Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten Spin

Spin (von englisch spin ‚Drehung‘, ‚Drall‘) ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Teilchen. An Elektronen wurde er 1924 erstmals entdeckt, danach auch an allen anderen Teilchenarten. Der Spin hat alle Eigenschaften eines mechanischen Drehimpulses, ausgenommen die, dass er durch die Drehbewegung einer Masse hervorgerufen wird. Für jedes Teilchen hat der Spin einen unveränderlichen Betrag, der durch die Spin-Quantenzahl angegeben wird. Selbst wenn das Teilchen mit kinetischer Energie Null ruht, hat es seinen Spin, der deshalb auch als Eigendrehimpuls bezeichnet wird. Wie oder wodurch der Spin zustande kommt, bleibt in der klassischen Physik unerklärbar. Anschauliche oder semi-klassische Beschreibungen sind daher unvollständig.

Der Spin ist der elementaren Teilchen ist von fundamentaler Bedeutung für das physikalische Weltbild. Er spielt beim Aufbau der Materie bis hin zur Festlegung ihrer makroskopischen Eigenschaften eine bestimmende Rolle. Hierzu sowie zur Entdeckung und Rezeption des Spins siehe Elektronenspin.

Abweichend von dieser grundsätzlichen Bedeutung wird in der Kernphysik das Wort Spin auch für den ganzen Atomkern benutzt, also für den Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems, das in verschiedenen Anregungsstufen auch verschieden großen Spin haben kann. Auch der Spin Null kann hierbei vorkommen. Schon der leichteste aller Kerne, das Proton, ist zusammengesetzt und hat einen Spin. In der heute verbreiteten medizinisch-diagnostischen Methode der magnetischen Kernspin-Tomographie (MRT) ist dieser Eigendrehimpuls des Protons angesprochen.

Das magnetische Moment des Elektronenspins ermöglichte im Stern-Gerlach-Versuch den ersten direkten Nachweis der Richtungsquantelung. Die Effekte der magnetischen Kernspinresonanz bzw. Elektronenspinresonanz werden in Chemie, Biologie und Medizin zur detaillierten Untersuchungen von Materialien, Geweben und Prozessen genutzt.

Spinoperator und Eigenwerte

Der zum Spin gehörende Operator ${\hat {\vec {s}}}=({\hat {s}}_{x},\,{\hat {s}}_{y},{\hat {s}}_{z})$ gehorcht denselben drei Vertauschungsrelationen wie die Operatoren zum Bahndrehimpuls und Gesamtdrehimpuls:

$[{\hat {s}}_{x},{\hat {s}}_{y}]=i\hbar {\hat {s}}_{z}$ (auch für x, y, z zyklisch vertauscht)

Daher gelten hier auch alle anderen allgemeinen Regeln des quantenmechanischen Drehimpulses.

Den Spin ${\hat {\vec {s}}}$ unterscheidet sich vom Bahndrehimpuls ${\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}}$ darin, dass er mit allen anderen Operatoren für die am Teilchen beobachtbaren Observablen vertauschbar ist. Das erweitert den Wertevorrat seiner Quantenzahlen um halbzahlige Werte. (Der Bahndrehimpuls erfüllt zusätzlich die Bedingung ${\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {p}}}=0$, die natürlich auch für den (Bahn-)Drehimpuls der klassischen Mechanik gilt.)

Da (außer im Fall von Spin Null) die drei Komponenten nicht miteinander vertauschbar sind, wählt man als maximal möglichen Satz vertauschbarer Operatoren analog zum Bahndrehimpuls ${\hat {\vec {s}}}^{2}$ und ${\hat {s}}_{z}$. Jeder Zustand des Teilchens ist Eigenzustand zu ${\hat {\vec {s}}}^{2}$ mit dem Eigenwert $s(s+1)\,\hbar ^{2}$. Der Wertevorrat für die Spinquantenzahl $\,s$ ist $s=0,\,{\tfrac {1}{2}},\,1,\,{\tfrac {3}{2}}\;\dots$. Der Eigenwert für ${\hat {s}}_{z}$ heißt auch magnetische Spinquantenzahl und wird meist mit $\,s_{z}$ oder Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \,m_{s}} bezeichnet. Möglich sind stets die $\,(2s+1)$ Werte $\,m_{s}=-s,\,-(s-1),\,...,\,+s)$, alle zusammen je nach Wert $\,s$ entweder nur halbzahlig (dann in gerader Anzahl) oder nur ganzzahlig (dann in ungerader Anzahl).

Die Regeln für die Addition von zwei Drehimpulsen gelten völlig gleich für Bahndrehimpuls und Spin. Daher entsteht durch die Addition von zwei halbzahligen Drehimpulsen ein ganzzahliger (wie bei zwei ganzzahligen auch), während sich ein halbzahliger und ein ganzzahliger Drehimpuls zu einem halbzahligen Drehimpuls addieren. Ein System aus Bosonen und Fermionen hat daher genau dann einen halbzahligen Gesamtdrehimpuls, wenn es eine ungerade Anzahl Fermionen enthält.

Beobachtete Werte für die Spinquantenzahl sind

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,s=\tfrac{1}{2}} für alle fundamentalen Teilchen vom Typ Fermion, z. B. Elektron, Neutrino, Quarks.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,s=1} für alle fundamentalen Teilchen vom Typ Boson, z. B. Photon, Gluon, W-Boson und Z-Boson.

Zu $\,s=0$ wird das Higgs-Boson erwartet, ist aber noch nicht richtig nachgewiesen.

Auch bei vielen weiteren Teilchen und Quasiteilchen wird in der Umgangssprache der Physik der Drehimpuls um den Schwerpunkt als Spin bezeichnet, der bei derselben Teichenart je nach angeregtem Zustand des Teilchens dann auch verschiedene Werte haben kann. Dies sind alles zusammengesetzte Systeme, deren Drehimpuls sich nach den allgemeingültigen Regeln der quantenmechanischen Addition aus den Spins und Bahndrehimpulsen ihrer fundamentalen Bestandteile bildet. Sie werden hier nicht weiter berücksichtigt.

Unter allen Drehimpulsen hat der Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} besondere Eigenschaften (siehe weiter unten).

Boson, Fermion, Teilchenzahlerhaltung

Gemäß dem Standardmodell der Elementarteilchenphysik bestimmt der Spin die grundlegende Klassifizierung der Elementarteilchen in Bosonen (Spin ganzzahlig) und Fermionen (Spin halbzahlig). Aus dem Satz von der Erhaltung des Gesamtdrehimpulses eines Systems bei allen möglichen Prozessen folgt die Einschränkung, dass die Fermionen sich nur in Paaren erzeugen oder vernichten lassen, nie einzeln, weil sonst der Gesamtdrehimpuls nicht konstant bleiben könnte sondern von einem halbzahligen zu einem ganzzahligen Wert (oder umgekehrt) springen müsste.

Vertauschungssymmetrie, Statistik, Pauli-Prinzip

Die Klasseneinteilung in Bosonen (Spin ganzzahlig) und Fermionen (Spin halbzahlig) hat starke Auswirkungen auf die möglichen Zustände und Prozesse eines Systems, in dem mehrere Teilchen gleicher Art vorhanden sind. Da wegen der Ununterscheidbarkeit gleichartiger Teilchen das Vertauschen von zweien von ihnen denselben physikalischen Zustand des Systems herstellt, kann auch der Zustandsvektor (oder die Wellenfunktion) bei dieser Vertauschung nur derselbe bleiben oder sein Vorzeichen wechseln. Alle Beobachtungen zeigen, dass für Bosonen immer der erste Fall gilt (Symmetrie der Wellenfunktion bei Vertauschung), für Fermionen aber immer der zweite (Antisymmetrie der Wellenfunktion bei Vertauschung). Unmittelbare Folge der Antisymmetrie ist das Pauli-Prinzip, nach dem es kein System geben kann, das zwei gleiche Fermionen im selben Einteilchenzustand enthält. Dies Prinzip bestimmt z. B. den Aufbau der Atomhülle und zählt damit zu den Grundlagen für die physikalische Erklärung der Eigenschaften der makroskopischen Materie (z. B. beim chemischen Verhalten der Elemente im Periodensystem sowie bei der (näherungsweisen) Inkompressibilität von Flüssigkeiten und festen Körpern). Die Tatsache, dass es zwei verschiedene Vertauschungssymmetrien gibt, erklärt die großen Unterschiede zwischen Vielteilchensystemen aus Fermionen bzw. Bosonen. Beispiele sind das Elektronengas im Metall (Fermionen) bzw. die Photonen in der Hohlraumstrahlung (Bosonen). In der Behandlung mit statistischen Methoden befolgen Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, Bosonen die Bose-Einstein-Statistik. Eine tiefliegende Begründung für diesen Zusammenhang liefert das Spin-Statistik-Theorem. Obwohl die von den Spins ausgehenden Kräfte meist vernachlässigbar sind (und in der theoretischen Beschreibung meist ganz vernachlässigt werden), zeitigt somit die bloße Eigenschaft der Teilchen, einen halb- bzw. ganzzahligen Spin zu besitzen, weitreichende Folgen in der makroskopisch erfahrbaren Welt.

Spinoperator für Spin 1/2

Der Operator für den Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\vec s}=(\hat s_x,\,\hat s_y,\,\hat s_z)} hat drei Komponenten, die jede für sich genau zwei Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm\tfrac{\hbar}{2}} besitzen. Da die drei Komponenten dieselben Vertauschungsrelationen wie bei jedem Drehimpulsoperator erfüllen, existieren aber keine gemeinsamen Eigenzustände. Wählt man (wie üblich) die Ausrichtung längs der z-Achse, dann werden die beiden Eigenzustände zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat s_z} mit den Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_s = \pm\tfrac{1}{2}} als „parallel“ bzw. „antiparallel“ zur z-Achse bezeichnet. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat s_x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat s_y} haben dann die Erwartungswerte Null.

Über die allgemeinen Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses hinaus gibt es beim Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} zusätzlich besondere Eigenschaften. Sie beruhen darauf, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_z} nur zwei Eigenwerte besitzt. Daher ergibt die doppelte Anwendung des Auf- oder Absteigeoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_{\pm}=\hat{s}_{x} \pm i\hat{s}_{y}} stets Null: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_{\pm}^2=0} .

Zur Vereinfachung der Formeln wurden durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_{i}=\tfrac{\hbar}{2}\hat \sigma_{i}} (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=x,\,y,\,z} )

die drei Paulischen Spinoperatoren eingeführt. Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_{\pm}^2=0} folgt dann (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i, j =x,y,z; \ \ i\ne j} )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \sigma_{i}^2=1\ ,\quad \hat \sigma_{j}\hat \sigma_{i} = - \hat \sigma_{i}\hat \sigma_{j}\; ,\quad (\hat \vec \sigma \cdot \hat \vec p)^2= \hat \vec p\;^2} .

(Hinreichende Zusatzbedingung für die letzte Gleichung: die Komponenten des Vektoroperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec p} sind untereinander und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\vec s}} vertauschbar.)

Die unanschaulichen Folgerungen:

• Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \sigma_{i}^2\!=\!1} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{s}_{x}^2\!=\!\hat{s}_{y}^2\!=\!\hat{s}_{z}^2\!=\!(\tfrac{\hbar}{2})^2} . D. h., in jedem denkbaren Zustand hat ein Spin-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} -Teilchen zum Quadrat der Komponente seines Spins in einer beliebigen Richtung einen wohlbestimmten und immer gleichen Wert, den größten, der überhaupt möglich ist. In den beiden Zuständen „(anti-)paralleler“ Ausrichtung zur z-Achse sind dem Betragsquadrat nach die beiden Komponenten senkrecht dazu also zusammen doppelt so groß wie die Komponente längs der Ausrichtungsachse. Ein normaler Vektor mit diesen Eigenschaften liegt nicht parallel zur z-Achse, sondern sogar schon näher an der dazu senkrechten xy-Ebene.
• Die Komponente des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec p} in Richtung des Spin hat immer denselben Betrag wie der Vektor selbst.

Anmerkung: Die Matrix-Darstellung der Paulischen Spinoperatoren sind die Pauli-Matrizen.

Spin 1/2 und dreidimensionaler Vektor

Die beiden Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |m_s\rangle = |\pm \tfrac{1}{2}\rangle} (im Sprachgebrauch „Spin parallel bzw. antiparallel zur z-Achse“) bilden eine Basis im zweidimensionalen Zustandsraum eines Spin-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} -Teilchens. Auch der Zustand, in dem der Spin parallel zu einer beliebigen anderen Richtung ausgerichtet ist, ist eine Linearkombination dieser beiden Basisvektoren mit gewissen Koeffizienten. Für den Zustand mit Spin parallel zur x-Achse z.B. haben beide Koeffizienten gleichen Betrag, für den Zustand parallel zur y-Achse auch, aber mit anderer komplexer Phase. Auch wenn die Raumrichtungen x und y zueinander senkrecht stehen, sind die entsprechend ausgerichteten Zustände nicht orthogonal (der einzige zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!+\! \tfrac{1}{2}\rangle} orthogonale Zustand ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!-\!\tfrac{1}{2}\rangle} ).

Umgekehrt gilt, dass es zu jedem beliebigen Spinzustand (also zu jeder beliebigen Linearkombination von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!+\! \tfrac{1}{2}\rangle} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!-\!\tfrac{1}{2}\rangle} ) genau eine Richtung im dreidimensionalen Raum gibt, zu der der Spin dann so parallel liegt wie im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!+\! \tfrac{1}{2}\rangle} zur z-Achse. Das immerhin entspricht der Vorstellung von einem normalen Vektor im dreidimensionalen Raum, den man ja auch immer zur Definition der z-Achse benutzen kann. Dies gilt unter allen quantenmechanisch möglichen Drehimpulsen nur für die Quantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\mathord=\tfrac{1}{2}} . Insofern kommt unter allen quantenmechanischen Drehimpulsen der Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} der Vorstellung von einem Vektor am nächsten.

Spin 1/2 als Äquivalent aller 2-Zustands-Systeme

Hat ein physikalisches System nur zwei Basiszustände (zumindest in näherungsweiser Betrachtung, z.B. bei zwei benachbarten Energieniveaus, während die anderen, weiter entfernten, vernachlässigt werden), ist es formal ein genaues Abbild des 2-Zustands-Systems für den Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} . Für dies System können ohne Rücksicht auf ihre physikalische Bedeutung drei Operatoren definiert werden: Ein Aufsteigeoperator und ein Absteigeoperator verwandelt den zweiten Basiszustand in den ersten bzw. umgekehrt, und ergibt sonst Null. Der dritte Operator gibt dem ersten Basiszustand den Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\tfrac{1}{2}} und dem zweiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\tfrac{1}{2}} . Nennt man diese Operatoren der Reihe nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat s_+,\,\hat s_-,\hat s_z} , erfüllen sie dieselben Gleichungen wie die gleichnamigen Operatoren für den Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} . Sie können auch in den Vektoroperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec s = (\hat s_x,\,\hat s_y,\hat s_z)} umgeschrieben werden, der wie jeder Drehimpulsoperator aufgrund seiner Vertauschungsrelationen die infinitesimalen Drehungen in einem (abstrakten) dreidimensionalen Raum beschreibt.

Mathematischer Hintergrund dieser Äquivalenz ist die Tatsache, dass die Basistransformationen im zweidimensionalen Hilbertraum eine Darstellung der Gruppe SU(2) bilden, die eine erweiterte Form der Gruppe SO(3) der Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum ist. Der Unterschied zu den „normalen“ Drehungen im dreidimensionalen Raum liegt darin, dass die vom Spinoperator erzeugte Drehung beim Drehwinkel 360° nicht durch die Einheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}} wiedergegeben wird, sondern durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\mathbf{1}} . Erst eine 720°-Drehung bringt wieder denselben Zustandsvektor hervor.

Nimmt man für die zwei Basiszustände verschiedene Elementarteilchen, etwa Proton und Neutron, oder Elektron und Elektronneutrino, wird die durch dies Vorgehen definierte physikalische Größe als Isospin des Teilchens bezeichnet. Dies bewährt sich auch für Mehrteilchensysteme, d. h. ihre Zustände lassen sich danach klassifizieren, wie die Isospins ihrer einzelnen Teilchen sich zum Gesamtisospin addieren, wobei die Regeln der Addition von quantenmechanischen Drehimpulsen volle Gültigkeit haben. In der Entwicklung der Elementarteilchenphysik hat dies Isospinkonzept eine bedeutende Rolle gespielt.

Zwei Teilchen mit Spin 1/2

Der Gesamtspin kann hier die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,S\mathord=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,S\mathord=0} haben. Mit der Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\uparrow\right\rangle\ , \left|\downarrow\right\rangle} für die Basiszustände jedes der Teilchen werden die Zweiteilchenzustände so gebildet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\upuparrows\right\rangle\ ,\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\downarrow\right\rangle+\left|\downarrow\uparrow\right\rangle)\ ,\ \left|\downdownarrows\right\rangle\quad \cdot} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,S\mathord=1\;,\ M_S=+1,\,0,\,-1} (Triplett)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\downarrow\right\rangle-\left|\downarrow\uparrow\right\rangle)\quad \cdot} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,S\mathord=0,\; M_S\mathord=0} (Singulett)

Die beiden Fälle zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_S=0} , d. h. die z-Komponente des Gesamtspins ist Null, sind die einfachsten Beispiele für einen verschränkten Zustand aus jeweils zwei Summanden. Hier ergeben schon in jedem einzelnen der beiden Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\uparrow\downarrow\right\rangle} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\downarrow\uparrow\right\rangle} die z-Komponenten der beiden einzelnen Spins zusammen Null. Dies gilt nicht mehr, wenn man statt der (gleich großen) Spins andere Vektoroperatoren betrachtet, die für die beiden Teilchen unterschiedliche Größe haben. Z.B. unterscheiden sich die magnetischen Momente von Elektron und Proton im H-Atom um einen Faktor ca. 700. Wenn für das Elektron mit seinem großen magnetischen Moment zur Verdeutlichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\Uparrow\rangle} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\Downarrow\rangle} geschrieben wird, heißen die beiden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_S=0)} -Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\left|\Uparrow\downarrow\right\rangle \pm \left|\Downarrow\uparrow\right\rangle)} . Während jeder einzelne der Summanden hier ein magnetisches Moment fast von der Größe wie beim Elektron zeigt, ausgerichtet in (+z)-Richtung bzw. in (-z)-Richtung, hat das gesamte magnetische Moment des Atoms in einem solchen verschränkten Zustand die z-Komponente Null. Daran ist zu sehen, dass beide Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\Uparrow\downarrow\right\rangle} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\Downarrow\uparrow\right\rangle} gleichzeitig präsent sein müssen, damit sich dies ergeben kann.

Zwei gleiche Teilchen mit Spin 1/2

Vertauschungssymmetrie in Spin- und Orts-Koordinaten

Der Triplettzustand ist symmetrisch, der Singulettzustand antisymmetrisch hinsichtlich der Spins, denn die Vertauschung der zwei Teilchen bedeutet hier, die beiden Pfeile für ihren Spinzustand in den obigen Formeln in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben. Da der vollständige Zustandsvektor zweier gleicher Fermionen bei der Vertauschung aller ihrer Koordinaten das Vorzeichen wechselt, muss der neben dem Spinanteil existierende ortsabhängige Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\psi(\vec r_1,\vec r_2) \rangle} auch eine definierte Symmetrie haben, antisymmetrisch im Triplett, symmetrisch im Singulett. Bei Vertauschung der räumlichen Koordinaten werden die Ladungsverteilungen beider Elektronen einfach ausgetauscht, bleiben der Form nach aber exakt dieselben wie vorher. Dennoch ergeben sich, wenn sich die Ladungsverteilungen überlappen, für die elektrostatische Abstoßungsenergie zwei verschiedene Werte: Im antisymmetrisch verschränkten Ortszustand ist der Energiebetrag kleiner als im symmetrischen, weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beider Elektronen am gleichen Ort im antisymmetrischen Ortszustand sicher Null ist, im symmetrischen nicht (im Überlappbereich). Dieser rein quantenmechanische Effekt wird Austauschwechselwirkung genannt. Er begründet den starken Einfluss des Gesamtspins der Elektronen auf die Energieniveaus ihres Atoms, obwohl von den Spins selbst überhaupt keine elektrostatische und nur geringfügige magnetische Wechselwirkung ausgeht.

Der kugelsymmetrische Singulett-Zustand

Bildet man den Zustandsvektor für den Singulettzustand nicht mit den in z-Richtung ausgerichteten Spinzuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\uparrow\right\rangle\ , \left|\downarrow\right\rangle} sondern mit den in x-Richtung ausgerichteten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\leftarrow\right\rangle\ , \left|\rightarrow\right\rangle} , ist der Zustand doch ein- und derselbe (denn es gibt ja nur einen):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{2}}\;(\,\left|\uparrow\downarrow\right\rangle-\left|\downarrow\uparrow\right\rangle\,)\quad \equiv \quad \tfrac{1}{\sqrt{2}}\;(\,\left|\leftarrow\rightarrow\right\rangle-\left|\rightarrow\leftarrow\right\rangle\,)\cdot}

Formal ist das eine Folge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\rightarrow\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\;(\,|\!\uparrow\rangle + |\!\downarrow\rangle\,)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\leftarrow\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\;(\,|\!\uparrow\rangle - |\!\downarrow\rangle\,)} .

Hierzu gibt es ein Gedankenexperiment, das die Schwierigkeiten der Anschauung beim Verstehen der Superposition unteilbarer Teilchen beleuchtet:

• In einem He-Ion mit dem 1s-Elektron im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\leftarrow\rangle} wird die Ausbeute gemessen, mit der ein Elektron im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\uparrow\rangle} extrahiert werden kann. Antwort: 50%.
• Das He-Ion fängt nun ein zweites Elektron in den 1s-Zustand ein. Wegen gleicher Ortswellenfunktionen beider Elektronen ist der Zustand hinsichtlich des Orts symmetrisch, hinsichtlich des Spins antisymmetrisch. Das neue Elektron stellt seinen Spin nicht einfach nur entgegengesetzt zum vorhandenen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\leftarrow\rightarrow\rangle} ), sondern es bildet sich automatisch die richtige Verschränkung für das Singulett (lt. Formel oben). Dieser Singulettzustand ist aber derselbe, der sich aus zwei Elektronen in den Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\uparrow\right\rangle , \left|\downarrow\right\rangle} gebildet hätte.
• Infolgedessen zeigt die gleiche Messung (Extraktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\!\!\uparrow\rangle} ) nun eine Ausbeute von 100%. Das ist mit der an makroskopischen Verhältnissen geschulten Anschauung nur verträglich, wenn beide Elektronen sich aufgeteilt und mit den jeweils richtigen Hälften über Kreuz neu zusammengefügt haben könnten.

Spin und Diracgleichung

Die theoretische Begründung des Spins Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} beruht auf der 1928 von Paul Dirac entdeckten Diracgleichung, die als relativistisch korrekte Wellengleichung an die Stelle der nichtrelativistischen Schrödingergleichung tritt. Eine Bedingung für relativistische Invarianz der zugehörigen Gleichung für die Energie ist, dass der Impuls linear darin vorkommt. Das ist bei der Schrödingergleichung nicht der Fall, denn sie beruht nach der klassischen Mechanik auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=\tfrac{p^2}{2m}} , in Operatoren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat H=\tfrac{\hat p^2}{2m}} . Dirac fand in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec \sigma \cdot \hat \vec p= |\hat \vec p|} .

den gesuchten linearen Operator für den Betrag des Impulses. In der weiteren Ausformulierung dieses Ansatzes mussten die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\!\!\times\!\! 2} -Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec \sigma } gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec \alpha = \begin{pmatrix} 0 & \hat \vec \sigma\\ \hat \vec \sigma & 0 \end{pmatrix} }

zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\!\!\times \!\! 4} -Matrizen erweitert werden. Damit zeigte sich, dass für ein freies Teilchen nicht der Bahndrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec l = \hat \vec r \!\!\times \!\!\hat \vec p} eine Konstante der Bewegung ist, sondern ein „Gesamtdrehimpuls“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec j =\tfrac{\hbar}{2} \hat \vec \sigma + \hat \vec r \!\!\times \!\!\hat \vec p} . Das konstante Zusatzglied Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \vec s =\tfrac{\hbar}{2} \hat \vec \sigma } ist der Spin.

Einzelnachweise und Fußnoten

[[Kategorie:Quantenphysik]]