Benutzer:Roderich Kahn/Testseite02

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Einheitengleichung

Eine Einheitengleichung ist eine Gleichungsart, die aus einer gegebenen Gleichung zwischen physikalischen Größen nach festen Regeln gebildet wird. Eine Einheitengleichung enthält ausschließlich Einheiten der Größen, im Unterschied zur Größengleichung, bei der ein Größensymbol immer für ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit steht. Die Einheitengleichung beschreibt nur einen Teil der physikalischen Zusammenhänge, die in einer Größengleichung enthalten sind. Sie ist einfacher als die zugehörige Größengleichung; so werden zum Beispiel Ableitungen zu Quotienten, Integrale zu Produkten und transzendente Funktionen zur reellen Zahl 1. Eine Einheitengleichung dient zur Berechnung der Einheit einer Größe in einem gewählten Einheitensystem und, vor allem in Fall einer komplizierten Größengleichung, zur Verifikation der Größengleichung selbst („Kann denn das überhaupt stimmen, was ich da berechnet habe?“). Sie besitzt als „Handwerkszeug“ eines Physikers einen hohen Stellenwert, ersetzt aber keine Größengleichung.

Einführung

Jede physikalische Größe $G$ ist nach Julius Wallot das Produkt aus Zahlenwert $\{G\}$ und Einheit $[G]$

$G=\{G\}\cdot [G]$.

Der Zahlenwert ist eine reelle Zahl („reine Zahl“).

Die physikalische Größe hat eine Eigenschaft, die eine imaginäre Zahl auch besitzt. Beide sind ein Produkt aus einer reellen Zahl und einer Einheit. Die Einheit der imaginären Zahl ist die imaginäre Einheit. Die Eigenschaft der imaginären Einheit, das ihr Quadrat die reelle Zahl $-1$ ergibt, besitzt die physikalische Größe aber nicht (Das Quadrat einer Längeneinheit zum Beispiel ist mitnichten eine reelle Zahl, sondern kann als Quadrat der Längeneinheit nicht weiter vereinfacht werden).

Aus der letzten Gleichung folgt, dass die Einheit $[G]$ einer Größe $G$ der Quotient aus der Größe und dem Zahlenwert $\{G\}$ ist

$[G]={\frac {G}{\{G\}}}.$

Die Zahlenwertklammer $\{\;\}$ und die Einheitenklammer $[\;]$ sind Operatoren. Die Einheitenklammern, angewendet auf eine reelle Zahl $z$ ergibt 1, $[z]=1$. Wird die Einheitenklammern zweimal angewendet, ergibt das ebenfalls 1, da 1 auch eine reelle Zahl ist, $[[z]]=1$. Deshalb ist die Einheit des Zahlenwerts der Größe $[\{G\}]=1$.

Wendet man die Einheitenklammern zum zweiten Mal auf eine Einheit an, ergibt sich die Einheit erneut, $[[G]]=[G]$. Aus diesen und weiteren Regeln lässt sich formal ein Regelwerk entwickeln, wie aus der Größengleichung einer physikalischen Größe ihre Einheitengleichung zu gewinnen ist.

Die Einheitengleichung, wie die Größengleichung auch, hängt nicht von der Wahl des Einheitensystems ab. Das gilt solange, bis man ein bestimmtes Einheitensystem ausgewählt und die Einheitenklammern durch die speziellen Einheiten dieses Systems ersetzt hat.

Beispiel Feldkonstanten

Der kleinste Baustein einer Einheitengleichung ist die Einheit einer einzelnen Größe, also einer Größe, die mit keiner anderen verknüpft ist, zum Beispiel die Einheit einer Naturkonstanten. Im Internationale Einheitensystem (SI) ist die Einheit der Lichtgeschwindigkeit $c$ zum Beispiel ist gleich $[c]={\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$, die der elektrischen Feldkonstanten $\varepsilon _{0}$ gleich $[\varepsilon _{0}]={\frac {\mathrm {A\ s} }{\mathrm {V\ m} }}$ und die der magnetischen Feldkonstanten $\mu _{0}$ gleich $[\mu _{0}]={\frac {\mathrm {V\ s} }{\mathrm {A\ m} }}$.

Indem wird diese drei Größen verknüpfen, kommen wir zur ersten Einheitengleichung. Das internationale Einheitensystem wurde so gewählt, dass der Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldkonstante, der magnetischen Feldkonstanten und der Lichtgeschwindigkeit möglichst einfach ist

$\varepsilon _{0}\ \mu _{0}\ c^{2}=1$

und alle drei Naturkonstanten einen exakten Wert besitzen.

Sind zum Beispiel die Einheiten der elektrischen Feldkonstante und der Lichtgeschwindigkeit gegeben, braucht man nicht viel über Einheitengleichungen zu wissen, um zur Einheit der magnetischen Feldkonstanten zu kommen. Man stellt die Gleichung nach $\mu _{0}$ um:

$\mu _{0}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\ c^{2}}}$

und erhält aus

$[\mu _{0}]={\frac {1}{[\varepsilon _{0}]\ [c^{2}]}}$

die „ausgewertete“ Einheitengleichung im SI-System

$[\mu _{0}]={\frac {\mathrm {V\ m\ s^{2}} }{\mathrm {A\ s\ m^{2}} }}={\frac {\mathrm {V\ s} }{\mathrm {A\ m} }}$.

Beispiel Massendichte

An einem einfachen Beispiel kann man die Schritte zeigen, die streng genommen ausgeführt werden müssen, um von einer einer Größengleichung zur zugehörigen Einheitengleichung zu kommen:

Die Massendichte $\rho$ ist der Quotient aus der Masse $m$ eines Körpers und seinem Volumen $V$, wenn die Massendichte innerhalb des Körpers überall gleich ist. Ist das nicht der Fall, berechnen wir mit der nachfolgenden Formel die mittlere Massendichte des Körpers:

$\rho ={\frac {m}{V}}$.

Die Produkte von Zahlenwert und Einheit eingesetzt, kann man diese Größengleichung als

$\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {\{m\}\;[m]}{\{V\}\;[V]}}$,

Es sind

$\{m\}$ der Zahlenwert der Masse,

$[m]$ die Masseneinheit,

$\{V\}$ der Zahlenwert des Volumens und

$[V]$ die Volumeneinheit.

Aus den obigen Eigenschaften der Größengleichung folgt für die Einheitengleichung der Massendichte

$[\rho ]=\left[{\frac {m}{V}}\right]={\frac {[m]}{[V]}}$,

Wählen wir die Einheiten des SI-Systems, so erhalten wir

$[\rho ]={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m^{3}} }}$,

mit der Masseneinheit Kilogramm ($\mathrm {kg}$) und der Längeneinheit Meter ($\mathrm {m}$).

Wird das CGS-Einheitensystem zugrunde gelegt, so ist die Einheit der Massendichte

$[\rho ]={\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm^{3}} }}$,

mit der Masseneinheit Gramm ($\mathrm {g}$) und der Längeneinheit Zentimeter ($\mathrm {cm}$). Das CGS-System ist gerade für Massendichten sehr bequem, liegt doch bei Standardbedingungen der Zahlenwert der Massendichte des Wassers bei 1 und der der Elemente mit der größten Massendichte Iridium und Osmium wenig unter 23.

Verwenden wir das Einheitensystem United States customary units , so ergibt sich

$[\rho ]={\frac {\mathrm {lb} }{\mathrm {{ft}^{3}} }}$,

mit der Masseneinheit pound ($\mathrm {lb}$) und der Längeneinheit foot ($\mathrm {ft}$).

Beispiel Masse

Ist die Masse im Raumbereich, den ein Körper einnimmt, ungleich verteilt, hängt die Massendichte von Ort $(x,y,z)$ und die Massendichte wird zur Ortsfunktion $\rho =\rho (x,y,z)$. Ist die Massendichte gegeben, kann die Masse $m$ des Körpers nach der bekannten Größengleichung

$m=\iiint _{V}\rho (x,y,z)\ \mathrm {d} V$

berechnet werden. Wenden wir nun den Einheitenoperator auf die Gleichung an

$[m]=\left[\iiint _{V}\rho (x,y,z)\ \mathrm {d} V\right]=[\rho (x,y,z)]\ [\mathrm {d} V]$,

so ergibt sich im SI-System

$[m]={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m^{3}} }}\ \mathrm {m^{3}} =\mathrm {kg}$.

Im Unterschied zur diesen recht überschaubaren Beispielen kann die Formel mancher Größen, etwa die der Wellenfunktion, der Lösungsfunktion der der Schrödingergleichung, recht kompliziert und entsprechend anspruchsvoll ist der Übergang zur ihrer Einheitengleichung sein. Deshalb ist es geboten, eine eigene Gleichungsart, die Gleichungsart Einheitengleichung, einzuführen und Regel zusammenzustellen, wie man von einer Größengleichung widerspruchsfrei zu ihrer Einheitengleichung kommt.

Einordnung nach Gleichungsart

Die Einheitengleichung ist eine von vier grundsätzlichen Arten, in die Gleichungen unterschieden werden können, die in der Physik oder anderen Naturwissenschaften auftreten (Unterscheidung einer Gleichung nach der Qualität):

Name	Beispiel
Wortgleichung	Massendichte ist Masse durch Volumen
Größengleichung	$\rho ={\frac {m}{V}}$
Einheitengleichung	$[\rho ]={\frac {[m]}{[V]}}$; im SI-System: $[\rho ]={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m^{3}} }}$
Dimensionsgleichung	$dim(\rho )=\mathrm {M\ L^{-3}}$

Was die Wortgleichung betrifft, so ist es immer möglich, eine physikalische Formel auch in Worte zu fassen. Bis zum 18. Jahrhundert dominierten Wortgleichungen, auch in physikalischen Texten. Eine Wortgleichung ist auch heute noch in einem geschriebenen Text für die Definition einer physikalischen Größe oder die Erläuterung einer Größengleichung zu empfehlen, weil sie dem mit Größensymbolen weniger vertrauten Leser entgegenkommt.

Der Physiker hat es bei einer Wortgleichung leichter als der Mathematiker: Die Größen des Physikers haben Eigennamen, die des Mathematikers nicht. Noch wichtiger ist die Tatsache, dass der Eigenname in vielen Fällen für ein sinnlich wahrnehmbares Objekt steht: Ein Apfel hat eine Masse, das ich an seinem Gewicht spüre, und er nimmt einen Raumbereich ein, wie ich sehen kann, durch dessen Volumen ich seine Masse zu teilen habe, wenn ich die Massendichte des Apfels berechnen will. Übrigens: Der Apfel schwimmt im Wasser, Birne, Kartoffel und Tomate nicht.

Wären die Formelsymbole der Größengleichung in der obigen Tabelle „mathematische Größen“ ohne Einheiten, müssten die Formelsymbole zwingend auch genannt werden, etwa so: Die Variable $\rho$ ist gleich dem Quotienten der Variablen $m$ und der Variablen $V$. Die Kurzfassung $\rho$ ist gleich $m$ durch $V$ bringt keine andere Informationen als die Formel selbst und ist somit als Wortgleichung in geschriebenem Text überflüssig.

Die Größengleichung ist die mit Abstand wichtigste Art der vier Gleichungsarten der Naturwissenschaften. Auf sie soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden. Die Größengleichung sieht aus, als wäre sie eine mathematische Gleichung. Das ist sie aber nicht, denn jedes Symbol steht für ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit.

Die Dimensionsgleichung vereinfacht eine Einheitengleichung weiter, um eine qualitative Eigenschaft einer definierten Größe oder Gleichung noch deutlicher zu machen. Der Operator $dim$ ist der Dimensionsoperator. Die Dimensionsgleichung ist ein Gleichung zwischen Dimensionen, die unabhängig vom Einheitensystem und damit unabhängig von Einheiten sind.

Im Internationalen Größensystem hat man sieben Basisgrößen mit entsprechen sieben zugehörigen Dimensionen festgelegt. Eine Dimensionsgleichung leicht kann aus einer Einheitengleichung gewonnen werden. Die Dimensionsgleichung ist „abstrakter“ als die Einheitengleichung.

Einordnung innerhalb der Größenlehre

Der Begriff Einheitengleichung ist ein Begriff der physikalischen Größenlehre, dem Zweig der Physik, der sich zunächst abstrakt mit physikalischen Größen befasst. Der praktische Zweig der Größenlehre, der sich weitgehend verselbständigen und in den Vordergrund spielen konnte, weil er eine große wirtschaftliche Bedeutung besitzt, ist die Wissenschaft des Messens, die Metrologie. Die nachfolgende Tabelle enthält eine Übersicht über die wichtigsten Begriffe der Metrologie, von der Warte der Größenlehre aus gesehen:

Name	Erläuterung
Metrologie	Wissenschaft des Messens und ihre Anwendung. Legt international akzeptierten Maßeinheiten fest und realisiert sie durch wissenschaftliche Methoden. Innerhalb eines Landes kontrolliert sie Maße und Gewichte
Einheitensystem	System aller Einheiten, die von einem zuständigen Gremium als Einheiten für physikalische Größen festgelegt worden sind
Einheit	Einheit der physikalischen Größe, zum Beispiel ist die SI-Einheit der Masse das Kilogramm, $[m]=\mathrm {k} g$
Einheitenzeichen	Abkürzung für die Einheit der physikalischen Größe, zum Beispiel ist für die SI-Einheit der Masse Kilogramm das Einheitenzeichen $\mathrm {k} g$
Einheitenverknüpfung	Verknüpfung der Einheiten von physikalischen Größen, zum Beispiel $[m]\ [c^{2}]=\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Einheitengleichung	Gleichung zwischen Einheiten physikalischer Größen, zum Beispiel $[E]=[m]\ [c^{2}]$, im SI-System $\mathrm {J} =\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Rechnen mit Einheiten, „Einheitenalgebra“	Regelwerk, wie aus Größe, Größenverknüpfung oder Größengleichung die zugehörige Einheit allein, d. h. ohne Zahlenwert, erhalten werden kann, und Vorschriften für das Rechnen mit Einheiten physikalischer Größen. Die Rechenregeln für Einheiten sind einfacher als die für physikalische Größen
Basiseinheit	Einheit einer Basisgröße. Das SI-System definiert sieben Basisgrößen und damit sieben Basiseinheiten, die Einheiten Meter ($\mathrm {m}$), Kilogramm ($\mathrm {kg}$), Sekunde ($\mathrm {s}$), Ampere ($\mathrm {A}$), Kelvin ($\mathrm {K}$), Mol ($\mathrm {mol}$) und Candela ($\mathrm {cd}$)
Abgleitete Einheit	Einheit für eine abgeleitete Größe. Kann stets in ein Produkt von Potenzen der Basiseinheiten überführt werden, zum Beispiel für die Größe $E=m\ c^{2}$ im SI-System $\mathrm {J} =\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}=\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m^{2}} \cdot \mathrm {s^{-2}}$. Eine Basiseinheit kann nicht als Produkt von Potenzen anderer Basiseinheiten ausgedrückt werden.

Rechnen mit Einheiten

Die Rechenregel für Gleichungen der Einheiten ergeben sich aus der logischen Forderung, das alles das, was in einer Größengleichung über Einheiten enthalten ist, in der Einheitengleichung durch diese Regeln widerspruchsfrei abbildet wird. Die Rechenregel sind analog zu den Rechenregeln mit physikalischen Größen selbst. Sie sind Rezepte, wie man aus einer Größengleichung eine Einheitengleichung gewinnt.

Beginnen wir mit den Regeln für skalaren Größen. Seien $a$, $b$ und $b$ verknüpfte physikalische Größen.

• Eine konstante Zahl (gemeint ist hier keine Naturkonstante) $const$ besitzt die Einheit $1$:

$[const]=1$.

Das gilt auch für die Einheit der imaginären Einheit $i$:

$[i]=1$.

In Worten: Die Einheit einer Zahl ist stets gleich der Einheit $1$.

• Addition und Subtraktion sind wie bei Größengleichungen nur zwischen Größen der gleichen Größenart mit den gleichen Einheiten möglich. Aus

$c=a+b$,

ergibt sich aus der Anwendung des Einheitenoperators auf die Größengleichung

$[c]=[a+b]$.

Die Operationen $[a+b]=[a]+[b]$ oder $[a-b]=[a]-[b]$ sind nicht möglich, da das bei der Addition sinnwidrig zu einen Zahlenfaktor führen würde, zum Beispiel einem Zahlenfaktor 2 bei $[a]+[a]=2\ [a]$, und bei der Subtraktion zu Null $[a]-[a]=0$.

In Worten: Nur Größen mit gleichen Einheiten können addiert oder subtrahiert werden. Die Einheit der Summe oder Differenz zweier Größen ist gleich der der Einheit der Größen.

• Multiplikation. Ist die Größe $c$ das Produkt der Größen $b$ und $c$

$c=a\cdot b$,

so ergibt sich aus der Anwendung des Einheitenoperators auf die Größengleichung

$[c]=[a\cdot b]=[a]\cdot [b]$.

In Worten: Die Einheit des Produkts zweier Größengröße ist gleich dem Produkt der Einheiten der Faktoren.

• Division. Ist die Größe $c$ der Quotient der Größen $b$ und $c$

$c={\frac {a}{b}}$

so ergibt sich aus der Anwendung des Einheitenoperators auf die Größengleichung

$[c]=\left[{\frac {a}{b}}\right]={\frac {[a]}{[b]}}$

Die Einheit des Quotienten zweier Größen ist gleich dem Quotienten der Einheiten der Größe des Zählers und der Größe des Nenners.

• Potenzen für positive ganzzahlige als auch für negative und gebrochene Exponenten $n$

$c=a^{n}$

gilt

$[c]=[a^{n}]=[a]^{n}$

In Worten: Die Potenz einer Größe ist gleich der Potenz der Einheit der Größe.

• Multiplikationen von Vektoren. Sind die Größen $\mathbf {a}$ und $\mathbf {b}$ Vektoren, können sie skalar

$c=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ (Skalarprodukt)

oder vektoriell

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ (Vektorprodukt)

verknüpft werden.

Die Anwendung des Einheitenoperators auf die Größengleichungen ergibt

$[c]=[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ]=[\mathbf {a} ]\cdot [\mathbf {b} ]$ bzw. $[\mathbf {c} ]=[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=[\mathbf {a} ]\cdot [\mathbf {b} ]$

In Worten: Auch bei Produkten von Vektoren ist die Einheit des Produkts gleich dem Produkt der Einheiten der Faktoren. In der Sprache des Internationalen

• Auch bei Produkten von Tensoren, gleich welcher Stufe, wird wie bei Vektoren verfahren.

In Worten: Die Einheit eines Produkts von Tensoren ist gleich dem Produkt der Einheiten der Faktoren.

• Das Differential einer Größe wird durch die Einheit der Größe selbst ersetzt.

Bsp.: $[v]=\left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}a\cdot \mathrm {d} t\right]=[a]\;[\mathrm {d} t]={\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot \mathrm {s} ={\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Dabei symbolisieren $v$, $a$ und $t$ die Größen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit.

• Transzendente Funktionen wie $\exp$, $\log$, $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$, $\sinh$ usw. sind in der Physik nur für reelle (in seltenen Fälle auch komplexe) Zahlen als Argument definiert. Sie können daher nur auf eine Größe der Dimension Zahl angewendet werden. Deshalb ist die Einheit einer solchen Größe immer $1$.

Bsp.: $[\sin(\omega \ t)]=1$ oder $\left[\exp \left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\;(E\ t-\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} )\right)\right]=1$

In Worten: Die Einheit einer transzendente Funktion ist stets gleich der Einheit $1$.

Beispiel Wellenfunktion

Die physikalische Größe Wellenfunktion ist eine Lösung der Schrödingergleichung und besitzt eine Einheit. Die Einheit der Wellenfunktion ergibt sich aus der Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Sie besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen irgendwo im Raum zu einem gegebenen Zeitpunkt $t$ zu finden, genau Eins sein muss:

$\iiint _{V}dw(x,y,z,t)=\iiint _{V}|\psi (x,y,z,t)|^{2}\ \mathrm {d} V=1$,

vorausgesetzt, die Wellenfunktion $\psi$ ist überhaupt normierbar. Die Wellenfunktion freier Teilchen zum Beispiel ist nicht normierbar. Angenommen, sie sei normierbar, so folgt mit der Einheitengleichung

$\left[\iiint _{V}|\psi (x,y,z,t)|^{2}\ |\mathrm {d} V|\right]=[\psi (x,y,z,t)]^{2}\cdot [\mathrm {d} V]=1$

die SI-Einheit der $\psi$-Funktion

$[\psi (x,y,z,t)]={\frac {1}{\sqrt {[\mathrm {d} V]}}}=\mathrm {m} ^{-{\frac {3}{2}}}$

mit der Längeneinheit Meter ($\mathrm {m}$) des SI-Systems.

Einheiten von Größen als Potenzprodukte

Jeder beliebige physikalischen Größe kann als Produkt von Potenzen der Basisgrößen geschrieben werden. Beschränken wird uns hier auf die Einheiten der Basisgrößen Länge, Masse, Zeit und Stromstärke. Dann muss auch die Einheit dieser Größe ein Produkt von Potenzen der Einheiten der Basisgröße sein. Im SI-System heißt das:

$[G]=\mathrm {m} ^{\alpha }\cdot \mathrm {kg} ^{\beta }\cdot \mathrm {s} ^{\gamma }\cdot \mathrm {A} ^{\delta }$.

Die Exponenten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\gamma$ der Potenzen sind im SI-System ganze Zahlen. In anderen Einheitensystemen können auch rationale Exponenten auftreten. Die Exponenten können Null sein, wenn die dazugehörigen Basiseinheiten in der Einheit $[G]$ der betrachteten Größe nicht vorkommt.

Beispiel: Reaktionsratendichte

Beispiel Fadenpendel

Schwingung eines Fadenpendels

Die unter dem Namen Dimensionsanalyse bekannte Regelwerk kann mit Einheiten ausgeführt werden. Als Beispiel für eine physikalische Größe wählen wir die Schwingungsdauer eines idealisierten Fadenpendels. Idealisiert bedeutet, eine punktförmige Masse schwingt am (fast) masselosen Faden im Schwerefeld der Erde mit kleiner Schwingunsgweite und die Reibung durch die Luft kann vernachlässigt werden. Die Größengleichung für die Schwingungsdauer $T$ ist dann:

$T=2\ \pi \ {\sqrt {\frac {l}{g}}}$,

wobei $l$ die Länge des Pendels und $g$ die Erdbeschleunigung bedeuten. Die Einheitengleichung im SI-System mit der Einheit der Länge $[l]=\mathrm {m}$ und der Einheit der Beschleunigung $[g]=\mathrm {m} \ \mathrm {s} ^{-2}$ liefert

$[T]=\left[{\sqrt {\frac {l}{g}}}\right]={\sqrt {\frac {[l]}{[g]}}}={\sqrt {\mathrm {m} \;\mathrm {m} ^{-1}\mathrm {s} ^{2}}}=\mathrm {s}$,

wie zu erwarten war. Von der Masse des Massenpunkts hängt die Schwingungsdauer nicht ab.

Dimensionsanalyse Fadenpendel

Mit der Dimensionsanalyse stellt man sich die umgekehrte Frage: Wenn wir wissen, dass eine physikalische Größe eine Funktion anderer Größen ist (und dass die Schwingungsdauer von der Pendellänge und der Erdbeschleunigung abhängen wird, ist naheliegend), welche Produkte von Potenzen der Einheiten von Länge und Beschleunigung müssten es dann sein, damit eine Zeit herauskommt? Da in allen drei Größen die Masse nicht vorkommt, sind in

$s=\mathrm {m} ^{\alpha }\cdot \mathrm {kg} ^{\beta }\cdot \mathrm {s} ^{\gamma }\cdot \mathrm {A} ^{\delta }$

die Exponenten $\beta$ und $\delta$ sicher $0$, da die Einheiten der Masse und der Stromstärke weder in der Einheit der Länge noch in der Einheit der Erdbeschleunigung vorkommt. Unsere Einheitengleichung vereinfacht sich zu

$\mathrm {s} =\mathrm {m} ^{\alpha }\cdot \mathrm {s} ^{\gamma }$.

Den funktionalen Zusammenhang können wir so aus der Dimensionsanalyse erhalten, den Zahlenfaktor $2\ \pi$ aber nicht.

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Eine Einheitengleichung dient zur Angabe sowie Bestimmung oder Verifikation der Maßeinheit einer physikalischen Größe in einem gewählten Einheitensystem. Dabei werden bei einem bekannten funktionalen Zusammenhang lediglich die Einheiten der vorkommenden Größen und Konstanten betrachtet, nicht jedoch deren numerischer Wert. Die Einheit einer Größe ist dabei ein Produkt aller Basiseinheiten des gewählten Einheitensystems in je einer eigenen Potenz. dient zur Angabe sowie Bestimmung oder Verifikation der Maßeinheit einer physikalischen Größe in einem gewählten Einheitensystem. Dabei werden bei einem bekannten funktionalen Zusammenhang lediglich die Einheiten der vorkommenden Größen und Konstanten betrachtet, nicht jedoch deren numerischer Wert. Die Einheit einer Größe ist dabei ein Produkt aller Basiseinheiten des gewählten Einheitensystems in je einer eigenen Potenz.

Beispielsweise setzt sich im internationalen Einheitensystem die Einheit einer Größe $Q$ wie folgt zusammen, die eckigen Klammern kennzeichnen die Gleichung als Einheitengleichung:

$[Q]=\mathrm {m} ^{\alpha }\cdot \mathrm {kg} ^{\beta }\cdot \mathrm {s} ^{\gamma }\cdot \mathrm {A} ^{\delta }\cdot \mathrm {K} ^{\epsilon }\cdot \mathrm {mol} ^{\zeta }\cdot \mathrm {cd} ^{\eta }$

Die Exponenten $\alpha$ bis $\eta$ der Potenzen sind dabei ganze Zahlen. In anderen Einheitensystemen können auch rationale Exponenten auftreten. Die Exponenten können Null sein, wenn die dazugehörigen Basiseinheiten in der zusammengesetzten Einheit nicht vorkommen.

Beispiel anhand der Leistung

Beim Aufstellen einer Einheitengleichung werden alle Größen, die im funktionellen Zusammenhang vorkommen, zunächst auf möglichst fundamentale Größen zurückgeführt. Die Leistung $P$ ist der Quotient aus Arbeit $W$ und Zeit $t$, wobei die Arbeit das Produkt aus Kraft $F$ und Weg $s$ ist. Die Kraft wiederum ist das Produkt aus Masse $m$ und Beschleunigung $a$:

$P={\frac {W}{t}}={\frac {Fs}{t}}={\frac {mas}{t}}$

Zur Bestimmung der Gesamteinheit werden nun die einzelnen Einheiten betrachtet und so weit wie möglich zusammengefasst:

$[P]={\frac {\mathrm {kg} {\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\mathrm {m} }{s}}={\frac {\mathrm {kg\cdot m^{2}} }{\mathrm {s^{3}} }}=\mathrm {kg} ^{1}\cdot \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{-3}$

Dies entspricht der Definition der Einheit Watt, die für die Leistung verwendet wird. Wäre diese Übereinstimmung nicht herausgekommen, wäre dies ein Indikator, dass der funktionale Ausdruck zur Bestimmung der Leistung falsch ist. Die alleinige Überprüfung eines funktionalen Zusammenhanges anhand der Einheitengleichung reicht jedoch nicht aus, um eine Funktion auf Korrektheit zu überprüfen, eine Übereinstimmung ist nur notwendige, nicht hinreichende Bedingung.

Weblinks

• Das Internationale Einheitensystem (SI) (abgerufen am 14. November 2018)
• Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen (abgerufen am 9. November 2017)
• Physikalische Größen und Einheiten (abgerufen am 9. November 2017)
• Einheiten und Konstanten (abgerufen am 9. November 2017)

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Begriffe der Größenlehre

(Entwurf von 19.11.2018)

Die Begriffe und das Regelwerk der Größenlehre sind auf diverse Artikel der Wikipedia verteilt. Die wichtigsten Begriffe der Größenlehre sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Name	Erläuterung
Größenlehre	Zweig der Physik. Erforscht und systematisiert das Wissens über physikalische Größen, deren Einheiten und Dimensionen
Größensystem	System aller Größen, die von einem zuständigen Gremium als physikalische Größen festgelegt worden sind
Internationales Größensystem	Spezielles Größensystem, abgekürzt ISQ (von englisch International System of Quantities), das zusammen mit dem Internationalen Einheitensystem (SI) verwendet wird. Wichtigstes System für physikalische Größen
Größe	Physikalischen Größe, kleinster und wichtigster „Baustein“ der Größenlehre. Ein Größe $G$ ist definiert als das Produkt von Zahlenwert $\{G\}$ und Einheit $[G]$ der Größe, $G=\{G\}\cdot [G]$
Größensymbol	Abkürzung für eine physikalischen Größe, zum Beispiel ist für Größe Masse das Größensymbol $m$
Größenart	Art einer Größe. Aspekt, der untereinander vergleichbaren Größen gemeinsam ist. Größen gleicher Art lassen sich in sinnvoller Weise durch Addition und Subtraktion verknüpfen, nicht aber zum Beispiel Länge und Masse („Äpfel kann man nicht mit Birnen vergleichen“)
Elementare Größe	Einzelne, alleinstehende Größe, zum Beispiel eine variable Größe wie die Masse $m$ oder eine konstante Größe wie die Lichtgeschwindigkeit $c$
Größenverknüpfung	Verknüpfung von physikalischen Größen, zum Beispiel $m\ c^{2}$
Größengleichung	Gleichung zwischen physikalischen Größen, zum Beispiel $E=m\ c^{2}$
Basisgröße	Die physikalischen Größe, die als Basis eines Größensystems von dem zuständigen Gremium festgelegt worden ist. Das Internationale Größensystem kennt sieben Basisgrößen: Länge, Masse, Zeit, Elektrische Stromstärke, Absolute Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke
Abgeleitete Größe	Größe in einem Größensystem, die als Funktion der Basisgrößen definiert ist, zum Beispiel ist die Massendichte, die als Quotient der Größen Masse und Volumen definiert ist, eine aus den Basisgrößen Masse und Länge abgeleitete Größe
Größenrechnung, Größenalgebra	Regelwerk für das Rechnen mit physikalischen Größen. Die Rechenvorschriften für Größen sind gegenüber denen mit reellen Zahlen eingeschränkt
Metrologie	Wissenschaft des Messens und ihre Anwendung. Legt international akzeptierten Maßeinheiten fest und realisiert sie durch wissenschaftliche Methoden. Innerhalb eines Landes kontrolliert sie Maße und Gewichte
Einheitensystem	System aller Einheiten, die von einem zuständigen Gremium als Einheiten für physikalische Größen festgelegt worden sind
Einheit	Einheit der physikalischen Größe, zum Beispiel ist die SI-Einheit der Masse das Kilogramm, $[m]=\mathrm {k} g$
Einheitenzeichen	Abkürzung für die Einheit der physikalischen Größe, zum Beispiel ist für die SI-Einheit der Masse Kilogramm das Einheitenzeichen $\mathrm {k} g$
Einheitenverknüpfung	Verknüpfung der Einheiten von physikalischen Größen, zum Beispiel $[m]\ [c^{2}]=\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Einheitengleichung	Gleichung zwischen Einheiten physikalischer Größen, zum Beispiel $[E]=[m]\ [c^{2}]$, im SI-System $\mathrm {J} =\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Rechnen mit Einheiten, „Einheitenalgebra“	Regelwerk, wie aus Größe, Größenverknüpfung oder Größengleichung die zugehörige Einheit allein, d. h. ohne Zahlenwert, erhalten werden kann, und Vorschriften für das Rechnen mit Einheiten physikalischer Größen. Die Rechenregeln für Einheiten sind einfacher als die für physikalische Größen
Basiseinheit	Einheit einer Basisgröße. Das SI-System definiert sieben Basisgrößen und damit sieben Basiseinheiten, die Einheiten Meter ($\mathrm {m}$), Kilogramm ($\mathrm {kg}$), Sekunde ($\mathrm {s}$), Ampere ($\mathrm {A}$), Kelvin ($\mathrm {K}$), Mol ($\mathrm {mol}$) und Candela ($\mathrm {cd}$)
Abgleitete Einheit	Einheit für eine abgeleitete Größe. Kann stets in ein Produkt von Potenzen der Basiseinheiten überführt werden, zum Beispiel für die Größe $E=m\ c^{2}$ im SI-System $\mathrm {J} =\mathrm {kg} \ {\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}=\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m^{2}} \cdot \mathrm {s^{-2}}$. Eine Basiseinheit kann nicht als Produkt von Potenzen anderer Basiseinheiten ausgedrückt werden.
Größendimension	Dimension einer der physikalischen Größe. Qualitative Eigenschaft einer Größe, die vom Einheitensystem unabhängig ist. Zum Beispiel wird für die Größe Massendichte $\rho ={\frac {m}{V}}$ mit dem Dimensionsoperator $dim$ die Dimension als $dim(\rho )=\mathrm {M\ L^{-3}}$ angegeben
Dimensionssymbol	Abkürzung für die Dimension einer physikalischen Größe. Für die Dimensionen der Basisgrößen Masse, Länge, Zeit und Stromstärke sind die Dimensionssymbole $\mathrm {M}$, $\mathrm {L}$, $\mathrm {T}$ und $\mathrm {I}$ üblich
Dimensionsanalyse	Regelwerk, wie man aus Dimensionen (oder Einheiten) verknüpfter Größen Schlüsse auf Größengleichungen selbst ziehen kann

In einem Größensystem kommt ein Physiker mit den Größen Länge, Masse, Zeit und Elektrische Stromstärke aus. Die Temperatur $T$ kann wegen der Größengleichung $E=k\ T$ mit der Boltzmann-Konstanten $k$ auf die Energie $E$ und somit auf Basisgrößen zurückgeführt werden. Die „künstlichen“ Basisgrößen Stoffmenge und Lichtstärke sind Zugeständnisse an Gepflogenheiten der Chemie bzw. Photometrie. Sie beeinflussen das Weltbild des Physikers nicht. Die „natürlichen“ Basisgrößen Winkel und Raumwinkel fehlen ihm jedoch im SI-System.

Einheitensysteme können nach festgelegten Merkmalen klassifiziert werden und besitzen einen eindeutigen Namen, wie die nachfolgende Tabelle zeigt:

Name	Erläuterung
Einheitensystem	System aller Einheiten, die von einem zuständigen Gremium als Einheiten physikalischen Größen festgelegt worden sind
Metrisches Einheitensystem	Einheitensystem, in dem die Einheit der Basisgrößen Länge das Meter ist
Dezimales Einheitensystem, Dezimalsystem	Einheitensystem, in dem sich die Bruchteile oder Vielfachen der einzelnen Basiseinheiten nur um ganze Zehnerpotenzen unterscheiden
Kohärentes Einheitensystem	Einheitensystem, in dem jede abgeleitete Einheit ein Produkt von Potenzen der Basiseinheiten ohne zusätzliche numerische Faktoren ist
Internationales Einheitensystem (SI-System)	Metrisches, dezimales und kohärentes Einheitensystem. Bedeutendstes Einheitensystem für physikalische Größen
United States customary units	Das am häufigsten verwendete Einheitensystem in den Vereinigten Staaten (wird aber auch dort nur selten im naturwissenschaftlichen Kontext verwendet). Es ist weder metrisch, noch dezimal oder kohärent. Es werden für nur drei Größenarten auch Einheiten fesetgelegt: Für die Länge foot ($\mathrm {ft}$), für die Masse pound ($\mathrm {lb}$) und für die Temperatur degree Fahrenheit (°$\mathrm {F}$).

Was das SI-System betrifft, so wird am 20. Mai 2019 eine neue Definition der Einheiten Kilogramm, Ampere, Kelvin und Mol in Kraft treten.