Diskussion:Banach-Tarski-Paradoxon

Verständliche Version für den Laien: Habe den für den Laien verständliche Teil nach vorne geholt, von allen Fachbegriffen (Einheitskugel, R³) befreit und partiell umformuliert. Die Fachleute können sich weiter unten austoben ;-) Wolfgangbeyer 23:36, 21. Jan 2004 (CET)

---

Habe hinsichtlich der erfoderlichen Mindestzahl von Teilen für die Kugelzerlegung unterschiedliche Werte in der Literatur gefunden. Manchmal wird 5 und manchmal 6 genannt. Habe hier 6 gewählt, um auf der sicheren Seite zu sein. Wer weiss die richtige Anzahl? Irgend jemand hat mir auch berichtet, dass in diesem Fall eine Teilmenge lediglich der Kugelmittelpunkt sei. Ist aber keine sehr verlässliche Information, da schon so lange her.Wolfgangbeyer 00:57, 30. Jan 2004 (CET)

Bin wohl zu sehr Laie, habe aber eigentlich nicht so genau verstanden worum es geht. Eine Kugel lässt sich in zwei gleichgroße Kugeln aufteilen. Das ist paradox. Kann ich nachvollziehen. Mir ist aber weder der Beweis klar, noch wie man auf die Idee kommt. Vielleicht ist es zu viel verlangt, aber möglicherweise auch ein Ansporn an die Fachkundigen hier noch etwas anschaulicher zu werden. Auch das "scheinbar" habe ich nicht verstanden. Ist es nun paradox oder nicht. Mhh. Ahnungslos, 82.83.0.235 01:09, 30. Jan 2004 (CET)

Ich versteh das im Groben so, dass die Kugel ja aus unendlich vielen Punkten besteht. Diese unendlich Punkte kann ich ja in zwei Hälften teilen. Das sind dann aber zwei mal unendlich viele Punkte. Und die kann ich dann wieder beliebig zusammensetzen. Z.B. zu zwei neuen Kugeln. Scheinbar paradox ist das Ganze, denk ich, weil es einem anschaulich nicht in den Kopf will, aber mathematisch beweisbar ist. Ak

Aber wieso muss ich dann in 5-6 Teile teilen. Laienhaft: Nehme ich halt einfach jeden zweiten Punkt und schon habe ich zwei Kugeln. Wie gesagt, etwas mehr Anschaulichkeit im Text wäre toll. 82.83.0.235 01:27, 30. Jan 2004 (CET)

Würde man jeden zweiten Punkt nehmen, dann hätten die beiden neuen Kugeln an den entsprechenden Stellen Lücken. Im Text steht aber ausdrücklich " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Ganz abgesehen davon ist es nicht möglich jeden zweiten Punkt zu nehmen, denn das würde voraussetzen, dass jeder Punkt einen eindeutigen Nachbarn hat. Hat er aber nicht, denn zwischen zwei beliebig eng benachbarten Punkten liegt immer noch ein weiterer, genaugenommen sogar unendlich viele, wenn man dieses Argument wiederholt anwendet. Zur Frage weiter oben: Es liegt im Wesen der meisten Paradoxa, nur scheinbar zu sein, und sich bei genauerer Betrachtung als nicht paradox aufzulösen. Denn die Natur ist nun mal nicht in sich widerprüchlich. So auch hier. Habe aber diese vielleicht etwas irritierende Formulierung beseitigt Wolfgangbeyer 19:09, 31. Jan 2004 (CET)

---

Ich habe mal in der Uni mit 2 anderen Studenten zusammen den Beweis nachvollzogen (mit 30 Teilen) (um den Beweis einmal vollständig vorzuführen haben wir 6 Stunden gebraucht). Es sollte deutlicher gesagt werden, daß der Satz von Banach-Tarski ohne das Auswahlaxiom nicht auskommt. Banach und Tarski haben eine Zerlegung der Einheitskugel in mehr als 6 Teile gefunden, mit denen der Beweis möglich ist. Später dann wurde eine Zerlegung in 5 Teile gefunden, mit der das möglich ist (hab die Zerlegung auch gesehen, dh. ihre Beschreibung mittels Auswahlaxiom ;), hab mir den Beweis zu den 5 Teilen aber nicht angeschaut, weil der noch schwerer ist..). Im übrigen ist es nicht nur beweisbar, daß diese Zerlegung existiert, es ist auch beweisbar, daß sie nicht direkt angegeben werden kann. Ishka 05:41, 1. Mär 2004 (CET)

So besser? Hab den Hinweis aufs Auswahlaxiom nach vorn geholt und die Nicht-Angebbarkeit der Teile genannt. Wenn du weiter Verbesserungsmöglichkeiten siehst, editiere den Artikel nach deinen Vorstellungen. --SirJective 11:13, 1. Mär 2004 (CET)

Achja, da kommt mir wieder eine Frage, die ich stellen wollte: Im Text steht " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Sind die Kugeln tatsächlich lückenlos - enthalten also jeden Punkt, den ich erwarten würde - oder ist die "Lückenmenge" bloss eine Nullmenge? --SirJective 11:16, 1. Mär 2004 (CET)

Habe alles noch mal etwas umgestellt und sprachlich überarbeitet. Ich finde bis zur Formulierung des Satzes selbst sollte auch der interessierte Laie folgen können. Die Erwähnung des Auswahlaxioms ohne Erläuterung hängt ihn aber ab. Habe daher diese Passage wieder hinter den Satz gestellt, aber oben schon mal den Begriff Messbarkeit eingeführt. Ferner hing die Erwähnung von R^d in der Luft, da d ja erst im Satz definiert wird. Ich bin nur Physiker und kenne die Details des Beweises selbst nicht. Benötigt man das Auswahlaxiom tatsächlich für den Beweis der Existenz nicht messbarer Mengen oder nur irgendwo anders im Verlauf der Beweisführung des Satzes von Banach-Tarski? Zu SirJective Frage: Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass da keine Lücken sind. Alles andere würde mich doch ziemlich enttäuschen ;-) Wenn ich mir den Wortlaut des Satzes ansehe, wäre doch bereits eine Lücke von nur einem einzigen Punkt ein Widerspruch zum Satz oder nicht? Aber ich bin wie gesagt kein Mathematiker. Wolfgangbeyer 00:23, 2. Mär 2004 (CET)

Hallo Ishka, wir sind uns alle einig, dass das Auswahlaxiom hier wichtig ist. Dem Umstand, dass Du schreibst Hinweis auf Auswahlaxiom wieder hinzugefügt entnehme ich aber, dass Dir entgangen ist, dass ich es nicht entfernt sondern nur verschoben hatte und zwar mit Begründung hier auf der Diskussionsseite, die sich inhaltlich mit dem deckt, was unter Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel im Abschnitt Verständlichkeit zu lesen ist. Ferner fand ich die Formulierung (wenn man nur in ZF arbeitet, ... nicht gerade toll. Für welchen Leser schreiben wir hier? Ganz abgesehen davon, dass man Text in Klammern vermeiden sollte, wie in Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel Abschnitt Stil erwähnt. Wolfgangbeyer 20:39, 3. Mär 2004 (CET)

---

Darf ich vorschlagen, den Artikel in zwei Bereiche zu gliedern - einen "allgemeinverständlichen" und einen präzisen? Letzteren mitsamt der Beweisidee (s. den englischen Artikel). Im ersten Abschnitt kann dann das Auswahlaxiom von mir aus unerwähnt bleiben, es sollte dafür im zweiten umso deutlicher hervorgehoben werden. --SirJective 22:22, 3. Mär 2004 (CET)

Gute Idee. Wäre im Prinzip auch gar nicht dagegen, relativ weit oben zu erwähnen, dass die ganze Angelegenheit auf einem in der Fachwelt umstrittenen Axiom beruht. Mir war dieser Umstand bisher nicht bekannt. Habe es erst eben unter Auswahlaxiom erfahren. Dachte immer, in der Mathematik gäbe's (so gut wie) keine Meinungsverschiedenheiten. Würde mich sehr interessieren, wie groß der Anteil der Mathematiker ist, die dieses Axiom ablehnen. Hat da jemand eine Vorstellung von? Wolfgangbeyer 22:52, 3. Mär 2004 (CET)

---

Habe den 3. Absatz, den 128.97.70.87 (01:19, 21. Apr 2004) eingefügt hatte, durch einen einzigen Satz im 2. Absatz ersetzt. Er enthielt viele Sätze aber kaum Informationen, die über das hinausgehen, was schon im 2. Absatz stand. Blähte den Artikel nur unnötig auf. Und Galileo-Transformation? Gemeint war wohl Galilei-Transformation, aber die enthält eine hier völlig irrelevante Geschwindigkeit und es fehlen ihr die Drehungen, so dass das hier nicht die angemessene Transformation sein kann. --Wolfgangbeyer 17:56, 28. Apr 2004 (CEST)

--- Der Hinweis, das "In diesem Sinne die Quadratur des Kreises" möglich sei, halte ich für sachlich falsch. Zumindest muss deutlicher herauskommen, das das klassische Quadraturproblem mit Zirkel und Pi und Lineal so nicht gelöst werden kann. - ToD

Ich bin davon ausgegangen, dass die Formulierung "in diesem Sinne" die Sache bereits ausreichend relativiert. Aber ich habe zur Sicherheit noch ein paar Worte hinzugefügt. --Wolfgangbeyer 17:44, 1. Mär 2005 (CET)

Das Problem der Quadratur des Kreises ist ein Quadrat zu finden, dass Inhaltsgleich zu einem gegebenen Kreis ist. Das führt zur Frage wie man Pi konstruieren kann, und Lindeman hat gezeigt, dass dies gar nicht geht, da Pi transzendent ist. Banach Tarski in der Ebene (habe ehrlich gesagt keine Ahnung von diesem Beweis) Zeigt, dass zwei beinahe beliebige Funktionen "deckungsgleich" sind. Das dadurch auch Quadrat und Kreis Deckungsgleich sind ist zwar korrekt, jedoch ist der Verweis auf Quadratur des Kreises hier mathematisch sehr irreführend. Es ist auch ohne diese Methode analytisch möglich den Kreis zu quadrieren. Der Punkt ist, dass Pi nicht algebraisch ist. (nicht signierter Beitrag von 93.232.211.234 (Diskussion | Beiträge) 19:53, 22. Nov. 2009 (CET))

Ist das an dieser Stelle nicht eh Blödsinn? Wenn ich das richtig verstanden habe, kriegt man über Banach-Tarski doch nur raus, daß es ein zum Kreis flächengleiches Quadrat gibt, aber die Zerlegung nicht konkret angegeben werden kann - was aber genau das ist, was man bei der Quadratur des Kreises eigentlich haben will. Hilft hier also kein Stück weiter. --MOW (Diskussion) 01:57, 30. Okt. 2012 (CET)

Ich habe den Begriff der Bewegung mit der Definition verlinkt. Ich gehe davon aus, dass die Kongruenzabbildung das sit, was hier gemeint ist. (?)

Schamlose Übertreibung?

Hallo Gunther, was fandest Du eigentlich an der bisherigen Formulierung so schamlos übertrieben? Kennst Du viele noch verblüffendere und irritierendere Aussagen der Mathematik? Schließlich stand da nicht "die verblüffendste und irritierendedste" sondern "eine der verblüffendsten und irritierendedsten" und das auch noch durch ein "wohl" abgeschwächt. Ich finde das durchaus angemessen. Ich weiß nicht genau, wie moderne Mathematik definiert ist, aber ich hätte spontan 1924 schon dort hineingesetzt. Die moderne Physik, die moderne Kunst und Musik sind auf jeden Fall dort angesiedelt. Würde mich wundern, wenn da die Mathematik hinterhergehinkt wäre ;-). Die Formulierung "Das vielleicht verblüffendste Ergebnis der modernen, auf der Mengenlehre basierenden Mathematik ist das Paradoxon von Banach-Tarski" im Weblink am Artikelende bestätigt meine Einschätzung ;-). Deine Fomulierung leidet auch sprachlich ein wenig z. B. schon dadurch, dass der Aspekt der naiven bzw. menschlichen Anschauung zweimal angesprochen wird, nämlich auch am Ende des ersten Absatzes. Habe daher die alt Version erst mal wieder hergestellt. --Wolfgangbeyer 21:42, 14. Mär 2005 (CET)

Naja, 1924 zähle ich nicht zur modernen Mathematik, da waren viele Grundlagen wie beispielsweise topologischer Raum noch im Entstehen. (Ich zähle Musik vor 1950 auch nicht zur modernen Musik.) Ich weiß nicht, wie verblüfft man damals war, man kannte ja bereits Resultate wie die Hilbert-Kurve. Ich sehe das Banach-Tarski-Paradoxon eher in einer Reihe mit dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz oder Cohens Unentscheidbarkeitsergebnissen insofern, als es ein Projekt als vollständig gescheitert markiert. Das finde ich aber nicht irritierend. Es gibt eben keine konsistente Verallgemeinerung des Volumenbegriffs. Aber: who cares, hat jemand überhaupt schon einmal eine Nicht-Borel-Menge gesehen? Irritierend finde ich vielmehr positive Resultate, die meiner Vorstellung zuwiederlaufen, wie z.B.:

• Es gibt eine überabzählbare totalgeordnete Teilmenge der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, d.h. "man kann öfter etwas in die natürlichen Zahlen hineinstecken als es überhaupt Elemente gibt".

Meine Formulierung war nicht glücklich, mich persönlich hätte der unpassende Satzanschluß mit "danach" viel mehr gestört, aber ich wollte nicht den ganzen ersten Absatz umschreiben.--Gunther 23:06, 14. Mär 2005 (CET)

Naja, Schönberg hätte ich schon zur modernen Musik gezählt, aber bei der modernen Mathematik kenne ich mich zuwenig aus. Da weiter unten ja eine Jahreszahl steht, können wir "moderne" aber auch gerne weglassen. Die Hilbert-Kurve finde ich auch weniger irritierend, da wesentliche Eigenschaften über die üblichen grafischen Darstellungen zu ihrer Konstruktion ja durchaus plausibel sind. Auch das mit der überabzählbare totalgeordnete Teilmenge der Potenzmenge der natürlichen Zahlen scheint mir nicht so irritierend, da nicht so leicht überschaubar. Auch ist ja die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 überabzählbar, obwohl ich jede einzelne als in Binärdarstellung mit abzählbar vielen Ziffern schreiben kann (hoppla, habe ich damit nicht sogar einen unmittelbaren Beweis für Deinen Satz gefunden, indem ich jeder dieser Binärzahlen eineindeutig eine Teilmenge von N zuordne, derart dass n genau dann Element der Teilmenge ist, wenn die Binärzahl an der Stelle n hinter dem Komma eine 1 hat?). Was für mein Empfinden schon auch ziemlich zur Rätselhaftigkeit des Banach-Tarski-Paradoxons beiträgt, ist der Umstand, dass man keinen konstruktiven Beweis kennt. Vielleicht beruht das verblüffende auch nicht zuletzt darin, dass jeder Laie die Aussage sofort nachvollziehen kann, anders als die Aussagen, die Du zitierst. Ich habe jedenfalls bisher ziemlich jeden Laien, dem ich das erzählt habe verblüfft. Das "danach" hat mich gar nicht so gestört. "Sie besagt, dass ..." führt leider zu zweimal zu "dass". Wie wärs mit "Das Banach-Tarski-Paradoxon ist eine verblüffende Aussage der Mathematik, die den Volumenbegriff in Frage stellt." als erstem Satz? --Wolfgangbeyer 00:48, 15. Mär 2005 (CET)

Du hast das Wort "totalgeordnet" übersehen oder nicht auf die Inklusionsrelation bezogen. Es geht um eine "überabzählbare aufsteigende Folge" von Teilmengen von N, konkret ein System X_i von Teilmengen von N für alle reellen Zahlen i, so dass

$X_{i}\subsetneq X_{j}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ i<j$

gilt.

Die Hilbert-Kurve geht in der Richtung von Banach-Tarski, weil sie zeigt, dass auch "eindimensionale" Objekte zweidimensionales Volumen haben können. (Das Problem liegt in diesem Fall aber natürlich nicht beim Maß, sondern beim Dimensionsbegriff.)

Die Nichtkonstruktivität von B-T ist nicht so besonders überraschend, da die Gültigkeit vom Auswahlaxiom abhängt. Ob ein Laie die Aussage von B-T nachvollziehen kann, finde ich nicht so klar. Ich möchte behaupten, dass die meisten Laien sich eine völlig falsche Vorstellung davon machen, was Mathematiker noch unter "zerlegen" und "Teile" verstehen. Wenn die Verblüffung alleine darauf beruht, ist das noch lange kein verblüffendes Resultat der Mathematik, höchstens ein auf verblüffende Weise falsch zu verstehendes.

"die den Volumenbegriff in Frage stellt" finde ich nicht gelungen. Dem Volumenbegriff beispielsweise für Borelmengen tut es keinen Abbruch, und schlimmere Mengen will sich ohnehin niemand vorstellen. Wie wäre es mit "die illustriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Mengen verallgemeinern lässt"?--Gunther 01:35, 15. Mär 2005 (CET)

Habe gerade nochmal in die Originalversion geschaut: "spektakulär" passt für mein Gefühl nicht zu "moderne Mathematik". "Spektakulär" war das vielleicht vor 80 Jahren, aus der Sicht der heutigen Mathematik ist das eher ein nettes Kuriosum.--Gunther 01:54, 15. Mär 2005 (CET)

Ok, ich bin auch bloß Physiker und kein Mathematiker. Insofern kannst Du das Banach-Tarski-Paradoxon wohl besser einordnen. Wie wär's mit "Das Banach-Tarski-Paradoxon ist eine Aussage der Mathematik, die auf verblüffende Weise demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt."? --Wolfgangbeyer 21:13, 15. Mär 2005 (CET)

Gefällt mir sehr gut. Klingt nicht mehr nach Waschmittelwerbung :-) --Gunther 21:38, 15. Mär 2005 (CET)

Seid Ihr sicher, dass dieser Beweis den 'anschaulichen Volumenbegriff' (wie zu Anfang erwähnt) in Frage stellt? Schliesslich ist es nichts Neues, dass man einem Körper durch auseinanderschneiden und wieder zusammenkleben eine grösseres Volumen geben kann - ein Würfel wird ein geringeres Volumen haben als eine Kugel gleicher Oberfläche - einen Würfel könnten man zerschnipseln und in eine Kugel zusammensetzen - gleiche Oberfläche, unterschiedliches Volumen. Das erstaunliche bei der hier vorliegenden Angelegenheit ist doch, dass die OBERFLÄCHEN von Körpern durch zerschnipseln/zusammenkleben vergrößert werden können. Dass das VOLUMEN sich ändert ist doch eher konventionell.--Sebastian Henckel 14:25, 24. Jan. 2010 (CET)

Wenn man einen Körper (praktisch) auseinanderschneidet und die Teile neu anordnet, kann man zwar die Oberfläche verändern (durch Schnitte erhält man ja neue Oberfläche und durch Zusammenfügen vernichtet man welche), aber das Volumen wird man damit nie verändern. Wenn man einen Würfel zerschneidet und zu einer Kugel zusammensetzt (mal davon abgesehen, dass das Probleme mit der Oberflächenkrümmung gibt), wird man eine Kugel mit dem gleichen Volumen, aber geringerer Oberfläche erhalten. Wenn du das Volumen durch Schneiden und Zusammenfügen ändern kannst, dann mache das doch mit Goldklumpen und du wirst reich, weil du diese beliebig vermehren kannst. --mfb 16:15, 25. Jan. 2010 (CET)

Ergänzung von mir: @Sebastian Henckel: Es geht nicht um Hohlkörper, die nach dem Zerschneiden und wieder Zusammensetzen ein anderes Volumen einschließen, sondern um massive Körper, die nach dem Zerlegen und Zusammensetzen ein anderes Volumen haben. Oberflächen spielen also überhaupt keine Rolle. -- Digamma 11:57, 31. Aug. 2010 (CEST)

Konstruktiver Beweis?

Verstehe ich den Beitrag von 134.34.140.34 richtig: Die Unmöglichkeit, einen konstruktiven Beweis anzugeben, ist beweisbar bzw. sogar bewiesen? --Wolfgangbeyer 21:22, 19. Apr 2005 (CEST)

Ich dachte, Banach-Tarski sei unabhängig von ZF, d.h. jeder Beweis in ZFC muss das Auswahlaxiom in einer nichttrivialen Form verwenden und ist damit nicht konstruktiv. Ich glaube mich aber zu erinnern, dass es nicht äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Kann das irgendjemand bestätigen?-- Gunther 21:48, 19. Apr 2005 (CEST)

Banach-Tarski folgt aus dem Satz von Hahn-Banach (Pawlikowski, Fundamenta Mathematica 138 (1991)), daher auch insbesondere aus dem "Boolean Prime Ideal theorem". Aus Banach-Tarski kann man also nicht AC beweisen.

Was die Frage der "Konstruktivität" betrifft, so stimme ich zu, dass ein Beweis, der in ZFC aber nicht in ZF geführt werden kann, im Allgemeinen das Prädikat "nichtkonstruktiv" verdient. (Konstruktivisten lehnen allerdings auch viele Beweise ab, die in ZF oder sogar in Peanoarithmetik auf Grundlage der klassischen Logik geführt werden; umgekehrt ist das Auswahlaxiom bei geeigneter Formulierung auch für Konstruktivisten wahr).

Man kann allerdings sehr wohl eine explizite Definition einer Partition P der Kugel hinschreiben, für die gilt:

Wenn V=L (Gödels konstruktibles Universum), dann ist die Partition P paradox.

-- Wuzel 17:44, 20. Jul 2005 (CEST)

SCHEIß-ABKÜRZERITIS!!! Hättet ihr wohl die übergroße Güte, klarzulegen, was eure Sprachbrösel bedeuten sollen, damit der Rest der Welt es verstehen kann??!! - Yog-S (nicht signierter Beitrag von 149.225.76.232 (Diskussion | Beiträge) 01:53, 22. Okt. 2009 (CEST))

Bild

Man könnte doch das en:Image:Tarski.png auf Commons stellen (wer hat einen account?) und hier dann einbinden? --Thire 15:51, 20. Jul 2005 (CEST)

Ist das Bild denn wirklich sinnvoll? Das wesentliche ist doch für die Augen verborgen ;-) --Gunther 16:07, 20. Jul 2005 (CEST)

Aus der beendeten "Exzellenz"-Kandidatur

Banach-Tarski-Paradoxon 4. November 2005

Hier eventuell eine ergänzende Vorbemerkung vom Vorschlagenden (Artikel aus dem Review, Artikel ist im Rahmen des Projektes XY ausgebaut worden ...) 192.53.103.105 12:27, 4. Nov 2005 (CET)

Darf man solche Vorschläge eigentlich einfach Kommentarlos wieder löschen? Ken - ganz ruhig 12:41, 4. Nov 2005 (CET)

Sicherlich, der Artikel ist viel zu dünn für einen Exzellenten (mir sogar etwas zu dünn für einen Lesenswerten), aber ich würde statt kommentarlosem Löschen einfach ein contra mit ein paar Begründungen warum er von dir abgelehnt wird schreiben. Das Prozedere hier soll schließlich nicht sinnlos Bapperl produzieren, sondern die Artikel verbessern. Und wenn man den Vorschlag auseinandernimmt, dann haben die Autoren immerhin etwas davon und wissen was verbessert werden muss. (notfalls steht das dann halt auf der Diskussionsseite des Artikels). Was meiner Meinung nach dringend verbessert werden muss damit der Artikel die Chance auf einen Lesenswerten hat: Auswirkungen auf die Mathematik und einordnung innerhalb der Mathematik, Anwendungen. Beispiele, Bilder Regnaron 15:28, 4. Nov 2005 (CET)

• Contra, deutlich zu kurz, zudem vgl. Regnaron. -- Carbidfischer Kaffee? 18:08, 9. Nov 2005 (CET)

•  Kontra -- Wladyslaw 12:26, 11. Nov 2005 (CET)

•  Kontra Zu kurz und nicht ganz verständlich. Ich werde einfach nicht schlau wie das ganze mit den zwei kugel funktnioniert.--Thierry Gschwind 10:04, 14. Nov 2005 (CET)

Lesenswert-Diskussion Dez. 2005

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die auf verblüffende Weise demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt.

•  Pro Antifaschist 666 19:57, 1. Dez 2005 (CET)
•  Kontra Mir ist der Artikel zu dünn, der in der englischen Wikipedia mit Beweisidee finde ich deutlich besser. --Ixitixel 08:37, 2. Dez 2005 (CET)
• Contra; teilweise kaum nachvollziehbar, einzelne Aussagen stehen ohne jede Begründung da --Andreas ?! 00:00, 3. Dez 2005 (CET)
• Contra, wie schon bei der vor kurzem gescheiterten Exzellenzkandidatur. Meine Mängelliste von damals in Kurzfassung: Auswirkungen auf die Mathematik und Einordnung innerhalb der Mathematik, Anwendungen. Beispiele, Bilder Regnaron 10:50, 4. Dez 2005 (CET)

•  Kontra Die blinde Kandidaturwut von Antifaschist schlägt mal wieder um sich. Der Artikel ist weit davon entfernt, Lesenswert-Kriterien zu erfüllen. -- Wladyslaw 10:12, 5. Dez 2005 (CET)

Naja, ich würde in diesem Falle mal nicht von blinder Kandidaturwut sprechen. Der Artikel ist sicherlich noch weit von einem Lesenswerten entfernt (auch wenn Oma-Verträglichkeit hier angeblich nur ein nice-to-have ist), aber er hat vor kurzem bei den Exzellenten Kandidiert, und ist dort durchgefallen. Zwar kann ich zugegebenermaßen das Pro von AF für diesen Artikel nicht nachvollziehen, und ich hätte den Artikel sicherlich nicht hier vorgeschlagen, aber die Kandidatur an sich halte ich für prinzipiell gerechtfertigt. (wenn man sich den Artikel nicht ansieht und nur die gescheiterten Exzellenten hier vorschlägt) Regnaron 20:20, 6. Dez 2005 (CET)

Auch wenn das nicht das geeignete Diskussionspodium für diese Angelegenheit ist. Es ist eine Tatsache, dass AF fließbandartig Artikel nach etwas kruden Kriterien hier zur Kandidatur stellt. Bereits die Kandidatur für ExAr war ein Treppenwitz, der durch die Kandidatur bei den LeAr nicht besser wird. Und wenn man einen gescheiterten Exzellenten hier reinstellt, dann erwarte ich von demjenigen, dass er die Substanz prüft. -- Wladyslaw 14:42, 7. Dez 2005 (CET)

•  Kontra Ich kann den Inhalt des Artikels nicht nachvollziehen. Sollte vielleicht noch mal überarbeitet werden.Sandro*

Größe

"Eine Kugel kann in endlich viele Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von der Größe des Originals zusammensetzen lassen." --- Ich denke, dass man an dieser Stelle mit dem begriff "Größe" nichts anfangen kann. --888344

Habe mal nachgebessert. War das der Grund für Dein Problem? Bei der Ausgangskugel und den beiden "Ergebniskugeln" handelt es sich um völlig normale Kugeln. "Größe" wäre lediglich bei den Teilmengen problematisch, in die man erstere zerlegt. --Wolfgangbeyer 00:12, 24. Jul. 2007 (CEST)

Sind die Ausgangskugel und die Ergebniskugeln wirklich "gleich"? Das würde ja bedeuten, dass man aus einer Ausgangskugel beliebig viele Kugeln erzeugen kann, indem man das Verfahren auf die Ergebniskugeln anwendet. --Kucharek 10:01, 31. Aug. 2010 (CEST)

Genau so ist es. -- Digamma 11:46, 31. Aug. 2010 (CEST)

Auswahlaxion

" ... Auswahlaxiom, das zwar von einer überwiegenden Mehrheit der Mathematiker, jedoch nicht von allen, akzeptiert wird" --- Mit dieser Formulierung kann ich mich nicht anfreunden. Die Substanz der Aussage beschränkt sich darauf, dass der Beweis ohne Auswahlaxiom nicht möglich ist. Was wäre daran unbefriedigend, das so klar zu sagen? --888344

Es ist natürlich schon eine interessante Information für den Leser, dass dieses Axiom nicht allgemein anerkannt ist. Ob es genügt, wenn man das unter Auswahlaxiom liest, hängt für mein Empfinden von den Mehrheitsverhältnissen ab. Wenn es nur von einer kelinen Minderheit nicht anerkannt wird, braucht man es hier nicht zu erwähnen. Auch dann nicht, wenn es von dieses gar nicht abgelehnt oder irgendwie bestritten sondern nur darauf verzichtet wird es zu verwenden. Aber die diesbezügliche Sachlage kann ich als Nicht-Mathematiker leider nicht beurteilen. Von mir aus kann auch der frühere Textzustand dort wieder hergestellt werden. --Wolfgangbeyer 00:12, 24. Jul. 2007 (CEST)

Ich war es, der die wesentliche Änderung in Richtung der aktuellen Form gebracht hat. Um Missverständnissen vorzubeugen: Ich wollte keinesfalls irgendeine mathematik-politische Aussage damit treffen. Es ging mir um was ganz anderes.

Zuvor stand da:

„Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen in einem d-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ benötigt man das Auswahlaxiom.“

Jetzt steht da:

„Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen im d-dimensionalen, reellen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ benötigt man das Auswahlaxiom, das zwar von einer überwiegenden Mehrheit der Mathematiker, jedoch nicht von allen, akzeptiert wird.“

(Strittige Teile rot.)

Ich fand den Satz, der vorher da stand, so völlig überflüssig (in der Einleitung). Wenn man so will, braucht man z.B. auch die Axiome der reellen Zahlen zum Beweis der Existenz von nicht messbaren… usw. Warum also, darf man sich fragen, steht dieses dann nicht auch da. Genau! Weil es da einen wesentlichen Unterschied gibt, zwischen Auswahlaxiom und anderen Axiomen, wie denen der reellen Zahlen. Nämlich die Anerkanntheit oder Umstrittenheit oder wie auch immer man das nennen will. Ich fand, dieser Satz mache nur mit dieser Information Sinn, sonst könne man ihn auch ganz weglassen. (Wobei ich einem kompletten Weglassen nicht zustimmen würde, ist dieses Faktum doch recht interessant.)

Ich habe wirklich versucht die wesentliche Information so sachlich wie möglich unterzubringen und auch in der Zusammenfassung eine vernünftige Begründung anzugeben. Offenbar ist mir das nicht gelungen. Ich wollte auch den ursprünglichen Text so wenig wie möglich ändern. Ich wollte es auch nicht wie einen politischen Streit aussehen lassen, weil es einfach in der Realität nicht so ist, sondern das Thema mit sehr sachlichem und unbefangenen Interesse von Mathematikern gehandhabt wird.

So ist es zu der jetztigen Form gekommen. Mir ist es aber ziemlich egal, wie man das letztlich formuliert. Fänd es sogar schön, da vielleicht noch einen Satz mehr zu zu schreiben, um dem Uneingeweihten die Weitreichlichkeit dieses Umstandes klar zu machen. Nämlich, dass eben durch eine gewissermaßen so willkürliche Setzung wie dem Auswahlaxiom (bzw. überhaupt einem Axiom) grundverschiedene Mathematiken entstehen: Eine mit additiven Kugeln eine ohne. Das ist die wesentliche Information, die hier geliefert werden müsste und nicht, ob und wie umstritten das Auswahlaxiom ist oder gar irgendwas zu Konstruktivismus etc.

In diese Sinne würde ich mich freuen, wenn da jemand eine gute und politisch korrekte (d.h. unpolitische) Formulierung finden würde. Hoffe, ich konnte das hier etwas aufklären.

Gruß – Markus Prokott 01:15, 24. Jul. 2007 (CEST)

Also ich bin für eine Streichung des hier roten Teils. Oder für einen Beleg. Ich kenne aber kein einziges Lehrbuch, wo das Auswahlaxiom explizit angezweifelt wird. Es ist allerdings recht üblich, auf das Auswahlaxiom hinzuweisen, wenn man es braucht. Allerdings meist dann nicht, wenn es recht versteckt gebraucht wird, wie zB bei dem Beweis des Satzes, dass jeder Hauptidealring ZPE ist. Abgesehen davon gehört so eine Aussage doch eher nach Auswahlaxiom--Frogfol (Diskussion) 23:31, 6. Aug. 2012 (CEST)

Hab den Satz gestrichen, wenn den einer wieder einfügen will, dann bitte mit Quellen.--Frogfol (Diskussion) 04:54, 11. Aug. 2012 (CEST)

Es wird ziemlich oft benutzt, ohne etwas dazu zu sagen. Stellvertretersysteme werden ständig ausgewählt, ohne etwas dazu zu sagen. Da wärs allerdings vmtl. oft nicht notwendig, man könnte auch die Äquivalenzklassen direkt benutzen. Ansonsten: Irgendwelche Teilfolgen in der Analysis auswählen geht auch nicht so einfach, da reichen allerdings wohl üblicherweise CC oder DC. --Chricho ¹ ² ³ 13:44, 11. Aug. 2012 (CEST)

Mein Reden, und mal nebenbei: DC würden doch viele Mathematiker mal eben so per Induktion beweisen. Hab ich schon in einer Vorlesung - in einem Spezialfall - erlebt, auch der Professor hats erst nicht eingesehen.^^ (nicht signierter Beitrag von Frogfol (Diskussion | Beiträge) 15:57, 11. Aug. 2012 (CEST))

Vorsicht mit den Ebenen!

Wir tun gut daran, die Ebenen sauber auseinanderzuhalten! Anfangs klappte das ja noch ganz gut; so wird zutreffend herausgearbeitet, dass es um Schwierigkeiten zwischen mathematischen Begriffen einerseits und gleichnamigen Begriffen in der Anschauung andererseits geht. Später heißt es dann aber: "...demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden."

Achtung: Es geht nicht um Züge der "physischen Realität", was immer das genau sein mag (es sei denn, ein reduktionistischer Materialist spricht, der die ganze Welt für eine Verhaltensform von reiner Physis hält)! Worum es geht, ist die Diskrepanz zum _Anschauungsraum_! Für den physischen Raum ist als Wissenschaft die Physik zuständig, die ihren Gegenstand empirisch untersucht; dabei kommt dann ein Gerüst heraus, von dem aus man Orte markiert, nach Regeln Messungen vorimmt, und die Ergebnisse dieser Messungen. Zu denen versucht man dann, eine mathematische Struktur zu finden, die möglichst gut dazu passt. Dabei wird dann auch schamlos interpoliert und extrapoliert. Geht es, wie hier, ums "ganz Kleine", müsste man physikalisch auch die entsprechenden Werkzeuge auspacken wie Lupen, Mikroskope,... Wenn man die aber einsetzt, muss sichergestellt sein, dass sie den Raumausschnitt auch wirklich widerspiegeln, sonst wird unsere Forschung fehlgehen. Wir müssen also eine Theorie unserer optischen Geräte zur Verfügung haben - und haben dabei eine Theorie des Raumes massiv verwendet. (Der Physiker hat eh schon seinen Knacks weg durch das empirische Ergebnis, dass der Raum lt. Allg. Relativitätstheorie vierdimensional ist, er aber nur dreie sehen kann.) Nein; hier geht es um das, was uns vorschwebt, wenn wir die Augen schließen und _direkt_ beurteilen, ohne einen Instrumentenkoffer auszupacken mit dem zugehörigen Manual. Und das wendet sich auch nicht an den Mathematiker. Der ist ebenfalls leidgeprüft und hat schon im ersten Semester gelernt, Elemente eines z. B. 25dimensionalen Raumes hinzuschreiben; der hat schon genug pathologische Mengen und Funktionen gesehen und erfahren, dass die Größe der Fläche unter der charakteristischen Funktion einer Menge davon abhängen kann, ob man gemäß Riemann, Lebesgue oder Stieltjes integriert; dem schwant schon, was das Zusammenspiel von Menge und Maß aus- bzw. anrichten kann.. Nein: wer hier gebeutelt wird, das ist nicht der Fachwissenschaftler, sondern der "naive" Privatmensch, der nur und unwillkürlich mit dem arbeitet, was ihn als Mensch spontan anwandelt: seine räumliche Vorstellung. SIE ist bei dem Paradonon(?) der Antipode der mathematischen Rechnerei. SIE müsste im obigen Satz stehen; oder "Anschauungsraum"! - Yog-S, 149.225.72.31 03:31, 22. Okt. 2009 (CEST)

Lücken

Die definition von lücken in diesem artikel ist mir nicht ganz klar. Für mich als laien würde das bedeuten dass -- bleiben wir mal bei koordinaten in einer dimension -- zwischen einem punkt x und einem punkt y (x und y seien mal die grenze der kugel) alle punkte vorhanden sind die einen wert aus R annehmen können. Das würde z.B. bedeuten dass ein Punkt mit der koordinate 1.5 in den neuen kugeln dann auch vorkommen muss, aus einem punkt mit 1.5 werden also aufeinmal zwei mit 1.5. Das kann nur dann ohne duplikation eines punktes funktionieren wenn mindestens einer der punkte durch "verschieben" eines anderen punktes erzeugt wurde. Das würde doch dann aber wieder eine lücke hinterlassen. Das einzige was für mich sinn machen würde ist, wenn eine lücke definiert wäre als ein punkt (oder eine teilmenge) zu der man sich nicht weiter annähern kann (zu dem fehlenden punkt kann man sich ja immer beliebig weit annähern). Das wäre dann aber eine -- für mich -- wenig intuitive definition von lücke. (nicht signierter Beitrag von 213.61.9.74 (Diskussion) 14:50, 7. Feb. 2011 (CET))

Ich verstehe nicht, was du meinst. "Lücke" kommt in dem Artikel nur an einer einzigen Stelle vor: " wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen". Damit ist schlicht gemeint, dass in den durch Zusamenfügen neu gebildeten Kugeln keine Punkte fehlen. Da die Teile in dem Prozess verschoben werden, haben die Bildpunkte natürlich andere Koordinaten als die ursprünglichen Punkte.

Darin besteht aber gar nicht das Paradox. Durch die zentrische Streckung mit Faktor 2 vom Ursprung aus, wird eine Kugel lückenlos auf eine doppelt so große abgebildet. Bei unendlich vielen Punkten ist in dieser Hinsicht nichts unmöglich. In gewisser Weise ist das auch Paradox, aber es ist ein anderes Paradoxon, nicht das von Banach und Tarski, sondern eins, das schon Galilei aufgefallen ist, die Tatsache, dass eine unendliche Menge gleichmächtig zu einer echten Teilmenge sein kann.

Das Paradoxe beim Paradoxon von Banach und Tarski besteht darin, dass die Einzelteile der Kugel nicht gestreckt, sondern nur verschoben und gedrecht werden. -- Digamma 17:44, 7. Feb. 2011 (CET)

Äquivalenz zum Auswahlaxiom

Im Artikel heisst es

 Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen im d-dimensionalen, reellen Raum  benötigt man das Auswahlaxiom

Es ist zwar richtig, dass ZF dafuer nicht ausreicht; das Auswahlaxiom ist auch hinreichend, aber eben nicht notwendig fuer die Existenz nicht-messbarer Mengen; das wird auch z.B. in der engl. Version dieses Artikels angemerkt. 85.178.1.76 23:30, 16. Mai 2011 (CEST)

Siehe dazu auch diese Liste. 85.178.1.76 23:36, 16. Mai 2011 (CEST)

In dieser Liste sehe ich keinen Hinweis darauf, dass auch schwächere Aussagen als das Auswahlaxiom für das Banach-Tarski-Paradoxon hinreichend sind. Was ist denn notwendig, wenn das Auswahlaxiom es nicht ist? --mfb 10:11, 17. Mai 2011 (CEST)

Der Titel der Liste ist "Results requiring AC [..] but weaker than it". Das allein mag nicht ueberzeugend, weil der Autor dabei vielleicht nicht "strictly weaker" meint. Nun ist es aber so, dass der Satz von Hahn-Banach schwaecher ist als das Auswahlaxiom (weil er aus dem Ultrafilter-Lemma folgt, das schwaecher ist). Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt aber auch Banach-Tarski; ergo folgt Banach-Tarski aus dem Ultrafilter-Lemma; somit ist B-T schwaecher als das AoC. 87.77.17.135 10:27, 17. Mai 2011 (CEST) Verweise dazu:

w:en:Hahn–Banach_theorem#Relation_to_the_axiom_of_choice,

Zitat von w:en:Banach–Tarski_paradox#Connection_with_earlier_work_and_the_role_of_the_axiom_of_choice:

In 1991, using then-recent results by Matthew Foreman and Friedrich Wehrung,<ref>M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set, "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.</ref> Janusz Pawlikowski proved that the Banach–Tarski paradox follows from ZF plus the Hahn–Banach theorem.<ref>Pawlikowski, Janusz: The Hahn–Banach theorem implies the Banach–Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.</ref> The Hahn–Banach theorem doesn't rely on the full axiom of choice but can be proved using a weaker version of AC called the ultrafilter lemma. So Pawlikowski proved that the set theory needed to prove the Banach–Tarski paradox, while stronger than ZF, is weaker than full ZFC.

Danke für die Auskunft. Ich habe die Formulierung nochmal angepasst, damit das "nötig" wieder drin ist. --mfb 11:44, 17. Mai 2011 (CEST)

Wie sieht es eigentlich im 1-dimensionalen aus?

Gibt es da auch irgendeinen Beweis, dass kein endlich additives, nichttriviales Maß, das invariant unter Kongruenzen ist, existiert? Die Konstruktion über Vitali-Mengen zeigt ja nur, dass es kein richtiges (σ-additives) Maß gibt. --Chricho ¹ ² 18:10, 1. Jun. 2012 (CEST)

Im ein- und und zweidimensionalen gibt es solche endlich additiven Maße (also Inhalte), ab Dimension 3 gibt es auch keine Inhalte mehr, siehe z. B. hier in der Google-Buchsuche. -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 7. Jun. 2012 (CEST)

Danke, könnt man vllt. gut hier irgendwo einbauen. --Chricho ¹ ² ³ 23:43, 6. Aug. 2012 (CEST)

Flächen

In dem Satz von Laczkovich – sind mit Flächen bestimmte Mannigfaltigkeiten gemeint? Offene, beschränkte Teilmengen des $\mathbb {R} ^{2}$ mit hinreichend glattem Rand? --Chricho ¹ ² ³ 23:14, 11. Aug. 2012 (CEST)

Worin besteht das Paradoxon?

Im Prinzip wird die Menge der Randpunkte einer Kugel in zwei Teile zerlegt, und dann Abbildungen angegeben, die jede der beiden "Hälften" auf eine vollständige Kugeloberfläche abbilden.

Das geht auch einfacher: Benutze ein Koordinatensystem wie z.B. die geographischen Koordinaten der Erde: (l,b), b als Winkelmaß für die Länge, b für die Breite (ich verzichte auf griechische Buchstaben, weil das leichter zu tippen ist). Mit der Abbildung (l,b) -> (2*l,b) kann sowohl die "östliche" (b>0) wie die "westliche" (b<0) Hälfte der Kugeloberfläche auf die vollständige Kugel projiziert werden, nur die Pole werden nicht verdoppelt. Soweit die "Beweisskizze", die Lücken in der Darstellung (z.B. b=0°) lassen sich leicht schließen.

Ist im Prinzip kein anderes Vorgehen als bei Banach-Tarski, nur ist das Verfahren bei meinem Beispiel so einfach, dass "jeder sieht, woher das zusätzliche Volumen kommt", während Banach/Tarski das so kompliziert machen, dass der "Trick" nicht mehr zu sehen ist.

Und mein Verfahren kommt sogar ohne Auswahlaxiom aus ;)

Punktmengen haben eben nur dann ein Volumen, wenn sie dreidimensional zusammenhängend sind. Auch eine Hilbertkurve hat zwar die Dimension 2, aber noch keinen Flächeninhalt.

-- 84.175.79.228 23:11, 8. Jul. 2015 (CEST)

Der Punkt ist, dass nichts projiziert wird: Es wird nur verschoben. Wenn man beliebige Abbildungen zulässt, ist es trivial, dann erzeugt x -> 2x einfach eine doppelt so große Version der ursprünglichen Form. Aber dann ändert man eben Abstände zwischen Punkten. --mfb (Diskussion) 23:47, 8. Jul. 2015 (CEST)

Es wird nicht nur verschoben, sondern vor Allem rotiert. Nicht das Auswahlaxiom ist kontraintuitiv, sondern bereits die Tatsache, dass Rotationen die allgemein bekannte Aussage "unendliche Mengen sind zu einer echten Teilmenge bijektiv" räumlich nachbilden können - und zwar auf beschränktem Raum (Hilberts Hotel auf einem Kreis). (nicht signierter Beitrag von Damluk (Diskussion | Beiträge) 08:47, 13. Jul 2015 (CEST))

Ja gut, rotiert natürlich auch, was streng genommen nicht unter verschieben fällt. Aber es wird eben nicht skaliert. --mfb (Diskussion) 11:40, 13. Jul. 2015 (CEST)

Außerdem: Es wird nicht nur die Kugeloberfläche verdoppelt, sondern die gesamte Kugel. --Digamma (Diskussion) 17:29, 9. Jul. 2015 (CEST)