Bremsstrahlung

Erzeugung von Röntgenbremsstrahlung durch Abbremsung eines schnellen Elektrons im Coulombfeld eines Atomkerns (schematische Darstellung)

Bremsstrahlung ist die elektromagnetische Strahlung, die durch die Beschleunigung eines elektrisch geladenen Teilchens, z. B. eines Elektrons, entsteht. Entgegen der Namensgebung tritt diese Strahlung nicht nur dann auf, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit verringert, sondern auch, wenn er sich vergrößert oder die Geschwindigkeit nur ihre Richtung verändert. Von Bremsstrahlung im engeren Sinne spricht man, wenn Teilchen in Materie gebremst werden.

Vom Standpunkt der Quantenelektrodynamik aus lässt sich die Erzeugung von Bremsstrahlung erklären, dass jede Wechselwirkung von geladenen Teilchen mit der Emission oder Absorption von Photonen, den Quanten der elektromagnetischen Strahlung, verbunden ist.

Auftreten bzw. Anwendung

Bei Teilchenbeschleunigern (vor allem bei Synchrotronen) und bei Speicherringen wird bei der Ablenkung geladener Teilchen durch ein Magnetfeld Bremsstrahlung frei, die in diesen Zusammenhängen Synchrotronstrahlung genannt wird.

Der Effekt der Bremsstrahlung wird in Röntgenröhren zur Erzeugung von Röntgenstrahlung verwendet. Dabei schießt man Elektronen mit einer kinetischen Energie ab 30 keV auf eine Metallplatte, die häufig aus Wolfram besteht. Ein kleiner Teil der beim Abbremsen frei werdenden Energie wird in Röntgenstrahlung mit einem kontinuierlichen Spektrum (einem Röntgenkontinuum) umgewandelt.

Bremsstrahlung kann außerdem die Entwicklung und Gestalt elektrischer Entladungen beeinflussen^[1] sowie hochenergetische terrestrische Gammablitze und Positronen erzeugen.^[2]

Physik der Bremsstrahlung

Das elektromagnetische Feld bewegter Ladungen wird durch die Liénard-Wiechert-Potentiale beschrieben. Danach sind das elektrische Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E} und das magnetische Feld ${\vec {B}}$ durch

{\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {x}},t)&={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right]_{\text{ret}}+{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left[{\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\dot {\vec {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right]_{\text{ret}}\\{\vec {B}}({\vec {x}},t)&={\frac {1}{c}}\left[{\vec {n}}\times {\vec {E}}\right]_{\text{ret}}\end{aligned}}

gegeben.^[3] Es bezeichnen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n} den Einheitsvektor zwischen Beobachtungspunkt und Ort des Teilchens,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} den Abstand zwischen Beobachtungspunkt und Ort des Teilchens
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} die elektrische Ladung des Teilchens,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec \beta} die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit,
$\gamma$ den Lorentzfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = (1-\beta^2)^{-1/2}} ,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_0} die Elektrische Feldkonstante und
das Subskript Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{ret}} , dass die Argumente zur retardierten Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t' = t - R/c} auszuwerten sind.

In dieser Form sind die elektrischen und magnetischen Felder in ein Geschwindigkeitsfeld, das nur von der momentanen Geschwindigkeit abhängt, und ein Beschleunigungsfeld unterteilt. Das Beschleunigungfeld hat dabei ein Abhängigkeit proportional zu $1/R$ , sodass seine Leistungsdichte im Unendlichen nicht verschwindet. Es ist daher ein Strahlungsfeld.

Die Komponente des Poynting-Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec S} dieses Strahlungsfeldes in Beobachtungsrichtung, was der Leistungsdichte entspricht, ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\vec n \cdot \vec S\right]_\text{ret} = \frac{q^2}{16 \pi^2 \varepsilon_0 c} \left[\frac{1}{R^2} \left|\frac{\vec n \times [(\vec n - \vec \beta) \times \dot \vec \beta]}{(1-\vec \beta \cdot \vec n)^3}\right|^2\right]_\text{ret}}

entsprechend der abgestrahlten Leistung zur retardierten Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t'} pro Raumwinkelemenent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\Omega}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dP(t')}{\mathrm d\Omega} = \frac{q^2}{16 \pi^2 \varepsilon_0 c} \frac{\left|\vec n \times [(\vec n - \vec \beta)\times \dot \vec \beta]\right|^2}{(1 - \vec n \cdot \vec \beta)^5}} .

Dies ist die relativistische Verallgemeinerung der Larmor-Formel für den Energieverlust beschleunigter Ladungen.^[4]

Das Frequenzspektrum der Bremsstrahlung ergibt sich nach einer Fourier-Transformation der abgestrahlten Gesamtenergie zu^[5]

{\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} \omega \,\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{3}\varepsilon _{0}c}}\left|\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t\,{\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\dot {\vec {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{2}}}e^{\mathrm {i} \omega (t-{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}(t)/c)}\right|^{2}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{3}\varepsilon _{0}c}}\omega ^{2}\left|\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t\,{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\beta }})e^{\mathrm {i} \omega (t-{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}(t)/c)}\right|^{2}

mit

der Intensität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ,
der Winkelfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} und
der Bahnkurve des geladenen Teilchens ${\vec {x}}(t)$ .

Spektralverteilung der Bremsstrahlung einer Röntgenröhre

Spektrum von Röntgenstrahlung einer Kupferanode. Die horizontale Achse zeigt den Ablenkwinkel nach Bragg-Reflexion an einem LiF-Kristall

Zu kurzen Wellenlängen hin hat das Spektrum eine Grenzwellenlänge, die der kinetischen Energie der Elektronen entspricht, d. h. die gesamte kinetische Energie der Elektronen wird in Röntgenstrahlung umgewandelt. Diese Grenzwellenlänge hängt nur von der durchlaufenen Beschleunigungsspannung (Anodenspannung) ab, sie ist unabhängig vom Anodenmaterial; die Form des Spektrums hängt ab von der Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen und dem verwendeten Metall.

Die kürzestmögliche Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} (siehe Duane-Hunt-Gesetz) tritt auf, wenn die gesamte kinetische Energie des Elektrons in die Strahlungsenergie eines einzigen Photons umgewandelt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{2} & E_\text{kinetisch} && = E_\text{Photon}\\ \Leftrightarrow\quad & e \cdot U && = h \cdot f \end{alignat}}

mit

der Elementarladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} des Elektrons
der Beschleunigungs- bzw. Anodenspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} der Röntgenröhre
dem Planckschen Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
der Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} .

Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f = \frac c \lambda} (c für die Lichtgeschwindigkeit)

folgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Rightarrow {\lambda _{\mathrm {min} }}={\frac {h\cdot c}{e\cdot U}}}

Durch Einsetzen der Naturkonstanten h, c und e ergibt sich die zugeschnittene Größengleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\lambda_\mathrm{min}} = \frac{1{,}24\cdot 10^{-6}\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{m}}{U}} ^[6]

Die untere Grenzwellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_\mathrm{min}} hängt also nur von der Beschleunigungsspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} ab; bei einer Beschleunigungsspannung von 25 kV beträgt sie 0,05 nm. Diese Strahlung vermag bereits normales Glas und dünne Aluminiumplatten zu durchdringen. Daher müssen bei Farb-Bildröhren, die mit Beschleunigungsspannungen von 25 bis 27 kV arbeiten (Schwarzweiß-Bildröhre: ca. 18 kV), Maßnahmen zum Strahlenschutz getroffen werden. Man verwendet daher Bleiglas für den Kolben.

Die kontinuierliche Energieverteilung der Bremsstrahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\mathrm dE}{\mathrm df}} , wenn Elektronen in ein Material eintreten, ist nach Kramers^[7] über die Frequenz linear. Nach Umrechnung in die Wellenlängendarstellung ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dE}{\mathrm d\lambda} = KIZ \frac{h}{c} \left(\frac{\lambda}{\lambda_\mathrm{min}} - 1 \right) \frac{1}{\lambda^3} }

mit

der dimensionslosen Kramersschen Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ,

dem Elektronenstrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} und

der Ordnungszahl der Atome des Materials Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} .

Bezogen auf die spektrale Anzahldichte der Photonen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\mathrm dn}{\mathrm d\lambda}} ergibt sich

{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}=KIZ\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\mathrm {min} }}}-1\right){\frac {1}{\lambda ^{2}}}.

Bei realen Spektren von Röntgenemissionen wird die entstehende Bremsstrahlung durch verschiedene Effekte überlagert. Hinzu kommt insbesondere die charakteristische Strahlung (Peaks in der Abb.), die ein Emissionsspektrum der Atome des Materials darstellt, sowie dessen Absorptionsbanden, da die Bremsstrahlung unter der Materialoberfläche entsteht.

Elektron-Elektron-Bremsstrahlung

Ein für kleine Ordnungszahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} wichtiger Prozess ist die Streuung freier Elektronen an den Schalenelektronen eines Atoms oder Moleküls.^[8] Da diese Elektron-Elektron-Bremsstrahlung eine Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} , die Elektron-Kern-Bremsstrahlung jedoch eine Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z^2} ist, kann die Elektron-Elektron-Bremsstrahlung für Metalle vernachlässigt werden. Für Luft jedoch spielt sie eine wichtige Rolle bei der Erzeugung terrestrischer Gammablitze.^[9]

Weblinks

Commons: Bremsstrahlung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Bremsstrahlung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ Köhn, C., Chanrion, O., Neubert, T. The influence of bremsstrahlung on electric discharge streamers in N₂, O₂ gas mixtures Plasma Sources Sci. Technol. (2017), vol. 26, 015006. doi:10.1088/0963-0252/26/1/015006.
↑ Köhn, C., Ebert, U. Calculation of beams of positrons, neutrons, and protons associated with terrestrial gamma ray flashes Journal Geophys. Res. (2015), vol. 120, pp. 1620–1635. doi:10.1002/2014JD022229.
↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 766.
↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 771–772.
↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 779.
↑ Universität Ulm: Röntgenbremsstrahlung
↑ XCIII. On the theory of X-ray absorption and of the continuous X-ray spectrum H. A. Kramers in Philos. Mag. Ser. 6, 46 (1923) Pages 836–871 doi:10.1080/14786442308565244
↑ Frédéric Tessier, Iwan Kawrakow: Calculation of the electron–electron bremsstrahlung cross-section in the field of atomic electrons. In: Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B. Band 266, Nr. 4, 2008, S. 625–634, doi:10.1016/j.nimb.2007.11.063.
↑ Köhn, C., Ebert, U. The importance of electron-electron Bremsstrahlung for terrestrial gamma-ray flashes, electron beams and electron-positron beams J. Phys. D.: Appl. Phys. as Fast Track Communication (2014), vol. 47, 252001. (abstract)

[1] Köhn, C., Chanrion, O., Neubert, T. The influence of bremsstrahlung on electric discharge streamers in N₂, O₂ gas mixtures Plasma Sources Sci. Technol. (2017), vol. 26, 015006. doi:10.1088/0963-0252/26/1/015006.

[2] Köhn, C., Ebert, U. Calculation of beams of positrons, neutrons, and protons associated with terrestrial gamma ray flashes Journal Geophys. Res. (2015), vol. 120, pp. 1620–1635. doi:10.1002/2014JD022229.

[3] John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 766.

[4] John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 771–772.

[5] John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. De Gruyter, Berlin • New York 2002, ISBN 3-11-016502-3, S. 779.

[6] Universität Ulm: Röntgenbremsstrahlung

[7] XCIII. On the theory of X-ray absorption and of the continuous X-ray spectrum H. A. Kramers in Philos. Mag. Ser. 6, 46 (1923) Pages 836–871 doi:10.1080/14786442308565244

[8] Frédéric Tessier, Iwan Kawrakow: Calculation of the electron–electron bremsstrahlung cross-section in the field of atomic electrons. In: Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B. Band 266, Nr. 4, 2008, S. 625–634, doi:10.1016/j.nimb.2007.11.063.

[9] Köhn, C., Ebert, U. The importance of electron-electron Bremsstrahlung for terrestrial gamma-ray flashes, electron beams and electron-positron beams J. Phys. D.: Appl. Phys. as Fast Track Communication (2014), vol. 47, 252001. (abstract)

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