Benutzer:Psychrometer/Biegelinie

Eine Biegelinie (auch Biegungslinie, Durchbiegungslinie, elastische Linie) ist eine mathematische Kurve, die die Verformung eines Balkens bei Biegung beschreibt. Es ist in der Statik der Bauwerke die Linie, in die infolge der Elastizität des Baustoffes die Achse eines ursprünglich geradlinigen Balkenträgers übergeht.

Die Gleichung der Biegelinie ist ein Teil der Balkentheorie. Sie wird verwendet, um die Durchbiegung prismatischer Balken im Bereich des linear-elastischen Materialverhaltens zu bestimmen. Dabei wird die Annahme zugrunde gelegt, dass die eintretenden Verformungen so klein sind, dass die biegebedingte Veränderung der Balkengeometrie bei der Aufstellung der Gleichung vernachlässigt werden kann. Für den Bereich des nichtlinear-elastischen Materialverhaltens sind Abänderungen erforderlich (vgl. Nichtlineare Stabstatik).

Wieso "prismatisch"? Was ist zutreffender? Gezielt wird auf "gleichbleibender Querschnitt"

Biegelinie w(x): Positive Werte für Verformungen "nach unten"  
  Dubbel (laut Auswertung Formeln) 
  Kirsch (laut Auswertung Formeln)
  Schumpich explizit in 5.2.1 auf S128

Für kleine Biegewinkel bzw. Neigungswinkel $\varphi$ gilt die folgende Beziehung zur Durchbiegung $w(x)$:

Konventionen für Kursivität von Bezeichnern?

Technische Mechanik 3. Festigkeitslehre edited by Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich
Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau ... edited by Alfred Böge
Statik im Bauwesen: Band 2: Festigkeitslehre By Werner Kirsch, Dipl.-Ing.

${\mathrm {d} w(x) \over \mathrm {d} x}=-\varphi (x)$

Hieraus folgt unter Berücksichtigung des Hookeschen Stoffgesetzes eine lineare homogene Differentialgleichung:

$-{\mathrm {d} \varphi (x) \over \mathrm {d} x}={\mathrm {d} ^{2}w(x) \over \mathrm {d} x^{2}}=w''(x)=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$

Die exakte Lösung stellt folgende Differentialgleichung dar:

${w''(x) \over ({1+w'^{2}(x)})^{3/2}}=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$

Für kleine Durchbiegung $(w'(x)<<1)$ vereinfacht sich die Formal dann wieder zu der vorherigen.

Durch diese Differentialgleichung ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ und dem Biegemoment $M_{y}(x)$ im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment $M_{y}(x)$ und Querkraft $Q_{z}(x)$) sowie der äußeren Flächenlast $q_{z}(x)$ gegeben ist. (Die Koordinate $x$ wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt. Die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse $y$. Die Koordinate $z$ verläuft in Richtung der Querkraft.)

$EI_{y}\,w''(x)=-M_{y}(x)$

$EI_{y}\,w'''(x)=-Q_{z}(x)$

$EI_{y}\,w''''(x)=q_{z}(x)$

Damit die Durchbiegung berechnet werden kann, muss der Elastizitätsmodul $E$ des Materials bekannt sein. Ferner muss vorab das Flächenträgheitsmoment $I_{y}$ des Balkenquerschnitts ermittelt und der Verlauf der äußeren Streckenlast $q_{z}(x)$ oder der Verlauf von Biegemoment $M_{y}(x)$ oder Querkraft $Q_{z}(x)$ bestimmt werden. Die Gleichung kann dann mehrmals integriert werden, bis auf der einen Seite die Durchbiegung $w(x)$ steht. Hierbei ergeben sich mehrere Integrationskonstanten, die durch eine entsprechende Anzahl von Randbedingungen bestimmbar sind.

Das folgende Beispiel zeigt das Vorgehen, wenn vorab der Verlauf des Biegemoments $M_{y}(x)$ ermittelt wurde und der Elastizitätsmodul und das Flächenträgheitsmoment über die ganze Länge des Balkens als konstant angenommen werden:

$EI_{y}\,w''(x)=-M_{y}(x)$

$EI_{y}\,w'(x)=-\int M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1}$

$EI_{y}\,w(x)=-\int \int M_{y}(x)\mathrm {d} x+xC_{1}+C_{2}$

Es ergeben sich die zwei unbekannten Konstanten $C_{1}$ und $C_{2}$. Diese können nun durch zwei Randbedingungen bestimmt werden. Zum Beispiel gilt bei einem Auflager an der Stelle $x=a$, welches eine Querkraft aufnehmen kann: $w(a)=0$. Für ein Auflager an der Stelle $x=b$, welches ein Moment aufnehmen kann, gilt: $w'(b)=0$.

Kreismembran

Halbe kreisrunde Membran

Datei:Membranelement.gif

Infinitesimales Membranelement

Im Falle einer kreisrunden Membran werden oft auch vereinfacht die Formeln aus der Balkentheorie verwendet. Unter der Annahme einer homogenen Membran wird dann bei rotationssymmetrischen Kräften eine einfache Biegelinie berechnet. Also nur ein Querschnitt der Membran.

Mit dem tangentialen und radialen Biegemoment $M_{t}$ und $M_{r}$ und unter Vernachlässigung von Differentialen höherer Ordnung ergibt sich die Momentgleichung

$M_{r}+{\frac {\mathrm {d} M_{r}}{\mathrm {d} r}}\cdot r-M_{t}+Q\cdot r=0.$

Die Biegemomente lassen sich über die Poissonzahl $\mu$ angeben zu:

$M_{r}=-D\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {\mu }{r}}{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}\right)$

$M_{t}=-D\left(\mu {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}\right)$

D ist hierbei das Widerstandsmoment, das sich über den Elastizitätsmodul $E_{M}$ der Membran mit Dicke d wie folgt beschreiben lässt:

$D={\frac {E_{M}\cdot d^{3}}{12\cdot (1-\mu ^{2})}}$

Die Biegelinie einer Kreismembran lautet dann in Differentialform, unter Vernachlässigung von kleinen Termen höherer Ordnung sowie von Zugspannungen (nur zulässig für geringe Dehnungen):

${\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} r^{3}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} r^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}={\frac {Q}{D}}$

Weblinks

• 

  Wikibooks: Physik des Schlagens/ Biegung des Rohrstocks – Lern- und Lehrmaterialien
• Die Biegelinie
• Zur Biegelinie (PDF; 116 kB)

[[Kategorie:Technische Mechanik]] [[Kategorie:Baustatik]]