Benutzer:Meier99/Kuboformel

Die Kuboformel ist eine Gleichung der Quantenstatistik, welche die Lineare Antwortfunktion einer messbaren Große („Observable“) in zeitabhängiger Störungstheorie bei endlicher Temperatur als thermischen Erwartungswert bestimmter Operatoren im Wechselwirkungsbild darstellt.

Zu ihren zahlreichen Anwendungen gehört die Berechnung magnetischer und elektrischer Suszeptibilitäten und abstrakter Verallgemeinerungen davon als Folge einer Störung des Hamiltonoperators des Systems.

Die allgemeine Kuboformel

Ein Quantensystem habe den zeitunabhängigen Hamiltonoperator ${\hat {H}}_{0}$ mit den als diskret angenommenen Energiewerten $E_{n}$. Der quantenmechanische und thermische Erwartungswert einer physikalischen Größe mit dem hermitischen Operator ${\hat {A}}$ ist dann:

$\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}Tr[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}$

${\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}$

wobei $Z_{0}=Tr[\rho _{0}]$ die sog. Zustandssumme und $\beta$ die reziproke absolute Temperatur ist (genauer: $\beta =1/(k_{B}T),$ mit der Boltzmannkonstante $k_{B}$ und der Kelvin-Temperatur T). Das zuletzt angegebene Symbol $|n\rangle \langle n|$ ist der zum Zustand $|n\rangle$ gehörige Projektionsoperator.

Jetzt wird angenommen, dass zur Zeit $t=t_{0}$ eine externe Störung eingeschaltet wird, sodass das System aus dem thermischen Gleichgewicht gerät. Die Störung wird durch einen zeitabhängigen Zusatz zum Hamiltonoperator beschrieben: ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\cdot \theta (t-t_{0}),$ wobei $\theta (t)$ die Heaviside-Funktion ist, =1 für positive t, =0 für negative t, =1/2 bei t=0.

Wir können dann zunächst die Zeitentwicklung der sog. Dichtematrix ${\hat {\rho }}(t)$ angeben, woraus der thermische Erwartungswert der Operatoren ${\hat {A}}(t)$ folgt:

$\langle {\hat {A}}(t)\rangle ={1 \over Z_{0}}Tr[{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}$

${\hat {\rho }}(t)=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}$.

Die Zeitabhängigkeit der $|n(t)\rangle$ folgt aus der Schrödingergleichung $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle .$ Da ${\hat {V}}(t)$ schwach ist, liegt es nahe, die niedrigste Ordnung der zeitabhängigen Störungstheorie zu verwenden, was auf das Wechselwirkungsbild führt (Zustände $|{\hat {n}}\rangle ).$ Das Ergebnis ist:

$|n(t)\rangle =:e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle$

wobei per Definition $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

In linearer Ordnung in ${\hat {V}}(t)$ gilt: ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$. Auf diese Weise erhält man ${\hat {A}}(t)$ in linearer Ordnung:

${\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}$

Die Klammerausdrücke $\langle \rangle _{0}$ bedeuten einen mit dem Hamiltonperator ${\hat {H}}_{0}$ berechneten quantenstatistischen Erwartungswert.

Hier wurden bosonische Zustände betrachtet. Für fermonische Zustände ergeben sich zusätzliche Besonderheiten.

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Kategorie:Quantenmechanik Kategorie:Statistische Physik