Benutzer:Hightower74/Spielwiese

Formel

Das Gaußsche Integral (nach Carl Friedrich Gauß)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}},\qquad \alpha >0$

spielt in verschiedenen Gebieten der Mathematik eine Rolle. Von besonderer Bedeutung ist der Fall $\alpha ={\frac {1}{2}}$, d.h.

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {2\pi }},$

etwa in der Wahrscheinlichkeitstheorie (als Normierungsfaktor für die Normalverteilung) oder in der Analysis (als Normierungsfaktor in der Fouriertransformation). Wir können uns im folgenden beim Beweis dieser erstaunlichen Tatsache auf diesen Fall beschränken, da man die Behauptung für beliebige $\alpha >0$ sofort durch Anwenden der Substitution

${\begin{aligned}x&={\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\cdot t\\dx&={\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\;\mathrm {d} t\end{aligned}}$

erhält.

Beweise

Wir setzen für unsere Überlegungen der Einfachheit halber

$I:=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t.$

Da man zu $f(t)=e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$ keine elementar darstellbare Stammfunktion finden kann, kann man das Integral leider nicht auf direktem Weg berechnen. Dennoch gibt es eine Reihe von sehr schönen und lehrreichen Beweisen für die erstaunliche Behauptung.

Beweis mit Hilfe von Polarkoordinaten

Der entscheidende Trick für die Berechnung (angeblich von Poisson) ist, auf eine höhere Dimension auszuweichen, was man durch Quadrieren und Anwenden des Satzes von Fubini folgendermaßen erreicht:

${\begin{aligned}I^{2}&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\mathrm {d} y\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}$

Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.

Das so entstandene 2D-Integrationsgebiet kann man auch anders parametrisieren: Statt längs kartesischer Koordinaten wird über $\mathbb {R} ^{2}$ nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ entspricht.

Schneller Beweis

Der Kern dieser Idee wird durch die folgende kurze (jedoch nicht ganz strenge) Rechnung wiedergegeben:

${\begin{aligned}I^{2}&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r\\&=2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\,\mathrm {d} r\\&=2\pi \left[-e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\right]_{0}^{a\to \infty }\\&=2\pi \lim _{a\to \infty }(1-e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}})\\&=2\pi .\end{aligned}}$

Strenger Beweis

Für eine mathematisch einwandfreie Begründung muss man vorsichtiger vorgehen und etwas ausführlicher argumentieren:

Für die weitere Rechnung und zum Beweis der Existenz des uneigentlichen Integrals I definieren wir zunächst:

$I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}dx.$

Das uneigentliche Integral I

$I=\lim _{a\to \infty }I(a)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx,$

existiert nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz , da man wegen

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx<\infty .$

offensichtlich eine integrable Majorante hat. Analog zur obigen Argumentation liefert Quadrieren von I(a)

${\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-a}^{a}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\right)\\&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx\\&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.\end{aligned}}$

Nach dem Satz von Fubini ist das obige Doppelintegral ein Flächenintegral

$\int e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y),$

bezüglich des Quadrates mit den Ecken {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} als Integrationsbereich in der xy-Ebene.

Da die Exponentialfunktion für alle reellen Argumente größer als 0 ist, ist das Integral genommen über den Inkreis des Quadrates kleiner als $I(a)^{2}$, und analog dazu das Integral genommen über den Umkreis größer als $I(a)^{2}$. Die Integrale über die beiden Kreisscheiben können nun durch Übergang von Kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten leicht berechnet werden:

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\d(x,y)&=r\,d(r,\theta ).\end{aligned}}$

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\,dr\,d\theta .$

Integration liefert:

$2\pi (1-e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}})<I^{2}(a)<2\pi (1-e^{-a^{2}}).$

Nach dem Einschnürungssatz liefert der Grenzübergang $a\to \infty$ dann den Wert für das Gaußsche Integral:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi }}.$

Beweis mit kartesischen Koordinaten und Fubini

Folgende Herleitung ist noch einfacher, da sie ohne Polarkoordinaten auskommt und ausschließlich auf der Vertauschung der Integrationsreihenfolge nach dem Satz von Fubini beruht:

${\begin{aligned}I^{2}&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}\\&=\left(2\;\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)\;\cdot \;\left(2\;\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,\mathrm {d} y\right)\\&=4\;\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$

Mit der Substitution

${\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds\end{aligned}}$

erhält man dann das gewünschte Resultat:

${\begin{aligned}I^{2}&=4\;\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=4\;\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+x^{2}s^{2})}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} s\\&=4\;\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}(1+s^{2})}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} s\\&=4\;\int _{0}^{\infty }\left[-\;{\frac {1}{1+s^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}(1+s^{2})}\right]_{0}^{\infty }\,\mathrm {d} s\\&=4\;\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+s^{2}}}\mathrm {d} s\\&=4\;\left[\mathrm {arctan} \,s\right]_{0}^{\infty }\\&=2\pi \end{aligned}}$

Beweis mit Parameterintegral

Die folgende Herleitung kommt sogar völlig ohne Produktintegration aus und macht lediglich Gebrauch von den Eigenschaften von Parameterintegralen.

Auch hier besteht die Idee darin, eine Verknüpfung zum Arkustangens herzustellen. Definiere die Funktionen

${\begin{aligned}F(x)&:=\left(\int _{0}^{x}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}\\G(x)&:=2\;\int _{0}^{1}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\;\mathrm {d} t\\H(x)&:=F(x)+G(x)\end{aligned}}$

Wegen

${\begin{aligned}F'(x)&=2\;\left(\int _{0}^{x}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\G'(x)&=2\;\int _{0}^{1}-x\;e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}(1+t^{2})}\;\mathrm {d} t=-2\;\left(\int _{0}^{1}x\;e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}t^{2}}\mathrm {d} t\;\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}=-2\;\left(\int _{0}^{x}\;e^{-{\frac {1}{2}}s^{2}}\mathrm {d} s\;\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\end{aligned}}$

folgt

${\begin{aligned}H'(x)&=F'(x)+G'(x)=0\end{aligned}}$

Die Funktion $H(x)$ ist also konstant. Insbesondere muss daher auch $H(0)=\lim _{x\to \infty }H(x)$ gelten, d.h. aus

${\begin{aligned}H(0)&=F(0)+G(0)=G(0)=2\cdot \;\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+t^{2}}}\;\mathrm {d} t=2\cdot \;\left[\mathrm {arctan} \;x\;\right]_{0}^{1}={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

einerseits und

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }H(x)&=\lim _{x\to \infty }F(x)+\lim _{x\to \infty }G(x)&=\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}\end{aligned}}$

andererseits erhält man

${\begin{aligned}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}&={\frac {\pi }{2}},\end{aligned}}$

was wegen

${\begin{aligned}I^{2}&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}\\&=4\;\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t\right)^{2}\end{aligned}}$

auch hier wieder auf $I={\sqrt {2\pi }}$ führt.

Beweis mit Gammafunktion

Eine weiterer alternativer Beweis nutzt die Beziehung zur Gammafunktion und zum Wallisschen Produkt aus.

Hierzu drücken wir $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)$,den Wert der Gammafunktion an der Stelle $x={\frac {1}{2}}$, auf zweierlei Arten aus:

Zunächst erhält man einerseits aus Definition der Gammafunktion als Integral mittels der Substitution $t={\frac {x^{2}}{2}}$, $dt=xdx$

${\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{-{\frac {1}{2}}}\;dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\;{\frac {\sqrt {2}}{x}}\cdot x\;\mathrm {d} x\\&={\sqrt {2}}\;\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\;\mathrm {d} x\\&={\sqrt {2}}\;{\frac {1}{2}}\;\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\;\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot I\end{aligned}}$

Andererseits gilt nach der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion

${\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&=\lim _{n\to \infty }\Gamma _{n}\left({\frac {1}{2}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\cdot n^{\frac {1}{2}}}{{\frac {1}{2}}\cdot ({\frac {1}{2}}+1)({\frac {1}{2}}+2)\cdot \ldots \cdot ({\frac {1}{2}}+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\cdot n^{\frac {1}{2}}}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2n+1}{2}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\cdot n^{\frac {1}{2}}\cdot 2^{n+1}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }2\cdot n^{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(n!)^{2}\cdot (2^{n})^{2}}{(\;1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)\;)^{2}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }2\cdot {\sqrt {\frac {n}{2n+1}}}\cdot {\sqrt {\underbrace {\prod _{i=1}^{n}{\frac {(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}}} _{=:w_{n}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }2\cdot {\sqrt {\frac {n}{2n+1}}}\cdot {\sqrt {w_{n}}}\\&=2\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\\&={\sqrt {\pi }},\end{aligned}}$

wobei $w_{n}$ das n-te Wallissche Produkt ist, für das $\lim _{n\to \infty }w_{n}={\frac {\pi }{2}}$ gilt.

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)$ folgt auch hier wieder $I={\sqrt {2\pi }}$.

Algorithmus von Faddejew-Leverrier

Durch Umformen erhält man hieraus insbesondere auch die Inverse von $A$ :

$A^{-1}=-{\frac {1}{c_{0}}}B_{n}$

B[0] := 0 
c[n] := 1 

for (k=1; k<=n; k++)
  {
    B[k]   =   A * B[k-1] + c[n-k+1] * I 
    c[n-k] = - 1/k * trace( A* B[k] ) 
  }

function [c,Ainv,B]=myfadlev(A)
%
% FADLEV  Faddeev-Leverrier Algorithmus zum Berechnen der Koeffizienten
%         des charakteristischen Polynoms und der Inversen einer
%         quadratischen Eingabe-Matrix A 
%
% Anwendung:   [p,Ainv,B]=fedlev(A)
%
% Eingabe:     A - die gegebene Matrix
% Ausgabe:     c - Vektor der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms
%
%              B - Die Folge der generierten Matrizen B{k} (cell array in
%                  Matlab), wobei
%
%                 B{0} = I                    c(n)   = 1
%                 B{1} = A                    c(n-1) = trace(B{1})
%                 B{2} = A*(B{1}-c(n-1)*I)    c(n-2) = trace(B{2})/2
%                 .....
%                 B{n} = A*(B{n-1}-c(1)*I)    c(0)   = trace(B{n})/n
%   
%              Ainv - die Inverse von A berechnet durch
%              Ainv = - 1 / c(0) * B{ n }
%
%              Beachte: Matlab erlaubt keine Indizierung ab 0 !!
%              Daher muss auf alle in der obigen Beschreibung verwendeten
%              Indizes 1 aufaddiert werden, um die korrekte Position zu
%              erhalten. Im untenstehenden Programm wird zu diesem Zweck 
%              die Hilfsfunktion "ind" verwendet.

% Dimension der Matrix ermitteln:

[n,m]=size(A);
if n~=m
    error('Die Eingabematrix ist nicht quadratisch!');
end

% Einheits- und Nullmatrix der Dimension n definieren:

O = zeros(n,n);
I = eye(n);

% Feld mit n+2 (n x n) - Matrizen deklarieren

[B{1:n+2}]=deal(O); 

% Startwerte der Rekursion initialisieren

B{ ind(0) } = O; c( ind(n) ) = 1;

% Rekursion durchführen

for k=1:n
    B{ ind(k) }   =  A*B{ ind(k-1) } + c( ind(n-k+1) ) * I;
    c( ind(n-k) ) = -trace( A *B{ ind(k) } ) / k;
end

% Auf Plausibilität überprüfen:

B{ ind(n+1) }   =  A*B{ ind(n) } + c( ind(0) ) * I;
if norm( B{ ind(n+1) } ) > 1E-14
   error('Algorithmus terminiert nicht korrekt!');
end

% Inverse berechnen

Ainv= -1 / c( ind(0) ) * B{ ind(n) };

return

%======= Hilfsfunktion zum Verschieben von Indizes, Matlab erlaubt keine Indizierung mit 0 =====

function j = ind(i)
 j=i+1;
return

/*
Datei       : faddeev.cpp
Datum       : 27/06/09
Version     : 1.0
Zweck       : C++ Implementierung des Algorithmus von Faddeev-Leverrier
Bemerkungen : Benutzt die Klassen "Matrix" und "Vector" (überladene Operatoren). 
*/ 

using namespace std;

#include "_vector.h"
#include "_matrix.h"
#include <iostream>
#include <iomanip>

int main(void)
{

 int n,m;

 Matrix A("matrix.dat");
 A.getdim(n,m);

 if (n!=m)
   {
     cout << "Die Eingabematrix ist nicht quadratisch!" << endl;
     cout << "Die Bearbeitung wird abgebrochen" << endl << endl;
   }


 cout << endl << endl;

 cout << "Matrix A erfolgreich eingelesen, dim(A) = " << n << endl << endl;

 A.print();
 cout << endl << endl;

 // Einheits- und Nullmatrix definieren und initialisieren:

 Matrix I(n,n);   I.unit();
 Matrix O(n,n);   O.zero();
 
 // Koeffizientenvektor deklarieren:

 double  c[n+1];

 Matrix B[n+2]; 
 for(int i=0; i<=n+1; i++) { B[i]=Matrix(O); };  
 c[n]=1;
 B[0]=O;

 for (int k=1; k<=n; k++)
   {
     B[k]   = A * B[k-1] + c[n-k+1] * I;
     c[n-k] = -1.0/(double)(k) * ( A*B[k] ).spur();  
   } 
  

 B[n+1] = A * B[n] + c[0] * I; 
 
 Matrix Ainv(n,n);
 Ainv = -1.0/c[0] * B[n]; 
 
 for (int i=0; i<=n; i++)
   {
     cout << " c[ " << i << " ] = " << c[i] << endl;
   } 

 cout << endl << endl;

 cout << "A^{-1} = " << endl << endl;

 Ainv.print();

 cout << endl << endl;

}

Formel für den Brutto-Beitrag innerhalb der Iteration der technischen Änderung (TÄD)

$\nu ={\frac {\mathrm {RKW} _{i_{p}}-\mathrm {DKP} _{i_{p}}}{\mathrm {BS} _{\mathrm {alt} ,i_{p}}^{\mathrm {aus} }}}$

$_{b'}B_{x',n'}={\frac {A_{x',0,n'}+{\Gamma }'+{AK}'+{{\alpha ^{\Gamma }}'}'+({K_{1}^{\alpha }}'+{RZ^{\alpha }}')\cdot a_{x',0,b'}\cdot ({\alpha ^{\Gamma }}'+{\alpha }')-_{k}{V}_{x}^{T{\ddot {A}}}+b'\cdot ({K_{1}^{\alpha }}'+{RZ^{\alpha }}')\cdot \nu \pm {\textrm {E/A-Zahlung}}}{a_{x',0,b'}\cdot (1-{\beta }'-{\alpha ^{\Gamma }}'-{\alpha }')-b'\cdot \nu }}$

$\mathrm {BS} _{\textrm {neu}}^{\textrm {aus}}=b'\cdot \;(_{b'}B_{x',n'}+{K_{1}^{\alpha }}'+{RZ^{\alpha }}')$

${\begin{aligned}{\textrm {DK}}^{\textrm {ges}}&=\sum \limits _{i=1}^{i_{p}-1}{\textrm {DK}}_{i}+{\frac {\mathrm {BS} _{\textrm {neu}}^{\textrm {aus}}-\sum \limits _{i=1}^{i_{p}-1}\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i}^{\textrm {aus}}}{\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i_{p}}^{\textrm {aus}}}}\cdot {\textrm {DK}}_{i_{p}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{i_{p}}\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i}^{\textrm {aus}}-\mathrm {BS} _{\textrm {neu}}^{\textrm {aus}}}{\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i_{p}}^{\textrm {aus}}}}\cdot {\textrm {RKW}}_{i_{p}}+\sum \limits _{i=i_{p}+1}^{m}{\textrm {RKW}}_{i}\\&=_{k}{V}_{x}^{T{\ddot {A}}}-\mathrm {BS} _{\textrm {neu}}^{\textrm {aus}}\cdot \nu \end{aligned}}$

wobei

$_{k}{V}_{x}^{T{\ddot {A}}}=\sum \limits _{i=1}^{i_{p}-1}{\textrm {DK}}_{i}\;+\;\sum \limits _{i=i_{p}+1}^{m}{\textrm {RKW}}_{i}\;-\;{\frac {\left(\sum \limits _{i=1}^{i_{p}-1}\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i}^{\textrm {aus}}\right)\cdot {\textrm {DK}}_{i_{p}}-\left(\sum \limits _{i=1}^{i_{p}}\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i}^{\textrm {aus}}\right)\cdot {\textrm {RKW}}_{i_{p}}}{\mathrm {BS} _{{\textrm {alt}},i_{p}}^{\textrm {aus}}}}$

Der Arcustangens nach Adolf Hurwitz

Definitionen und Vorbereitungen

1. Wir definieren zunächst auf der Menge

$M:=\left\{x,y\in \mathbb {R} \;|\;xy<1\right\}\subset \mathbb {R} ^{2}$

für ein Zahlenpaar $(x,y)\in M$ die Verknüpfung partielle Addition $\ast$ durch

${\begin{aligned}\ast &:&M&\longrightarrow &&\mathbb {R} ^{2}\\&&(x,y)&\longmapsto &&{\frac {x+y}{1-xy}}\end{aligned}}$

2. Speziell für den Fall x=y hat man die $\ast$ Verdopplung:

${\begin{aligned}Q&:&(-1;1)&\longrightarrow &&\mathbb {R} \\&&x&\longmapsto &&{\frac {2x}{1-x^{2}}}\end{aligned}}$

Q ist auf (-1;1) streng monoton wachsend und bildet (-1;1) bijektiv auf $\mathbb {R}$ ab.

3. Die $\ast$ Halbierung ist die Umkehrfunktion von Q, gegeben durch:

${\begin{aligned}q&:&\mathbb {R} &\longrightarrow &&(-1;1)\\&&x&\longmapsto &&{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}$

Die $\ast$ Halbierung q hat folgende Eigenschaften:

a) $q(Q(x))=x\qquad \forall x\in (-1;1)$
b) $Q(q(x))=x\qquad \forall x\in \mathbb {R}$
c) $q(x\ast y)=q(x)\ast q(y)$
d) $|q(x)|\leq \left|{\frac {x}{2}}\right|$

Axiome des Arcustangens

Neben den allgemeinen Elementen der Infinitisemalrechnung (Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von reellen Funktionen, geometrische Reihe) werden folgende axiomatische Forderungen an eine -- noch zu ermittelnde -- Funktion ${\mathcal {A}}$ gestellt:

1. Funktionalgleichung

${\mathcal {A}}\left(x\ast y\right)={\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {A}}(y)\qquad xy<1$

2. Abschätzung

${\frac {|x|}{\sqrt {1+x^{2}}}}\leq {\mathcal {A}}(x)\;\leq \;|x|\;\;\qquad x\in \mathbb {R}$

Schritt 1: Beweis der Existenz durch Konstruktion als punktweiser Folgen-Grenzwert

Wir definieren folgende Zahlenfolgen:

1. $x_{n}=q(x_{n-1}),\quad x_{0}=x$

2. $A_{n}(x)=2^{n}x_{n}$

3. $a_{n}(x)={\frac {2^{n}x_{n}}{\sqrt {1+x_{n}^{2}}}}={\frac {A_{n}(x)}{\sqrt {1+x_{n}^{2}}}}$

Wir beschränken uns im folgenden der Übersichtlichkeit halber auf den Fall $x\geq 0$. Die Argumentation für $x\leq 0$ ist völlig analog.
Wegen $x_{n}=q(x_{n-1})\leq x_{n-1}/2$ ist $x_{n}$ eine monoton fallende Nullfolge.
Wir untersuchen das Verhalten von $A_{n}(x)$:

${\frac {A_{n}(x)}{A_{n-1}(x)}}={\frac {2^{n}x_{n}}{2^{n-1}x_{n-1}}}\leq {\frac {2^{n}{\frac {1}{2}}x_{n-1}}{2^{n-1}x_{n-1}}}\leq 1$

$A_{n}(x)$ ist also eine monoton fallende Folge.
Für $a_{n}(x)$ ergibt sich folgendes Bild:

${\frac {a_{n}(x)}{a_{n-1}(x)}}={\frac {2^{n}x_{n}{\sqrt {1+x_{n-1}^{2}}}}{2^{n-1}x_{n-1}{\sqrt {1+x_{n}^{2}}}}}\geq {\frac {2x_{n}}{\sqrt {1+x_{n}^{2}}}}$

Schritt 2: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Aus den oben angegebenen Axiomen erhält man folgende Abschätzungskette für den Differenzenquotienten von ${\mathcal {A}}$ an einer beliebigen Stelle $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}{\dfrac {\frac {\tfrac {x+h-x}{1+(x+h)\cdot x}}{\sqrt {1+\left({\tfrac {x+h-x}{1+(x+h)\cdot x}}\right)^{2}}}}{h}}&\leq &{\frac {{\mathcal {A}}(x+h)-{\mathcal {A}}(x)}{h}}&\leq {\frac {\tfrac {x+h-x}{1+(x+h)\cdot x}}{h}}\\\\{\frac {1}{\sqrt {(1+x^{2}+h\cdot x)^{2}+h^{2}}}}&\leq &{\frac {{\mathcal {A}}(x+h)-{\mathcal {A}}(x)}{h}}&\leq {\frac {1}{1+x^{2}+h\cdot x}}\end{aligned}}$

Die Ungleichungskette gilt sowohl für $h>0$ als auch für $h<0$, sofern $hx>-(1+x^{2})$
Mit dem Einschnürungssatz erhält man nun durch den Grenzübergang $h\to 0$ die Ableitung an einer beliebigen Stelle x:

${\mathcal {A}}'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\mathcal {A}}(x+h)-{\mathcal {A}}(x)}{h}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Die Funktion ${\mathcal {A}}(x)$ mit den in den Axiomen geforderten Eigenschaften ist also an jeder Stelle $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar und hat die Ableitung ${\mathcal {A}}'(x)=1/(1+x^{2})$.

Schritt 3: Darstellung als Stammfunktion und Taylorentwicklung

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man nun folgende Darstellung von ${\mathcal {A}}(x)$ als Stammfunktion:

${\mathcal {A}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt$

Nach der Summenformel für die geometrische Reihe gilt folgende Entwicklung für die Ableitung ${\mathcal {A}}'(x)$:

${\mathcal {A}}'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\qquad =\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot x^{2k}\qquad \qquad \forall |x|<1$

Durch gliedweise Integration erhält man daraus leicht die Taylor-Reihe für ${\mathcal {A}}(x)$:

${\mathcal {A}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}\qquad \forall |x|<1$

Man kann nun das Addition für ${\mathcal {A}}(x)$ nachrechnen:

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {A}}(y)&=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt+\int _{0}^{y}{\frac {1}{1+s^{2}}}ds\\&=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt+\int _{x}^{\frac {x+y}{1-xy}}{\frac {(1+xt)^{2}}{(1+xt)^{2}+(t-x)^{2}}}\cdot {\frac {1+x^{2}}{(1+xt)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt+\int _{x}^{\frac {x+y}{1-xy}}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{\frac {x+y}{1-xy}}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt\\&={\mathcal {A}}\left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\\&={\mathcal {A}}\left(x\ast y\right)\end{aligned}}$

Hierbei haben wir zur Umformung des Integrals im 2. Summanden die Substitution

$t={\frac {x+s}{1-xs}}\Leftrightarrow s={\frac {t-x}{1+xt}},\quad {\frac {ds}{dt}}={\frac {1+x^{2}}{(1+xt)^{2}}}$

verwendet.

Der Logarithmus nach Adolf Hurwitz

Axiome des Logarithmus

Neben den allgemeinen Elementen der Infinitisemalrechnung (Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von reellen Funktionen, geometrische Reihe) werden folgende axiomatische Forderungen an eine -- noch zu ermittelnde -- Funktion ${\mathcal {L}}$ gestellt:

1. Funktionalgleichung

${\mathcal {L}}\left(x\cdot y\right)={\mathcal {L}}(x)+{\mathcal {L}}(y)\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{+}$

2. Abschätzung

${\mathcal {L}}(x)\;\leq \;x-1\;\;\qquad \qquad \qquad x\in \mathbb {R} ^{+}$

Direkte Folgerungen aus den Axiomen

1. Logarithmus von 1

${\mathcal {L}}(1)=0$

2. Logarithmus des Kehrwerts

${\mathcal {L}}\left({\frac {1}{x}}\right)=-{\mathcal {L}}(x)$

3. Logarithmus von Quotienten

${\mathcal {L}}\left({\frac {x}{y}}\right)={\mathcal {L}}(x)-{\mathcal {L}}(y)$

4. Logarithmus von ganzzahligen Potenzen

${\mathcal {L}}\left(x^{n}\right)=n\cdot {\mathcal {L}}(x)$

5. Logarithmus von ganzzahligen Wurzeln

${\mathcal {L}}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot {\mathcal {L}}(x)$

6. Logarithmus von beliebigen rationalen Potenzen

${\mathcal {L}}\left(x^{\frac {m}{n}}\right)={\frac {m}{n}}\cdot {\mathcal {L}}(x)$

7. Logarithmus von beliebigen rellen Potenzen

${\mathcal {L}}\left(x^{r}\right)=r\cdot {\mathcal {L}}(x)$

8. Abschätzung nach unten

${\mathcal {L}}(x)\geq 1-{\frac {1}{x}}$

Motivation der Konstruktion

Speziell für $x^{\frac {1}{n}}$ gilt nach Axiom 2 und Folgerung 8 die Ungleichungskette:

$1-{\frac {1}{x^{\frac {1}{n}}}}\leq {\mathcal {L}}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)\leq x^{\frac {1}{n}}-1$

Multipliziert man diese Ungleichungskette mit $n$, so erhält man wegen Folgerung 5:

$n\left(1-{\frac {1}{x^{\frac {1}{n}}}}\right)\leq {\mathcal {L}}(x)\leq n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$

Aus beweistechnischen Gründen ist es bequemer auf die Teilfolge $n=2^{k}$ überzugehen:

$2^{k}\left(1-{\frac {1}{x^{\frac {1}{2^{k}}}}}\right)\leq {\mathcal {L}}(x)\leq 2^{k}\left(x^{\frac {1}{2^{k}}}-1\right)$

Wenn es also eine Funktion ${\mathcal {L}}(x)$ mit den in den Axiomen geforderten Eigenschaften gibt, dann muss sie die obige Ungleichungskette erfüllen. Es ist nun naheliegend, die obere und untere Schranke als definierende Folgen herzunehmen, was das Vorgehen im folgenden Abschnitt motiviert.

Schritt 1: Beweis der Eindeutigkeit durch Konstruktion als punktweiser Folgen-Grenzwert

Wir definieren folgende Zahlenfolgen:

1. $x_{n}={\sqrt {x_{n-1}}},\quad x_{0}=x$

2. $L_{n}(x)=2^{n}(x_{n}-1)$

3. $l_{n}(x)=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right)$

Zunächst ist bekannt, dass die Folge $x_{n}$ den Grenzwert 1 hat.
Wegen

$(x_{n}-1)^{2}\geq 0\Longleftrightarrow x_{n}^{2}-1\geq 2x_{n}-2$

haben wir zunächst:

${\frac {L_{n}(x)}{L_{n-1}(x)}}={\frac {2^{n}(x_{n}-1)}{2^{n-1}(x_{n-1}-1)}}={\frac {2x_{n}-2}{x_{n}^{2}-1}}\leq 1$

$L_{n}(x)$ ist also eine monoton fallende Folge.
Wegen

$L_{n}(x)=x_{n}\;l_{n}(x)$

und

$(x_{n}-1)^{2}\geq 0\Longleftrightarrow 2x_{n}^{2}-2x_{n}\geq x_{n}^{2}-1$

erhält man auch leicht

${\frac {l_{n}(x)}{l_{n-1}(x)}}={\frac {2^{n}(x_{n}-1)x_{n-1}}{2^{n-1}(x_{n-1}-1)x_{n}}}={\frac {(2x_{n}-2)x_{n}^{2}}{(x_{n}^{2}-1)x_{n}}}={\frac {2x_{n}^{2}-2x_{n}}{x_{n}^{2}-1}}\geq 1$

woraus folgt, dass $l_{n}(x)$ eine monoton wachsende Folge ist.
Wegen

$(x_{n}-1)^{2}\geq 0\Longleftrightarrow x_{n}(x_{n}-1)\geq x_{n}-1\Longleftrightarrow x_{n}-1\geq 1-{\frac {1}{x_{n}}}$

ist stets $L_{n}(x)\geq l_{n}(x)$.
Zu guter Letzt haben wir

$L_{n}(x)-l_{n}(x)=x_{n}l_{n}(x)-l_{n}(x)=l_{n}(x)(x_{n}-1)$

D.h. $L_{n}(x)-l_{n}(x)$ ist eine monoton fallende Nullfolge und $L_{n}(x)$ und $l_{n}(x)$ haben den gleichen Grenzwert ${\mathcal {L}}(x)$.
Aus der Ungleichungskette

$l_{n}(x)\leq {\mathcal {L}}(x)\leq L_{n}(x)$

folgt also nach dem Einschnürungssatz die Existenz der Grenzfunktion ${\mathcal {L}}(x)$. Wir haben also gezeigt, dass es höchstens eine Funktion ${\mathcal {L}}$ geben kann, welche die geforderten Axiome erfüllt.

Schritt 2: Beweis der Existenz durch Überprüfen der Axiome für den Folgen-Grenzwert

Wir müssen nun noch nachweisen, dass die so konstruierte Funktion ${\mathcal {L}}(x)$ auch tatsächlich die geforderten Axiome erfüllt. Zunächst ist die geforderte Abschätzung nach oben erfüllt, da $L(x)$ eine monoton fallende Folge ist und das Startglied die Abschätzung erfüllt.
Wir rechnen nun noch die Gültigkeit der Funktionalgleichung nach. Zunächst haben wir

$L_{n}(x\cdot y)=2^{n}(x_{n}y_{n}-1)=2^{n}(x_{n}y_{n}-y_{n}+y_{n}-1)=2^{n}[y_{n}(x_{n}-1)+y_{n}-1]=2^{n}y_{n}(x_{n}-1)+2^{n}(y_{n}-1)=y_{n}L_{n}(x)+L_{n}(y)$

Wegen $y_{n}\to 1\;(n\to \infty )$ folgt:

$\lim _{n\to \infty }L_{n}(x\cdot y)={\mathcal {L}}(x)+{\mathcal {L}}(y)$

Wegen $L_{n}(x)=x_{n}\;l_{n}(x)$ folgt:

$l_{n}(x\cdot y)={\frac {1}{x_{n}}}L_{n}(x)+{\frac {1}{x_{n}}}{\frac {1}{y_{n}}}L_{n}(y)=l_{n}(x)+{\frac {1}{x_{n}}}l_{n}(y)$

Wegen $x_{n}\to 1\;(n\to \infty )$ haben wir auch hier:

$\lim _{n\to \infty }l_{n}(x\cdot y)={\mathcal {L}}(x)+{\mathcal {L}}(y)$

Schritt 3: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Aus den oben angegebenen Axiomen erhält man folgende Abschätzungskette für den Differenzenquotienten von ${\mathcal {L}}$ an einer beliebigen Stelle $x\in \mathbb {R} ^{+}$

${\frac {1-{\frac {x}{x+h}}}{h}}\leq {\frac {{\mathcal {L}}(x+h)-{\mathcal {L}}(x)}{h}}\leq {\frac {{\frac {x+h}{x}}-1}{h}}$

${\frac {1}{x+h}}\leq {\frac {{\mathcal {L}}(x+h)-{\mathcal {L}}(x)}{h}}\leq {\frac {1}{x}}$

Mit dem Einschnürungssatz erhält man nun durch den Grenzübergang $h\to 0$ die Ableitung an einer beliebigen Stelle x:

${\mathcal {L}}'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\mathcal {L}}(x+h)-{\mathcal {L}}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}$

Die Funktion ${\mathcal {L}}(x)$ mit den in den Axiomen geforderten Eigenschaften ist also an jeder Stelle $x\in \mathbb {R} ^{+}$ differenzierbar und hat die Ableitung ${\mathcal {L}}'(x)=1/x$.

Schritt 4: Darstellung als Stammfunktion und Taylorentwicklung

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man nun folgende Darstellung von ${\mathcal {L}}(x)$ als Stammfunktion:

${\mathcal {L}}(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe leitet man schnell einige Taylordarstellungen für ${\mathcal {L}}'(x)$ bzw ${\mathcal {L}}(x)$ ab:

${\mathcal {L}}'(1+x)={\frac {1}{1+x}}\qquad =\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}\qquad \qquad \qquad \forall |x|<1$

${\mathcal {L}}(1+x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{1+t}}dt=\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}\qquad \qquad \forall |x|<1$

${\mathcal {L}}'(1-x)=-{\frac {1}{1-x}}\qquad =\sum \limits _{k=0}^{\infty }-x^{k}\qquad \qquad \qquad \forall |x|<1$

${\mathcal {L}}(1-x)=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{1-t}}dt=\sum \limits _{k=0}^{\infty }-{\frac {x^{k+1}}{k+1}}\qquad \qquad \forall |x|<1$

${\mathcal {L}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-2){\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}\qquad \qquad \forall |x|<1$

${\mathcal {L}}(y)=2\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {y-1}{y+1}}\right)^{2k+1}\qquad \qquad \forall y\in \mathbb {R} ^{+}$

Die Exponentialfunktion

Axiome der Exponentialfunktion

Neben den allgemeinen Elementen der Infinitisemalrechnung (Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von reellen Funktionen, geometrische Reihe) werden folgende axiomatische Forderungen an eine -- noch zu ermittelnde -- Funktion ${\mathcal {E}}$ gestellt:

1. Funktionalgleichung

${\mathcal {E}}\left(x+y\right)={\mathcal {E}}(x)\cdot {\mathcal {E}}(y)\qquad x,y\in \mathbb {R}$

2. Abschätzung

${\mathcal {E}}(x)\;\geq \;1+x\;\;\qquad \qquad \qquad x\in \mathbb {R}$

Direkte Folgerungen aus den Axiomen

1. Exponentialfunktion von 1

${\mathcal {E}}(0)=1$

2. Exponentialfunktion des negativen Arguments

${\mathcal {E}}\left(-x\right)=1/{\mathcal {E}}(x)={\mathcal {E}}(x)^{-1}$

3. Exponentialfunktion von Differenzen in

${\mathcal {E}}\left(x-y\right)={\mathcal {E}}(x)/{\mathcal {E}}(y)={\mathcal {E}}(x)\cdot {\mathcal {E}}(y)^{-1}$

4. Exponentialfunktion von ganzzahligen Vielfachen

${\mathcal {E}}\left(n\cdot x\right)={\mathcal {E}}(x)^{n}$

5. Exponentialfunktion von Vielfachen von ganzzahligen Kehrwerten

${\mathcal {E}}\left({\frac {1}{n}}\cdot x\right)={\mathcal {E}}(x)^{\frac {1}{n}}$

6. Exponentialfunktion von beliebigen rationalen Vielfachen

${\mathcal {E}}\left({\frac {m}{n}}\cdot x\right)={\mathcal {E}}(x)^{\frac {m}{n}}$

7. Exponentialfunktion von beliebigen rellen Vielfachen

${\mathcal {E}}\left(r\cdot x\right)={\mathcal {E}}(x)^{r}$

8. Abschätzung nach oben

${\mathcal {E}}(x)\leq {\frac {1}{1-x}}\qquad \forall x<1$

Motivation der Konstruktion

Speziell für ${\frac {x}{n}}$ gilt nach Axiom 2 und Folgerung 8 die Ungleichungskette:

$1+{\frac {x}{n}}\leq {\mathcal {E}}\left({\frac {x}{n}}\right)\leq {\frac {1}{1-{\frac {x}{n}}}}\quad \forall x<n$

Potenziert man diese Ungleichungskette mit $n$, so erhält man wegen Folgerung 5:

$\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\leq {\mathcal {E}}\left(x\right)\leq {\frac {1}{\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}}}\quad \forall |x|<n$

Wenn es also eine Funktion ${\mathcal {E}}(x)$ mit den in den Axiomen geforderten Eigenschaften gibt, dann muss sie die obige Ungleichungskette erfüllen. Es ist nun naheliegend, die obere und untere Schranke als definierende Folgen herzunehmen, was das Vorgehen im folgenden Abschnitt motiviert.

Schritt 1: Beweis der Eindeutigkeit durch Konstruktion als punktweiser Folgen-Grenzwert

Wir definieren folgende Zahlenfolgen:

1. $E_{n}(x)={\frac {1}{\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}}}$

2. $e_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Schritt 3: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Wir untersuchen zunächst die Ableitung von ${\mathcal {E}}(x)$ an der Stelle $x=0$.

Aus den oben angegebenen Axiomen erhält man folgende Abschätzungskette für den Differenzenquotienten von ${\mathcal {E}}$ für $x=0$

$1+h\leq {\mathcal {E}}(h)\leq {\frac {1}{1-h}}$

$h\leq {\mathcal {E}}(h)-1\leq {\frac {h}{1-h}}$

$1\leq {\frac {{\mathcal {E}}(h)-1}{h}}\leq {\frac {1}{1-h}}$

Mit dem Einschnürungssatz erhält man nun durch den Grenzübergang $h\to 0$ die Ableitung für $x=0$:

${\mathcal {E}}'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\mathcal {E}}(h)-1}{h}}=1$

Nun können wir die Ableitung an einer beliebigen Stelle $x\in \mathbb {R}$ berechnen:

${\mathcal {E}}'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\mathcal {E}}(x+h)-{\mathcal {E}}(x)}{h}}={\mathcal {E}}(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {{\mathcal {E}}(h)-{\mathcal {E}}(0)}{h}}={\mathcal {E}}(x)\cdot {\mathcal {E}}'(0)={\mathcal {E}}(x)$

Die Funktion ${\mathcal {E}}(x)$ mit den in den Axiomen geforderten Eigenschaften ist also an jeder Stelle $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar und hat die Ableitung ${\mathcal {E}}'(x)={\mathcal {E}}(x)$.

Charakteristisches Polynom

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizienten $c_{n-k}$ des charakteristischen Polynoms $\chi _{A}(\lambda )$ zu charakterisieren:

Charakterisierung der Koeffizienten als Lösung eines linearen Gleichungssystem

Die Koeffizienten $c_{n-k}$ des charakteristischen Polynoms kann man durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln.

$\left[{\begin{matrix}1&0&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A&2&0&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&3&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{n-1}&\operatorname {tr} A^{n-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&n\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c_{n-1}\\[0.21cm]c_{n-2}\\[0.21cm]c_{n-3}\\[0.21cm]\vdots \\c_{0}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-\operatorname {tr} A\\[0.21cm]-\operatorname {tr} A^{2}\\[0.21cm]-\operatorname {tr} A^{3}\\[0.21cm]\vdots \\-\operatorname {tr} A^{n}\end{matrix}}\right]$

Dies lässt sich damit begründen, dass das System eine kompakte äquivalente Formulierung des Algorithmus von Faddejew-Leverrier ist.

Da die Koeffizienten-Matrix eine linke untere Dreiecksmatrix ist, kann das lineare Gleichungssystem sukzessive durch Vorwärtseinsetzen gelöst werden und es lässt sich folgende allgemeine Formel für die $c_{n-k}$ angeben:

${\begin{aligned}c_{n-k}=&\;\;\;\;{\frac {1}{k}}\left(-\operatorname {tr} A^{k}-\sum _{i=1}^{k-1}\operatorname {tr} A^{i}\cdot c_{n-k+i}\right)\\=&-{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}\operatorname {tr} A^{i}\cdot c_{n-k+i}\end{aligned}}$

Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten

Man kann nun entweder durch Anwenden der Cramerschen Regel auf das obige LGS oder -- völlig unabhängig davon -- mit Hilfe der Plemlj-Smithies Formeln folgende Darstellung gewinnen:

$c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}\;{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&\cdots &\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$

Darstellung der Koeffizienten mit Hilfe von Bell-Polynomen

Ebenfalls aus den Plemlj-Smithies Formeln folgt folgende äquivalente Darstellung mit vollständigen Bell-Polynomen:

$c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}\;{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl (}0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}$

Beispiele

1. Beispiel: $n=1$

Es ist ${\mathcal {B}}_{0}=1$ und ${\mathcal {B}}_{1}(x_{1})=x_{1}$.

Daraus folgt:

$c_{1}=c_{1-0}={\frac {(-1)^{0}}{0!}}\;{\mathcal {B}}_{0}=1$

$c_{0}=c_{1-1}={\frac {(-1)^{1}}{1!}}\;{\mathcal {B}}_{1}\left(0!~\operatorname {tr} A\right)=-~\operatorname {tr} A$

$\chi _{A}(\lambda )\;=\lambda -~\operatorname {tr} A$

2. Beispiel: $n=2$

Es ist ${\mathcal {B}}_{0}=1$, ${\mathcal {B}}_{1}(x_{1})=x_{1}$ und ${\mathcal {B}}_{2}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}$.

Daraus folgt:

$c_{2}=c_{2-0}={\frac {(-1)^{0}}{0!}}\;{\mathcal {B}}_{0}=1$

$c_{1}=c_{2-1}={\frac {(-1)^{1}}{1!}}\;{\mathcal {B}}_{1}\left(0!~\operatorname {tr} A\right)=-~\operatorname {tr} A$

$c_{0}=c_{2-2}={\frac {(-1)^{2}}{2!}}\;{\mathcal {B}}_{2}\left(0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)$

$\chi _{A}(\lambda )\;=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} A\;\lambda +{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)$

3. Beispiel: $n=3$

Es ist ${\mathcal {B}}_{0}=1$, ${\mathcal {B}}_{1}(x_{1})=x_{1}$ , ${\mathcal {B}}_{2}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}$ und ${\mathcal {B}}_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3}$.

Daraus folgt:

$c_{3}=c_{3-0}={\frac {(-1)^{0}}{0!}}\;{\mathcal {B}}_{0}=1$

$c_{2}=c_{3-1}={\frac {(-1)^{1}}{1!}}\;{\mathcal {B}}_{1}\left(0!~\operatorname {tr} A\right)=-~\operatorname {tr} A$

$c_{1}=c_{3-2}={\frac {(-1)^{2}}{2!}}\;{\mathcal {B}}_{2}\left(0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)$

$c_{0}=c_{3-3}={\frac {(-1)^{3}}{3!}}\;{\mathcal {B}}_{3}\left(0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3}\right)=-{\frac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)$

$\chi _{A}(\lambda )\;=\lambda ^{3}-\operatorname {tr} A\;\lambda ^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)\lambda -{\frac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)$

Begründung für die Korrektheit des Algorithmus

Dass der Algorithmus stets terminiert, ist offensichtlich. Für die partielle Korrektheit des Algorithmus muss man die Gültigkeit der rekursiven Beziehung für die Matrizen $B_{0},\ldots ,B_{n}$ und die Koeffizienten $c_{0},\ldots ,c_{n}$ nachweisen.

Rekursive Beziehung für die Matrizen

Wenn man den bekannten Zusammenhang zwischen Determinante und Adjunkte auf die Matrix $\lambda I-A$ anwendet, erhält man

$(\lambda I-A)\cdot \mathrm {adj} (\lambda I-A)=\det(\lambda I-A)\cdot I=p_{A}(\lambda )\cdot I\qquad (1)$

und erkennt, dass $\lambda \;$ in $\mathrm {adj} (\lambda I-A)\;$ höchstens mit Grad $n-1\;$ auftritt.

Daher lässt sich $\mathrm {adj} (\lambda I-A)\;$ auch als Polynom in $\lambda$ mit Matrix-Koeffizienten $B_{k}\in \mathbb {C} ^{n\times n}\;(k=0,\ldots ,n+1)\;$ ausdrücken (wobei man $B_{0}=0\;$ und $B_{n+1}=0\;$ definiert):

$\mathrm {adj} (\lambda I-A)=\sum _{k=0}^{n+1}B_{k}\lambda ^{n-k}\qquad (2)$

Einsetzen von (2) in (1) und Umformen liefert:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}\left(B_{k}-AB_{k-1}\right)\lambda ^{n-k+1}&=\sum _{k=1}^{n+1}c_{n-k+1}\lambda ^{n-k+1}\cdot I\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich und Umstellen folgt die rekursive Beziehung für die Matrizen $B_{0},\ldots ,B_{n}\in R^{n\times n}$:

$B_{k}=AB_{k-1}+c_{n-k+1}I$

Formel für die Koeffizienten

Wir drücken nun die Ableitung $p'(\lambda )$ auf zwei verschiedene Arten aus.

Einerseits ergibt direktes symbolisches Ableiten des charakteristischen Polynoms:

$p'(\lambda )=\sum _{k=0}^{n}(n-k)\;c_{n-k}\;\lambda ^{n-k-1}\qquad (3)$

Andererseits erhält man mit der Jacobi-Formel und anschließendem Anwenden der Rekursionsbeziehung für die Matrizen:

${\begin{aligned}p'(\lambda )&={\frac {d}{d\lambda }}\det(\;\lambda I-A)\;)=\mathrm {tr} \left(\;\mathrm {adj} (\lambda I-A)\cdot {\frac {d}{d\lambda }}(\lambda I-A)\;\right)\\&=\mathrm {tr} (\;\mathrm {adj} (\lambda I-A)\;)=\sum _{k=0}^{n+1}\mathrm {tr} (B_{k})\lambda ^{n-k}=\sum _{l=0}^{n}\mathrm {tr} (B_{l+1})\lambda ^{n-l-1}\\&=\sum _{l=0}^{n}\mathrm {tr} (AB_{l}+c_{n-l}I)\lambda ^{n-l-1}\qquad (4)\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich der beiden Darstellungen (3) und (4) für $p'(\lambda )$ liefert zunächst:

${\begin{aligned}(n-k)\;c_{n-k}&=\mathrm {tr} \left(\;AB_{k}+c_{n-k}I\;\right)\\&=\mathrm {tr} (AB_{k})+n\cdot c_{n-k}\end{aligned}}$

Durch Umformen kommt man dann schließlich zur behaupteten Darstellung für die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms:

$c_{n-k}=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AB_{k})$

Literatur

• Wera Faddejewa: Computational Methods of Linear Algebra, (Translated From The Russian By Curtis D. Benster), Dover Publications Inc. N.Y., Date Published 1959, ISBN 0-486-60424-1.
• J. S. Frame: A simple recursion formula for inverting a matrix (abstract). Bull. Am. Math. Soc. 55, 1045 (1949), doi:10.1090/S0002-9904-1949-09310-2.
• J. S. Frame: Matrix functions and applications , IEEE Spectrum 1 (1964) (fünf Artikel in den Nummern 3-7)
• F. R. Gantmacher: The Theory of Matrices, Chelsea, 1990, siehe speziell §IV.5.
• Alston Scott Householder: The Theory of Matrices in Numerical Analysis, Dover, New York, 1975, ISBN 0-486-61781-5
• Paul Horst: A method of determining the coefficients of a characteristic equation. Ann. Math. Stat. 6, 83--84 (1935), doi:10.1214/aoms/1177732612.
• Shui-Hung Hou: Classroom Note: A Simple Proof of the Leverrier--Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm, SIAM, 1998, SIAM Review:40(3), pp. 706--709, doi:10.1137/S003614459732076X, http://link.aip.org/link/?SIR/40/706/1
• U. J. J. Leverrier: Sur les variations séculaires des éléments des orbites pour les sept planètes principales, J. de Math. (1) 5, 230 (1840), Online-Version des Artikels verfügbar auf der Webseite der Bibliotheque nationale de France digital library (Gallica)
• Jean-Marie Souriau : Une méthode pour la décomposition spectrale et l'inversion des matrices. Comptes Rend. 227, 1010--101l (1948).
• U. Wegner: Bemerkungen zur Matrizentheorie. Z. angew. Math. Mech. 33, 262--264 (1953), doi:10.1002/zamm.19530330807.
• F. Johannson: On a fast and nearly division-free algorithm for the characteristic polynomial. Preprint (2020), arxiv:2011.12573
• R. Rehman and Ilse C. F. Ipsen: La Budde's Method for Computing Characteristic Polynomials. Preprint (2011), arxiv:1104.3769
• James Hardy Wilkinson: The algebraic eigenvalue problem, volume 87. Clarendon press Oxford, 1965, ISBN 978-0198534181.
• Balasubramanian, K: Computer-Generation of the Characteristic-Polynomials of Chemical Graphs. J. Comput. Chem. 5, 387-394, 1984, doi:10.1002/jcc.540050417, PDF
• Balasubramanian, K: The use of Frame’s method for the characteristic polynomials of chemical graphs. Theoret. Chim. Acta 65, 49–58 (1984), doi:10.1007/BF02427579, PDF
• Trinajstić, N: The characteristic polynomial of a chemical graph. J. Math. Chem. 2, 197-215 (1988), doi:10.1007/BF01167201
• Ivanciuc, P: Chemical Graph Polynomials. Part 2. The Propagation Diagram Algorithm for the Computation of the Characteristic Polynomial of Molecular Graphs. Rev. Roumaine Chim. 37, 1341-134 (1992), ISSN 0035-3930

siehe auch: Tabelle Standardnormalverteilung

Kategorie:Stochastik