Diskussion:Funktional

Habe gerade den Artikel über Funktionale gelesen und bin der Meinung, dass da einige Ungenauigkeiten drin sind: 1. Ist V ein Vektorraum, so ist der Bildbereich eines Funktionals auf V der Skalarenkörper von V und nicht ein beliebiger Körper. Und das sind ebenso häufig die komplexen wie die reellen Zahlen. 2. Lineare Operatoren sind im Allgemeinen keine Funktionale, da der Zielraum ja nicht notwendig der Skalarenkörper ist. Allerdings kann natuerlich jedes Funktional als linearer Operator aufgefasst werden. 3. Werden irgendwo auch nichtlineare Abbildungen von V in den Skalarenkoerper als Funktionale bezeichnet? Habe ich selbst nie gesehen ... Plädiere daher dafür das in die Definition aufzunehmen. 4. Der Dualraum des R^n besteht nicht aus allen Funktionen vom R^n nach R, sondern aus allen linearen Funktionalen. 5. Das Integral ist nicht für alle reellwertigen Funtkionen auf dem R^n definiert. Es kann aber zum Beispiel auf dem Raum aller stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall als lineares Funktional aufgefasst werden.

Vielleicht mag das mal jemand einarbeiten, wenn keine Widersprüche kommen ...

Kai

Die Kritik ist völlig berechtigt. Ich denke der Artikel muss komplett überearbeitet werden. Es sollte auch was über stetige Funktionale geschrieben werden und den entsprechenden Dualruam eines topologischen Vektorraumes. Vielleicht aber nicht all zu abgehoben. Kai, melde Dich doch einfach an und tu das! --CWitte 10:38, 14. Feb 2005 (CET)

P.S.: Unterschreiben mit MinusMinusTildeTildeTildeTilde!

Folgende Aussage halte ich auch für falsch (bzw. verstehe sie zumindest nicht):"Der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums hat zudem immer größere Dimension (im Sinne der Kardinalität einer algebraischen Basis) als der Ursprungsraum." Im Fall eines reellen Hilbertraums ist doch gerade der Dualraum isometrisch isomorph (oder anders gesprochen isomorph als metrischer Raum und als Vektorraum) zum Ursprungsraum. Ich sehe nicht, inwiefern dann die Kardinalität, selbst wenn man es auf eine Basis bezieht, anders sein kann (im unendlichdimensionalen Fall gibt es darüber hinaus doch auch gar keine algebraische Basis!).

DS

In Vektorräumen gibt es immer algebraische Basen. Man kann sie i.A. nicht angeben, aber existent sind sie. Man kann sich leicht folgendes überlegen: Ist K ein Körper und B eine Basis des K-Vektorraums V (d.h. $V\cong K^{(B)}$), so ist $V^{\ast }\cong K^{B}$). Alleine schon die Mächtigkeit von $K^{B}$ ist im Allgemeinen viel größer als die von $K^{(B)}$. Du verwechselst zudem den algebraischen mit dem topologischen Dualraum. Der algebraisch enthält wirklich alle linearen Funktionale, auch die unstetigen. Der topologische Dualraum enthält nur die stetigen Funktionale. Dieser Raum kann natürlich zum zugrundeliegenden Vektorraum isomorph sein. Das ist der Fall bei Hilberträumen. Aber nur i.A. wird eben der algebraische Dualraum nicht isomorph sein.

Funktionalgleichung

Haben Funktional und Funktionalgleichung was miteinander zu tun? --Abdull 19:30, 22. Feb 2006 (CET)

Vektoriale Räume über einem Zahlenkorpus

Auch, wenn ich die Begriffe "vektorialer Raum" und "Zahlenkorpus" eigentlich ganz süß fand, habe ich sie mal durch "Vektorraum" und "Körper" ersetzt, da letztere in der deutschsprachigen Mahematik und vor allem in der Wikipedia eher verwendet werden. -- 130.83.219.136 15:22, 26. Jan. 2007 (CET)

praktische Anwendung?

Gibt es konkrete, praktische Anwendungsfelder für die Funktionalanalysis? Daß Funktionsanalysis hilfreich ist zB den Materialaufwand für Verpackungen zu optimieren, leuchtet unmittelbar ein.
Wozu genau aber braucht man die Funktionalanalysis?
Oder ist sie ein rein abstraktes, theoretisches Konstrukt, um zB das Konzept der Distribution zu ermöglichen bzw wie hängt letztere mit ihr zusammen? Was baut da worauf auf und zu welchem realen, praktischen Zweck?
Wie begegnet Mathematik dem Verdacht, hier werde 'realitätsfern getrickst', Wirklichkeit so zurechtgebogen, daß gewünschte Ergebnisse berechnet werden können? (Mit der experimentellen Bestätigung mithilfe solch abstrakter Konzepte gewonnener Theorien?)
--87.178.211.238 15:19, 17. Feb. 2008 (CET)roneunzig

Die Existenz einer Anwendung ist keine notwendige Voraussetzung für das Betreiben der Mathematik.

Wenn ein praktisches Gebiet die mathematischen Theorien verwenden kann, ist das natürlich um so besser. Du nennst selbst ein Beispiel, aber auch in der Physik verwenden wir oft Funktionale - etwa in der Herleitung von Theorien, die es erst ermöglichen solche Geräte zu bauen, wie den Computer, vor dem du vermutlich gerade sitzt.

Aus dieser Sicht ist die Realitätsferne kein Vorwurf, der der Mathematik oder der Funktionalanalysis zu machen ist.

Ist nicht auch der Erwartungswert ein Funktional? Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollte schneller einleuchten... --Lars Winterfeld

"einfache" Beispiele...

Also ich finde die Beispiele irgendwie gar nicht "einfach". Man könnte auch Integrale bzw. den Ableitungsoperator als Funktional beschreiben. Das würde man zumindest noch ansatzweise aus der Schule kennen. Oder wieso muss das so "abgehoben" formuliert sein? Grüße --WissensDürster 12:01, 10. Jan. 2009 (CET) e Hallo,

bin 'mal wieder zufällig auf diese Seite gestoßen.

1. Der Begriff Differenial ist nicht erklärt, erklärt sich auch nicht aus sich heraus (Siehe Seite "Differential"). Dort werde ich auch noch meckern, da dort der Eindruck erweckt wird, ein Differential wäre etwas "unmathematisches". Differentiale messen (Vgl. Pfaffsche Formen). Ein Differential ist zunächst ein Operator (z.B. D(f) = f'). Hier sollte Klarheit geschaffen werden. Ein Anfänger kann nicht wissen, dass es bei DL_c(t) eigentlich (DL_c)(t) heißt. (nicht signierter Beitrag von 93.130.44.87 (Diskussion) 15:22, 2. Jun. 2015 (CEST))

Definition

Warum wird in der Definition erst der Operator definiert und dann das lineare Funktional? In dem Artikel geht es ja um das Funktional, da sollte der Operator zurückgestellt werden. Außerdem wird nur das lineare Funktional definiert so als gäbe es den nichtlinearen Fall gar nicht, aber später werden entsprechende Beispiele angeführt. --Christian1985 (Diskussion) 14:32, 21. Dez. 2010 (CET)

Literatur

Es gibt sehr viele gute Bücher.

Hirzebruch/Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis, BI, Hochschultaschenbücher, bd. 296, ISBN 3-411-00296-4 (hervorragendes Buch, wie alle von Hirzebruch [lieber Mensch, ich grüße dich])

Pflaumann/Unger: Funktionalanalysis I und II auch BI, Wissenschaftsreihe

Rudin: Functioal Analysis TATA McGRAW-HILL 1973 (hervorragend) ISBN ? 0-07-099558-3

Liebe Grüße

Gert (nicht signierter Beitrag von 77.8.255.147 (Diskussion) 15:38, 2. Jun. 2015 (CEST))

Funktional

Der erste Satz verwirrt mich. Über was ist etwas modelliert?

1. Nicht "Das Funktional" sondern "Ein Funktional"

2. ", über dem der Vektorraum modelliert ist." würde ich an dieser Stelle weglassen, zumal du doch nachher noch einmal auf Funktionenräume eingehst. (Ein Anfänger schmeist hier schon alles weg.)

3. Ein Funktional ist somit eine Funktion auf Funktionen. (würde ich hier weglassen! Ich denke ganz weglassen, da es nicht zur Klärung beiträgt.)

4. Statt "Der mathematische Teilbereich der Funktionalanalysis bekam seinen Namen, da er historisch aus dem Studium solcher Funktionale hervorging." würde ich schreiben "Der mathematische Teilbereich der Funktionalanalysis bekam seinen Namen, da er sich historisch aus dem Studium der Abbildungen auf Funktionenräumen, Vektorräume von Funktionen, hervorging." oder ähnlich! Das nimmt ein wenig den Schock und glättet ein wenig. Wenn "modellieren" mit hinein soll, dann hier. Aber bitte genauer: Was und warum wird modelliert.

Gruß

Gert (nicht signierter Beitrag von 77.8.255.147 (Diskussion) 16:20, 2. Jun. 2015 (CEST))

Ich habe die Einleitung nicht geschrieben, aber ich versuche mich mal an einer Antwort:

Zu deinem ersten Satz: Der Vektorraum ist ein Vektorraum über dem Körper K. Das ist hier gemeint. Ich versuche das mal einfacher zu formulieren.

1. "Ein Funktional" wäre sicher richtig, wenn das Verb "ist" heißen würde. Es lautet aber "bezeichnet". Gemeint ist also wohl, dass das Wort "Funktional" irgendetwas bezeichnet. Also entweder müssen wir den Satz ganz anders formulieren, oder man könnte den Artikel einfach weglassen.

2. siehe oben.

4. In deiner Version verliert der Satz seinen Sinn. Er soll ja erklären, was "Funktional"analysis mit "Funktional" zu tun hat. Wenn man das Wort "Funktional" aber nicht nennt, sondern umschreibt, schlägt die Erklärung fehl. --Digamma (Diskussion) 18:36, 2. Jun. 2015 (CEST)

Anregungen

Ich denke, man sollte den Funktionalbegriff ausdehnen auf den Fall, dass man als Definitionsbereich nur eine Teilmenge oder einen Unterraum betrachtet. Dies ist gerade in der Funktionalanalysis eine häufiger auftretende Situation.

Zudem halte ich auch die Einschränkung auf die Körper $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ für zu eng. Auch in der Algebra und Zahlentheorie (etwa) betrachtet man Funktionale und dort nicht nur die über den reellen bzw. komplexen Zahlen.

--Schojoha (Diskussion) 21:09, 11. Mai 2017 (CEST)

Ich möchte hier noch einmal "nachstochern": Aus Sicht der Linearen Algebra sind alle Linearformen Funktionale, und zwar lineare für beliebige Vektorräume über beliebigen Körpern. Und es gibt ja auch noch die konvexen/konkaven Funktionale, die nicht selten als Zielmenge die erweiterten reellen Zahlen haben.--Schojoha (Diskussion) 21:22, 15. Apr. 2019 (CEST)

Nachtrag: Ich habe nun in diesem Sinne die Einleitung etwas überarbeitet.--Schojoha (Diskussion) 23:13, 15. Apr. 2019 (CEST)

In der linearen Algebra ist mir die Bezeichnung "Funktional" bisher nicht begegnet, nur in der Funktionalanalysis. Über Algebra und Zahlentheorie kann ich allerdings nichts sagen. --Digamma (Diskussion) 10:18, 16. Apr. 2019 (CEST)

@Digamma: Das kann man etwa nachlesen im Bronstein (2001). Und auch bei Gerd Fischer (Lineare Algebra, 5. Auflage, Vieweg 1979, S. 105): <<Jedes $\phi \in V^{*}$ nennt man Linearform (oder lineares Funktional) auf $V$.>>! Und im dortigen Sachregister wird das Stichwort Funktional explizit aufgeführt.

Allerdings ist es auch so, dass in der späteren Auflagen von Fischers LA - etwa in der 15. - man dies so nicht mehr findet. Es erscheint mir möglich, dass in der deutschsprachigen LA-Fachliteratur das Stichwort lineares Funktional inzwischen nicht mehr sonderlich üblich ist.

--Schojoha (Diskussion) 19:02, 18. Apr. 2019 (CEST)

Satz 1 der Einleitung

Als Funktional bezeichnet man in der Mathematik zumeist eine Funktion aus einem Vektorraum {\displaystyle V} in den Körper, der dem Vektorraum zugrunde liegt.

zumeist läßt vermuten, dass es gelegentlich anders ist. Wann ist das? Und was bezeichnet F. dann?

Der 2te Satz hat, der mit "Oft" beginnt weist ebenfalls auf eine Lücke hin. --Hfst (Diskussion) 22:24, 22. Feb. 2019 (CET)