Laue-Bedingung

Die Laue-Bedingung, nach Max von Laue, ist eine zur Bragg-Bedingung äquivalente Beschreibung von Beugungseffekten an Kristallen. Sie gibt Auskunft über das Auftreten von Beugungsreflexen bei elastischer Streuung von Röntgenstrahlung, Elektronen oder Neutronen an Kristallen.

Zur Erklärung der Röntgenbeugung gibt es zwei äquivalente Ansätze. In beiden werden Kristalle als starre periodische Strukturen von mikroskopischen Objekten angesehen. Bei der Bragg-Theorie werden die Atome im Kristall in parallelen Gitterebenen mit konstantem Abstand angeordnet. An diesen Ebenen kommt es zur spiegelnden Reflexion der Strahlung. Bei der Von-Laue-Theorie geht man von anderen Annahmen aus:

• Beschreibe den Kristall als Bravaisgitter
• An den Gitterplätzen sitzen identische mikroskopische Objekte, die die einfallende Strahlung streuen
• Reflexe nur in Richtungen, für die von den Gitterpunkten gestreute Strahlung konstruktiv interferiert

Die Laue-Bedingung lautet: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.

Die Laue-Bedingung geht vom reinen Kristallgitter (am Gitterpunkt ein punktförmiges Streuzentrum) aus und gibt an, in welcher Richtung Beugungsreflexe beobachtet werden können. Die relative Intensität der Reflexe hängt vom Aufbau der Basis, dem Streuvermögen der Basisatome und von der thermischen Bewegung der Atome ab. Dies wird durch den Strukturfaktor beschrieben.

Herleitung

Laue-Bedingung

Der Abstand zweier Streuzentren (Gitterpunkte) ist ein Gittervektor ${\vec {R}}$. Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei ${\vec {k}}$, der der gestreuten sei ${\vec {k}}'$. Damit ergibt sich folgender Gangunterschied (Wegdifferenz):

$\Delta x={\vec {R}}\cdot {\frac {\vec {k}}{k}}-{\vec {R}}\cdot {\frac {{\vec {k}}'}{k'}}$

Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $\lambda$ sein:

$\Delta x=m\lambda ,\quad m\in \mathbb {Z}$

Gleichsetzen liefert:

${\vec {R}}\cdot \left({\frac {\vec {k}}{k}}-{\frac {{\vec {k}}'}{k'}}\right)=m\lambda$

Geht man von elastischer Streuung aus, ist die Wellenzahl des einfallenden und des reflektierten Strahls gleich: $k=k'={\frac {2\pi }{\lambda }}$. Für alle Gittervektoren ${\vec {R}}$ muss gelten:

${\vec {R}}\cdot \left({\vec {k}}-{\vec {k}}'\right)=2\pi m$   bzw. äquivalent   $e^{i\,{\vec {R}}\cdot ({\vec {k}}-{\vec {k}}')}=1$

Dies entspricht genau der Bestimmungsgleichung für reziproke Gittervektoren ${\vec {K}}$:

$e^{i\,{\vec {R}}\cdot {\vec {K}}}=1$

Die Laue-Bedingung lautet somit: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.

${\vec {k}}-{\vec {k}}'={\vec {K}}$   bzw.   $\Delta {\vec {k}}={\vec {K}}$

Zur Veranschaulichung der Laue-Bedingung siehe Ewaldkugel.

Laue-Gleichungen und Laue-Indizes

Reziproke Gittervektoren lassen sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters ${\vec {b}}_{i}$ ausdrücken, dabei sind $h_{i}\in \mathbb {Z}$ die Laue-Indizes (s. u.):

${\vec {K}}=h_{1}{\vec {b}}_{1}+h_{2}{\vec {b}}_{2}+h_{3}{\vec {b}}_{3}$

Ebenso lassen sich die Gittervektoren als Linearkombination der primitiven Gittervektoren ${\vec {a}}_{i}$ darstellen mit $n_{i}\in \mathbb {Z}$:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{R}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}}

Das Skalarprodukt aus primitiven Gittervektoren des Ortsraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_j} und des reziproken Raums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}_i} ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}_i\cdot\vec{a}_j=2\pi\delta_{ij}\ ,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_{ij}} das Kronecker-Symbol ist.

Bildet man das Skalarprodukt der obigen Laue-Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec{k}=\vec{K}} mit den primitiven Ortsvektoren, erhält man die drei Laue-Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_1\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{1}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_2\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_3\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{3}}

Die drei ganzen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{1} h_{2} h_{3}} (normalerweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h,k,l} , hier aber Verwechslungsgefahr mit Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , deswegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}} ) heißen dabei die Laue-Indizes. Die drei Gleichungen definieren jeweils einen Kegel (für h=0 zu einer Ebene entartet). Damit alle Bedingungen erfüllt sind, müssen sich drei Kegelflächen in dieser Raumrichtung zusammentreffen. Dadurch werden die punktförmigen Interferenzmuster der Röntgenbeugung an Kristallgittern erklärt und indiziert. Zeitgleich mit Laue stellten W.H. Bragg und W.L. Bragg die Bragg-Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\lambda = 2 d \sin\theta} für die Reflexion an parallelen Flächen im Abstand d auf. Auch wenn die Herangehensweisen von Laue (Beugung in alle Raumrichtungen) und Bragg (Reflexion) verschieden sind, sind die beiden Effekte äquivalent: Hat die Schar von Netzebenen, die in der Bragg-Bedingung gerade den Abstand d haben, im Kristall die Millerschen Indizes (hkl), so hat der Interferenzpunkt die Laue-Indizes nh nk nl, die Laue-Indizes sind also gerade das n-fache der Miller-Indizes. Aufgrund des Zusammenhangs mit der Bragg-Reflexion werden die Laue-Indizes gelegentlich auch als Bragg-Indizes bezeichnet.

Alternative Formulierung der Laue-Bedingung

Man kann die Laue-Bedingung noch in alternativer Form schreiben. Man quadriere die Laue-Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}'=\vec{k}-\vec{K}} und benutze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = k'} (elastische Beugung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k^{2}=k^{2}-2\vec{k}\cdot\vec{K}+K^{2}}   also   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\vec{K}=\frac{1}{2}K^{2}}

Teile durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\frac{\vec{K}}{K}=\frac{1}{2}K}

Für ein gegebenes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} ist dies eine Ebenengleichung in der Hesse-Normalenform. Die Projektion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}} auf die Richtung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}/K} ist konstant Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K/2} . Ein Wellenvektor der einfallenden Strahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}} erfüllt die Laue-Bedingung, wenn seine Spitze in einer Bragg-Ebene liegt. Eine Bragg-Ebene ist die mittelsenkrechte Ebene auf der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung im reziproken Raum und einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} . Diese Ebenengleichung entspricht für benachbarte Punkte im reziproken Raum der Konstruktionsvorschrift der Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters (erste Brillouin-Zone).

Daraus folgt die Alternative Formulierung der Laue-Bedingung: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Spitze des einfallenden Wellenvektors auf dem Rand einer Brillouin-Zone liegt.

Äquivalenz von Laue- und Bragg-Bedingung

Laue- und Bragg-Bedingung

Geht man von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\vec{K}=K^{2}/2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}=\vec{k}-\vec{k}'} aus, so ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}\cdot(\vec{k}-\vec{k}')=\frac{1}{2}K^{2}}

Der Winkel zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}'} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\Theta\,} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k^{2}\underbrace{\left(1-\cos(2\Theta)\right)}_{2\sin^{2}(\Theta)}=\frac{1}{2}K^{2}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}^{2} = \vec{k}'^{2}} und Kosinussatz

Radizieren liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2k\sin(\Theta)=K\,}

Das Skalarprodukt zwischen einem reziproken Gittervektor und einem Gittervektor ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\pi n=\vec{K}\cdot\vec{R}=K \underbrace{R \cos(\alpha)}_{d}, \quad n\in\mathbb{Z}}   somit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\frac{2\pi n}{d}}

Für ein gegebenes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} ist dies eine Ebenengleichung für eine Gitterebene, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} senkrecht auf dieser Ebene steht. Schreibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} als folgende Linearkombination Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}=h_{1}\vec{b}_{1}+h_{2}\vec{b}_{2}+h_{3}\vec{b}_{3}} , so steht der Vektor senkrecht auf der Gitterebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (h_1,h_2,h_3)} . Der Gitterebenenabstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\frac{2\pi}{K}=\frac{2\pi}{|h_{1}\vec{b}_{1}+h_{2}\vec{b}_{2}+h_{3}\vec{b}_{3}|}} .

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=2\pi/\lambda} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=2\pi n/d} erhält man aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2k\sin(\Theta)=K} die Bragg-Bedingung (n entspricht der Ordnung des Beugungsreflexes):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2d\sin(\Theta)=n\lambda\,}

Beugungsreflex

• nach Laue: Änderung des Wellenvektors um reziproken Gittervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}}
• nach Bragg: Reflexion an Netzebenenschar des Kristallgitters, die senkrecht zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}} steht und deren Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\frac{2\pi}{K}} beträgt.

Literatur

• Martin J. Buerger: Kristallographie. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X. 
• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.