Diskussion:Diskrete Fourier-Transformation/Archiv

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[[Diskussion:Diskrete Fourier-Transformation/Archiv#Thema 1]]

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ist eine DFT nicht vielmehr eine FT einer diskreten Funktion bzw. Folge, wobei das Ergebnis eine Reihe und kein Integral ist?

Das ist so korrekt, namentlich sollte die DFT die FT eines zeitdiskreten Signals sein. Leider hat sich diese Sache historisch begriffstechnisch ungünstig entwickelt und so wurde die DFR DFT genannt und die DTFT, da der Begriff DFT schon belegt war, statt DFT DTFT genannt.

-- 91.21.82.100 14:52, 6. Mär. 2010 (CET)

Der größte Teil kann nach IR Spektroskopie oder Fourier Transform IR verschoben werden. --Braunbaer 17:36, 22. Aug 2003 (CEST)

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Spielt das verlinkte Wort "komplex" auf die Komplexitätstheorie (wie jetzt verlinkt) oder auf die komplexen Zahlen an? Blubbalutsch 23:00, 12. Mär 2004 (CET)

Es scheint sich um die Komplexität im Sinne der Komplexitätstheorie zu handeln, da ihre Anzahl bestimmt wird. Dies geht jedoch aus dem Artikel so nicht eindeutig hervor. Da ich kein Mathegenie bin (übliche Ausrede, wenn man sagen soll, ob 6/17 oder 8/21 der größere Bruch ist), überlasse ich diese Änderung jemandem, der sich mit sowas auskennt. --SirJective 22:10, 13. Mär 2004 (CET)

Anmerkung aufgegriffen und eingefügt(es handelt sich um komplexe Zahlen. Der Zusammenhang zur Komplexitätstheorie erschließt sich nur über Algorithmen im Allgemeinen). Der Eintrag Fourier-Transformation bedarf einer umfassenden Zusammenschau... Anton 14:58, 14. Mär 2004 (CET)

Es handelt sich hierbei um komplexe Zahlen. Warum ist das Ergebnis einer DFT (bzw. FFT) komplex?
Weil sich mit den komplexen Zahlen auch die Phase bzw. der Winkel einer Schwingung darstellen lässt. Man kann von der komplexen Darstellung durch Real- und Imaginärteil auch leicht auf die Betrags/Phasendarstellung umrechnen. Für die Visualisierung von Audiomaterial in einer Frequenzdarstellung wird der Betrag sehr wichtig sein, wenn man von der Frequenzdarstellung wieder auf die Samples zurückrechnet (mit Hilfe der inversen FT) ist auch die Phase wichtig. WhyLee 21:35, 29.06.2004 (CET)

Ich darf folgendes anmerken: Es ist verwunderlich, dass man eine reelle Ausgangsfunktion hat und dann ein komplexwertiges Spektrum erhält. Das Wundern lässt nach, wenn man sich klar macht, dass auch die Ausgangsfunktion komplexwertig ist, oder, besser gesagt, dass jeder Messwert einen zweidimensionalen Vektor darstellt. Lediglich ist es so, dass die zweite Komponente Null ist. Nun übergibt man ja an den Algorithmus in der Regel zwei Arrays, wobei eines "genullt" wird, was aber nicht bedeutet "nicht existent". Nach der Transformation erhält man dann die Sinus- und Cosinus-Anteile, die ja sehr wohl auch Null sein können. Hat man allerdings den Fall, dass die Zeitfunktion definitiv immer einen Komplexwert Null hat, kann man einen Trick anwenden: Man verteilt nach einer bestimmten Regel die Ausgangswerte in die beiden Arrays und rechnet so, als wäre die Zeitfunktion komplex mit der Hälfte der Messwerte. Im Ergebnis erhält man dann wiederum die Sinus und Cosinusanteile. Wieso entsteht dabei aber kein Informationsverlust? Beispiel: 1024 reelle Messwerte, 1024 Werte 0 ergeben 1024 Sinus und 1024 Cosinuswerte. Packt man die 1024 reelen Werte in zwei Felder a 512 (real- und imaginärteil) entstehen auch nur 512 Sinus- und Cosinuswerte. Nun, es ist so, dass bei einem Zeitsignal Imaginärteil 0 eine Sinus/Cosinus-Signale entsteht, das symmetrisch/antisymmetrisch ist. Damit sind also im Spektrum nur 2* 512 Werte unabhängig wählbar, die restlichen ergeben sich aus der Symmetriebetrachtung. Daher geht keine Information verloren. Die Nullbedingung des Imaginärteils transformiert sich in die Symmetriebedingung der Frequenzanteile. RaiNa 14:37, 3. Aug 2004 (CEST)

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Das Abtasttheorem stellt kein Problem für die DFT an sich dar, sondern für die Interpretation der entstehenden Spektren. Ich habe den Artikel so moderat wie möglich geändert. Eigentlich halte ich die Erklärung des Abtasttheorems an dieser Stelle für überflüssig, der Link genügt meiner Meinung nach. --Quintilis 07:44, 11. Apr 2004 (CEST)

Schade, dass Du Dich auf moderat beschränkt hast. Z.B. weiß ich mit Weitere auftretende Effekte wenig anzufangen, die Anwendungen kommen zu kurz, die Rechenbeispiele könnten im Detail interpretiert werden... Anton 12:21, 11. Apr 2004 (CEST)

Danke an Quintilis für die Überarbeitung!. Anm.:
Das Zeitsignal liegt nur zu diskreten Zeitpunkten vor. Zeitsignal-> Signal
Das Zeitsignal hat eine endliche Länge. Zeitsignal -> Zeitintervall
Anton 22:24, 11. Apr 2004 (CEST)

habe aus Zeitintervall Signal gemacht, wegen Verwechslungsgefahr mit Abtastintervall.
Abtastintervall habe ich zur Verbesserung der Eindeutigkeit auch gleich rausgeschmissen.--Quintilis 23:12, 11. Apr 2004 (CEST)

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In den Fourier-Artikeln wird von Oberwellen, Obertönen und Oberschwingungen geschrieben, sollte man das evtl. vereinheitlichen?

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Änderung der Berechnungsvorschrift für die DFT

Hallo. Ich würde gern die 2. Formel so abändern, daß die diskrete Eigenschaft der Transformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich zum Ausdruck kommt. Außerdem möchte ich einen weiteren Abschnitt speziell zur Spektralanalyse von abgetasteten Zeitsignalen einfügen, da das meiner Meinung nach oft gebraucht wird und immer wieder Fragen auftauchen (aus eigener Erfahrung). Ich bitte um Kommentare dazu, bevor ich anfange. --Amun1978 12:57, 4. Nov 2004 (CET)

Bloßstellung der DFT

Allo, mit der jetzigen Darstellung der DFT werden Lösungsmöglichkeiten nicht ausgeschlossen, die aber bei realen Problemen nicht gegeben sind. So halte ich es für notwendig, bei dem Satz "das Spektrum wird nur für diskrete Frequenzen berechnet", dies anschaulich mit Rasterspektrum oder auch mit Rasterfrequenzen zu bezeichnen. Insbesondere sollte klargestellt werden, dass die DFT auch nicht periodische exponentielle Anteile eines Signals in periodische sin/cos-Funktionen aufrastert. Weiterhin genügen mir die Hinweise auf ein periodisches Signal und dem Abtasttheorem auch nicht, dabei sollte auch darauf hingewiesen werden, dass im Signal enthaltene Infra- bzw. Ultrafrequenzen nicht Fourier-transformierbar sind. Die "Anwendungen Bearbeitung von Signalen" sollte stichwortartig weiter ausgeführt werden. Z.B. wäre eine Prädiktion einer Fourier-Transformierten zwar einfach durchzuführen, ergäbe allerdings wegen der bloßen Wiederholung des Signals leider keine neuen Informationen. Für die Lösung der hier andiskutierten Probleme kündige ich ein Buch an, mit dem Haupttitel: "Natürliche Signalanalyse" und dem Untertitel: "die natürliche Codierung brechen, prädizieren, filtern, wiedererkennen, übersetzen", Autor Manfred Stiebel,

Nur zu! Ich freue mich auf deine Verbesserungen des Artikels! Anton 22:51, 31. Jan 2005 (CET)

Fourier-Transformation mit Analysefenster (z.B. gleitende FT)

Als Konsequenz aus den letzten beiden Diskussionsbeiträgen möchte ich folgende Erweiterung zur Diskussion stellen:

Bei der Anwendung der Fourier-Transformation hat man es meist mit 2 Einschränkungen zu tun:

1. Diskrete Abtastwerte (wird hier behandelt)
2. Anwendung der Fourier-Transformation auf Signalausschnitte

Die Konsequenzen davon, dass man bei der praktischen Anwendung immer nur Ausschnitte aus den Signalen analysiert (statt von minus unendlich bis plus unendlich zu integrieren), wären dann zu beschreiben:

• Bei der Analyse eines Zeitabschnitts ergibt die Fourier-Transformation ein Ergebnis, als ob das Signal in dem Zeitfenster sich periodisch wiederholen würde (tut es aber in Wirklichkeit nicht).
• Die Fourier-Transformation von Signalen eines Zeitabschnitts ergibt Ergebnisse für Frequenzen, die einem Vielfachen von 1/<Länge des Zeitabschnitts> entsprechen. Im Original-Signal sind aber noch andere Frequenzen vorhanden.
• Zu diskutieren wäre die Auswirkung der Fehler, wenn man statt des gesamten Signals nur einen Zeitausschnitt betrachtet (Ergenis entspricht der Faltung des Spektrums des Original-Signals mit der Fourier-Transformierten des Analysefensters, siehe auch Si-Funktion)
• Bei der Betrachtung von Zeitabschnitten gilt eine Art "Unschärfe-Relation": Die erreichbare Frequenz-Auflösung ist umgekehrt proportional zur Länge des Zeitabschnitts.

Die Konsequenz bei der Analyse real vorkommender Signale mit Hilfe von Frequenz-Analysatoren:

• Man hat keine Chance, alle vorkommenden Frequenzen zu analysieren.
• Falls das Ergebnis eine zu geringe Frequenzauflösung ergibt, muss man die Länge des Anlysefensters vergrößern (und zur Vermeidung von Artefakten ggf. auch dessen Form)
• Aus der Analyse hintereinander folgender Zeitfenster erhält man ein zeitabhängiges, diskretes Spektrum (=>gleitende Fourier-Transformation) statt ein konstantes, kontinuierliches Spektrum bei unendlich langer Analyse.
• Die Darstellung als zeitabhängiges, diskretes Spektrum ist für viele Anwendungsfälle die günstigere Beschreibungsart (z.B. zum Beschreiben der Effekte des menschlichen Hörens und als Konsequenzdaraus: wie muss und darf man Musiksignale behandeln, damit sie vom Gehör als originalgetreu angesehen werden)

Viele Grüße Skyhead 01:11, 5. Feb 2005 (CET)

Diese Art der Zeitabhängigkeit wird anderswo als Filterbank bezeichnet, mit einem Subsampling-Faktor, der der Blocklänge entspricht. Sammelt man die "Gleichstromanteile" zu einem neuen Signal zusammen, so kann man auf dieses wieder die DFT anwenden. Rekursive Fortsetzung des ganzen ist die einfachste Variante eines "Subchannel Coders" wie er zur Diskreten Wavelet-Transformation gehört, hier das Haar-Wavelet. --LutzL 17:12, 7. Feb 2005 (CET)

Es stimmt, eine DFT über eine feste Fensterlänge ergibt eine Bandfilterbank; der Frequenzgang der einzelnen Bandfilter entspricht hierbei der Signum-Funktion.

Bei der DFT würde allerdings eine rekursive Anwendung auf die Ausgangssignale der "Bandfilter" keine großen Vorteile bringen; das Ergebnis entspräche lediglich einer DFT über den Gesamt-Zeitraum (<Fensterlänge der Einzel-DFT> * <Anzahl der benutzten DFT-Ergebnisse für die rekursive DFT>). Mit einer Ausnahme: Ungenauigkeiten wären bei der rekursiven Ausführung größer als bei der DFT über die Gesamt-Länge.

Im Gegensatz zur DFT ergibt die Wavelet-Trandformation nicht Bandfilter konstanter absoluter Breite, sondern Bandfilter mit frequenzabhängiger Bandbreite (beim Haar-Wavelet: Bandbreite jeweils 1 Oktave): Bei hohen Frequenzen sind die Bandfilter sehr breit, bei niedrigen sehr schmal. Die Breite der hochfrequenten Wavelet-Bandfilter ist hierbei unabhängig von der Fensterlänge. Lediglich das Ende der Rekursion wird von der Fensterlänge bestimmt. Nur die Bandbreite des Bandfilters für die niedrigste Frequenz stimmt zwischen DFT und Wavelet-Transformation überein.

Welche Beschreibungsart am günstigsten ist, hängt von der Anwendung ab. Bei akustischen Siganlen könnte die DFT Vorteile haben, bei Bildbearbeitung ggf. die Wavelet-Transformation

Skyhead 01:05, 9. Feb 2005 (CET)

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Nachdem hier einiges geschehen ist: Erweiterungen schön und gut, aber was hat die Fensterung der Fourier-Transformation mit diesem Artikel zu tun? Was haben Alias-Effekte mit der DFT zu tun? Die DFT ist ein Verfahren, eine endliche, gleichmäßig abgetastete Kollektion von Funktionswerten durch sin und cos verschiedener Frequenzen zu interpolieren mit der Zeilsetzung bzw. Eindeutigkeit erzwingenden Einschränkung, eine periodische Funktion herauszubekommen. Also werden nur Oberschwingungen einer Grundschwingung zugelassen. Mehr nicht.

Man kann blockweise DFT und gleitende DFT diskutieren, weil da sowas wie ein zeitaufgelöstes Frequenzspektrum rauskommt. Nachdem man das getan hat, kann man auch gesampelte Sinusfunktionen unpassender Frequenzen mit den auftretenden Alias-Effekten diskutieren und was sich daraus ergibt, wenn man z.B. blockweise DFT zur Analyse digitalisierter Musik verwenden will. Keinesfalls sollte man einem endlichen Signal, diskret oder kontinuierlich, allzu ernsthaft Frequenzen zuordnen. Dazu gibt es viel zu viele Fortsetzungsmöglichkeiten.

Die Beschreibung der Fensterung ist entweder mathematisch schwach oder unnötig kompliziert. Wie schon gesagt ergibt sich die Frage, was das an dieser Stelle zu suchen hat. In diesen hypotentischen Artikel Gefensterte Fourier-Transformation gehört auch eine überarbeitete Fassung des Leck-Effekts. Jedes endliche Signal kann periodisch fortgesetzt werden. Gemeint ist wohl, dass ein periodisches Signal mit der falschen Periode abgeschnitten wird, so dass in der periodischen Fortsetzung die ursprüngliche Periode nicht mehr vorkommt. An diesem Ort ist dieses Problem schon im "Alias-Effekt der Block-DFT" enthalten, z.B. mit Beispiel "Sinus mit Wellenlänge 387 auf 1024 Samples bei Abtastrequenz 1".

Die Beschreibung der Bandfilterbank ist unverständlich. Eine Filterbank, ob theoretisch oder praktisch, wirkt immer auf (potentiell) unendliche Signale. --LutzL 11:02, 1. Apr 2005 (CEST)

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Hallo LutzL,

ich glaube, wir gehen von unterschiedlichen Voraussetzungen aus, wozu eine diskrete Fourier-Transformation gut sein soll.

Ich sehe die DFT unter dem Gesichtspunkt technischer Anwendungen, insofern habe ich versucht, die Rahmenbedingungen, mit denen man rechnen muss, wenn man mit der DFT arbeitet, etwas genauer darzustellen.Das heißt:

• Ich sehe als Basis ein kontinuierliches, unperiodisches, potentiell unendlich langes Signal an, das es gilt zu bearbeiten. (z.B. ein Musiksignal)
• Mit der Fourier-Transformation hat man nun eine Methode in der Hand, Signale aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich zu transformieren, unabhängig davon ob das Signal nun periodisch ist oder nicht; die kontinuierliche FT integriert von minus unendlich bis plus unendlich.
• Da man kontinuierliche Signale nicht ohne weiteres digital bearbeiten kann, muss man die realen Signale abtasten. Das wäre der Schritt von der unendlichen kontinuiertlichen FT zur unendlichen diskreten FT. Durch das Abtasten macht man Fehler gegenüber der kontinierlichen Zeitfunktion, und die gilt es zu beschreiben. Genauso gilt es die Rahmenbedingungen zu beschreiben, unter denen die Fehler nicht oder nur in geringem Umfang auftreten.
• Da man bei technichen Anwendungen das Signal nur eine begrenzte Zeit beaobachten kann und nach überschaubarer Zeit ein Ergebnis sehen will, muss man aus dem unendlich langen Signal Abschnitte herausschneiden. Auch hiermit macht man Fehler gegenüber dem ursprünglichen Signal, die es zu beschreiben gilt.
• Das Einführen von periodischen bzw. periodisch fortgesetzten Signalen stammt aus der Fourier-schen Theorie, denn nur perioische Signale können über eine begrenzte Anzahl von Frequenzlinien beschrieben werden, und man möchte bei der technischen Analyse natürlich, ebenso wie im Zeitbereich nicht unendlich viele Punkte berechnen müssen. Da aber reale Signale fast nie streng periodisch sind, macht man mit der Annahme, eine Funktion sei hinter dem betrachteten Zeitfenster periodisch fortgesetzt, gegenüber der real vorhandenen Zeitfunktion Fehler, die es zu beschreiben gilt.
• Da man für die Analyse eines Zeitsignals schnell Zwischenergebnisse haben möchte, strebt man kurze Analysefenster an. Auch hierbei gilt es zu beachten, wieweit dann die analysierten Ergebnisse mit dem realen Zeitsignal in Übereinstimmung sind, wo die Grenzen der Analyse sind und wleche Fehler gegenüber dem ursprünglichen Signal auftreten.

Soweit meine Motivation, den Part "Eigenschaften" etwas genauer zu betrachten. Nun aber zu Deinen Anmerkungen:

>>was hat die Fensterung der Fourier-Transformation mit diesem Artikel zu tun?

Der Einsatz eines Fensters ist eine wesentliche Änderung des zeitlich unbegrenzten Original-Signals, deren Auswirkungen es zu beschreiben gilt.

>>Was haben Alias-Effekte mit der DFT zu tun?

Die Abtastung ist eine wesentliche Änderung des kontinuierlichen Original-Signals, deren Auswirkungen und "Fußangeln" es zu beschreiben gilt.

>>Die DFT ist ein Verfahren, eine endliche, gleichmäßig abgetastete Kollektion von Funktionswerten durch sin und cos verschiedener Frequenzen zu interpolieren mit der Zeilsetzung bzw. Eindeutigkeit erzwingenden Einschränkung, eine periodische Funktion herauszubekommen. Also werden nur Oberschwingungen einer Grundschwingung zugelassen. Mehr nicht.

Dies beschreibt meiner Meinung nach nur einen Teil der Anwendungen der DFT, eine wesentliche Anwendung sehe ich darin, mit Hilfe der DFT kontinuierliche, unbegrenzte und unperiodische Original-Signale zu analysieren und zu verarbeiten. Mit Hilfe der DFT kann man diesen Signalen Frequenzen zuordnen. Bei Einhaltung gewisser Rahmenbedingungen beschreiben diese sogar mit einiger angebbaren Genauigkeit das Original-Signal.

>>Man kann blockweise DFT und gleitende DFT diskutieren, weil da sowas wie ein zeitaufgelöstes Frequenzspektrum rauskommt. Nachdem man das getan hat, kann man auch gesampelte Sinusfunktionen unpassender Frequenzen mit den auftretenden Alias-Effekten diskutieren und was sich daraus ergibt, wenn man z.B. blockweise DFT zur Analyse digitalisierter Musik verwenden will. Keinesfalls sollte man einem endlichen Signal, diskret oder kontinuierlich, allzu ernsthaft Frequenzen zuordnen. Dazu gibt es viel zu viele Fortsetzungsmöglichkeiten.

Die technische Anwendung des Ganzen verwendet hier in meinen Augen einen "Trick": Es wird angenommen, mit jedem Zeitfenster betrachtet man eine andere Funktion, die jenseits des Fensters genauso wie in dem betrachteten Fensterauschnitt periodisch fortgesetzt ist. Wenn man weiß, wie ein Fenster das Ergebnis beeinflusst, kann man auch angeben, wie genau diese Analyse in Bezug auf das ursprüngliche Zeitsignal ist. (Genau das gleiche machen ja auch käufliche Frequenz-Analysatoren)

>>Die Beschreibung der Fensterung ist entweder mathematisch schwach oder unnötig kompliziert.

Ich habe erst einmal auf eine Ableitung verzichtet, warum eine periodische Funktion nur diskrete Frequenzlinien besitzt, ebenso auf eine Ableitung, warum eine Fensterung (d.h. eine Multiplikation von Signalen im Zeitbereich) zu einer Faltung der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich führt, insofern stimmt Deine Anmerkung, das dies mathematisch nicht genügend unterfüttert ist. Ich wollte an dieser Stelle aber auch eher die Auswirkungen auf die Signalverarbeitung schildern. Ich hatte die Herleitung auch schon vorbereitet, aber diese würde einige Bildschirmseiten füllen, und dies hielt ich für den Lesefluss eher störend, vielleicht wäre ein Split dieses Artikels angemessen: "Theorie der DFT" und "Anwendung der DFT"

>>Wie schon gesagt ergibt sich die Frage, was das an dieser Stelle zu suchen hat. In diesen hypotentischen Artikel Gefensterte Fourier-Transformation gehört auch eine überarbeitete Fassung des Leck-Effekts. Jedes endliche Signal kann periodisch fortgesetzt werden. Gemeint ist wohl, dass ein periodisches Signal mit der falschen Periode abgeschnitten wird, so dass in der periodischen Fortsetzung die ursprüngliche Periode nicht mehr vorkommt. An diesem Ort ist dieses Problem schon im "Alias-Effekt der Block-DFT" enthalten, z.B. mit Beispiel "Sinus mit Wellenlänge 387 auf 1024 Samples bei Abtastrequenz 1".

Was ich versucht habe, zu beschreiben, ist die Anwendung der DFT auf nichtperiodische Signale und welche Auswirkungen dies auf die Genauigkeit der Ergebnisse hat.

>>Die Beschreibung der Bandfilterbank ist unverständlich. Eine Filterbank, ob theoretisch oder praktisch, wirkt immer auf (potentiell) unendliche Signale.

Das tut es auch hier, mit Hilfe der DFT kann man hier Abtastpunkte für das bandgefilterte unendliche Signal gewinnen. (Man erhält für die betrachteten Frequenzlinien im Frequenzberich somit eine Verringerung der Abtastrate um die Breite eines Analysefensters)

Viele GrüßeSkyhead 01:39, 2. Apr 2005 (CEST)

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Hallo Skyhead,

Ich bleibe dabei zu betonen, dass die DFT eine Berechnungsmethode ist, die aus einer endlichen Folge auf invertierbare Weise eine endliche Folge erzeugt, mit netten Eigenschaften für konstante und gewisse sinusartige Folgen. So steht es in etwa auch in der Einleitung. Die Grundlagen derr DFT lassen sich mit Abiturkenntnissen verstehen, geometrische Summen bzw. Indexverschiebung, was sich von der kontinuierlichen Fouriertransformationen und selbst von Fourierreihen nicht sagen läßt. Nach dem Oma-Prinzip sollte dieser verständliche Teil am Anfang stehen. Die DFT hat Anwendungen und Interpretationen, so auch bei der Diskretisierung der kont. Fouriertransformation, was fuer den Namen verantwortlich ist. Aber das erfordert zusätzliches Fachwissen und sollte, als Anwendung bzw. Interpretation gekennzeichnet, nachfolgend beschrieben werden.

>>Ich sehe die DFT unter dem Gesichtspunkt technischer Anwendungen,...

Dann sollten entsprechende Bemerkungen auch diese Überschrift tragen

>>Ich sehe als Basis ein kontinuierliches, unperiodisches, potentiell unendlich langes Signal an,

Das steht in diametralem Widerspruch zur Einleitung des Artikels, gehört also unter "Anwendungen und Interpretationen" einsortiert.

>>FT

Über Sinn und Unsinn der FT bei nicht-schwingenden Systemen sollte man dort diskutieren.

>>..., muss man die realen Signale abtasten. ... zur unendlichen diskreten FT

Womit wir endgültig am Thema vorbei wären. Die unendl. diskr. FT, sofern sie exisitiert, ist eine Fourierreihe. Und unter Abtasten wird auch wieder nur das Nehmen von Funktionswerten verstanden, was bei "realen Signalen" Unfug ist. Die Fehler, die dabei entstehen, haben hier garnichts zu Suchen, sondern im Artikel Abtastung.

>>... Abschnitte herausschneiden. Auch hiermit macht man Fehler...

Gehört ebenfalls zum Thema Abtastung.

>>... eine Funktion sei hinter dem betrachteten Zeitfenster periodisch fortgesetzt, gegenüber der real vorhandenen Zeitfunktion Fehler, die es zu beschreiben gilt.

Einzig das gehört hier im Anwendungsteil diskutiert. Und zwar als Eigenschaften der Block-DFT. Ebenso das Zeitfenster. Mit einer Faustregel, die sagt, dass man Schwingungen mit 10 Samples pro Periode und mehr als 3 Schwingungen im Zeitfenster gut untersuchen kann und alles, was sehr davon abweicht, in den Bereich "schwarze Magie" gehoert.

>>Fensterung

Zur Charakterisierung der Block-DFT s. oben, ansonsten Gefensterte Fourier-Transformation.

>>Die Abtastung ist eine wesentliche Änderung des kontinuierlichen Original-Signals,...

und deshalb gehört die Diskussion dieser Effekte im wesentlichen in den Artikel Abtastung.

>>Dies beschreibt meiner Meinung nach nur einen Teil der Anwendungen der DFT,...

Ebendrum. Es ist eine Beschreibung der DFT und nicht der Anwendungen. Ich bin ja dafür, dass die Anwendungen und die Grenzen der Interpretierbarkeit im Artikel dargestellt werden.

>>"Trick"

Das ist das Funktionsprinzip der Block-DFT, mit genau den Blocking-Effekten, die bei der JPEG-Kompression schön zu beobachten sind. (DCT ist eine spezielle DFT).

>>..., warum eine periodische Funktion nur diskrete Frequenzlinien...

Das gehört zum Abschnitt "praktische Anwendungen" (im Gegensatz zu "mathematische Anwendungen") im Artikel Fourier-Reihe.

>> ... warum eine Fensterung (d.h. eine Multiplikation von Signalen im Zeitbereich) zu einer Faltung der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich führt, ...

das gehört zur Diskussion der theoretischen Grundlagen der gefensterten Fourier-Transformation, maximal noch zu den Anwendungen im Artikel kont. FT.

>>"Theorie der DFT"

ist genau die Manipulation geometrischer Summen, die unten als "Mathematische Grundlagen" steht. Meiner geschilderten Meinung nach versuchst Du, diesen Artikel mit Dingen zu überfrachten, die in anderen Artikeln zur Signalverarbeitung wesentlich besser aufgehoben wären.

>>ist die Anwendung der DFT auf nichtperiodische Signale und welche Auswirkungen dies auf die Genauigkeit der Ergebnisse hat

Hier sollte man sich auf diskrete Signale beschränken, dann gibt es eigentlich keine Verzerrung bei Transformation. Die Diskretisierungsfehler sollten unter Abtastung diskutiert werden.

>>unklar

Falls die Verwendung der DFT zur Implementation diskreter/digitaler Filterbänke gemeint war, sollte das etwas klarer ausgedrückt werden, gehört auch zum Inhalt des Artikels.

--LutzL 10:00, 5. Apr 2005 (CEST)

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Hallo LutzL,

ich glaube, wir beide haben bei der DFT ganz unterschiedliche Dinge im Hinterkopf.

• Für mich steht die DFT nicht allein im luftleeren Raum, als Verfahren "Folgen in Folgen umzuwandeln", sondern ich sehe die DFT in engem Zusammehang zur Fourier-Transformation: nämlich als vollwertige Fourier-Transformation für spezielle Funktionen, d.h. für Funktionen, die zwischen jeweils äquidistanten Punkten den Funktionswert 0 besitzen.
• Für diese Funktionen ergeben sich für die Formulierung der Fourier-Transformation Vereinfachungen (nämlich, dass das Fourier-Integral zu einer Summe wird.
• Für diese Funktionen hat aber auch die Fourier-Transformierte ganz besondere Eigenschaften, nämlich Periodizität; diese Eigenschaften lassen sich aus der Anwendung der Fourier-Transformation auf diese Funktionen ableiten.
• In meinen Augen macht es keinen Sinn, die DFT völlig losgelöst von der FT betrachten zu wollen, wie Du es an mehreren Stellen schreibst, denn die DFT ist nun einmal nichts anders als eine spezielle FT.

An mehreren Stellen beziehst Du Dich auf die umgeschriebene Einleitung; also Oma-fest ist die auch nicht. Aber ich möchte jetzt nicht die Diskussion um die Einleitung hiermit vermengen; sieh Dir einfach meinen Kommentar zur Einleitung weiter unten an, dort können wir immer noch diskutieren, ob die Einleitung nun gelungen ist oder nicht.

Zum Thema technische Anwendung:

Ich würde am liebsten in die Einleitung schreiben, dass die DFT eine spezielle Form der Fourier-Transformation ist, die den Vorteil hat, dass sie technisch mit einfach anwendbar ist. Insofern sehe ich die DFT als "technische Anwendung der FT".

Hierzu eine spezielle Anmerkung:

>>Ich sehe als Basis ein kontinuierliches, unperiodisches, potentiell unendlich langes Signal an,

>>>>Das steht in diametralem Widerspruch zur Einleitung des Artikels,

An dieser Stelle ist meiner Meinung nach die Einleitung fehlerhaft

>>>>Über Sinn und Unsinn der FT bei nicht-schwingenden Systemen sollte man dort diskutieren.

Die Fourier-Transformation (und die DFT) ist nicht mit schwingenden Systemen verknüpft, die FT ist einfach ein mathematisches Verfahren, eine Funktion im Zeitbereich in eine Funktion im Frequenzbereich umzuwandeln, bzw. vice versa. Und die DFT ist eine Anwendung der FT auf diskrete Funktionen.

Zum Thema Abtastung:

Ich sehe den Artikel DFT als den zentralen Artikel zum Thema Abtastung an, denn aus den mathematischen Eigenschaften der DFT lässt sich ein erheblicher Teil der Eigenschaften von abgetasteten Funktionen ableiten.

Zum Thema Fehler von Abtastung usw:

Die Fehler, die bei Abtastung, Fensterung usw. lassen sich aus den Eigenschaften von FT und DFT bzw. deren Unterschiede ableiten. Insofern sind diese Artikel die idealen Artikel, um dieses zu beschreiben. Denn hier hat man die Theorie und das Umfeld parat, um die Effekte im Detail zu beschreiben und auch zu zeigen, wo denn Probleme z.B. bei zeitbegrenzten abgetasteten Signalen im Kern herkommen.

Zum Thema "Faustformel"

Wenn man genauere Aussagen als irgendwelche Faustformeln machen kann, sollte man dies meiner Meinung nach auch tun.

Zum Thema Anwendungen beschreiben:

Meiner Meinung nach gehört es zu einem Artikel dazu, zu beschreiben, wozu das Ganze denn gut ist, und was man davon hat. Ohne praktische Anwendungen und Beispiele bleibt ein Artikel leicht im luftleeren Raum stehen.

Zum Thema: ..., warum eine periodische Funktion nur diskrete Frequenzlinien...

Das ist der KERN der DFT. Dies sind nicht praktische Anwendungen, dies ist die mathematische Theorie der DFT (an die man sich bei Anwendungen erinnern sollte); Diskretisierung und Periodizität sind mathematische Eigenschaften der Fourier-Transformation: eine diskrete Zeitfunktion besitzt eine periodische Frequenz-Transformierte und eine diskrete Frequenz-Funktione besitzt eine periodische inverse Fourier-Transformierte.

Zum Thema geometrische Summen:

Es tut mir leid, aber die DFT ist nicht aus der Theorie geometrischer Summen entstanden, sondern aus der Betrachtung des Fourier-Integrals für spezielle Funktionen. Daraus ergibt sich eine Darstellung, die man AUCH als geometrische Summe ansehen kann (geometrische Summe ist die Folge, nicht die Ursache)

Ich sehe den Exkurs zu geometrischen Summen eher als Nebenschauplatz, nicht als Kern dieses Artikels an. Den Absatz "Mathematische Grudlage" sehe ich auch eher als unpassend an, denn er erlärt nichts, und es werden keinerlei Erkenntnisse aus den präsentierten Formeln abgeleitet. Mathematische Grundlage ist und bleibt meiner Meinung nach die FT.

Zum Thema Signalverarbeitung:

Die DFT mit Fensterlängen von 2**N Samples (als FFT) ist eines der der wesentlichsten Signalverarbeitungsverfahren überhaupt! Insofern sind die Signalverarbeitungseigenschaften der DFT Kern dieses Artikels.

Hierzu gehört dann natürlich auch die Diskussion, wie genau das per DFT transformierte Signal mit dem Ursprungssignal vor der Abtastung und Fensterung übereinstimmt.

Viele Grüße Skyhead 03:06, 6. Apr 2005 (CEST)

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Hallo LutzL,
zu Deinen Änderungen am Absatz "von der Fourier-Transformation zur DFT" habe ich auch ein paar Anmerkungen. Ich fürchte, die von Dir gewählte Beschreibung geht etwas an der Haupt-Anwendung der DFT vorbei. Meine Anmerkungen sind:

• Die DFT ist vom Prinzip her nicht zeitbegrenzt (in der Anwendung schon, aber von der Theorie her nicht)
• Es ist nicht das primäre Ziel der DFT-Anwender, vom Frequenzbereich mit diskreten Frequenzlinien in den (kontinuierlichen) Zeitbereich zu kommen, so wird aber nun die DFT eingeführt und dies geht in eine andere Richtung als die Absätze, die weiter unten im Artikel folgen.
• Die Haupt-Anwendung der DFT ist, mit diskreten Zeitsignalen, umzugehen und diese (z.B. nach der Transformation in den Frequenzbereich) zu bearbeiten. Als Konsequenz müsste man bei der Einführung der DFT eigentlich von einem kotinuierlichen Zeitignal ausgehen, hiervon periodische Stützstellen herausschneiden und davon ausgehend beschreiben, welche Konsequenzen dies auf die Fourier-Transformation hat.
• Da das Verhalten der Fourier-transformation in beide Richtungen ähnlich ist, wäre es vielleicht im Einleitungs-Absatz angemessener, beide Varianten einer Diskretisierung zu beschreiben; die Fourier-Transformation diskreter Zeitfunktionen in den Frequenzbereich als Variante 1 und die Fourier-Transformation diskreter Frequenzfunktionen in den Zeitbereich als Variante 2. (Da bei technischen Anwendungen meist Zeitfunktionen die Grundlage sind, ist in meinen Augen die Betrachtung von diskreten Zeitfunktionen die wesentliche Anwendung, auf der auch bei solch einem Artikel das Haupt-Augenmerk liegen sollte)

Viele Grüße Skyhead 02:33, 2. Apr 2005 (CEST)

FFT-Programm?

Hallo Anton, kannst du mir bitte schreiben mit welchem Programm du die Fouriertransformierte von den Bildern erstellt hast. --84.191.173.92 16:51, 11. Dez 2005 (CET)

Hallo 84.191.173.92, siehe Weblinks im Artikel. M.W. ist das Programm Freeware (aber nicht Open Source), für einfache Tests sollte es genügen. Gruß, Anton 21:00, 11. Dez 2005 (CET)

Danke --84.191.173.92 00:41, 12. Dez 2005 (CET)

Frage bzw. Anregung zur genaueren Beschreibung

Hallo,
mir fehlt hier noch eine Abgrenzung der DFT, z.B. veranschaulicht anhand der Ermittlung eines Leistungsdichtespektrums: Man tastet ein zeitkontinuierliches Leistungssignal $x(t)$ ab. Das Signal hat ein theoretisches frequenzkontinuierliches Leistungsdichtespektrum $S_{k}(f)$. Nun will dieses über die DFT bestimmen (DFT, dann Quadrierung der Absolutwerte), was $S_{D}(f_{i})$ ergibt. Hierbei ist $f_{i}$ die Mittenfrequenz des $i$-ten Intervalls. Wie sieht das Ergebnis aus? Gilt nun $S_{D}(f_{i})=S_{k}(f_{i})$ (also ABtastung des frequenzkontinuierlichen Spektrums) oder gilt $S_{d}(f_{i})=\int _{f_{il}}^{f_{iu}}S_{K}(f)df$, wobei $f_{il}>$ die Untergrenze des Bins ist und $f_{iu}$ die Obergrenze (also Summe aller Leistungen aller Frequenzin im Bin)? Viele Grüße, Maik --80.128.113.78 18:00, 6. Jun. 2007 (CEST)

Hi, das Thema ist hier falsch, das gehört zu Abtastung bzw. zu sowas wie einer diskretisierten gefensterten Fouriertransformation. Die DFT transformiert endliche Folgen in endliche Folgen.

Und nein, real und auch ideal ist es nicht so einfach.--LutzL 20:08, 6. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Lutzl,

Ich finde die Frage von Maik überhaupt nicht abwegig!

Ich finde auch, dass genau solche Themen zum Kern des Artikels DFT gehören, denn meiner Meinung nach ist die DFT das Hauptinstrument, um in der Praxis Transformationen vom Zeit- in den Freuenzbereich vorzunehmen und umgekehrt. Und da ist die Frage, welche Fehler man dabei gegenüber der kontinuierlichen, nicht zeitbegrenzten Fourier-Transformation macht, schon wesentlich.

Hallo Maik,

Im Absatz "6 Eigenschaften" "6.3 DFT einer zeitgefensterten Funktion" findest Du ein paar Hinweise, wie sich Abtastung und Zeitbegrenzung auf die Ergebnisse der DFT im Vergleich zur FT auswirken.

Transformiert man mit Hilfe der DFT ein Zeit-gefenstertes Signal vom Zeit- in den Frequenzbereich, so ergibt sich eine Freuenzlinie der DFT aus der Faltung des Frequenzspektrums des Originalsignals mit dem Spektrum des gewählten Zeitfensters (siehe auch Abb.3 im Absatz Eigenschaften). Dieser Sachverhalt wirkt sich natürlich auch auf die Berschnung des Leistungsdichtespektrums aus: Das Ergebnis dieser Faltung muss entsprechend bei der Berechnung des Leistungsdichtespektrums berücksichtigt werden.

Viele Grüße Skyhead 00:26, 9. Jun. 2007 (CEST)

Laufindex

Hi,

Teilweise wird in den Summenformeln der Laufindex j und gleichzeitig j als imaginäre Einheit verwendet. Das ist meiner Meinung nach mindestens verwirrend wenn nicht sogar falsch. k,n,m wären besser geeignet, oder man trennt die imaginäre Einheit mit i ab, wobei i und j auch noch zum Verwechseln einladen.

Außerdem ist die Notation mit a als Vektor recht unüblich. Aus der Signalverarbeitung kennt man oft x oder y als Signalvektoren und X und Y als ihre Spektren.

Lieben gruß Kubi10:47, 9. Apr. 2008

Hi, 1.) ist richtig, wenn Du Zeit hast, kannst Du das gerne machen. Zu 2.): die DFT wird auch in anderen Gebieten als der Signalverarbeitung verwendet, man sollte nicht zuviele Artikel mit deren mathematisch fragwürdigen Notation infizieren.--LutzL 10:54, 10. Apr. 2008 (CEST)

Fehler!?

Hallo, ich wollte mal fragen ob das nicht ein Fehler ist? Unter 'Diskretisiierung von Fourier-Reihen' müsste der Laufindex der der Summe der zweiten Gleichung ( f(kT) = ... ) "n" (also kleines n) und nicht "N" sein oder!? Das zieht sich auch in den Folgegleichungen weiter.

Gruß Haddy-fr (nicht mit einer Zeitangabe versehener Beitrag von Haddy-fr (Diskussion | Beiträge) 15:39, 10. Apr. 2006 (CEST))

Goertzel-Algorithmus: Aufwand

> ... da die Berechnung pro Spektralkomponente nur eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen umfasst.

Müsste hier nicht "N komplexen Multiplikation und zwei N komplexe Additionen" stehen? (nicht signierter Beitrag von 131.234.226.183 (Diskussion | Beiträge) 17:05, 18. Sep. 2007 (CEST))

DFT und iDFT für einen komplexen Vektor

Es muss doch a^_k = \sum e^PLUS*2pi... heißen. Und a_k = 1/N * \sum e^MINUS*2Pi... und nicht so wie hier beschrieben (nicht signierter Beitrag von 89.56.19.15 (Diskussion | Beiträge) 13:07, 19. Feb. 2008 (CET))

edit:

In der Englischen scheints auch so wie hier zu sein. Aber heißt es nicht \sum \omega^{kj} * a_j mit j=0..N-1 und \omega = e^{2Pi*i/N) (nicht signierter Beitrag von 89.56.19.15 (Diskussion | Beiträge) 13:12, 19. Feb. 2008 (CET))

primitive Einheitswurzeln

Der Ausdruck "primitive Einheitswurzeln" vor der ersten Formel ist falsch! Die dort definierten $z_{k}$ sind zwar alle N-te Einheitswurzeln, aber diese sind nicht alle primitiv. Schließlich gibt es nur $\phi$(N) und nicht N primitive N-te Einheitswurzeln (phi soll hier die Eulersche $\phi$-Funktion bezeichnen).

Das ganze kann man auch auf Einheitswurzel nachlesen... (nicht signierter Beitrag von 193.174.18.1 (Diskussion | Beiträge) 12:27, 6. Jan. 2010 (CET))

Ist korrigiert. Das jetzt erste "primitiv" stimmt so, das jetzt zweite ist unglücklich formuliert, die Einheitswurzel zum kleinsten positiven Winkel ist immer primitiv, aber nicht die einzige primitive.--LutzL 14:14, 6. Jan. 2010 (CET)

Hat es einen Grund, dass für die Einheitswurzeln oben im Artikel z und weiter unten Omega verwendet wird?– Simon Diskussion/Galerie 21:09, 31. Okt. 2010 (CET)

Ah – Omega entspricht der 1. Einheitswurzel, jetzt seh ichs :) – Simon Diskussion/Galerie 21:11, 31. Okt. 2010 (CET)

Anmerkung zu 'Datenreduktion' in DFT für einen reellen Vektor

Auch wenn das fouriertransformierte Bild nur 'halb so groß' sein muss, hat man keine Datenreduktion, da jetzt komplexe Zahlen mit 2 Dimensionen gespeichert werden müssen. (nicht signierter Beitrag von 141.26.67.252 (Diskussion) 13:45, 27. Jan. 2011 (CET))

Ich sehe nicht, wo von Datenreduktion die Rede ist. Die Hälfte der komplexen Koeffizienten bezieht sich auf die voll komplexe Transformation im Abschnitt davor. Ich habe aber einen Satz zur reellen Dimension rangehängt, kann gerne noch geschliffen werden.--LutzL 14:39, 27. Jan. 2011 (CET)

Anmerkung 2 zu 'Speicherersparnis' in DFT für einen reellen Vektor

Im Beitrag steht: 'Diese Tatsache kann etwa zur Speicherersparnis eingesetzt werden, weil nur die Hälfte der Koeffizienten tatsächlich gespeichert werden müssen.' Das ist keine Speicherersparnis, da zwar nur die Hälfte von Koeffizienten gespeichert werden muss, diese aber einen Real- und Imaginärteil und damit eine doppelt so große Dimension haben. Der Satz ist kurz gesagt einfach falsch. (nicht signierter Beitrag von 92.192.51.93 (Diskussion) 03:23, 29. Jan. 2011 (CET))

Sehe ich genauso ... Es wäre dann eine Datenreduktion, wenn man das reelle Bild trotzdem als complexe Zahlen speichern würde. Wenn durch FT eine Datenreduktion möglich wäre, würde ja Orts- und Forierraum unterschiedlich viel Information enthalten! Bei Kompressionsverfahren, die FTs oä. nutzen (z.B: JPEG), werden typischerweise Koeffizienten, die nicht wichtig sind nicht gespeichert. Das ist aber dann eine verlustbehaftete Kompression, weil nicht die gesamte Bildinformation wieder hergestellt wwerden kann. -- Jkrieger 21:27, 29. Jan. 2011 (CET)

Der Satz ist nicht falsch, sondern ein Hinweis zur Implementation einer reellen Fouriertransformation. Würde man diese "naiv" implementieren, so würde man N komplexe Zahlen als Ergebnis erhalten, so nur N/2 komplexe, also wieder N reelle. Außerdem, wo steht an dieser Stelle oder sonstwo im Artikel was von Bildkompression?--LutzL 14:54, 30. Jan. 2011 (CET)

Naja, wie man sieht verwirrt der Satz deutlich ... ich hab ihn mal abgeändert, wie ich's besser finde. Schönen Abend, Jkrieger 19:35, 30. Jan. 2011 (CET)

Zu Abschnitt DFT und iDFT für einen komplexen Vektor

Gehört das ${\frac {1}{N}}$ nicht eigentlich vor die 1. Formel, also so:
Koeffizienten für die DFT:
${\hat {a}}_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}$     für   $k=0,\dots ,N-1$
Koeffizienten für die iDFT:
$a_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}e^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot {\hat {a}}_{j}$     für   $k=0,\dots ,N-1\,$. --Erlkoenig90 12:25, 28. Apr. 2011 (CEST)

So wie Erlkoenig90 habe ich es auch bei mir stehen. Was stimmt denn nun? Robin wiki 18:08, 3. Jan. 2012 (CET)

Es ist alles richtig, und es könnte auch beide male ein Faktor $1/{\sqrt {N}}$ sein. In der bemängelten Form ist die DFT die Multi-Punkt-Auswertung eines trigonometrischen Polynoms und die iDFT die Bestimmung der Koeffizienten eines trig. Polynoms aus gegebenen Werten.--LutzL 14:18, 4. Jan. 2012 (CET)

Intuitive Erklaerung

ein sehr anschaulicher ansatz wird hier verwendet http://altdevblogaday.org/2011/05/17/understanding-the-fourier-transform/ gruesse Shaddim 18:17, 18. Mai 2011 (CEST)

INterpretation und Tricks

Betrachtet man ein Bild, dass einfach von links nach rechts kontinuierlich heller wird, beispielweise, dann wird man sagen, dass es keine hohen Spektralen Anteile hat. Einfach intuitiv, auch weil man beurteilen will, ob es "Störungen" gibt. Nun hat dieses bezeichnete Bild hohe spektrale anteile, einfach weil das Bild periodisch fortgesetzt wird, und man dadurch ein Sägezanhmuster erhält.

Gibt es Abwandlungen der Fouriertransformation von Bildern, das dem oben bezeichneten Bild keine hohen Spekrtralanteile zuordnet, wie man intuitiv erwartet?

Dasselbe im lineraren Fall: habe ich ein zeitintervall eines eindimensionalen Signals gesampelt, und es steigt einfach linaer an und ich will wissen, ausgedrückt im Freqberech, inwieweit das Signal verrauscht ist, dann möchte ich von der Rampe gerade abstrahieren.

GRuß Erik (nicht signierter Beitrag von 37.16.66.130 (Diskussion) 11:55, 23. Sep. 2013 (CEST))

1. Betrachte nur die Frequenzen, deren Periode weit unter der Breite von Strukturen im Bild liegt. 2. Du kannst entweder eine lineare oder quadratische Approximation des 'Trends' von den Rohdaten abziehen, oder das Signal stetig fortsetzen, indem an den Rändern des Intervalls gespiegelt wird. Dann kannst Du aber auch gleich die passende DCT anwenden.--LutzL (Diskussion) 12:14, 23. Sep. 2013 (CEST)

Unschärfe-Relation der gleitenden DFT

Die Aussage dieses Abschnitts stimmt nur unter der Voraussetzung, dass die Anzahl der Abtastwerte konstant sein soll. Ist diese Bedingung nicht vorausgesetzt, dann kann man sehr wohl durch gleichzeitige Wahl einer hohen Abtastfrequenz mit langem Beobachtungszeitraum (also sehr vielen Abtastwerten in einer DTF/FFT) gleichzeitig sowohl eine hohe Zeitauflösung als auch eine hohe Frequenzauflösung erreichen.

Gruß, Michael (nicht signierter Beitrag von 93.209.126.181 (Diskussion) 18:58, 11. Feb. 2015 (CET))