Eine besonderer Fall liegt vor, wenn das Doppelverhältnis den Wert -1 annimmt. In diesem Fall spricht man von einer harmonischen Teilung der Strecke $\left[AB\right]$ durch das Punktepaar $S,T$ und sagt, $A,B,S,T$ liegen harmonisch.

Während man das Teilverhältnis dreier Punkte noch gut an der Lage der Punkte abschätzen kann, ist dies für das Doppelverhältnis fast unmöglich. Das Doppelverhältnis hat in der analytischen und projektiven Geometrie hauptsächlich theoretische Bedeutung (Invariante bei projektiven Kollineationen). In der darstellenden Geometrie allerdings wird es (ohne Rechnung) zur Rekonstruktion ebener Figuren verwendet.

Affines Doppelverhältnis

zur Parameterdarstellung einer Gerade

Eine Gerade im affinen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ lässt sich mit zwei fest gewählten Vektoren ${\vec {u}},{\vec {v}}$ durch

$g\colon {\vec {x}}={\vec {u}}+x{\vec {v}},x\in \mathbb {R}$

parametrisieren. Für vier Punkte $A,B,S,T$ einer Geraden $g\colon {\vec {x}}={\vec {u}}+x{\vec {v}}$ seien $a,b,s,t$ die Parameter bezüglich der Parameterdarstellung der Gerade $g$. Dann heißt das Verhältnis der Teilverhältnisse $(A,B;S),(A,B;T)$

$(A,B;S,T)_{a}:=(A,B;S):(A,B;T)={\frac {s-a}{b-s}}:{\frac {t-a}{b-t}}$

das affine Doppelverhältnis der Punkte $A,B,S,T$.

Eigenschaften

Liegen beide Teilpunkte $S,T$ zwischen $A,B$ (innere Teilungen) oder beide außerhalb, so ist das Doppelverhältnis positiv, in den anderen Fällen (ein Teilpunkt innen, der andere außen) ist das Doppelverhältnis negativ.

Harmonischer Punkt

Ist das Doppelverhältnis $-1$, so sagt man $A,B,S,T$ liegen harmonisch. Siehe Harmonische Teilung.

Beispiele

Haben $A,B$ die Parameter $a=0,b=1$, so ist $(A,B;S,T)_{a}={\tfrac {s}{1-s}}:{\tfrac {t}{1-t}}$.

1. Für $s=1/3,t=3/4$ ist das Doppelverhältnis $(A,B;S,T)=1/6$ (siehe Bild in der Einleitung).
2. Liegen $A,B,S,T$ harmonisch, so gilt: ${\tfrac {1}{2}}({\tfrac {1}{s}}+{\tfrac {1}{t}})=1$, d.h. das harmonische Mittel der Zahlen $s,t$ ist $1$.

Doppelverhältnis

Das "normale" Doppelverhältnis wird für vier Punkte auf einer projektiven Gerade erklärt.

Projektive Gerade

Eine projektive Gerade über einem Körper $K$ ist die Menge der eindimensionalen Unterräume in einem zweidimensionalen $K$-Vektorraum. Nach Wahl einer Basis ${\vec {u}},{\vec {v}}$ sind die Punkte der projektiven Geraden dann durch homogene Koordinaten $(x:y)$ mit $(x,y)\in K^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}$ gegeben, wobei der Punkt mit homogenen Koordinaten $(x:y)$ dem eindimensionalen Unterraum

• $\langle x{\vec {u}}+y{\vec {v}}\rangle ,\ (x,y)\neq (0,0)$

projektive Gerade: homogene (oben) und inhomogene (unten) Koordinaten

entspricht und demzufolge $(x:y)=(\lambda x:\lambda y)$ für alle $\lambda \in K\setminus \left\{0\right\}$ ist. Man kann die projektive Gerade $P^{1}K$ auch mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ identifizieren, dabei werden homogene Koordinaten in inhomogene Koordinaten überführt: $(x:1)$ entspricht dem Punkt $x$ und $(1:0)$ dem Punkt $\infty$

Das Doppelverhältnis

Für vier Punkte $A,B,S,T$ einer projektiven Gerade $g$ mit den zugehörigen homogenen Koordinaten $(a_{1}:a_{2}),(b_{1}:b_{2}),(s_{1}:s_{2}),(t_{1}:t_{2})$ heißt

• $(A,B;S,T):={\frac {\begin{vmatrix}s_{1}&a_{1}\\s_{2}&a_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{1}&s_{1}\\b_{2}&s_{2}\end{vmatrix}}}:{\frac {\begin{vmatrix}t_{1}&a_{1}\\t_{2}&a_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{1}&t_{1}\\b_{2}&t_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {s_{1}a_{2}-s_{2}a_{1}}{b_{1}s_{2}-b_{2}s_{1}}}:{\frac {t_{1}a_{2}-t_{2}a_{1}}{b_{1}t_{2}-b_{2}t_{1}}}$

das Doppelverhältnis von $A,B,S,T$.

Eigenschaften des Doppelverhältnisses:

1. $(B,A;S,T)={\tfrac {1}{(A,B;S,T)}}$ (Vertauschen von $A,B$),
2. $(A,B;T,S)={\tfrac {1}{(A,B;S,T)}}$ (Vertauschen von $S,T$),
3. $(B,A;T,S)=(A,B;S,T)\ ,$
4. $(S,T;A,B)=(A,B;S,T)\ .$
5. Das Doppelverhältnis ist gegenüber einem Basiswechsel invariant. (Siehe Regeln für Determinanten.)
6. Sind die vier Punkte vom Fernpunkt $\infty$ verschieden, lassen sie sich mit homogenen Koordinaten so beschreiben, dass $a_{2}=b_{2}=s_{2}=t_{2}=1$ ist. In diesem Fall ergibt sich das (affine) Doppelverhältnis (s.o.)

$(A,B;S,T)={\tfrac {s_{1}-a_{1}}{b_{1}-s_{1}}}:{\tfrac {t_{1}-a_{1}}{b_{1}-t_{1}}}\ .$

Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion

Invarianz des Doppelverhältnisses

In einer projektiven Koordinatenebene über einem Körper sind die projektiven Kollineationen diejenigen Kollineationen, die von linearen Abbildungen erzeugt werden. Da bei geeigneter Koordinatisierung vier kollineare Punkte $A,B,C,D$ immer so beschrieben werden können, dass

$A=(1:0),\;B=(0:1),\;C=(1:1),\;D=(x:1)$

ist und eine lineare Abbildung den Faktor $x$ invariant lässt, bleibt damit auch das Doppelverhältnis $(A,B;C,D)=x$ invariant.

In der darstellenden Geometrie werden Geraden des Raumes mit einer Zentralprojektion in eine Bildtafel projiziert. Solch eine Zentralprojektion lässt sich zu einer projektive Kollineation des Raumes fortsetzen und projektive Kollineationen lassen das Doppelverhältnis invariant. Also gilt

• Das Doppelverhältnis bleibt bei einer Zentralprojektion invariant. (s. Bild)

Doppelverhältnis von 4 kopunktalen Geraden

Zum Berechnen des Doppelverhältnises mit Winkel

Wegen der Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion lässt es sich auch für vier in einer Ebene liegende kopunktale Geraden erklären:

• Das Doppelverhältnis von vier kopunktalen Geraden einer Ebene ist das Doppelverhältnis der vier Punkte $A,B,C,D$ einer die 4 Geraden schneidenden Gerade (s. Bild).

Da der Betrag einer 2x2-Determinante gleich dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, ist und der Flächeninhalt eines Dreiecks durch ${\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ($a,b$ sind Seiten des Dreiecks und $\gamma$ der eingeschlossenen Winkel, siehe Dreiecksfläche) ausgedrückt werden kann, lässt sich das Doppelverhältnis auch wie folgt beschreiben:

• $(A,B;C,D)={\frac {\sin(CZA)}{\sin(CZB)}}:{\frac {\sin(DZA)}{\sin(DZB)}}={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\sin \beta }}:{\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{\sin(\beta +\gamma )}}$ (siehe Bild).

(Die Seitenlängen kürzen sich alle heraus!)

Doppelverhältnis und hyperbolischer Abstand

Die reelle projektive Gerade ist der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene. Der hyperbolische Abstand lässt sich aus dem Doppelverhältnis rekonstruieren wie folgt.

Für zwei Punkte $A$ und $B$ der hyperbolischen Ebene sei $\gamma$ die eindeutige durch diese beiden Punkte verlaufende Geodätische und $x,y$ seien ihre Endpunkte im Unendlichen. Seien $C_{x},C_{y}$ die durch $A$ bzw. $B$ verlaufenden Horosphären mit Mittelpunkt $x,y$ und seien $z,t$ die Mittelpunkte der beiden zu $C_{x}$ und $C_{y}$ tangentialen Horosphären. Dann kann der hyperbolische Abstand berechnet werden durch

$d_{hyp}(A,B)=\log(x,y;z,t)$.

Umgekehrt kann das Doppelverhältnis aus dem hyperbolischen Abstand rekonstruiert werden durch die Formel

$(x,y;z,t)=\lim _{(A,B,A^{\prime },B^{\prime })\to (x,y,z,t)}\exp {\frac {1}{2}}\left\{d_{hyp}(A,B)+d_{hyp}(A^{\prime },B^{\prime })-d_{hyp}(A,B^{\prime })-d_{hyp}(B,A^{\prime })\right\}$

wobei die Konvergenz $A\to x,B\to y,A^{\prime }\to z,B^{\prime }\to t$ entlang einer Geodätischen erfolgt.

Diese Formel erlaubt eine direkte Verallgemeinerung des Doppelverhältnisses für 4-Tupel von Punkten im Unendlichen eines beliebigen CAT(-1)-Raumes, insbesondere einer Hadamard-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung.

Geschichte

Das Doppelverhältnis und seine Invarianz unter Projektivitäten wurde in der Antike von Pappos verwendet und um 1640 von Desargues wiederentdeckt. Es wurde zu einem Standardwerkzeug in der Blüte der projektiven Geometrie im 19. Jahrhundert. Cayley benutzte es 1859 in "Sixth memoir on quantics" zur Definition einer Metrik in der projektiven Geometrie, siehe Hilbert-Metrik. Felix Klein bemerkte 1871 in "Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie", dass man auf diese Weise die hyperbolische Metrik der Kreisscheibe erhält, siehe Beltrami-Klein-Modell.

Weblinks

• W.P. Barth: Geometrie, Uni Marburg, S.91

Literatur

• dtv-Atlas zur Mathematik, Band 1, 1978, ISBN 3-423-03007-0, S. 165
• Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 8
• Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 281