Diskussion:Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Archiv

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[[Diskussion:Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Archiv#Thema 1]]

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Erste Diskussionsbeiträge

Ich Habe den Eindruck, dass die für einen Nichtfachmann zentrale Aussage 'Die Unvollständigkeitssätze sagen dann aus, dass in diesem Modell wahre Sätze existieren, die in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht bewiesen werden können.' (Es gibt in der Arithmetik wahre unbeweisbare Sätze) in den technischen Details untergeht.

Es gibt zwei Gödelsche Unvollständigkeitssätze. Siehe englische Wikipedia. --zeno 18:25, 6. Jul 2003 (CEST)

Ideen zur Ergänzung:

• Theorie erklärt nicht den speziellen Gebrauch im Kontext: eine Theorie hier ist (soll sein) eine deduktiv abgeschlossene Menge von Formeln.
• Deutlicher darauf hinweisen, dass man es mit der Prädikatenlogik Logik erster Stufe zu tun hat (PL1).
• Beispiele für mathematisch sinnvolle unentscheidbare Resultate geben, zB Version des Theorems von Ramsey... siehe englische Version.
• Die Unvollständigkeitssätze vom Vollständigeitssatz abgrenzen.
• Nichtstandardmodelle.
• Minimale Voraussetzungen der Unvollständigkeit beschreiben (Robinson's Arithmetik Q).
• Auf philosophische Mißverständnisse hinweisen.
• Modale Beweislogiken im zshg mit 2. Unvollständidkeitssatz.

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Meiner Ansicht nach sind erhebliche Fehler im Absatz Grundbegriffe. Zuersteinmal steht dort etwas über "allgemein akzeptierte Ableitungsregeln". Das hört sich meiner ansicht nach sehr willkürlich an. In Wahrheit werden die Ableitungsregeln doch gerade so gewählt, dass das Kalkül vollständig ist, dass heißt, dass die Modell-Beziehung mit der Ableitungsbeziehung übereinstimmt, d.h. so dass der Gödelsche Vollständigkeitssatz gilt. Um dann die Beteutung der Worte „Vollständig“ und „Unvollständig“ im Kontext des Unvollständigkeitssatzes einzuführen, ist es Notwendig, den Begriff Modell zumindest auf irgend eine Art und Weise einzuführen, da ja die Modell-Beziehung bezüglich Axiomensystemen immer „vollständig“ ist und nur die Modell-Beziehung bezüglich Modelle dieser Axiomensysteme nicht „vollständig“ ist. (Hierbei ist die unterschiedliche Bedeutung des wortes vollständig zu beachten!) --84.44.158.175 21:57, 27. Jun 2006 (CEST)

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Wäre auch toll, wenn man den Text etwas auflockern könnte und z. B. Unterüberschriften einbauen könnte. Vielleicht auch eine Einleitung für den Laien ("Nicht alles Wahre lässt sich beweisen")? Stern 21:49, 21. Feb 2004 (CET)

Nein, Gödels Unvollständigkeitssatz sagt:

∀ formale Arithmetik P: ∃ wahre Aussage G: G ist in P unentscheidbar

das ist nicht dasselbe wie

∃ wahre Aussage G: ∀ formale Arithmetik P: G ist in P unentscheidbar

d.h. „jede formale Arithmetik ist unvollständig“, aber nicht „Es gibt arithmetische Wahrheiten, die sich in keiner Arithmetik beweisen lassen“. Auch würde eine solche Formulierung missverstanden werden als Behauptung: Es gibt andere und mächtigere Wege, arithmetische Wahrheiten zu erkennen als die Arithmetik – eine außermathematische Interpretation des Beweises von Gödel, die ich so bestreiten würde.

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Ich hab mal versucht, den Satz in einer etwas allgemeinverständlicheren Form darzustellen und in einen historischen Kontext zu stellen (Hilberts Programm). Meines Erachtens kommt es wesentlich darauf an, dass man das System auch nicht einfach erweitern kann. Bei solchen Formulierungen muss man immer sehr vorsichtig sein, da Wortbedeutungen ja vielschichtig sind und man sehr leicht falsche Assoziationen weckt. Daber bitte eventuell kritisch prüfen Hubi 08:13, 24. Mär 2004 (CET)

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jeder Satz erhält eine eigene Nummer. Er konstruiert dann eine Aussage der Form: "Der Satz mit der Nummer 1 ist nicht beweisbar". Die Abzählung wird dann so definiert, dass dieser Satz die Nummer 1 erhält. Insgesamt erhält er einen Satz der Form "Ich bin nicht beweisbar".

Ähem! Man konstruiert eine Aussage mit einer freien Variablen und setzt dann für diese Variable genau die Aussage selbst ein. Daher "x". Du versuchst die Abzählung so zu definieren, dass "Nummer 1" eine Variable ist... -- Fuzzy 23:36, 28. Mai 2004 (CEST)

Hmm, eigentlich geht es doch darum, an die Variable x einen bestimmten Wert zu binden. Und zwar ist dieser Wert die Nummer der Aussage selbst. Alle anderen möglichen Belegungen von x interessieren uns in dem Fall nicht. Wenn man die Variable bindet, erzeugt man eigentlich eine neue Aussage, einen neuen Satz. Ich habe als Wert halt einfach 1 gewählt, es ist aber völlig egal. Der springende Punkt ist doch der dass wir eine Aussage der Form "Ich bin nicht beweisbar", also den Selbstbezug, konstruieren. Wozu da noch die freie Variable? Verkompliziert den Fall doch nur unnötig. Oder sehe ich da etwas falsch? -- Dishayloo 01:47, 29. Mai 2004 (CEST)

Ja - versuch doch mal, den Beweis so durchzuführen. --Fuzzy 03:33, 29. Mai 2004 (CEST)

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Diskussion aus dem Review

• Nachdem der mal vor einiger Zeit auf der Kandidatenliste gescheitert stelle ich den Artikel hier ein, denn ich denke er hat Potential! Damaliges Problem war wohl die Unverständlichkeit. [1] -- Dishayloo [ +] 18:54, 29. Jul 2004 (CEST)
• Die Unvollständigkeitssätze sagen dann aus, dass in diesem Modell wahre Sätze existieren, die in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht bewiesen werden können. - Ich denke mal, dass es "formuliert" statt "bewiesen" heißen müsste. --zeno 15:43, 30. Jul 2004 (CEST)
  • Nein, sie können ja formuliert werden, sind aber weder beweis- noch wiederlegbar. Konkret gab ja Gödel als Beweis eine Konstruktionsvorschrift zur Erzeugung solcher Sätze an. -- Dishayloo [ +] 15:47, 30. Jul 2004 (CEST)
• Sorry, habe mal wieder PL1 und Aussagenlogik verwechselt ... --zeno 12:55, 31. Jul 2004 (CEST)
• Der letzte Absatz "Interessantes" sollte m. E. eher am Anfang des Artikels stehen, immerhin erläutert er Sinn und Zweck der Übung. Unter "Interessantes" könnte stattdessen etwas expliziter auf "Gödel, Escher, Bach" verwiesen werden, in der Literaturliste ist er doch etwas versteckt. Nur son Vorschlag,--Janneman 21:13, 6. Aug 2004 (CEST)

Ich habe den Abschnitt nicht nach oben verschoben, da er schon einiges aus den vorhergehenden Teilen vorraussetzt und auch teilweise nicht so relevant ist. Ich habe aber oben noch einen Satz eingefügt, der ein bisschen besser die Zielrichtung des Artikels erläutert. Den Hinweis auf das Buch habe ich eingebaut. -- Dishayloo [ +] 01:15, 7. Aug 2004 (CEST)

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Verständnisfrage

Hier ein Auszug aus dem Text:

"Besagt" der Ausdruck Bew(x) also, dass x beweisbar ist, und ist zum Beispiel 12345 die Gödelnummer von Bew(x), so ist ¬Bew(12345) eine unbeweisbare Aussage. Diese Aussage besagt dann nämlich: Die Formel mit der Gödelnummer 12345 ist nicht beweisbar. 12345 ist aber die Gödelnummer von Bew(x). Also sagt ¬Bew(12345): Ich bin nicht beweisbar. Wenn PA korrekt ist, so ist dieser Satz wahr, aber nicht beweisbar.

Ich verstehe nicht den Schluß, daß ¬Bew(12345) bedeuten soll: Ich bin nicht beweisbar. Die Aussage ist doch: der Satz mit der Nummer 12345 ist nicht beweisbar - und das ist doch Bew(x). Wenn ich ein Satz haben möchte der aussagt: Ich bin nicht beweisbar, muss doch die Gödelisierung für diesen Ausdruck gerade die Identität sein, also ¬Bew(y) = y. Erst dann spricht der Satz doch wirklich über sich selbst, oder nicht ????

wäre echt dankbar wenn mir jemand meinen Denkfehler erklären kann

Christian Köhler

Hast völlig recht. Erstens sagt 'Bew(x)' gar nichts, weil es noch eine freie Variable enthält und folglich gar keine Aussage ist, zweitens müsste es natürlich heißen "angenommen, 12345 wäre die Gödelnummer von ¬Bew(12345), dann ist ¬Bew(12345) eine nicht beweisbare Aussage" usw. 88.73.250.239 23:15, 1. Dez. 2006 (CET)

Antwort: Im formalen System selbst lässt sich kein ¬Bew(y)=y zeigen, schon weil metamathematische Aussagen über „Sätze“ nicht unbedingt im formalen System ausgedrückt werden können; eine Formel hat kein „Ich“, auf das sie sich beziehen kann, sondern bezieht sich auf arithmetische Eigenschaften von Zahlen.

In der Metamathematik, also auf der Ebene, auf der Gödels Beweis geführt wird, und die (allein mangels Notwendigkeit) nicht so weit formalisiert wird, lässt sich aber zeigen: ¬Bew(y) ⇔ Formel Nr. y ist nicht beweisbar.

Also „besagt“ die Formel nicht direkt etwas über sich selbst, aber das wir diese Äquivalenz metamathematisch zeigen konnten, können wir metamathematisch sagen: Die Formel ist Äquivalent zu einer Aussage über die Formel.

Siehe auch meine Skizze unten. --136.199.8.128 17:39, 26. Jul 2005 (CEST)

Vielleicht hat meine Verständnisfrage etwas damit zu tun

Im Artikel heißt es:

• Gödels Argumentation läuft auf eine Abzählung aller Sätze innerhalb des formalen Systems hinaus, jeder Satz erhält eine eigene Nummer. Er konstruiert dann eine Aussage der Form: "Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" und setzt für x die Nummer dieser Aussage ein. Insgesamt erhält er einen Satz der Form "Ich bin nicht beweisbar".

Was ich nicht verstehe:

"Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" ist doch eigentlich keine Aussage, sondern eine Aussageform; mit anderen Worten, es ist eine Funktion, die jedem Wert x', den x annehmen könnte, eine Aussage über diesen Wert x' zuordnet. Aus dem Satz "Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" wird also erst eine Aussage, wenn man für x einen bestimmten Wert einsetzt, oder wenn man etwas davor schreibt wie "Für alle x gilt:" oder "Es gibt ein x, für das gilt:".

Meine erste Verständnisfrage lautet: Soll die "Abzählung aller Sätze", von der in meinem Zitat die Rede ist, nur Aussagen enthalten oder auch Aussageformen?

Antwort: Alle Sätze, Aussageformen, Formeln und auch alle nichtwohlgeformten Zeichenketten werden nummeriert. Gödel nummeriert im Zuge seines Beweises außerdem Ableitungen (also Folgen von Sätzen) und Klassenzeichen (das sind Aussageformen mit genau einer freien Variablen).

Im ersten Fall, wenn nur Aussagen enthalten sind und keine Aussageformen, würde "Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" nicht vorkommen und hätte folglich keine Nummer.

Im zweiten Fall jedoch, wenn eine Aussageform "Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" vorkommt und auch eine Nummer hat, würde dadurch, dass man diese Nummer einsetzt, etwas völlig anderes daraus, nämlich eine Aussage über diese spezielle Nummer; eine Aussage, die wiederum eine Nummer hätte, die aber m. E. nicht mit der Nummer der ursprünglichen Aussageform übereinstimmen könnte. So käme jedenfalls kein Satz heraus, der sich auf sich selbst bezieht.

Auch wenn man davon ausgeht, dass es in der Aufzählung für jedes x einen Satz gibt, der "Der Satz mit der Nummer x ist nicht beweisbar" lautet, sehe ich nicht, warum einer dieser Sätze die Nummer x haben sollte.

Habe ich vielleicht irgendetwas missverstanden? 29.6.2005 Irene1949

Antwort: Das „Einsetzen“ ist im System repräsentierbar; man konstruiert also ein Klassenzeichen (eine Aussageform mit genau einer freien Variablen) $S(n)$, das *äquivalent* ist zu „das Klassenzeichen Nr. n ist, wenn man n einsetzt, nicht beweisbar.“ In dieses S(n) – und nicht in ¬Bew(x) – wird nun eingesetzt.

Diese *Äquivalenz* besteht aber nicht mehr im untersuchten formalen System selbst, sondern lässt sich „nur“ außerhalb, metamathematisch zeigen.

Vielleicht hilft auch die folgende Skizze:

Skizze von Gödels Beweis

1. Nicht nur die Sätze sind durchnummeriert, sondern alle Wörter des formalen Systems (sogar solche, die keine Aussagen darstellen, sondern nur Aussageformen, arithmetische Ausdrücke und völlig unsinnige Zeichenketten) und damit auch die Aussageformen. (Die Aufzählung, die Gödel angegeben hat, ist im Artikel Gödel-Isomorphismus als 2. Beispiel beschrieben.)
2. Eine (primitiv-rekursive) Aussageform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} des Systems mit genau einer freien Variablen nennt Gödel „Klassenzeichen“ (weil es eine Klasse von Zahlen definiert: Die Klasse aller Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(n)} gilt). Alle primitiv-rekursiven Klassenzeichen sind in den untersuchten Systemen, da sie die Arithmetik beinhalten, repräsentierbar. (Ich bin fast, aber nicht völlig sicher, ob ich hier primitiv-rekursiv schreiben darf; Gödel hat diesen Begriff nicht benutzt, weil er ihn noch nicht kannte.)
3. Die primitiv-rekursiven Klassenzeichen des Systems seien selbst wieder durchnummeriert, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_n} bezeichne das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Klassenzeichen dieser Nummerierung.
4. Die „Beweisbarkeit“, d.h. Ableitbarkeit einer Formel mit der Gödelnummer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} entspricht einem im System ausdrückbaren Klassenzeichen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Bew(n)} . Die Gödelnummerierung ist ebenfalls im System repräsentierbar; das rechtfertigt folgende Vereinbarung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [R_n;\,m]} sei die Formel, die sich ergibt, wenn im Klassenzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_n} für die freie Variable das Zahlzeichen der Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} eingesetzt wird.
5. Nun gibt es ein Klassenzeichen $S$, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(n) \equiv \neg Bew([R_n;\,n])} (≡ logische Äquivalenz im System) (Entspricht in Worten der Definition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(n)} ⇔ es ist nicht beweisbar, dass das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Klassenzeichen, wenn für die freie Variable wiederum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eingesetzt wird, gilt.)
6. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ein Klassenzeichen ist, gibt es ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R_{q}=S} .
7. Nun setzen wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q} ein und erhalten eine Formel, die wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [R_q;\,q]} angeben. (Entspricht in Worten: es ist nicht beweisbar, dass das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} -te Klassenzeichen, wenn für die freie Variable wiederum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} eingesetzt wird, gilt; also: die Aussage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} gilt ⇔ die Aussage $R_{q}(q)$ ist nicht beweisbar. Daher kommt die Interpretation „Ich bin nicht beweisbar“).
8. Ist nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} ableitbar? Falls ja, wäre auch das logisch äquivalente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(q) \equiv \neg Bew([R_q;\,q])} ableitbar, das besagt: Es ist nicht beweisbar, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} gilt. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} widerlegbar? Falls ja, würde gelten: $\neg Bew([R_{q};\,q])\equiv S(q)\equiv R_{q}(q)$ und damit würde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} gleichzeitig beweisbar und widerlegbar sein. Beides w[rde bedeutet einen Widerspruch im formalen System bedeuten.

Es wird also in ein Klassenzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q} – wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(n)} wahr ist gdw. die Aussage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_n(n)} unbeweisbar ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} eingesetzt und gezeigt, dass, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_q(q)} im System entscheidbar ist, das System widersprüchlich ist.

Dabei muss man beachten, dass Teile dieses Beweises „metamathematisch“ sind, das heißt im System nicht ausdrückbar sind: Zum Beispiel ist „$S(n)$ ⇔ es ist nicht beweisbar, dass das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Klassenzeichen, wenn für die freie Variable wiederum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eingesetzt wird, gilt“ ein Satz der Metamathematik. Auch die Äquivalenz zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Bew(x)} und „Die Formel Nr. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist beweisbar“ ist eine metamathematische. Die Trennung dieser Ebenen – formales System einerseits, Metamathematik andererseits – wird oft zurecht betont; vielleicht sollten wir das im Artikel auch stärker betonen?

(Quelle: Die einleitende Zusammenfassung Gödels in seinem Aufsatz Über formal unentscheidbare Sätze... (1931))

--136.199.8.128 17:39, 26. Jul 2005 (CEST)

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Lesenswerte-diskussion

 Pro Antifaschist 666 00:43, 17. Okt 2005 (CEST)

• Contra --Elian Φ 02:52, 21. Okt 2005 (CEST)
• Datei:Symbol oppose vote.svg Kontra--Sentry 23:15, 21. Okt 2005 (CEST)
• Datei:Symbol oppose vote.svg Kontra Wird sind hier zwar nicht bei den exzellenten, aber der Artikel verscheucht die gute alte Oma ja schon in der Einleitung. Hier Gödel selbst zu zitieren ist definitiv nicht förderlich für den Leser. Außerdem erscheint mir die Gliederung etwas komisch. Die Grundbegriffe würde ich nicht extern abhandeln, sondern an der Stelle wo sie gebraucht werden in den Text einbauen. Und auch wenn ich es nicht genauer spezifizieren kann: Der Text liest sich dafür dass er lesenswert sein sollte recht holprig... Regnaron 23:11, 24. Okt 2005 (CEST)

Vollständigkeit

Der Begriff Vollständigkeit so wie er im Abschnitt Grundbegriffe gebraucht wird entspricht nicht der Bedeutung der Vollständigkeit im Rahmen des Unvollständigkeitssatzes (Negationsvollständig), sondern dem Vollständigkeitsbegriff wie er im Vollständigkeitssatz verwendet wird. Dies ist Grundsätzlich nichts falsches aber gehört nicht auf diese Seite - sondern auf die des Vollständigkeitssatzes!

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 21:28, 21. Apr. 2013 (CEST)

Rechtschreibung: „Gödelscher Unvollständigkeitssatz“ oder „gödelscher Unvollständigkeitssatz“?

Soeben habe ich festgestellt, dass jemand die Bezeichnung „Gödelscher Unvollständigkeitssatz“ umgeändert hat in „gödelscher Unvollständigkeitssatz“. Als Begründung wurde eine Regel aus dem DUDEN angeführt.

Das mag ja so im DUDEN stehen, aber ob es in diesem Fall sinnvoll ist, das ist eine zweite Frage. Meiner Auffassung wird „Gödelscher Unvollständigkeitssatz“ dort, wo man davon spricht, als Eigenname für einen bestimmten Satz gebraucht; weshalb „Gödelscher“ m. E. großgeschrieben werden sollte. Der DUDEN kann nicht alle zusammengesetzten Begriffe kennen, die in bestimmten Fachgebieten üblich geworden sind.

Was meint ihr? -- Irene1949 12:39, 19. Mär 2006 (CET)

Du hast die Wahl: Entweder schreibst du „Gödel'scher Unvollständigkeitssatz“ oder „gödelscher Unvollständigkeitssatz“. Das Apostroph macht den Unterschied. Siehe auch die amtliche Regelung Deutsche Rechtschreibung: Regeln und Wörterverzeichnis, § 62: „Kleingeschrieben werden adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph verdeutlicht wird, ferner alle adjektivischen Ableitungen mit anderen Suffixen.“ (Seite 66). --jpp ?! 17:56, 19. Mär 2006 (CET)

Zufällig stolpere ich jetzt doch noch über diese Frage. Damit ist wohl meine Änderung gemeint, allerdings habe ich nicht den Artikel auf neue Rechtschreibung umgestellt, sondern diese Änderung von jemand anderem rückgängig gemacht: Ich habe keine besondere Präferenz für die eine oder andere Schreibweise, aber ich finde, man muss nicht noch 2006 die neue und seit zehn Jahren geltende Schreibung aktiv auf die alte und nicht mehr korrekte ändern.

Das offizielle Regelwerk ist jedenfalls eindeutig, siehe z.B. diesen Link.

Viele Grüße, --GottschallCh 08:35, 21. Mär 2006 (CET)

Wir sind nicht verpflichtet, alles so zu machen, wie es im Duden steht. Nach Angaben von Pill tun die deutschsprachigen Presseagenturen das ja auch nicht.

Und auch in Wikipedia richtet man sich nicht immer nach dem Duden. Für biblische Namen gibt es beispielsweise die Regel: „Für Eigennamen in der Bibel erwähnter Personen, Bücher, Landschaften etc. verwendet die Wikipedia das Ökumenische Verzeichnis der biblischen Eigennamen nach den Loccumer Richtlinien (ÖVBE).“ (Wikipedia:Namensgebung biblische Namen).

Dabei wäre es viel sinnvoller, sich bei der Schreibung biblischer Namen nach dem Duden zu richten, weil der Duden sich dabei nach dem allgemeinen Sprachgebrauch richtet. Während der Duden sich mit der Forderung, das „Ohmsche/ohmsche Gesetz“ (und entsprechend wohl den Gödelschen/gödelschen Unvollständigkeitssatz) mit kleinen Anfangsbuchstaben oder mit Apostroph zu schreiben, in Gegensatz zum allgemeinen Sprachgebrauch setzt.

Eindeutig ist die Duden’sche Regelung übrigens nicht: „Großgeschrieben wird auch, wenn die Fügung als Ganzes ein Eigenname ist (vgl. R 56). die Meyersche Verlagsbuchhandlung; der Halleysche Komet“ (Duden, 21. Auflage, auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibregeln, R 94) So wenig der Halleysche Komet ein Eigentum des Herrn Halley ist, so wenig ist der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ein Eigentum des Herrn Gödel; Herr Gödel ist, ebenso wie Herr Halley, nur der Entdecker. Der „Gödelsche Unvollständigkeitssatz“ bezeichnet nicht einen bestimmten Satz, den Herr Gödel mal in einer bestimmten Formulierung zu Papier gebracht hat – vielmehr bezeichnet er eine bestimmte Erkenntnis, die heute vielfach ganz anders formuliert wird. Für den Satz gilt etwas anderes als für die Formulierung: Die gödelsche Formulierung des bekannten Satzes hat sich nicht in der gleichen Weise verselbstständigt, und da sähe ich keinen Grund, „gödelsche“ großzuschreiben. -- Irene1949 15:38, 21. Mär 2006 (CET)

Die Unterscheidung zwischen einer gödelschen Formulierung und dem gödelschen Unvollständigkeitssatz ist das Entscheidungskriterium der alten Rechtschreibung. Die neue Rechtschreibung lässt dieses Kriterium weg und sieht durchgängig Kleinschreibung vor, außer es handelt sich um Eigennamen (die auch bisher groß geschrieben wurden); will man den Namen besonders hervorheben, darf man das ohnedies durch Großschreibung plus Apostroph ("eine Gödel'sche Formulierung").

Den Hinweis aufs Eigentum kann ich nicht so recht interpretieren, denn Eigennamen haben ja nichts mit Eigentum zu tun, sondern benennen eine natürliche oder juristische Person ("Gödelsche Verlagsbuchhandlung"), einen (geographischen) Ort im weitesten Sinn ("Gödelscher Komet") oder ein Werk ("Faust II"). "Halleyscher Komet" ist der Eigenname eines Himmelskörpers, "Gödelsche Satzverwertungsgesellschaft" ein Firmenname, und schließlich könnte es sogar ein Buch des Titels "Gödelscher Unvollständigkeitssatz" geben, das den gödelschen Unvollständigkeitssatz behandeln würde. Dass ein Sprachausdruck genau einen Gegenstand benennt, macht ihn aber nicht zum Eigennamen im grammatikalischen Sinn, sonst müsste man z.B. auch "Gegenwärtige Bundeskanzlerin Deutschlands" schreiben. Ich finde die vom Duden gebrachten Beispiele "Halleyscher Komet" versus "ohmsches Gesetz" ohnedies recht illustrativ. Wenn es aber der gödelsche Unvollständigkeitssatz in Person sein soll, dann habe ich hier nur den "Brockhaus in Text und Bild 2006", darin ist "gšödelscher UnvollstŠndigkeitssatz" ein Lemma. Viele Grüße, --GottschallCh 03:38, 23. Mär 2006 (CET)

Nach den Empfehlungen des Rats für deutsche Rechtschreibung, S. 17, soll man Verbindungen wie "das Schwarze Brett" wieder großschreiben dürfen. Es wäre sinnvoll, diese Regelung auch auf das Ohmsche Gesetz und den Gödelschen Unvollständigkeitssatz auszudehnen.

Normalerweise bin ich ja ein Fan der neuen Rechtschreibung, aber in ein paar Einzelheiten sind die Regelungen der alten Rechtschreibung entschieden vorzuziehen. Viele Grüße -- Irene1949 19:06, 23. Mär 2006 (CET)

Die Preisfrage lautet also: Ist der Gödel'sche Satz ein Eigenname? Da ich ihn im Studium ohnehin eher als „Satz von Gödel“ kennengelernt habe, denke ich, dass er kein Eigenname ist. --jpp ?! 08:43, 24. Mär 2006 (CET) PS: Vielleicht sollten wir den Artikel in „Unvollständigkeitssatz von Gödel“ umbenennen um diesen fruchtlosen Disput zu beenden? ;-)

Nee, bitte nicht umbenennen. Es gibt Dutzende von Links auf den Artikel.

Wir können den Disput auch einfach so beenden. -- Irene1949 15:05, 24. Mär 2006 (CET)

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Frage

Hat der Gödelsche Unvollständigkeitssatz Relevanz für die Kantsche Philosophie? (Widerlegung/Bestätigung); Ich beziehe mich auf "Kritik der reinen Vernunft"

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Viel wichtiger ist doch der Unverständlichkeitssatz!

Wie? Ihr kennt ihn nicht, denn Knödelschen Unverständlichkeitssatz? --Wutzofant (✉✍) 13:29, 26. Jun 2006 (CEST)

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begriff der mächtigkeit

im artikel wird der begriff "mächtigkeit" zweideutig verwendet: einmal soll er wohl ausdrucksstärke einer sprache, ein ander mal im sinne von kardinalität bedeuten.

Genau. Im Sinne von Kardinalität wird der Begriff hier nur an einer Stelle verwendet, beim Satz von Löwenheim-Skolem. Ich habe deshalb in der Einführung den Link von "Mächtigkeit" auf "Mächtigkeit (Mathematik)" entfernt.

Vielleicht fällt ja jemandem eine bessere Formulierung bzw. ein anderes Wort statt "Mächtigkeit" ein. Wenn ich mich nicht täusche, dann geht es nicht nur um die Ausdrucksstärke der Sprache, sondern auch darum, dass, wenn man das Beweisen geeignet kodiert, genügend Sätze über das Beweisen aus der Theorie ableitbar sind. Oder ist das in "Ausdrucksstärke" schon enthalten?--Digamma 20:44, 14. Dez. 2006 (CET)

Ich zitiere aus dem Artikel: "Besagt" der Ausdruck B(x) also, dass x ableitbar ist, und ist zum Beispiel 12345 die Gödelnummer von B(x), so ist ¬B(12345) eine nicht ableitbare Aussage. Diese Aussage besagt dann nämlich: Die Formel mit der Gödelnummer 12345 ist nicht ableitbar. 12345 ist aber die Gödelnummer von B(x). Also sagt ¬B(12345): Ich bin nicht ableitbar. Wenn PA korrekt ist, so ist dieser Satz wahr (in PA), aber nicht ableitbar.

Verzeihung, aber so funktioniert das doch nicht! Damit „¬B(12345)“ der Aussage entspräche „Ich bin nicht ableitbar“, müsste „12345“ doch die Gödelzahl von „¬B(12345)“ sein, und nicht die Gödelzahl von B(x)! 195.23.188.181 19:09, 6. Mär. 2007 (CET)egibiedermann

Das sehe ich genauso. Im zitierten Artikelteil wird ja die Diagonalisierung d(x) gar nicht verwendet, und die ist doch der Clou des Beweises. So müsste es stimmen:

"Besagt" der Ausdruck B(x) also, dass die Formel mit der Gödelnummer d(x) nicht ableitbar ist, und ist zum Beispiel 12345 die Gödelnummer von B(x), so ist B(12345) eine nicht ableitbare Aussage. Diese Aussage besagt dann nämlich: Die Formel mit der Gödelnummer d(12345) ist nicht ableitbar. 12345 ist aber die Gödelnummer von B(x), also d(12345) die Gödelnummer von B(12345). Also sagt B(12345): Ich bin nicht ableitbar. --Usc 21:32, 2. Nov. 2007 (CET)

In der deutschen Übersetzung von Hofstadters Metamagikum wird der Begriff leistungsstark statt mächtig verwendet. Ich halte das für eine gute Wortwahl, weil die Verwechslung mit Kardinalität damit ausgeschlossen ist, und habe im Artikel entsprechend geändert. --Mussklprozz (Diskussion) 21:15, 15. Mär. 2012 (CET)

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Einleitung

Ich habe versucht, aus dem ersten Abschnitt so etwas wie eine Einleitung zu machen. Das Zitat darüber, daß sich jede Antinomie verwenden ließe, paßte weder dorthin noch sonstwo im aktuellen Artikel. Die "Diagonalisierung" interessiert in der Einleitung nicht und ist daher in den Beweis verschoben. Ob allerdings der Link auf Cantors zweites Digonalargument überhaupt hilfreich ist, wage ich zu bezweifeln.--Pangloss Diskussion 15:42, 29. Dez. 2007 (CET)

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Satz stimmt so nicht

Die Formulierungen der beiden Sätze sind so nicht ganz korrekt. Es stimmt nicht, dass es keine vollständigen Formalen Systeme gibt, beispielsweise ist ja für jedes Modell N die Theorie Th(N) vollständig (oder auch Vervollständigungen über die Aufzählung von Sätzen). Der Satz gilt nur unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft "Beweis sein" entscheidbar ist, nur dann lassen sich nämlich die Diagonalsätze überhaupt formulieren. --160.45.44.237 10:22, 17. Mär. 2008 (CET)

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Fehler im Abschnitt "Genauere Formulierung"

Momentan steht

Viel Verwirrung entsteht aus dem Zusammenhang der Gödelschen Unvollständigkeitssätze mit dem Gödelschen Vollständigkeitssatz. Der Gödelsche Vollständigkeitssatz besagt, dass in der Prädikatenlogik erster Stufe (PL1) alle ableitbaren Sätze wahr, und umgekehrt alle wahren Sätze ableitbar sind, und damit, dass Syntax und Semantik für die PL1 zusammenfallen.

Im Gegensatz dazu wird in den Unvollständigkeitssätzen bereits ein Modell betrachtet, die Struktur der natürlichen Zahlen, die Peano-Arithmetik. Die Unvollständigkeitssätze sagen dann aus, dass in diesem Modell wahre Sätze existieren, die in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht abgeleitet werden können. Da sie wahr sind in PA, zeigt dies auch, dass die Peano-Arithmetik nicht in PL1 (bis auf Isomorphie) formalisiert werden kann.

Hier haben sich gleich zwei Fehler eingeschlichen.

1. Der Volltändigkeitssatz besagt nicht, dass "wahr => ableitbar", sondern "semantisch ableitbar => syntaktisch ableitbar", d.h. wenn in jedem Modell einer Formelmenge S eine eine Formel F auch gilt, dann findet man einen Beweis von F aus S. Eine wahre Aussage muss dagegen nicht ableitbar sein, dass ist gerade eine Konsequenz des Unvollständigkeitssatzes.

2. Die Peano-Arithmetik (vielleicht sollte man hier sowieso einen anderen Namen wählen, da "Peano-Arithmetik" schon für ein bestimmtes formales Sytem in first order logic belegt ist und damit per definitionem formalisierbar ist, siehe [[2]]) ist durchaus in der Prädikatenlogik erster Stufe formalisierbar, man nimmt einfach die Menge aller Formeln, für die die natürlichen Zahlen ein Modell sind. Was man dabei aber verliert ist die Entscheidbarkeit der Formelmenge, die eben auch wichtig ist und in der Formulierung des Unvollständigkeitssatzes immer wieder vergessen wird.

Des weiteren habe ich die Formulierung PL1 noch nie gesehen, wird die wirkliche gebraucht?

--Godfatherofpolka 09:41, 7. Mai 2008 (CEST)

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Fehlende Quellenangabe "Für jedes hinreichend mächtige..."

"Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig." dem beschreibungstext nach kommt das zitat wohl aus dem 1931 erschienenen aufsatz: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I"

hier als volltext zu lesen: http://www.springerlink.com/content/p03501kn35215860

kann darin aber nirgends den zitierten satz finden. wo kommt er her? hat gödel ihn überhaupt mal so geschrieben?

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Unentscheidbarkeit

Im Artikel kommt der Begriff "entscheidbar " in zwei verschiedenen Bedeutungen vor. Problematisch. Siehe auch Diskussion:Kurt Gödel. --AlfonsGeser 22:44, 12. Jun. 2008 (CEST)

Bezugnehmend auf die folgenden Sätze im Abschnitt 'Genauere Formulierung'

       „Paul Cohen bewies ..., dass  ... die Kontinuumshypothese  ... formal unentscheidbar ... . 
        Er fand damit die ersten Beispiele mathematisch bedeutsamer unentscheidbarer Sätze,
        deren Existenz Gödel bewiesen hatte.“ 

würde ich gern wissen, wie man folgendem Einwand begegnet:

        Die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese (bezüglich der ZF-Axiome) wird (nicht nur) hier
        als das Beispiel für den 1. Unvollständigkeitssatz (UVS) gepriesen. 	
        Aber nur, wenn die Kontinuumshypothese nicht nur unentscheidbar, sondern auch wahr wäre, 
        wenn also die Kontinuumshypothese eine These wäre, (davon kann aber wohl keine Rede sein),
        dann erst läge ein Beispiel für den UVS vor; 
        dann hätten wir den spektakulären Fall der Unvollständigkeit (im Sinne des UVS) einer Theorie, 	
        in der (wie es das primäre Resultat von Gödels Beweis sagt) 
        nicht alle wahren Sätze bewiesen werden können. 
        Nur unentscheidbare Aussagen zu finden, ist kein Problem; davon gibt es unendlich viele.

        Es gilt zwar:  wahr und nicht beweisbar   impliziert unentscheidbar.
               Für eine Aussage A 
               und mit der auch in Gödels Beweis verwendeten Beziehung    beweisbar(A) impliziert A 
               gilt    [ A und  nicht beweisbar(A) ] impliziert unentscheidbar(A)  
        Aber der Umkehrschluß gilt i.allg. nicht!

                                                                    -- Jürgen Gruel 13:39, 5. Jul. 2008 (CEST)

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Klassifikation der unbeweisbaren Sätze

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist sehr allgemein. Die Frage ist, ob man überhaupt beweisen kann, daß ein konkreter Satz unbeweisbar ist. Oder beißt sich hier die Katze in den Schwanz? Betrachten wir das leidige Beispiel Riemannsche Vermutung. Einige (wenige) Mathematiker sind der Meinung, daß diese sich nicht beweisen läßt. Aber beweisen können sie das nicht! Vielleicht ist ja der Satz "die RV ist unbeweisbar" nicht beweisbar.

Andererseits stellt sich die Frage welche Elemente der Mathematik man nehmen muß, um überhaupt in Gebiete von möglicherweise unbeweisbaren Sätzen zu kommen? Gibt es denn in der Zahlentheorie und der Cauchyschen Funktionentheorie über komplexen Zahlen überhaupt unbeweisbare Sätze? Ein naheliegendes Beispiel ist vielleicht das Collatz-Problem. Hier geht es aber schon um Existenzfragen ob bei jeder Startzahl nach endlich vielen Schritten die 1 erreicht wird. --Skraemer 17:48, 5. Jul. 2009 (CEST)

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