Benutzer:Nuerk/Absolutbeträge auf Körpern

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Sei ein Körper. Ein Absolutbetrag auf ist eine Abbildung in die positiven reellen Zahlen, welche die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(Definitheit)
(Multiplikativität)
(Dreiecksungleichung)

Hierdurch wird die reelle bzw. komplexe Betragsfunktion auf beliebige Körper verallgemeinert.

Grundeigenschaften

Aus der Definition folgt unmittelbar

Einheitswurzel, d.h. für ein

Beispiele

  • Auf jedem Körper lässt sich der triviale Betrag
definieren. Dieser wird im Folgenden ausgeschlossen.
  • Auf dem Körper der rationalen Zahlen definiert man für jede Primzahl den sogenannten -adischen Betrag. Dazu stellt man dar als mit , und . Diese Darstellung ist eindeutig, und durch
wird ein Absolutbetrag definiert.[1]
  • Ist ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierendem Element , d.h. für das maximale Ideal von gilt , so lässt sich jedes Element eindeutig schreiben als mit und . Durch
wird nun ein (von der Wahl des Uniformisierenden unabhängiger) Betrag auf dem Quotientenkörper definiert.[2]

Begriffsklärung

Diskreter Betrag

Ein Betrag auf einem Körper heißt diskret, falls das Bild der Einheitengruppe eine diskrete Untergruppe der multiplikativen Gruppe ist.

Archimedischer Betrag

Ein Betrag auf einem Körper heißt archimedisch, falls die Menge beschränkt ist, sonst nicht-archimedisch. Dabei ist ein Betrag genau dann nicht-archimedisch, wenn er für alle die verschärfte Dreiecksungleichung

erfüllt.[3] In diesem Fall gilt

.[4]

Im Falle eines nicht-archimedischen Betrages definiert

einen Ring, den sogenannten Bewertungsring des Körpers zum Betrag . Da für jedes

oder

gilt, ist insbesondere . Dieser Ring ist lokal, d.h. er enthält genau ein maximales Ideal, nämlich

.[5]

Der Bewertungsring ist ein Hauptidealring, also ein diskreter Bewertungsring, genau dann, wenn der Betrag diskret ist.[6]

Bewertungen

Sei ein Körper. Die nicht-archimedischen Absolutbeträge stehen in einer -Korrespondenz zu den Bewertungen von :[7]

Gegeben ein nicht-archimedischer Absolutbetrag , so ist die Abbildung

eine Bewertung, d.h. sie erfüllt

.

Ist umgekehrt eine Bewertung, so wird durch

ein nicht-archimedischer Betrag definiert.

Topologie und Äquivalenz von Beträgen

Ist ein Betrag auf einem Körper , so wird durch

eine Metrik, insbesondere also eine Topologie, auf definiert.

Zwei Beträge und auf heißen äquivalent, in Zeichen , falls sie dieselbe Topologie erzeugen.

Man kann zeigen,[8] dass zwei Beträge genau dann äquivalent sind, wenn ein existiert, sodass für alle gilt

.

Approximationssatz

Sind paarweise inäquivalente Absolutbeträge auf einem Körper und vorgegebene Elemente, dann existiert zu jedem ein mit für alle .[9]

Satz von Ostrowski

Nach einem Satz von Ostrowski ist jeder Betrag auf äquivalent entweder zum üblichen reellen Betrag, oder zum -adischen Betrag für eine Primzahl .[10]

Diskrete Beträge

Sei ein Körper mit diskretem Absolutbetrag und der Bewertungsring mit maximalem Ideal . Dann ist jedes Ideal des Bewertungsrings von der Form für ein .[11] Die absteigende Kette

der Ideale von bildet eine Umgebungsbasis des Nullelements. Denn ist ein Uniformisierendes, also insbesondere , so gilt

.[12]

Entsprechend ist die Kette

der Untergruppen

eine Umgebungsbasis des Einselementes von . heißt die -te Einseinheitengruppe und die Einseinheitengruppe schlechthin.

Für jedes gelten folgende Isomorphien:[13][14]

,
,
.

Vollständige Körper

Sei ein bewerteter Körper. heißt vollständig, falls mit der induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, d.h. falls jede Cauchy-Folge in konvergiert.

Eigenschaften vollständiger Körper

Sei vollständig bezüglich eines diskreten Betrags. Sei der Bewertungsring, das maximale Ideal und die kanonische Projektion für . Versieht man die Ringe mit der diskreten Topologie und mit der Produkttopologie, so wird der projektive Limes

als abgeschlossene Teilmenge des Produktes in kanonischer Weise zu einem topologischen Ring.[15] Die kanonischen Abbildungen

und

sind sowohl Isomorphismen als auch Homöomorphismen.[16]

Darüber hinaus gilt in einem vollständigen Körper das henselsche Lemma:[17]

Hensels Lemma

Sei vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages , der Bewertungsring, das maximale Ideal und ein Polynom mit . Besitzt dann die Reduktion

eine Zerlegung

in teilerfremde Polynome , so existieren mit

,
,
,
.

Fortsetzung von Beträgen

Ist vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages und eine separable algebraische Körpererweiterung, so existiert genau ein Betrag auf , der auf den Betrag von einschränkt, d.h. für alle erfüllt.[18]

Ist die Körpererweiterung endlich, , so ist diese Fortsetzung für alle gegeben durch

,

wobei die Körpernorm bezeichnet. Bezüglich diesem Betrag ist wieder vollständig.[19]

Vervollständigung

Man kann jeden Körper mit Betrag dicht in einen vollständigen Körper einbetten.[20] Sei dazu der Ring der Cauchy-Folgen in und das Ideal der Nullfolgen in . Dann ist ein Körper und durch wird ein Betrag auf definiert, bezüglich dem dieser vollständig ist. Der Körper kann vermöge der isometrischen Einbettung als Unterkörper von aufgefasst werden.

Ist bereits vollständig, so ist diese Einbettung ein Isomorphismus.[21]

Diese Vervollständigung stimmt mit der metrischen Vervollständigung überein, insbesondere ist sie eindeutig bis auf Isometrie.

Eigenschaften der Vervollständigung

  • Ist , bzw. , der Bewertungsring bezüglich , bzw. , und , bzw. , das maximale Ideal, so gilt
.[22]
  • Ist diskret, so gilt darüber hinaus für alle , dass
.[23]
  • Ist diskret, ein Repräsentantensystem für mit und ist ein uniformisierendes Element, so besitzt jedes eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe
mit , , .[24]

Beispiele

  • Ist bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig, so existieren nach einem weiteren Satz von Ostrowski[25] ein Isomorphismus oder und ein , sodass
.
  • Die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des -adischen Betrages ist der überabzählbare Körper der -adischen Zahlen,[26]
.
Zu beachten ist hierbei, dass die Folge der Partialsummen bezüglich des -adischen Betrages eine Cauchy-Folge ist.[27]
  • Als lokalen Körper bezeichnet man einen Körper, der bezüglich eines diskreten Betrages vollständig ist und einen endlichen Restklassenkörper hat. Lokale Körper sind als topologische Räume lokalkompakt.[28]
Endliche Körpererweiterungen von oder heißen globale Körper.
Man kann zeigen, dass die lokalen Körper genau die endlichen Erweiterung der Körper und der Körper der formalen Laurent-Reihen über sind.[29]

Literatur

  • Cassels, J.W.S., Fröhlich, A.: Algebraic Number Theory. Thompson, Washington, D.C. 1967
  • Goldstein, Larry Joel: Analytic Number Theory. Prentice-Hall Inc., New Jersey 1971
  • Lang, Serge: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986, ISBN 3-540-96375-8
  • Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992, Nachdruck 2007, ISBN 3-540-37547-3
  • Ribenboim, Paulo: The Theory of Classical Valuations. Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98525-5

Einzelnachweise

  1. Neukirch 2007, (II.2) S. 112.
  2. Neukirch 2007, (II.3) S. 126.
  3. Neukirch 2007, (II.3.6) S. 123.
  4. Neukirch 2007, (II.3) S. 124.
  5. Neukirch 2007, (II.3.8) S. 126.
  6. Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
  7. Neukirch 2007, (II.3) S. 125 f.
  8. Neukirch 2007, (II.3.3) S. 121 f.
  9. Neukirch 2007, (II.3.4) S. 122.
  10. Neukirch 2007, (II.3.7) S. 124.
  11. Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
  12. Neukirch 2007, (II.3) S. 127.
  13. Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
  14. Neukirch 2007, (II.3.10) S. 128.
  15. Neukirch 2007, (II.4) S. 133.
  16. Neukirch 2007, (II.4.5) S. 133.
  17. Neukirch 2007, (II.4.6) S. 135.
  18. Neukirch 2007, (II.4.8) S. 137.
  19. Neukirch 2007, (II.4.8) S. 137.
  20. Neukirch 2007, (II.4) S. 129.
  21. Neukirch 2007, (II.4) S. 129.
  22. Neukirch 2007, (II.4.3) S. 131 f.
  23. Neukirch 2007, (II.4.3) S. 131 f.
  24. Neukirch 2007, (II.4.4) S. 132.
  25. Neukirch 2007, (II.4.2) S. 130.
  26. Neukirch 2007, (II.2) S. 116 ff.
  27. Neukirch 2007, (II.2) S. 114 f.
  28. Neukirch 2007, (II.5.1) S. 140.
  29. Neukirch 2007, (II.5.2) S. 141.