Bragg-Gleichung

Die Bragg-Gleichung, auch Bragg-Bedingung genannt, wurde 1912 von William Lawrence Bragg entwickelt. Sie beschreibt, wann es zu konstruktiver Interferenz von Wellen bei Streuung an einem dreidimensionalen Gitter kommt. Sie erklärt die Muster, die bei der Beugung von Röntgen- oder Neutronenstrahlung an kristallinen Festkörpern entstehen, aus der Periodizität von Gitterebenen.

Das Analogon zur Bragg-Bedingung im reziproken Raum ist die Laue-Bedingung.

Prinzip

Datei:Beugungsbild eines Kristalls.png

Beugungsbild eines Kristalls, aufgenommen mit monochromatischer Röntgenstrahlung (Strahl zeigt senkrecht auf die Mitte des Detektors)

Trifft Röntgenstrahlung auf einen Kristall, so wird dieser von einem Großteil der Strahlung ungehindert durchdrungen. Es wird allerdings auch beobachtet, dass ein kleiner Teil durch den Kristall abgelenkt wird – ein Phänomen, das man als Röntgenbeugung bezeichnet. Montiert man hinter dem Kristall einen geeigneten Detektor, zum Beispiel eine Fotoplatte, um die abgelenkten Strahlungsanteile sichtbar zu machen, entstehen darauf charakteristische Muster.

Ursache für die Beugung ist die Streuung der Röntgenstrahlung an den einzelnen Atomen des Gitters. Dies kann man auch als eine schwache Reflexion der Röntgenstrahlung an den einzelnen Gitterebenen des Kristalls betrachten, wobei die Strahlung nur in solche Richtungen nennenswert reflektiert wird, in denen die einzelnen Reflexionen sich konstruktiv überlagern. Diese Bedingung beschreibt die Bragg-Gleichung:

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Die Bragg-Gleichung verknüpft:

• den Abstand d zwischen parallelen Gitterebenen,
• die Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} der Röntgenstrahlung sowie
• den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} zwischen Röntgenstrahl und Gitterebene, sogenannter Glanz- oder Braggwinkel,
• n ist eine natürliche Zahl, die die Beugungsordnung angibt.

Jede Schar paralleler Gitterebenen hat einen charakteristischen Gitterebenenabstand d und damit, so die Bragg-Gleichung, auch einen charakteristischen Braggwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} . Für verschiedene Orientierungen, unter denen Strahlung auf den Kristall trifft, erhält man auf dem Detektor hinter dem Kristall fast immer auch verschiedene Bilder, weil sich immer andere Scharen paralleler Gitterebenen (mit anderen Braggwinkeln und mit anderen Orientierungen im Kristall) in Reflexionsstellung zum einfallenden Strahl befinden.

Die Gitterebenen werden üblicherweise mit Laue-Indizes hkl gekennzeichnet, so dass sich für den Abstand zum Beispiel im kubischen System ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_{hkl}=\frac {a_0}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}}

mit der Gitterkonstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0} . Die Bragg-Bedingung lautet damit im kubischen System:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\sin(\theta)}^2=\frac{\lambda^2}{4\, {a_0}^2} (h^2+k^2+l^2)}

Für n = 1 sind die Laue-Indizes mit den Miller-Indizes identisch. Für höhere Ordnungen n steht hkl für die Laue-Indizes, die mit der Beugungsordnung n multiplizierten Miller-Indizes der Gitterebene.

Physikalischer Hintergrund

Datei:Diffusion rayleigh et diffraction.png

Schematische Darstellung des Beugungsphänomens

Tatsächlich handelt es sich um ein Beugungsphänomen. Im elektromagnetischen Feld der einfallenden Strahlung werden die Elektronen der Atome zu erzwungenen Schwingungen angeregt und beginnen selbst Strahlung in Form von kugelförmigen Wellen abzustrahlen. Da die Wellen der einzelnen Elektronen sich in erster Näherung zu Wellen der zugehörigen Atome aufsummieren, und weiterhin die Abstände im Kristallgitter und die Wellenlänge der Röntgenstrahlung von ähnlicher Größenordnung sind, treten Interferenzerscheinungen auf.

Ist die Bragg-Gleichung bei gegebener Wellenlänge $\lambda$ für eine Schar von parallelen Gitterebenen erfüllt, das heißt, trifft die Röntgenstrahlung unter dem richtigen Winkel auf den Kristall, kommt es zu konstruktiver Interferenz der bei der Beugung an den Elektronenhüllen entstehenden Kugelwellen. Makroskopisch entsteht der Eindruck einer Reflexion der Strahlung am Kristall.

Herleitung

Datei:Bragg.svg

Schema zur Beugungsgeometrie

Datei:Braggs Law.svg

Beugungsgeometrie bei konstruktiver Interferenz (links) und destruktiver Interferenz (rechts)

Die blauen Linien in der nebenstehenden Grafik (Schema zur Beugungsgeometrie) entsprechen Strahlen, die auf parallele Gitterebenen treffen und dabei mit dem Lot den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} einschließen. Der Komplementärwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta = 90^\circ - \alpha} heißt Braggwinkel oder Glanzwinkel. d ist der Gitterebenenabstand, die schwarzen Punkte sind Atome auf den Gitterebenen.

Aufgrund der großen Anzahl von Atomen in einem Kristall gibt es für den Fall nicht ausschließlich konstruktiver Interferenz statistisch zu jedem Atom immer ein zweites, das die gebeugte Welle des ersten genau auslöscht, so dass keine Reflexion mehr beobachtet werden kann. Dies ist auch die Situation in nicht-kristallinem Material, unabhängig von der Einstrahlrichtung.

1. Die Phasenbeziehung bleibt unverändert und es tritt konstruktive Interferenz auf, wenn die in der oberen Darstellung dunkelblau gekennzeichnete Wegdifferenz zwischen oberem und unterem Wellenzug (der Gangunterschied Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \delta} ) einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge $\lambda$ entspricht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \delta = n \cdot \lambda }

wobei n auch als Beugungsordnung bezeichnet wird.

2. In der oberen Darstellung bilden rote, grüne und lilafarbene Linien zusammen ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse d. Die Sinusdefinition verhilft zu folgendem Ausdruck:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta = d \cdot \sin(\theta) }

Wichtig für das Verständnis ist, dass es sich bei den roten Linien nicht um Verlängerungen der oberen hellblauen Linien handelt, sondern um die Senkrechten dazu.

3. Setzt man den zweiten Ausdruck in die erste Gleichung ein, erhält man sofort die Bragg-Gleichung (auch Braggsche Interferenz):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \lambda = 2 d \, \sin(\theta)}

Durchführung des Versuchs

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Emissionsspektrum einer Kupferanode mit Röntgenstrahlung unterschiedlicher Wellenlänge (bzw. hier als Winkel aufgetragen).

Die Drehkristallanordnung ist eine mögliche Durchführung des Versuchs. Da frühere Röntgenapparate sehr schwer und somit nicht drehbar waren, wurde der Röntgenstrahl auf einen drehbaren Kristall gelenkt. Durch Drehung des Kristalls und des Empfängers konnte der Kristall dann unter verschiedenen Winkeln untersucht werden. Eine zweite Möglichkeit stellt das Debye-Scherrer-Verfahren dar, bei dem der Kristall pulverisiert wird, so dass jede „Drehrichtung“ statistisch verteilt gleichzeitig vorhanden ist.

Bedeutung

• Röntgenbeugungsexperimente an Kristallen bieten die Möglichkeit, Einblicke in die innere Struktur von Kristallen zu erlangen (siehe: Kristallstrukturanalyse).
• Gleicherweise ist die Braggreflexion für die Neutronenbeugung bedeutend. Moderierte Neutronen haben vergleichbare Wellenlängen wie Röntgenstrahlen, so dass das gleiche Phänomen am Kristallgitter auftritt.
• Beugungsbilder von Elektronenstrahlen können in Elektronenmikroskopen hergestellt und beobachtet werden. Auch diese werden grundlegend durch das Bragg-Gesetz beschrieben.
• Bragg-Reflexionen treten bei sog. Weißlichthologrammen auf. Dort sind sie dafür verantwortlich, dass das Bild des Hologramms beim Kippen seine Farbe ändert.
• Bragg-Reflektoren werden zur Wellenlängenselektion bei Lasern oder Röntgenstrahlen eingesetzt (siehe u. a. Monochromator, DBR-Laser, DFB-Laser).
• Akustooptische Modulatoren basieren auf dem Prinzip der Bragg-Beugung; Lichtstrahlen werden hierbei an einem wandernden optischen Gitter, hervorgerufen durch longitudinale Schallwellen in Kristallen, gebeugt.

Literatur

• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 22. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-02622-3.
• Rudolf Allmann: Röntgen-Pulver-Diffraktometrie. Verlag Sven von Loga, Köln 1994, ISBN 3-87361-029-9.
• Werner Massa: Kristallstrukturbestimmung. 5. Auflage, Teubner-Verlag, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0113-7.
• Anthony R. West: Grundlagen der Festkörperchemie. Wiley-VCH, Weinheim 2000, ISBN 3-527-28103-7.

Weblinks

Commons: Bragg-Gleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien