Dedekindring

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch Dedekindbereich oder ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

Definition

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsring.

Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

Eigenschaften

• Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.

• Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.

• Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.

• Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.

• Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.

Beispiele

• Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
• Ist $A$ ein Hauptidealring, und $L$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von $A$ in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z[\sqrt{-5}].}
• Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z[X]} (zweidimensional),
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z[\sqrt5]} (nicht normal),
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z[X]/(X^2)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z\times\mathbb Z} (keine Integritätsringe),
• der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Z } in einem algebraischen Abschluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\mathbb Q} } der rationalen Zahlen (nicht noethersch).

Literatur

• L. A. Bokut: Dedekind ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, [http://eom.springer.de/D/d030550.htm (Memento vom 12. Januar 2011 im Internet Archive) online]).