Diskussion:Folge (Mathematik)

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Folge (Mathematik)“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

Füge neue Diskussionsthemen unten an:

Klicke auf Abschnitt hinzufügen, um ein neues Diskussionsthema zu beginnen, und unterschreibe deinen Beitrag bitte mit oder --~~~~.

• Diskussionsregeln
• Hilfe zu Diskussionsseiten
• Sei sachlich und freundlich!
• Greife niemanden persönlich an!
• Geh von guten Absichten aus.

Archiv

Archiv

Wie wird ein Archiv angelegt?

Auf dieser Seite werden Abschnitte monatlich automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 1000 Tage zurückliegt und die mindestens einen signierten Beitrag enthalten. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 5 Abschnitte.

Auf dieser Seite werden Abschnitte monatlich automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 180 Tage zurückliegt und die mindestens 2 signierte Beiträge enthalten. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 5 Abschnitte.

Ich sehe ein, dass

bei euch meine Anmerkungen deplatziert sind. --Hersilie (Diskussion) 09:45, 21. Apr. 2019 (CEST)

Änderungen im Folge-Artikel, Vorschlag 17. Mai 2021

A. (Einleitung, Satz 1: vier Wörter hinzufügen, plus Fußnoten)
Als Folge oder Sequenz (früher: Reihe^[1] oder Progression^[2]) wird in der der Mathematik eine Auflistung. . . . .
[1] "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).
[2] Manchmal nur für arithmetische, geometrische und harmonische Folgen.

B. (Sektion 7.2, Satz 2-3: einfacher Argument)
Die Folge der Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, …, Funktionsvorschrift $a_{i}=i^{2}$,   ist ebenfalls eine 'arithmetische Folge 2. Ordnung' da ihre Differenzfolge 1, 3, 5, 7, ... eine arithmetische Folge ist.

Bemerkungen:
A1. Für Belege bei  "(früher Reihe oder Progression)"  sehe die 'Klappbox' hier.

A2. Ins Reihe-Artikel kann  "Ausdruck einer bestimmten Art („Bauart“)"  erläutert werden mit:
$\quad \Sigma \,(a_{n})\quad$oder$\quad a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ \cdots \quad$oder   . . .   (zur Bezeichnung der Folge $\ (a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\$) ,
$\quad \Sigma ^{\infty }(a_{n})\quad$oder$\quad a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ \cdots \quad$oder   . . .   (zur Bezeichnung der Zahl ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})\ }$) .

B1. Bei der Folge der Quadratzahlen ist einfacher und direkter: "da ihrer Differenzenfolge arithmetisch ist.";  "Reihe" (Folge oder Ausdruck?) hat mit eine Summenfolge zu tun.  Und präzise: die Summenfolge der ungerade Zahlen ist die Folge 1, 4, 9, 16, ... − ohne Quadratzahl 0. -- Hesselp (Diskussion) 21:28, 17. Mai 2021 (CEST)

Wo fehlen Belege?

@Kmhkmh: Du hat meine Edits 23:26, 17. Mai 2021‎ und 11:22, 19. Mai 2021‎ ohne Begründung zurückgesetzt. Bitte hier benennen für welche Bestandteile meiner Edits, deiner Meinung nach, hinreichende Belege fehlen. Sind die Brockhaus-Zitate nicht überzeugend? --Hesselp (Diskussion) 20:12, 19. Mai 2021 (CEST)

Zurücksetzung 22. Mai 2021

@Digamma: Kannst du deine Frage (wo ist das belegt?) spezifizieren?

- i. Die Zusammenfassung meiner Edit 09:16, 22. Mai 2021‎ gibt: Eine Zurücksetzung soll inhaltlich argumentiert werden.

- ii. In meiner Disk-Beitrag 20:13, 19. Mai 2021‎ fragte ich: Bitte hier benennen für welche Bestandteile meiner Edits, deiner Meinung nach, hinreichende Belege fehlen.

- iii. Die Zusammenfassung deiner Zurücksetzung 21:57, 22. Mai 2021‎:  wo ist das belegt? Du gibst keine Einzelnachweise an.  nennt nicht für welche Bestandteile meiner Edit  'Belege und Einzelnachweise'  fehlen. Deine "wo ist das" und "keine Einzelnachweise" sind nicht spezifiziert. Punkte i zu iii kombiniert: ich sehe deine Zurücksetzung als nicht inhaltlich argumentiert.

- iv. In meiner Vorschlag 17. Mai 2021 schrieb ich: "A1. Für Belege bei  "(früher Reihe oder Progression)"  sehe die 'Klappbox' hier." (Link hinter 'hier'.)  Und hier 20:12, 19. Mai 2021: "Sind die Brockhaus-Zitate nicht überzeugend?" (Auch gelinkt.)   Für neuere Bezeichnungen, sehe z. B. Brockhaus 18. Auflage: "Folge" (3. Band S. 151); "Progression" (9. Band S. 211); "Unendliche Reihe" (9. Band S. 406).   Ist das nicht hinreichend, Digamma? -- Hesselp (Diskussion) 11:47, 23. Mai 2021 (CEST)

Eigentlich erwarte ich, Belege als Einzelnachweise im Text zu finden; hilfsweise in der Zusammenfassungszeile. In der Artikeldiskussion habe ich nicht nachgeschaut. --Digamma (Diskussion) 18:05, 23. Mai 2021 (CEST)

@Digamma: Im Einzelnachweis kann hinzugefügt: "Deutlich zu sehen in H.von Mangoldt - K.Knopp Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. (1932) Zahlenfolge." Eine Verbesserung?  Bitte sehe nicht nur die 'Folge'-Disk, aber auch die 'Reihe'-Disk. --Hesselp (Diskussion) 14:56, 24. Mai 2021 (CEST)

Der Hinweis, dass die Bezeichnung Reihe historisch auch für Folgen verwendet wurde (und es in speziellen Kontexten auch noch wird), ist zwar nicht falsch aber Mmn. in der Anleitung unagemessen. Zudem scheint es hier nur als Sprungbrett für hesselps Vorstellungen zu Folgen und Reihen zu dienen , die er schon seit Jahren versucht im artikel zu platzieren. Insofern halte ich die Löschung durchaus für angemessen, da ein Hinweis auf historische Alternativbezeichnungen in der Einleitung lediglich optional ist bzw. im editoriellen Ermessen liegt.--Kmhkmh (Diskussion) 18:31, 23. Mai 2021 (CEST)

@Kmhkmh: (1) Die Wahl für dem ersten Satz habe ich andere Artikel entnommen; wahrscheinlich sehe ich die Priorität höher wie du.  (2) Bist du auch einverstanden mit der Tatsache dass die Bezeichnung "konvergent" (und "konvergieren") vor der 20. Jahrhundert (nahezu) ausschlieslich summierbar / eine Summe zustreben / eine Grenzwert zustrebende Partialsummen  bedeutete? Dass in "konvergente Reihe" das Wort "Reihe" damals immer der Brockhaus/v.Mangoldt/Cauchy/...-Bedeutung (der Folge-Bedeutung) hatte? Kennst du Texte wo das nicht der Fall war?  (3) Was ist doch falsch mit meiner - auf sehr viel Fachliteratur gegründete - 'Vorstellungen zu Folgen und Reihen'? Was ist falsch mit meinen Versuche WP-Artikel zu bearbeiten wenn ein solcher Beitrag mit vielen Quellen zu belegen ist? Warum doch die 'Sprungbrett'-Angst? --Hesselp (Diskussion) 15:01, 24. Mai 2021 (CEST)

Ich habe auch grundsätzlich hier Probleme mit den Zitaten aus einem Konversationslexikon. Die angeführten Zitate für den Begriff "Reihe" klingen nicht sehr fachlich fundiert. --Digamma (Diskussion) 19:58, 23. Mai 2021 (CEST)

@Digamma: Kannst du Quellen/Texte zeigen (19. Jh.) wo "Reihe" mehr fachlich fundiert klingt wie in der Brockhaus-Zitate? Ich bin sehr interessiert. --Hesselp (Diskussion) 15:05, 24. Mai 2021 (CEST)

Unendliche Reihe (1929, von Mangoldt)   =   Zahlenfolge (1932, Knopp)

In den letzten Jahrzehnten hat sich . . . Sprachgebrauch durchgesetzt. (Originaltext in diesem Snippet)

@Digamma: @Kmhkmh: Hier noch ein Beleg bei meinem Vorschlag 17. Mai 2021. Zitate von Hans von Mangoldt (1854-1925) und seiner Nachfolger/'Bearbeiter' Konrad Knopp (1882-1957)

Hans von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik (1. Aufl. 1912 - 5. Aufl. 1929):

- Zweiter Band; 1. Aufl. 1922, S.174, auch noch 5. Aufl. 1929, S. 171, Zitat.   Man denkt sich, unter n eine aller ganzzahligen positiven Werte fähige Veränderliche verstehend, irgenddeine Funktion u_n' von n erklärt und sodann die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe durch die ihnen entsprechenden Werte dieser Funktion ersetzt. Das Ergebnis   u₁;   u₂;   u₃;  · · ·   einer solcher Umwandlung heißt jedesmal eine unendliche Reihe [..] .

- Zweiter Band; 1. Aufl. 1922, S. 177, auch noch 5. Aufl. 1929, S. 174, Zitat.   Eine unendliche Reihe mit konstanten Gliedern heißt konvergent, wenn die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positieven Zahl n einem Grenzwert zustrebt [..] .

Das Wort "Folge" kommt an keiner Stelle vor in v. Mangoldt's erster, zweiter oder dritter Band (Auflage 1-5) .

H. v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik [..] seit der sechsten Auflage neu herausgegeben und erweitert von Konrad Knopp (6. Aufl. 1932 - 17. Aufl. 1990):

- Zweiter Band; 11. Aufl. 1958, S. 198, auch noch 14. Aufl. 1974, S.198, Zitat.   Die Worte „Folge“ und „Reihe“ werden, wie im täglichen Leben so auch in der Mathematik, nicht immer streng geschieden. So spricht man statt von der F o l g e der natürlichen Zahlen auch häufig von der natürlichen Zahlen r e i h e. Es ist aber für unsere Zwecke unerläßlich, hier einen Unterschied zu machen. In den letzten Jahrzehnten  [6. Aufl. 1932, S. 206: "In dem letzten Jahrzehnt"]  hat sich in der Mathematik allgemein der in den Erklärungen von I, Nr. 67 [siehe unten] und der obigen Nr. 71 [siehe unten] festgelegte Sprachgebrauch durchgesetzt.

- Erster Band; 11. Aufl. 1958, auch noch 14. Aufl. 1974, S. 151, Nr. 67 Zahlenfolgen, S. 151, Zitat.   Erklärung 1. Wenn auf Grund einer bestimmten Vorschrift den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... je eine gewisse Zahl x₁, x₂, x₃, ... zugeordnet ist, so sagt man, daß diese Zahlen  x₁, x₂, x₃, ...   in dieser den natürlichen Zahlen entsprechenden Anordnung eine Zahlenfolge bilden.

- Zweiter Band; 6. Aufl. 1932, S. 203, immer noch 14. Aufl. 1974, S. 196, Nr. 71 Unendliche Reihen, S. 196, Zitat.  Erklärung. Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \quad \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\quad }$oder${\textstyle \quad a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad }$oder${\textstyle \quad a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad }$,  bei dem die Glieder (a_n) eine irgendwie gegebene Zahlenfolge bilden. Dieses Zeichen soll zunächst nichts anderes bedeuten als die Folge (s_n) der sogenannten Teilsummen oder Abschnitte ${\textstyle \quad s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\ }$. --Hesselp (Diskussion) 14:48, 24. Mai 2021 (CEST)

Einige Details eingefügt. --Hesselp (Diskussion) 18:00, 29. Mai 2021 (CEST)

OK, klingt überzeugend. Nur die Anmerkung: Wenn Mangoldt 1929 auf Seite 174 schreibt "Eine unendliche Reihe mit konstanten Gliedern heißt konvergent, wenn die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positieven Zahl n einem Grenzwert zustrebt [..]", dann ist ganz offensichtlich mit "Reihe" keine Folge gemeint, sondern die dadurch definierte Reihe (so wie wir den Begriff heute verstehen). --Digamma (Diskussion) 17:43, 24. Mai 2021 (CEST)

(a) Warum: "ganz offensichtlich mit "Reihe" keine Folge gemeint"? Weil auf Seite 171 "unendliche Reihe" ganz klar (ja?) definiert wird als (modern gesagt) Abbildung auf N. Du nimmst den Autor nicht seriös?  Auch Brockhaus definierte (jedenfalls bis 1908) 'konvergieren' als das Zusammenlaufen der Partialsummen einer Reihe (= eine Folge von Gliedern/Größen, die...).   (b) Entspricht deine "wie wir [?] den Begriff heute verstehen" der - für mich klare - Knopp-Definition (Zweiter Band 11. Auflage 1958, S. 196) ? --Hesselp (Diskussion) 23:16, 24. Mai 2021 (CEST)

Rechtfertigung Artikel-Beitrag 26 Mai 2021

- Die Zurücksetzers Kmhkmh und Digamme stimmen mittlerweile mit der Tatsache dass eine Folge früher allgemein “Reihe” heißte (und zuweilen auch immer noch).

- Belege für das “zuweilen auch immer noch” sind zu finden in meinem Beitrag "Neun Quellen".

- Auch auf der anderen Seite der Welt wurde die Bedeutungsänderung bemerkt.  S. Schwartzmann, The Words of Mathematics, MAA 1994, S.196 Zitate: In older terminology a sequence was sometimes called a series und In older usage, s e r i e s  sometimes meant what we would now call a sequence.  Weiter, S. 173: progression is another name for a sequence .

- Digammas "wo ist das belegt? Du gibst keine Einzelnachweise an."  resultiert in eine (vorangekündigte) extra Satz in der Fußnote.  Die Reputation von Mangoldt bzw. Mangoldt/Knopp (17 Auflagen in 78 Jahre) läßt sich auch hier ansehen.

- Digamma: Eine eventuellen neuen Zurücksetzung bitte nicht 'argumentieren' mit  "dann ist ganz offensichtlich klar".   Verzeihung: In der 'Zusammenfassung' dieses Beitrags habe ich mich geirrt; nicht "Antwort an Kmhkmh" sondern "Antwort an Digamma".

- Kmhkmh ist der Meinung dass die Zusatz in der Einleitung unangemessen ist, bzw. lediglich optional ist. Wo dies in andere Artikel nicht unüblich ist, wo ich die Bemerkungen über Namevarianten für Folgeobjekten und die 0-gliedrige Folge in der heutigen Einleitung sicherlich weniger wichtig achte, und wo es nicht direkt klar ist wo die Zusatz besser einzufügen ist, habe ich die Plazierung nicht geändert.  Diese Enzyklopädie hat doch auch zum Zweck, älterer Texten besser verständlich zu machen?

- Kmhkmhs Sprungbrett-Angst scheint mir kein relevant Argument zur Zurücksetzung. Sind meine Vorschläge und Edits nicht immer mit (vielen) Quellen belegt? --Hesselp (Diskussion) 15:58, 26. Mai 2021 (CEST)

drei kleine Fragen

Ich zitiere:

Formale Definition Formal definiert ist eine unendliche Folge eine Abbildung, ${\begin{matrix}a\colon &\mathbb {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i},\end{matrix}}$ ... Für eine endliche Folge (Tupel) mit $n$ Gliedern definiert man den Index statt aus $\mathbb {N}$ aus einer endlichen Menge, üblicherweise entweder aus der Menge $\{0,\dotsc ,n-1\}$ oder aus der Menge $\{1,\dotsc ,n\}$. Gelegentlich findet sich für derartige Indexmengen die Notation $\langle n_{\mathrm {min} },n_{\mathrm {max} }\rangle$.

und stelle die Fragen:

1. Wie lautet die Indexmenge der Folge $(\pi ,\sin ,\cos )$?
2. Wie lautet die Zielmenge dieser Folge?
3. Wie müsste ich sie schreiben, wenn ich als Indexmenge $\{38,39,40\}$ benötigte?
   

Ich vermute, dass auf keiner dieser Fragen jemand eine positive Antwort geben kann, weil die Definitionen keine hergeben.
Ich wäre zufrieden, wenn jemand meiner Vermutung beistimmte, aber noch mehr, wenn jemand sie beantwortete. --Hersilie (Diskussion) 16:21, 13. Jun. 2021 (CEST)

Hersilie, hier meine Antwort.   Deine Folge hat die Zahl $\,\pi \,$ zum ersten Glied (Anfangsglied/Startglied), die Funktion $\,\sin \,$ zum zweiten Glied, und die Funktion $\,\cos \,$ zum dritten Glied (Schlußglied). Aber hiermit ist die Folge noch nicht vollständig definiert, es fehlt noch die Zielmenge. Du kann wählen zwischen alle Mengen welche die drei Glieder enthalten. Die Folge selbst hat keine Indizes.

Die Indizes kommen erst ins Spiel, wenn du deine Folge eine Name zuweist. Sagen wir: Folge mit Name Hers ?  Dann kann man ihrer Glieder scheiben als:  Hers₁, Hers₂, Hers₃,  oder als Hers₀, Hers₁, Hers₂,  oder als Hers₃₈, Hers₃₉, Hers₄₀,  oder als Hers_I, Hers_II, Hers_III,  oder als Hers_a, Hers_b, Hers_c.  Und benennen als: hers eins, hers zwei, hers drei, oder usw.  Entschuldigungen für meine sprachliche Fehler. --Hesselp (Diskussion) 21:27, 13. Jun. 2021 (CEST)

@Hesselp: Du kennst den Folgebegriff nicht und hast dich von der im zitierten Kasten stehenden Angabe $a\colon \mathbb {N} \to X,i\mapsto a_{i}$ irritieren lassen. --Hersilie (Diskussion) 11:10, 14. Jun. 2021 (CEST)

@Hersilie: Danke für deine Reaktion. Ob ich von der genannten Angabe irritiert war? Ich weiß es nicht, ich glaube es kaum.  Du hast eine anderen Vorstellung des Folgebegriffs wie ich? Auf Grund welcher Quellen? Ich bin sehr daran interessiert, weil ich seit fast sechzig Jahre einen Sammler bin von Dokumentation über 'Folgen und Reihen'. Über wie (in welcher Bedeutung) diese Wörter in der mathematischen Praxis gebraucht werden, neben wie Lehrbücher (nicht nur deutschsprachige) diesen Gebrauch formalisieren (mittels Definitionen).

Sind wir uns einig, dass Indexierungsweisen nicht mit dem Inhalt des Begriffs zu tun haben, aber eine Sache der Beschreibung und der Benennung einer Folge ist?  An meiner Beitrag von gestern habe ich zwei weitere Varianten hinzugefügt.

Zum Schluß. Gestern schrieb ich "es fehlt noch die Zielmenge". Nun scheint es mir, dass die Zielmenge einer Folge ("Abbildung auf/aus $\mathbb {N}$ in einer Menge") nur eine Rolle haben kann falls eine Folge UNendlich ist. Und dass "endliche Folge" (n-Gliedrige Folge) übereinstimmt mit "n-Tupel" - ohne varierende Zielmenge. --Hesselp (Diskussion) 17:51, 14. Jun. 2021 (CEST)

das wollte ich mit meinen 3 Fragen ansprechen

Gemäß der unsinnigen Formel $~~a\colon \mathbb {N} \to X,i\mapsto a_{i}~~$ ist z.B. $~~(a_{0},\pi ,a_{3},a_{4},a_{5},\cdots )~~$ keine Folgennotierung.
Die Formel wäre so akzeptabler: $~~{a\colon \mathbb {N} \to X,i\mapsto a(i)}~~$ aber besagt noch nichts, denn sie ist eine so zu lesende Tautologie:

$~{a\colon \mathbb {N} \to X}~~~~$$a$ ist eine Funktion, die jedem Element aus $\mathbb {N}$ genau ein Element aus $X$ zuweist, $~~~{i\mapsto a(i)}~~~~$und zwar dem Element $i$ aus $\mathbb {N}$ dasjenige Element aus $X$, welches $a$ dem Element $i$ zuweist.

--Hersilie (Diskussion) 15:41, 15. Jun. 2021 (CEST)

Okay, und ich sehe keine neue Fragen. --Hesselp (Diskussion) 12:50, 16. Jun. 2021 (CEST)

Drei Verbesserungen

1. Nicht mehr aktueel. Vorschlag: die Überschrift dieses Abschnitts reduzieren auf "Arithmetischen Folgen".  Argument: "Reihe" ist nicht mehr im Text dieses Abschnitts seit 7. Dez. 2005.

2. Typo. Vorschlag: Im Satz 1 dieses Abschnitts ein Punkt am Ende, und die Klammern selbst nicht kursiv.

3. Etwas weniger kompliziert und kürzer. Vorschlag: Satz 2-3 dieses Abschnitts ersetzen durch   "Die Folge der Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, …, Funktionsvorschrift $a_{i}=i^{2}$,  ist ebenfalls eine 'arithmetische Folge 2. Ordnung' da ihre Differenzen 1, 3, 5, 7, ... eine arithmetische Folge bilden."

--Hesselp (Diskussion) 23:23, 16. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 gesperrt für ANR.  Wer will also diese Änderungen platzieren?)