Benutzer:Nuerk/Absolutbeträge auf Körpern

Sei $K$ ein Körper. Ein Absolutbetrag auf $K$ ist eine Abbildung $\left|.\right|\colon \,K\to [0,\infty )$ in die positiven reellen Zahlen, welche die folgenden Eigenschaften erfüllt:

$\left|x\right|=0\iff x=0$	(Definitheit)
$\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|$	(Multiplikativität)
$\left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$	(Dreiecksungleichung)

Hierdurch wird die reelle bzw. komplexe Betragsfunktion auf beliebige Körper verallgemeinert.

Grundeigenschaften

Aus der Definition folgt unmittelbar

$\left|1\right|=\left|-1\right|=\left|\zeta \right|=1$	$\zeta \in K$ Einheitswurzel, d.h. $\zeta ^{n}=1$ für ein $n\in \mathbb {N} ,$
$\left|x\right|=\left|-x\right|$	$\forall x\in K,$
$\left|x^{-1}\right|=\left|x\right|^{-1}$	$\forall x\in K,$
$\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leq \left|x-y\right|$	$\forall x,y\in K,$
$\left|n\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}1\right|\leq n$	$\forall n\in \mathbb {N} .$

Beispiele

• Auf jedem Körper lässt sich der triviale Betrag

$\left|x\right|:={\begin{cases}1&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

definieren. Dieser wird im Folgenden ausgeschlossen.

• Auf dem Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen definiert man für jede Primzahl $p$ den sogenannten $p$-adischen Betrag. Dazu stellt man $0\neq x\in \mathbb {Q}$ dar als $x=p^{k}{\frac {a}{b}}$ mit $k,a\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$ und $\operatorname {ggT} (p,ab)=\operatorname {ggT} (a,b)=1$. Diese Darstellung ist eindeutig, und durch

$\left|x\right|_{p}=\left|p^{k}{\frac {a}{b}}\right|_{p}:=p^{-k}$

wird ein Absolutbetrag definiert.

• Ist $A$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierendem Element $\pi$, d.h. für das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ von $A$ gilt ${\mathfrak {m}}=\pi A$, so lässt sich jedes Element $x\in \operatorname {Quot} (A)^{\times }$ eindeutig schreiben als $x=\varepsilon \pi ^{k}$ mit $\varepsilon \in A^{\times }$ und $k\in \mathbb {Z}$. Durch

$\left|x\right|:={\begin{cases}e^{-k}&x\in \operatorname {Quot} (A)^{\times }\\0&x=0\end{cases}}$

wird nun ein (von der Wahl des Uniformisierenden unabhängiger) Betrag auf dem Quotientenkörper $\operatorname {Quot} (A)$ definiert.

Begriffsklärung

Diskreter Betrag

Ein Betrag $\left|.\right|$ auf einem Körper $K$ heißt diskret, falls das Bild $\left|K^{\times }\right|\subset \mathbb {R} ^{\times }$ der Einheitengruppe eine diskrete Untergruppe der multiplikativen Gruppe $(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )$ ist.

Archimedischer Betrag

Ein Betrag $\left|.\right|$ auf einem Körper $K$ heißt archimedisch, falls die Menge $\left|\mathbb {N} \right|$ beschränkt ist, sonst nicht-archimedisch. Dabei ist ein Betrag $\left|.\right|$ genau dann nicht-archimedisch, wenn er für alle $x,y\in K$ die verschärfte Dreiecksungleichung

$\left|x+y\right|\leq \operatorname {max} (\left|x\right|,\left|y\right|)$

erfüllt. In diesem Fall gilt

$\left|x\right|\neq \left|y\right|\Rightarrow \left|x+y\right|=\operatorname {max} (\left|x\right|,\left|y\right|)$.

Im Falle eines nicht-archimedischen Betrages definiert

$A:=\{x\in K:\left|x\right|\leq 1\}$

einen Ring, den sogenannten Bewertungsring des Körpers $K$ zum Betrag $\left|.\right|$. Da für jedes $x\in K$

$\left|x\right|\leq 1$ oder $\left|x^{-1}\right|\leq 1$

gilt, ist insbesondere $K=\operatorname {Quot} (A)$. Dieser Ring ist lokal, d.h. er enthält genau ein maximales Ideal, nämlich

${\mathfrak {m}}=\{x\in K:\left|x\right|<1\}$.

Der Bewertungsring ist ein Hauptidealring, also ein diskreter Bewertungsring, genau dann, wenn der Betrag diskret ist.

Bewertungen

→ Hauptartikel: Bewertungstheorie

Sei $K$ ein Körper. Die nicht-archimedischen Absolutbeträge stehen in einer $1:1$-Korrespondenz zu den Bewertungen von $K$:

Gegeben ein nicht-archimedischer Absolutbetrag $\left|.\right|$, so ist die Abbildung

$v\colon \,K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},\;x\mapsto {\begin{cases}-\operatorname {ln} (\left|x\right|)&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}$

eine Bewertung, d.h. sie erfüllt

$v(x)=\infty \iff x=0$

$v(xy)=v(x)+v(y)$

$v(x+y)\geq \operatorname {min} (v(x),v(y))$.

Ist umgekehrt $v$ eine Bewertung, so wird durch

$\left|x\right|:={\begin{cases}e^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

ein nicht-archimedischer Betrag definiert.

Topologie und Äquivalenz von Beträgen

Ist $\left|.\right|$ ein Betrag auf einem Körper $K$, so wird durch

$d(x,y):=\left|x-y\right|\quad \forall x,y\in K$

eine Metrik, insbesondere also eine Topologie, auf $K$ definiert.

Zwei Beträge $\left|.\right|_{1}$ und $\left|.\right|_{2}$ auf $K$ heißen äquivalent, in Zeichen $\left|.\right|_{1}\sim \left|.\right|_{2}$, falls sie dieselbe Topologie erzeugen.

Man kann zeigen, dass zwei Beträge genau dann äquivalent sind, wenn ein $s>0$ existiert, sodass für alle $x\in K$ gilt

$\left|x\right|_{2}=\left|x\right|_{1}^{s}$.

Approximationssatz

Sind $\left|.\right|_{1},...,\left|.\right|_{n}$ paarweise inäquivalente Absolutbeträge auf einem Körper $K$ und $a_{1},...,a_{n}\in K$ vorgegebene Elemente, dann existiert zu jedem $\varepsilon >0$ ein $x\in K$ mit $\left|x-a_{i}\right|_{i}<\varepsilon$ für alle $i=1,...,n$.

Satz von Ostrowski

Nach einem Satz von Ostrowski ist jeder Betrag auf $\mathbb {Q}$ äquivalent entweder zum üblichen reellen Betrag, oder zum $p$-adischen Betrag für eine Primzahl $p$.

Diskrete Beträge

Sei $K$ ein Körper mit diskretem Absolutbetrag $\left|.\right|$ und $A$ der Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$. Dann ist jedes Ideal des Bewertungsrings $A$ von der Form ${\mathfrak {m}}^{n}$ für ein $n\in \mathbb {N}$. Die absteigende Kette

$A\supseteq {\mathfrak {m}}\supseteq {\mathfrak {m}}^{2}\supseteq {\mathfrak {m}}^{3}\supseteq ...$

der Ideale von $A$ bildet eine Umgebungsbasis des Nullelements. Denn ist $\pi \in A$ ein Uniformisierendes, also insbesondere $\left|\pi \right|<1$, so gilt

${\mathfrak {m}}^{n}=\{x\in K:\left|x\right|<\left|\pi \right|^{n-1}\}$.

Entsprechend ist die Kette

$A^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq U^{(3)}\supseteq ...$

der Untergruppen

$U^{(n)}:=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\{x\in K^{\times }:\left|1-x\right|<\left|\pi \right|^{n-1}\}$

eine Umgebungsbasis des Einselementes von $K^{\times }$. $U^{(n)}$ heißt die $n$-te Einseinheitengruppe und $U^{(1)}=1+{\mathfrak {m}}$ die Einseinheitengruppe schlechthin.

Für jedes $n\geq 1$ gelten folgende Isomorphien:

${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong A/{\mathfrak {m}}$,

$U^{(n)}/U^{(n+1)}\cong A/{\mathfrak {m}}$,

$A^{\times }/U^{(n)}\cong (A/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }$.

Vollständige Körper

Sei $K$ ein bewerteter Körper. $K$ heißt vollständig, falls $K$ mit der induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, d.h. falls jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.

Eigenschaften vollständiger Körper

Sei $K$ vollständig bezüglich eines diskreten Betrags. Sei $A$ der Bewertungsring, ${\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal und $\lambda _{n}\colon \,A/{\mathfrak {m}}^{n+1}\to A/{\mathfrak {m}}^{n}$ die kanonische Projektion für $n\geq 1$. Versieht man die Ringe $A/{\mathfrak {m}}^{n}$ mit der diskreten Topologie und $\prod _{n=1}^{\infty }A/{\mathfrak {m}}^{n}$ mit der Produkttopologie, so wird der projektive Limes

$\varprojlim _{n}A/{\mathfrak {m}}^{n}=\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \prod _{n=1}^{\infty }A/{\mathfrak {m}}^{n}:\lambda _{n}(x_{n+1})=x_{n}\}$

als abgeschlossene Teilmenge des Produktes in kanonischer Weise zu einem topologischen Ring. Die kanonischen Abbildungen

$A\to \varprojlim _{n}A/{\mathfrak {m}}^{n}$

und

$A^{\times }\to \varprojlim _{n}A^{\times }/U^{(n)}$

sind sowohl Isomorphismen als auch Homöomorphismen.

Darüber hinaus gilt in einem vollständigen Körper das henselsche Lemma:

Hensels Lemma

Sei $K$ vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages $\left|.\right|$, $A=\{x\in K:\left|x\right|\leq 1\}$ der Bewertungsring, ${\mathfrak {m}}=\{x\in K:\left|x\right|<1\}$ das maximale Ideal und $f\in A[x]$ ein Polynom mit $0\not \equiv f{\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}$. Besitzt dann die Reduktion

${\bar {f}}\in A/{\mathfrak {m}}[x]$

eine Zerlegung

${\bar {f}}={\tilde {g}}{\tilde {h}}$

in teilerfremde Polynome ${\tilde {g}},{\tilde {h}}\in A/{\mathfrak {m}}[x]$, so existieren $g,h\in A[x]$ mit

$f=gh$,

${\bar {g}}={\tilde {g}}$,

${\bar {h}}={\tilde {h}}$,

$\operatorname {deg} (g)=\operatorname {deg} ({\tilde {g}})$.

Fortsetzung von Beträgen

Ist $K$ vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages $\left|.\right|$ und $L/K$ eine separable algebraische Körpererweiterung, so existiert genau ein Betrag $\left|\left|.\right|\right|$ auf $L$, der auf den Betrag $\left|.\right|$ von $K$ einschränkt, d.h. $\left|\left|x\right|\right|=\left|x\right|$ für alle $x\in K$ erfüllt.

Ist die Körpererweiterung endlich, $[L:K]=n<\infty$, so ist diese Fortsetzung für alle $\alpha \in L$ gegeben durch

$\left|\left|\alpha \right|\right|=\left|N_{L/K}(\alpha )\right|^{\frac {1}{n}}$,

wobei $N_{L/K}$ die Körpernorm bezeichnet. Bezüglich diesem Betrag ist $L$ wieder vollständig.

Vervollständigung

Man kann jeden Körper $K$ mit Betrag $\left|.\right|_{K}$ dicht in einen vollständigen Körper ${\widehat {K}}$ einbetten. Sei dazu $C$ der Ring der Cauchy-Folgen in $K$ und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $K$. Dann ist ${\widehat {K}}:=C/N$ ein Körper und durch $\left|(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }+N\right|_{\widehat {K}}:=lim_{j\to \infty }\left|x_{j}\right|_{K}$ wird ein Betrag auf ${\widehat {K}}$ definiert, bezüglich dem dieser vollständig ist. Der Körper $K$ kann vermöge der isometrischen Einbettung $x\mapsto (x)_{n\in \mathbb {N} }+N$ als Unterkörper von ${\widehat {K}}$ aufgefasst werden.

Ist $K$ bereits vollständig, so ist diese Einbettung ein Isomorphismus.

Diese Vervollständigung stimmt mit der metrischen Vervollständigung überein, insbesondere ist sie eindeutig bis auf Isometrie.

Eigenschaften der Vervollständigung

• Ist $A\subseteq K$, bzw. ${\widehat {A}}\subseteq {\widehat {K}}$, der Bewertungsring bezüglich $\left|.\right|$, bzw. ${\widehat {\left|.\right|}}$, und ${\mathfrak {m}}$, bzw. ${\widehat {\mathfrak {m}}}$, das maximale Ideal, so gilt

${\widehat {A}}/{\widehat {\mathfrak {m}}}\cong A/{\mathfrak {m}}$.

• Ist $\left|.\right|$ diskret, so gilt darüber hinaus für alle $n\geq 1$, dass

${\widehat {A}}/{\widehat {\mathfrak {m}}}^{n}\cong A/{\mathfrak {m}}^{n}$.

• Ist $\left|.\right|$ diskret, $R\subseteq A$ ein Repräsentantensystem für $A/{\mathfrak {m}}$ mit $0\in R$ und ist $\pi \in A$ ein uniformisierendes Element, so besitzt jedes $0\neq x\in {\widehat {K}}$ eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe

$x=\pi ^{m}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\pi ^{i}$

mit $a_{i}\in R$, $a_{0}\neq 0$, $m\in \mathbb {Z}$.

Beispiele

• Ist $K$ bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig, so existieren nach einem weiteren Satz von Ostrowski ein Isomorphismus $\varphi \colon \,K\to \mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ und ein $s\in (0,1]$, sodass

$\left|x\right|=\left|\varphi (x)\right|^{s}\quad \forall x\in K$.

• Die Vervollständigung der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ bezüglich des $p$-adischen Betrages ist der überabzählbare Körper $\mathbb {Q} _{p}$ der $p$-adischen Zahlen,

$\mathbb {Q} _{p}=\left\{\sum _{j=k}^{\infty }a_{j}p^{j}:k\in \mathbb {Z} ,a_{j}\in \{0,1,...,p-1\}\right\}$.

Zu beachten ist hierbei, dass die Folge der Partialsummen $\left(\sum _{j=k}^{n}a_{j}p^{j}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ bezüglich des $p$-adischen Betrages eine Cauchy-Folge ist.

• Als lokalen Körper bezeichnet man einen Körper, der bezüglich eines diskreten Betrages vollständig ist und einen endlichen Restklassenkörper hat. Lokale Körper sind als topologische Räume lokalkompakt.

Endliche Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$ oder $\mathbb {F} _{p}(x)$ heißen globale Körper.

Man kann zeigen, dass die lokalen Körper genau die endlichen Erweiterung der Körper $\mathbb {Q} _{p}$ und der Körper $\mathbb {F} _{p}((x))$ der formalen Laurent-Reihen über $\mathbb {F} _{p}$ sind.

Literatur

• Cassels, J.W.S., Fröhlich, A.: Algebraic Number Theory. Thompson, Washington, D.C. 1967
• Goldstein, Larry Joel: Analytic Number Theory. Prentice-Hall Inc., New Jersey 1971
• Lang, Serge: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986, ISBN 3-540-96375-8
• Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992, Nachdruck 2007, ISBN 3-540-37547-3
• Ribenboim, Paulo: The Theory of Classical Valuations. Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98525-5