Diskussion:Charakteristisches Polynom

Aktualitaet

Die Mathematischen Formeln scheinen einen Parser-Fehler hervorzurufen, wodurch man kaum noch etwas verstehen kann, da die meisten Formeln nicht mehr vorhanden sind. Hat sonst noch jemand diesen Fehler bemerkt oder liegt das vielleicht an meinem pc? -Graipher 24.02.2009

Das ist ein Serverproblem und lässt sich in der Regel durch Aktualisieren der Seite lösen. -- Stefan Birkner 18:35, 24. Feb. 2009 (CET)

Welche der Diskussionen sind abgeschlossen und welche nicht? Soll die Formel fuer 3x3 Matrizen rein? Eventuell noch einen genaueren Verweis auf aehnliche Matrizen? --78.53.7.93 19:35, 31. Jul. 2008 (CEST)

Ich verstehe den neuen Abschnitt zum Matrix potenzieren nicht: was sollen mir die Beispiele sagen? Und wieso soll der Weg mit Hilfe des charakteristischen Polynoms (das ich schon fuer kleine Dimensionen kaum ausgerechnet kriege) irgendwie praktisch sein? --DaTroll 17:55, 13. Jun 2005 (CEST)

Ist das charakteristische Polynom nicht det(A-xE)=0 anstatt det(xE-A)=0 ? TBAA

Geschmackssache. Mit xE-A ist es immer normiert, mit A-xE ist das Absolutglied immer die Determinante. Mir wäre normiert wichtiger, aber ich habe keine Nachforschungen angestellt, was häufiger ist.--Gunther 16:59, 10. Feb 2006 (CET)

(Kleiner) Widerspruch?

Es ist zwar kein Widerspruch, wirkt aber etwas komisch: Erst die Formel

$\chi _{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)$

und danach die Aussage: "Die auch gebräuchliche Definition $\det(A-\lambda E)$ ist etwas ungeschickter, da [...]" 84.63.124.102 21:06, 8. Jan. 2007 (CET)

Vorgestern hat die IP 84.63.5.194 die Definition geändert... Hat scheinbar den Text nicht gelesen. --Fredstober 22:24, 8. Jan. 2007 (CET)

Charpoly einer linearen DGL

Im Artikel Gewöhnliche Differentialgleichung steht ein Verweis auf diesen Artikel hier:

Kann man den Begriff Charakteristisches Polynom (Differentialgleichung) hier einbauen oder braucht's ein neues Lemma? Der Begriff hängt ja schon mit dem hier behandelten zusammen (Differentialgleichungsoperator als Endomorphismus im Raum der von $e^{\alpha x},\;\alpha \in C$ aufgespannt wird.) --KleinKlio 20:23, 2. Okt 2006 (CEST)

Korrektur?

Für 3 x 3-Matrizen ergibt sich die Form:

$\chi _{A}(\lambda )=-\lambda ^{3}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda ^{2}+\left(\det(A_{1})+\det(A_{2})+\det(A_{3})\right)\cdot \lambda -\det(A)$.

Hierbei sind $A_{1},A_{2},A_{3}$ die Hauptminoren von $A$.
Diesen Abschnitt auf Vorzeichenfehler prüfen!

Rechne doch erst einmal nach, bevor du hier etwas abänderst. Deine Änderung war nämlich falsch. --Stefan Birkner 15:14, 25. Apr. 2007 (CEST)

Kann es sein, das hier etwas anderes unter der Hauptminore verstanden wird, als im entsprechenden Artikel, wozu den die Determinate einer Determinate verlangen (ich meine falsch ist es nicht, wenn man reelle Zahlen mit 1x1 Matrizen identifiziert, aber naja...)
Außerdem komme ich mit der Formel nicht auf das richtige Ergebnis: Testmatrix [1 i 0;1 0 -i;-i 1 0]... Rechne doch mal durch und falls es klappt, verrate mir mal, was dein Hauptminor wirklich ist, oder wo mein Fehler ist.

Die Hauptminoren scheinen manchmal nicht zu funktionieren, jedenfalls bei mir. Mit

$\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda ^{2}+\left(a_{11}a_{22}+a_{22}a_{33}+a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13}-a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}\right)\cdot \lambda -\det(A)$

sollte es immer funzen! --noLo 22:32, 19. Jul. 2007 (CEST)

Vorzeichenfehler!

Also in diesem Artikel steckt ja nicht besonders viel Wahrheit drin, die Vorzeichen eurer Faktoren im charakteristischen Polynom stimmen hinten und vorne nicht! So gilt für den Term mit der höchsten Potenz immer:

$(-1)^{n}\lambda ^{n}$

nachzuelesen in jedem beliebigen Buch zur Linearen Algebra!

weiter ergibt sich für das charakteristische Polynom einer 3x3 Matrix

$\chi _{A}(\lambda )=-\lambda ^{3}+\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda ^{2}-\beta \cdot \lambda +\det(A)$.

wobei Beta der jeweilige durch die Matrix bestimmt Faktor ist, ich hab nicht nachgerechnet, ob das mit den Hauptminoren hinkommt.

Bitte den Artikel lesen! Es gibt zwei weit verbreitete Vorzeichenkonventionen. Das wird auch im Artikel angesprochen. Bei der hier verwendeten Def. gibt es keine Vorzeichenwechsel mit n. Daher gilt eben auch:

$\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda ^{2}+\left(\det(A_{1})+\det(A_{2})+\det(A_{3})\right)\cdot \lambda -\det(A)$

(Wer will kann ja das Beispiel aus dem Artikel nachrechnen.)--Fred Stober 15:25, 26. Aug. 2007 (CEST)

Beweis durch Beispiel! LOL! --noLo 23:59, 7. Okt. 2007 (CEST)

ändert doch bitte mal die formel für 3x3 matrizen. kann ja nicht sein, dass ein so offensichtlicher fehler, der hier auch schon öfters erwähnt wurde, immer noch drin steht?! lasst uns wiki besser machen!

Determinantenverweis fehlt und möglicherweise zu allgemein gehalten

In der Definition für das charakteristische Polyonom wird die Determinante einer Matrix benutzt, deshalb sollte man auf die Definition der Determinante verweisen. Mir ist auch nicht klar, wie allgemein die Definition hier ist, es wird ganz allgemein von einer linearen Abbildung gesprochen, allerdings ist für allgemeine lineare Abbildung die Darstellungsmatrix rechteckig und dann gibt es keine Determinante. Selbst im quadratischen Fall ist mir nicht klar ob das charakteristische Polynom von der Basiswahl abhängt. 15:42, 5. Juni 2008

Im Einleitungssatz wird doch gesagt, dass das Chrakteristische Polynom nur für Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen definiert ist. Somit ist die Darstellungsmatrix quadratisch (Endomorphismus: Zielraum = Startraum, also Dim(Zielraum)=Dim(Startraum), also Matrix quadratisch).

Da die Determinante unabhängig von der Wahl der Basis ist, ist auch das charakteristische Polynom unabhängig von der Wahl der Basis.

Ich werde mal versuchen, diese Erklärung auch in den Artikel einzubauen. --Cosine 21:52, 5. Jun. 2008 (CEST)

Stimmt im Einleitungstext steht, dass es ein Endomorphismus zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sein muss, allerdings sollte dies bei der Definition auch noch mal stehen. Während man im Einleitungstext nur eine informale "Definition" gibt, sollte im Abschnitt "Definition" eine genaue und vollständige Defintion stehen, dazu gehört auch eine genaue Angabe über welche Objekte man eigentlich spricht. Wenn man eine Dopplung vermeiden will, kann man die Einschränkung auf Endomorphismen im Einleitungstext rauslassen, weil das eigentlich schon zu speziell ist, vielleicht sollte man sich im Eineleitungstext generell nur auf (quadratische) Matrizen beziehen. Die bisher vorgenommene Änderung sind aber auf jeden Fall schon mal eine Verbesserung. 14:55, 6. Juni 2008

Das ist ein gutes Argument. Ich habe mal eine neue Version gebastelt, bei der auch in der "Definition" selbst alle Voraussetzungen drin sein sollten. Inklusive Link zu Determinante, Anmerkung zur Wahl der Basis etc... Wie gefällt dir das? ----Cosine 14:27, 9. Jun. 2008 (CEST)

MMn ist die Definition
$\chi _{\varphi }(\lambda )=\det(\lambda \cdot \mathrm {id} _{V}-\varphi )$
nicht volstaendig, weil Determinante (noch) nicht definiert sind fuer Endomorfismen. Als Definition braucht man den zweiten Teil:
$\chi _{\varphi }(\lambda )=\chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda E-A)$
Hierbei ist $E$ die $n$-dimensionale Einheitsmatrix und $\det$ steht für die Determinante.
Dabei stuetzend auf dem Satz dass fuer jede Representant A das Ergebnis dasselbe ist. Nijdam 10:05, 16. Mär. 2010 (CET)

Quatsch

Also ich kenne auch die formel für 3x3 mit (Spur A)(-Lambda)^(n-1) an zweiter Stelle. und wenn das so viele andere Leute hier auch meinen wär ich dafür dass man das ganz demokratisch so ändert, dass es mit den 90% aller Vorlesungen des deutschen Sprachraums übereinstimmt

Wortfolge

Schreibt man:

Hierbei ist In die n-dimensionale Einheitsmatrix, und det steht für die Determinante.

oder

Hierbei ist In die n-dimensionale Einheitsmatrix, und steht det für die Determinante.

Der Satz ist eine Kontraktion von:

Hierbei ist In die n-dimensionale Einheitsmatrix, und hierbei steht det für die Determinante.

Nijdam 19:45, 6. Apr. 2010 (CEST)

Koennte jemand mir Bescheid sagen?Nijdam 23:07, 30. Jun. 2010 (CEST)

gudn tach!

ich denke, beides ist ok. allerdings ist im ersten fall das komma fakultativ und im zweiten fall falsch.

die zweite version liest sich imho allerdings ziemlich holprig, sodass ich zur ersten rate. -- seth 23:29, 30. Jun. 2010 (CEST)

„Falsche“ Definition?

Hallo, ich glaube die Probleme mit Vorzeichenfehler und Verwirrungen mit dem Zusammenhang mit Eigenwerten folgt aus eurer Definition: An meiner Uni wurde das char. Polynom als det(A - lambda E) definiert, nicht als det(lambda E - A). Vorschlag: Definition anpassen und dann kompletten Artikel überarbeiten? -- KEBA 12:27, 20. Feb. 2012 (CET)

Meines Wissens gibt es beide Versionen. Das steht auch so im Artikel. "An meiner Uni", in der Regel bedeutet das "bei Prof. ...". Wenn es mehrere unterschiedliche Konventionen gibt, dann gibt es meiner Erfahrung nach auch keine Einheitlichkeit innerhalb eines Fachbereichs/einer Uni.

Wo gibt es denn hier Probleme mit Vorzeichenfehlern bzw. Verwirrung? --Digamma 17:47, 20. Feb. 2012 (CET)

Also momentan wird gerade die gleiche Formel als Hauptdefinition und als alternative Definition angeboten. Irgendwie müsste man sich da mal festlegen. -- HilberTraum (Diskussion) 19:47, 30. Aug. 2013 (CEST)

Da hatte ich eine vorherigen Änderung der IP beim Revertieren übersehen. Im Abschnitt könnte vielleicht etwas prominenter herausgestellt werden, dass diese Variante wegen der führenden 1 gewählt wurde.--LutzL (Diskussion) 00:40, 31. Aug. 2013 (CEST)

Was ist K(lamda)?

Am Ende des Abschnittes 'Definition' heißt es: "Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom n-ten Grades aus K(lamda)." Was ist K(lamda)? Das wird nirgendwo im Artikel erwähnt und sollte am besten direkt davor eingefügt werden.

Das war ein Link. Aber nicht als solches erkennbar, jetzt ausgebessert. Für weiteres zur Notation siehe Polynomring.--LutzL (Diskussion) 19:49, 5. Mai 2012 (CEST)

Abkürzung

Ist die Abkürzung CP üblich? Ich habe das noch nie gesehen und im Artikel wird es nicht verwendet. Ich kenne nur $\chi _{A}(\lambda )$ (wie es im Artikel verwendet wird) und $p_{A}(\lambda )$ --Martin Thoma 15:50, 25. Aug. 2012 (CEST)

Ok, hat sich erledigt. Habs gerade im Artikel gefunden. --Martin Thoma 15:52, 25. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 15:52, 25. Aug. 2012 (CEST)

Widerspruch

Bereits zuvor wurde diskutiert, ob bei den speziellen Formeln für 3x3 Matrizen nicht ein Minus vor $\lambda ^{3}$ fehlt.

Im Wiki steht derzeit:

Speziell für $(2\times 2)$-Matrizen hat das charakteristische Polynom also die besonders einfache Form

$\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda +\det(A).$

Für $(3\times 3)$-Matrizen ergibt sich die Form:

$\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda ^{2}+\left(\det(A_{1})+\det(A_{2})+\det(A_{3})\right)\cdot \lambda -\det(A).$

Entweder bei $\lambda ^{2}$ oder $\lambda ^{3}$ fehlt ein Vorzeichen oder? --Wlijiu (Diskussion) 15:55, 10. Jan. 2013 (CET)

Nein, das ist alles so korrekt. Beachte bitte, dass $\chi _{A}=\det(\lambda E-A)$ verwendet wird, so dass der führende Koeffizient immer 1 ist. Es wird genauso oft auch die umgekehrte Reihenfolge in der Determinante verwendet, dann wäre Dein Einwand berechtigt. Dass die Vorzeichen alternieren ist aber in beiden Fällen gleich.--LutzL (Diskussion) 16:32, 10. Jan. 2013 (CET)

Definition

Im Abschnitt Definition steht "Die Unbestimmte λ steht ebenfalls für ein Element von K.". Das stimmt so nicht ganz, formal gesehen ist es einfach die Unbestimmte im Polynomring und es ist ja auch durchaus üblich, die Matrix selbst einzusetzen (vgl etwa den Satz von Cayley-Hamilton). (nicht signierter Beitrag von 134.93.116.149 (Diskussion) 08:54, 9. Jun. 2017 (CEST))

Das hängt jetzt davon ab, ob man das charakteristische Polynom als abstraktes Polynom oder als Polynomfunktion auffasst. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind ja die Eigenwerte der Matrix, und diese sind nach Definition zunächst einmal Elemente des zu Grunde liegenden Körpers.

Mit dieser Änderung wurde am 30. April dieses Jahres der Satz "$\lambda$ ist ebenfalls Element von $\mathbb {K}$" eingefügt. Offenbar wurde eine Aussage darüber, wofür die Variable $\lambda$ stehen kann, vermisst. Da ich das einerseits nachvollziehen kann, aber andererseits deine Auffassung, dass es sich einfach um die Unbestimmte im Polynomring handelt, teile, habe ich den Satz umformuliert zu "Die Unbestimmte $\lambda$ steht ebenfalls für ein Element von $\mathbb {K}$". Möglicherweise fällt dir eine bessere Formulierung ein. --Digamma (Diskussion) 10:57, 9. Jun. 2017 (CEST)

Excel Datenblatt zur Berechnung einer 3*3 Diagonalmatrix aus dem charakteristischen Polynoms 3. Grades

Programmbeschreibung 1.) Excel Datenblatt zur Berechnung einer 3*3 Diagonalmatrix aus dem charakteristischen Polynoms 3. Grades 1.1) Eigenwerte (EW) und Eigenvektoren (EV) Berechnung bei den drei 2*2 Submatrizen; daraus dann 1.2) bei Mehrfachmultiplikation Rückrechnung der Ursprungsmatrix aus den drei mit Solver berechneten Eigenvektoren (EV) durch die Schätzwerte aus den drei 2*2 Untermatrizen

Motivation Spectrum der Wissenschaft Heft 5.20 S. 28; englische Übersetzung aus dem "Quanta Magazine" Denton, P.B et al.: Eigenvectors from Eigenvalues: A survey of basic identity in linear algebra. ArXiv 1908.03795, 2019

References 2.) Algorithmus von Faddejew-Leverrier – Wikipedia 2.1) https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Casus_irreducibilis 2.2) https://You tube.com 3Blue1Brown 3.) https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm 3.1) https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm 4.) https://www.wolframalpha.com/input?i=Matrix+Diagonalization 5.) Scilab 6.1.1. Console 6.) Eigenvektoren aus Eigenwerten: Eine Übersicht über eine Grundidentität in der linearen Algebra PETER B. DENTON, STEPHEN J. PARKE, TERENCE TAO, AND XINING ZHANG arXiv:1908.03795v4 [math.RA]

Ergebnisse 7.) Eigenwerte(EW) Ermittlung aus Polynomanalyse und indirekte Berechnung (Excel solver) der Eigenvektoren(EV) einer 3x3 Matrix aus den 6 EW und 6 EV der 3 dazugehörigen 2x2 Matrizen und Vergleich mit: 1.) Solver- 2.) Brünner- 3.) Wolfram 4.) Scilab -Lösungen 7.1) Ergebnissen der drei I2*2I^n (1,2,3..n) Matrizen Multiplikationen; Einsetzung in die 3*3 Matrix und 7.2) Vergleich mit denselben Ergebnissen der durch EW&EV Werte diagonalisierten 3*3 Matrix (nicht signierter Beitrag von HMM323 (Diskussion | Beiträge) 15:10, 10. Mai 2022 (CEST))