Diskussion:Gödelscher Unvollständigkeitssatz

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konstruktive Mathematik?

Im Artikel steht folgendes:

Übrigens konnte Gerhard Gentzen zeigen, dass eine konstruktive Mathematik und Logik durchaus widerspruchsfrei ist. Hier zeigt sich ein Grundlagenstreit der Mathematik. Der Philosoph Paul Lorenzen hat eine widerspruchsfreie Logik und Mathematik erarbeitet (Methodischer Konstruktivismus), und sein Buch Metamathematik (1962) eigens geschrieben, um zu zeigen, dass der Gödelsche Unvollständigkeitssatz keinen Einwand gegen einen widerspruchsfreien Aufbau der Mathematik darstellt.

Also, soweit ich das verstehe, steht das in keinem Widerspruch zum Unvollständigkeitssatz - auch die "normale" Arithmetik ist Widerspruchsfrei - nur ist sie eben nicht vollständig. Auch gibt es Systeme, die vollständig und widerspruchsfrei sind (z.B. die Aussagenlogik) - nur sind diese weniger mächtig als die Arithmetik (bzw. eine Turingmaschine). Interessant wäre doch zu erfahren, ob Gentzen ein System gefunden hat, dass a) widerspruchsfrei, b) vollständig und c) die Arithmetik abbilden kann - das stünde im Widerspruch zu Gödelschen Unvollständigkeitssatz.

In konstruktive Mathematik steht:

Formal betrachtet handelt es sich um ein axiomatisches System, das weniger expressiv ist als die Mathematik.

Scheint mir also mit dem Unvollständigkeitssatz kompatibel zu sein. Kennt sich damit jemand aus? Der entsprechende Absatz sollte entweder ausgebaut und erläutert werden, oder aber entfernt - so ist er nur irreführend. -- D. Dÿsentrieb ⇌ 23:34, 21. Aug 2005 (CEST)

Das obige Zitat ist m.E. in der Tat in den Artikel nicht eingebunden und widerspricht oberflächlich dem Unvollständigkeitssatz. Ich vermute, dass kein Widerspruch besteht, da die konstruktive Mathematik in ihrem Anwendungsbereich "beschränkt(er)" sein dürfte.

Auch im Artikel Metamathematik erscheint mir eine neutralere Einordnung der Verdienste von Gentzen sinnvoll.

--Hans-Jürgen Streicher 22:58, 29. Aug. 2010 (CEST)

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz wurde im Rahmen eines bestimmten Typs von Formalismus formuliert. Es gibt davon aber laut Esslers Grundzüge der Logik Band II wenigstens drei. Der Satz besagt nicht, dass es keine vollständige und widerspruchsfreie Mathematik geben kann, er besagt nur, dass in solchen Logiktypen der Versuch, mithilfe der selben Zeichen, die die Axiome definieren, die Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit des ganzen Systems zu beweisen, an einem selbstreferentiellen Widerspruch, der formal konstruierbar ist (und in der PM eben nicht so formulierbar wäre), scheitern muss. Es handelte sich hierbei auch um einen Beweis mit finiten Methoden, was eine weitere Einschränkung bedeutet. Mittlerweile wurde auch der Versuch mit transfinitien Methoden eingehend thematisiert, aber in dem Artikel finde ich das alles nicht adäquat wiedergegeben, sondern vielmehr populärwissenschaftliche Auffassungen, die zu wilden Spekulationen einladen a la "Die Logik und das Universum haben eine Gagaseite". Kann ja sein, aber dafür sollte man doch bitte keine Sätze fälschen. -- ClydefrogL 12:01, 10. Feb. 2012 (CET)

Abschnitt Satz: "entweder" widersprüchlich oder unvollständig - das ist doch falsch !?

Im Artikel steht unter Grundbegriffe: "Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig."

Das "entweder" ist hier doch falsch !? Es ist zwar richtig, dass ein hinreichend mächtiges System nicht zugleich vollständig und widerspruchsfrei sein kann, ABER: Ein hinreichend mächtiges System könnte doch zugleich widersprüchlich und unvollständig sein? (einfach weil ein widerprüchliches System potentiell jede Eigenschaft haben kann).

Ist es nicht besser stattdessen im Artikel die beiden Unvollständigkeitssätze aufzuführen:

1. Unvollständigkeitssatz Jedes hinreichend mächtige (und widerspruchsfreie) System ist unvollständig. 2. Unvollständigkeitssatz Kann aus einem System dessen Widerspruchsfreiheit abgeleitet werden, so ist es widersprüchlich. --GG1958 21:46, 24. Jan. 2010 (CET)

Jedes widersprüchliche System ist auch gleichzeitig vollständig. Das liegt daran, dass man aus Falsum alles andere ableiten kann. (Aus a und aus non a folgt jede beliebige Aussage. Damit kann man also alles beweisen. Und damit ist es vollständig.) --Eulenspiegel1 17:09, 26. Jan. 2010 (CET)

Im Endeffekt ist ein widersprüchliches formales System eigentlich gar kein formales System, weil es nicht funktioniert, oder? --stfn 21:14, 18. Jun. 2010 (CEST)

"Funktionieren" ist keine Voraussetzung für ein formales System. Kurz gesagt ist ein formales Sytsem erstens ein System und zweitens formal. Wenn man Widerspruchsfreiheit in die Definition des Begriffs aufnehmen wollte, hätte man das Problem, dass man von viel zu wenigen Systemen wüsste, ob es sich um ein formles System handelt.--Hagman 21:41, 18. Jun. 2010 (CEST)

Die Unmöglichkeit von Gödels selbsreferenter Formel

Bei alledem bleibt es doch ein Faktum, dass im System P der Principia Math. keine Formel ihre eigene Gödelnummer enthalten kann. Die Gn einer Formel mit z.B. 100 Symbolen ist das Produkt der ersten 100 Primzahlen, die noch dazu mit diversen Exponenten versehen sind. Diese Zahl ist weit größer als 10 hoch 100. Im System P und mit Gödels Forderung in seiner Fußnote 6, dass keine Definitionen oder Abkürzungen verwendet werden dürfen, ist dies eine fff. . .0 - Sequenz mit derart vielen f - Symbolen. Eine solche Sequenz kann nicht einmal in unserem ganzen Universum mit seinen ca 10 hoch 80 Elementarteilchen existieren, geschweige denn innerhalb der Formel mit ihren 100 Symbolen enthalten sein. --Egibiedermann 14:40, 7. Jun. 2010 (CEST)

Die Beschränkungen unseres kümmerlichen Universums sind irrelevant. Außerdem muss nicht die Gödelnummer als Literal enthalten sein, sondern eine eindeutige Beschreibung. So wäre ffff0*ffff0 statt fffffffffffffffffffffffff0 zulässig.--Hagman 21:03, 18. Jun. 2010 (CEST)

Dieser Vorschlag steht aber im Gegensatz zu Gödels Anspruch (siehe seine Fußnote 6 ) daß keine Definitionen benutz werden dürfen, daß eine Formel im System P ausschließlich aus den Grundsymbolen besteht, und dass eine Zahl nie etwas anderes ist als eine fff-0 sequenz! Freilich benutzt Gödel für die Konstruktion seiner Formel G dann selbst die Definitionen Sb(x,x,x) für die Substitutionsfunktion, und Z(x) für die Gödelzahl der Zahl x. Für diese Definitionen hat er aber keine Gödelzahlen, und somit hängt seine ganze Formel G in der Luft. E.Biedermann Egibiedermann 12:33, 29. Jun. 2010 (CEST)

Ich füge noch hinzu: Gödels Beweis ist dem Lügnerparadoxon nachempfunden. Dieses "dieser satz ist falsch" beruht aber mathematisch gesehen auf der Gleichsetzung von 2 = 4 . Und Gödels Beweis beruht daher zwangsläufig ebenfalls auf der Gleichsetzung zweier verschiedener "Dinge" ! Dies geschieht in der so hoch gelobten "Diagonalisierung", in der Gleicchsetzung " x = Gödelzahl von A(x)" , also einmal x = freie Variable in A(x) und gleichzeitig = Gödelzahl von A(x) . Wenn ich in dem Ansatz "x = Gödelzahl von A/x)" die freie Variable an beiden Stellen gleichzeitig durch eine Ziffer, z.B. die 1 einsetze, wie ich das bei jedem korrekt gebildeten mathematischen Ansatz immer darf, dann erhalte ich die unsinnige Gleichung " 1 = Gödelzahl von A(1) " . Dabei sind die beiden Gödelzahlen völlig undefiniert, die Funktion A() ist nicht definiert, ebenso wie die zu wählende Art der Gödelisierung. Es kann also nicht behauptet werden, "Gödelzahl von A(x)" sei ganz einfach eine Zahl. -- Egibiedermann 11:16, 12. Jul. 2010 (CEST)

Ich stimme der Auffassung zu, dass ein Satz, der seine eigene Gödelnummer als Argument enthielte, in der Typentheorie unzulässig ist, wenn die Gödelnummer des Satzes so verwendet wird wie die Gödelnummer innerhalb des Satzes. Die Gödelnummer außerhalb spricht über den Satz und steht damit logisch eine Stufe über dem Satz. Die Gödelnummer innerhalb des Satzes wird als Argument des Satzes verwendet und ist damit ein Bestandteil des Satzes und folglich mindestens in der Ebene des Thematisierten enthalten, also jedenfalls eine Stufe unter der Gödelnummer außen. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob wir in der PM selbstreferentiell logische Verkettungen zulassen wollen wie "kann abgeleitet werden", aber wenn wir die Klammerkonvention der Typentheorien akzeptieren, müsste der Satz so formuliert werden.

G_2(A(G_1))

oder auf verwandte Weise und es gilt: G_2 nicht identisch G_1. Ob die Substitutionsregel und Z(x) in der Luft hängen, habe ich noch nicht überprüft, werde dies aber und bedanke mich für den Hinweis. -- ClydefrogL 11:52, 10. Feb. 2012 (CET)

Einige Änderungen

Ich habe an dem Artikel einige Änderungen vorgenommen, die ich hier begründe:

1. Ändern der Passage "und in Gebieten, die sich mit dem Phänomen von bewussten Entscheidungen im Unterschied zu berechenbaren auseinandersetzen, sowie anderen philosophischen Disziplinen, die auf deren Erkenntnisse aufbauen " zu "und in anderen Gebieten der Philosophie" .

Der hier verlinkte Begriff der Berechenbarkeit bezieht sich, auch laut dem verlinkten Artikel, auf Funktionen von Teilmengen von $\mathbb {N} ^{k}$ nach $\mathbb {N}$. Es ist somit sinnlos, von berechenbaren Entscheidungen zu sprechen. Auch ansonsten erscheint mir die Formulierung unglücklich. Ich gehe davon aus, dass das Verhältnis von in irgendeinem Sinne freien und vorausbestimmten Entscheidungen gemeint ist, wobei natürlich beide Arten bewusst sein könnten, wage das aber nicht mit Bestimmtheit zu beurteilen. Zur Löschung ist m.E. oben genanntes Problem schon Grund genug. Da später Beispiele genannt werden, die wohl diese Passage stützen sollen, habe ich sie durch den obigen vage gehaltenen Text ersetzt, statt sie zu löschen. Das kann ja durch jemanden präzisiert werden, der weiß, wo genau die im Artikel folgenden Beispiele einzuordnen sind.

2. Überarbeitung des Abschnitts "Grundbegriffe"

In diesem Abschnitt wurde ein missverständliches Konzept von Wahrheit von formalen Aussagen vermittelt: "Aussagen sind dabei Folgen von Zeichen, [...] die mittels einer Semantik eine Bedeutung erhalten und sich dadurch in wahre und falsche Aussagen unterteilen lassen" Für eine Aussage wird nicht allgemein festgelegt, ob sie wahr oder falsch ist. Vielmehr definiert man, wann eine Aussage in einer gegebenen Struktur(Struktur im Sinne der Modelltheorie) wahr ist. Im allgemeinen gibt es Aussagen, die in manchen Strukturen wahr, in anderen falsch sind. Die neue Version trägt dem nun Rechnung.

Im unteren Teil der alten Version wird der Begriff "allgemeingültig" falsch verwendet(Aussagen, die aus einem Axiomensystem wie etwa PA folgen, sind nicht automatisch allgemeingültig. Allgemeingültig sind nur die, die schon aus der leeren Theorie folgen).

Die Darstellung ist in meinen Augen auch nicht ganz neutral. "Im Idealfall wünscht man sich, dass aus der Menge der Grundaussagen und den Ableitungsregeln alle wahren Aussagen abgeleitet, also bewiesen werden können." Damit wird ein realistischer(im Sinne der Einteilung der verschiedenen Positionen in der Philosophie der Mathematik) Standpunkt bezogen, indem von Wahrheit unabhängig von einem zugrundeliegenden Axiomensystem gesprochen wird. (Es sei denn, es wird nur der Versuch thematisiert, die Theorie einer Struktur wie etwa der der natürlichen Zahlen durch ein Axiomensystem zu beschreiben oder möglichst gut zu beschreiben. In dem Fall wären die Ausführungen an der Stelle wohl neutral, aber dass dieser Blickwinkel eingenommen würde, geht aus dem Text jedenfalls nicht klar hervor; der Auszug "aus bestimmten Grundaussagen (Axiome), die generell als wahr angenommen werden" legt sogar eher die Realismus-Deutung nahe.) (nicht signierter Beitrag von 79.216.153.118 (Diskussion) 22:45, 23. Jul 2010 (CEST))

Außerdem hat die bisherige Version den Begriff der Negation vermieden und etwas schleierhaft von "komplementären Aussagen" gesprochen. Ich denke, der Begriff "Negation", oder zumindest "Verneinung", ist allgemein geläufig.

Zusätzlich habe ich Erklärungen zu verschiedenen Folgerungsbegriffen eingeflochten.

Kann bitte jemand meine Definition von Vollständigkeit vervollständigen? Ich kenne den Begriff so, dass er die Widerspruchsfreiheit mit fordert, bin mir aber nicht sicher, ob das allgemein üblich ist. Um das Problem zu umgehen, habe ich nur definiert, wann eine widerspruchsfreie Theorie vollständig ist. Wäre gut, wenn jemand, der sich mit den Standards auskennt, das noch ausbessert.

-- Makor (20:14, 23. Jul 2010 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Hab ein paar Leerzeichen spendiert, einen Satz der Verständlichkeit halber leicht umgestellt und aus einem "formalen Beweisbegriff" einen "formalisierten Beweisbegriff" gemacht (in erster Linie um "Formalisierung" verlinken zu können, denke der Sinn bleibt bei dieser Umformulierung bewahrt). "Vollständig" und "korrekt" wollte ich eigentlich auch verlinken, allerdings ist mir nicht ganz klar ob der Artikel Vollständigkeit (Logik) richtig und gut ist (ich finde ihn trotz Kenntnis des Themas verwirrend). Freue mich über Feedback zu letztem Punkt. Gruß --stfn 22:52, 23. Jul. 2010 (CEST)

Literaturverzeichnis

Soll es hier irgendeine Ordnung geben? (Alphabet/Erscheinungsjahr?) --Hans-Jürgen Streicher 23:03, 29. Aug. 2010 (CEST)

Lemma

Den Gödelschen Unvollständigkeitssatz gibt es nicht. Es gibt zwei Sätze, die beide Gödelscher Unvollständigkeitssatz heißen:

• Der erste Gödelschen Unvollständigkeitssatz sagt, grob gesprochen, dass jedes rekursvie Axiomensystem der Prädikatenlogik der ersten Stufe, das die Peano-Arithmetik umfasst, unvollständig ist.
• Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz folgt aus dem ersten, aber ohne ein einfaches Korollar zu sein. Er besagt, dass ein Axiomensystem, das so ausdrucksstark ist wie das der Peano-Arthmetik der ersten Stufe, nicht in der Lage ist, seine eigene Widerspruchsfreiheit zu beweisen.

Der Artikel behandelt im Wesentlichen den ersten Satz. Es ist aber der zweite, der der Hilbertsche Programm scheitern lässt. -- Digamma 14:56, 29. Dez. 2010 (CET)

Variablenbezeichnung

Im letzten Satz des Abschnittes Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Grundbegriffe wird zweimal ein A verwendet. Sollten jene zwei Variablen nicht unabhängig sein?

-- 91.36.242.161 23:06, 11. Jul. 2011 (CEST)

Wenn du den Satz meinst:

Eine Theorie T heißt genau dann vollständig, wenn für alle Aussagen A aus T die Aussage A oder deren Negation folgt

, dann: Nein. --Daniel5Ko 23:44, 11. Jul. 2011 (CEST)

Typenfreie Logik

Hallo,

ich habe, so wie der Satz hier präsentiert wird, schwerwiegende Einwände.

Erstens zeigt Gödels Satz nicht, dass die Mathematik widersprüchlich oder unvollständig ist. Die Begriffe Widersprüchlichkeit und Vollständigkeit beziehen sich auf die Ableitbarkeit in Formalen Systemem.

Gödels Satz zeigt aber eine Lücke (welche in der Logik nicht unter Unvollständigkeit fällt).

Also: Nehmen wir an, wir wollten Hilberts Programm durchziehen mithilfe eines logischen Systems, das a) Quantorenlogik b) Abstraktionsregeln

enthält aber nicht

c) eine typentheoretische Abstufung

wie der UP vor mir bereits angemerkt hat, ist Russells Principia Mathematica eine Typentheorie und wird von Gödels Satz nicht tangiert.

Wir reden nun über ein System wie die Zermelo Fraenkel Mengenlehre (die nicht Russells Mengenlehre ist). Nun versuche ich, mithilfe der Kalkülregeln zu zeigen, dass ich jeden wahren Satz ableiten kann. Da ich keine Typentheorie kenne, kann ich meine eigene Theorie nun mithilfe der Schlussregeln wie ein Objekt dieser Theorie behandeln (Selbstreferenz) und ich kann auch Sätze wie "Kann abgeleitet werden" als Prädikate gebrauchen. Wenn ich das mache, dann kann ich im nächsten Schritt Gödels Satz ableiten - sonst eben nicht.

Der Gödelsatz zeigt also, dass wenn ich ein solches typenfreies System mit seinen eigenen Vorschriften bearbeite, ich entweder Sätze nicht ableiten kann oder Widersprüche vorkommen (denn der Gödelsatz formuliert einen syntaktisch wohlgebildeten Selbstwiderspruch auf der semantischen Ebene, denn da kommt raus: Entweder er ist wahr (dann ist Gamma nicht ableitbar) oder er ist falsch (dann ist Gamma ableitbar, aber das bedeutet: Gamma ist wahr).

Dass die Formulierung am Ende Entweder A oder B ist entspricht also in dem Formalismus der Behauptung Entweder ein Satz ist wahr oder seine Verneinung falsch (tertium non datur, siehe Zermelo-Fraenkel ...).

Ich überarbeite das mal am Wochenende und bis dain ist ja noch Zeit, hierauf zu antworten.

Ich verweise hierfür übrigens auf Essler / Brendel Grundzüge der Logik II, Seite 291 - 295 (ich schau morgen nochmal die Ausgabe nach)

Viele Grüße

Clydefrog

ps: Ich füge hinzu:

"By the theory of simple types I mean the doctrine which says that the objects of thought (or, in another interpretation, the symbolic expressions) are divided into types, namely: individuals, properties of individuals, relations between individuals, properties of such relations, etc. (with a similar hierarchy for extensions), and that sentences of the form: " a has the property φ ", " b bears the relation R to c ", etc. are meaningless, if a, b, c, R, φ are not of types fitting together. Mixed types (such as classes containing individuals and classes as elements) and therefore also transfinite types (such as the class of all classes of finite types) are excluded. That the theory of simple types suffices for avoiding also the epistemological paradoxes is shown by a closer analysis of these. (Cf. Ramsey 1926 and Tarski 1935, p. 399).".[25]

He concluded the (1) theory of simple types and (2) axiomatic set theory, "permit the derivation of modern mathematics and at the same time avoid all known paradoxes" (Gödel 1944:126) http://en.wikipedia.org/wiki/Type_theory#Russell.27s_doubts

[25]Gödel 1944:126 footnote 17: "Russell's mathematical logic" appearing in Kurt Gödel: Collected Works: Volume II Publications 1938-1974, Oxford University Press, New York NY, ISBN-13 978-0-19-514721-6(v.2.pbk).

Es wäre nun natürlich noch zu ermitteln, wie Gödel nun das Verhältnis seines Satzes zur PM genau sieht, ich recherchiere das.

-- ClydefrogL 01:24, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo ClydefrogL, du hast vermutlich nicht bemerkt, dass du beim Anfügen deines PS die Antwort von Mini-floh gelöscht hast. Ich füge sie wieder ein. Sie bezieht sich auf deinen ursprünglichen Beitrag (vor dem ps.):

Bloß zur Gaudi und um Dir Arbeit zu ersparen: Der originale Titel der Arbeit von Gödel heißt

"Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I." (in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 38.1931, S. 173–198.)

Da die Principia Mathematica gerade Russels Typentheorie enthalten dürfte der größte Teil Deiner Ausführungen gegenstandslos sein. Im übrigen glaube ich, dass Du den Begriff "Vollständigkeit", wie er in der mathematischen Logik verwendet wird, nicht ganz verstanden hast.

--Mini-floh 09:23, 9. Feb. 2012 (CET)

--Digamma 15:40, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo Digamma, ich habe ihn aufgrund der unsachlichen Behauptungen entfernt:

1. Aus dem Titel einer Arbeit lässt sich nicht auf die Gültigkeit eines Satzes innerhalb der Arbeit für ein Element des Titels schließen.

2. Die Behauptung, ich hätte Vollständigkeit nicht verstanden, ist einfach unsachlich. Ich weise das von mir, vor allem, da keinerlei Begründung folgt. Wieso du das verteidigst, bleibt mir schleierhaft. Es ist einfach kein guter Stil, einfach zu behaupten, der Meinungsgegner verstünde etwas nicht, ohne auszuführen, wie es denn richtig wäre. 3. Dass die PM Russells Typentheorie enthalten, ist mir wohl bekannt. 4. Meine verschobene Angabe der Ausgabe bezog sich nicht auf Gödels Paper, sondern auf Esslers Buch. Man braucht mir also nicht "zur Gaudi" Arbeit zu ersparen. Ich habe mir Gödels Paper nochmal vorgelegt und schreibe dazu mehr, sobald ich wieder durch sein werde. Bis dahin kannst du diesen unsachlich geführten Angriff natürlich stehenlassen. Mich ficht das nicht an, jedoch sollte Mini-floh mal darüber nachdenken, zu wessen Beschädigung ein solcher Stil wirklich gereicht. -- ClydefrogL 15:56, 10. Feb. 2012 (CET)

Es tut mir leid, wenn Du meine Aussage als "unsachlich geführten Angriff" verstanden hast. Tatsächlich aber wird im Zusammenhang mit formalen Systemen -- und um die geht es hier -- der Begriff "Vollständigkeit]" so verstanden, dass für jeden Satz $\phi$ der Sprache entweder $\phi$ oder $\neg \phi$ ableitbar ist. Wenn Du sagst: "Gödels Satz zeigt aber eine Lücke (welche in der Logik nicht unter Unvollständigkeit fällt)", dann verlässt Du den in der mathematischen Logik in diesem Zusammenhang üblichen Sprachgebrauch. --Mini-floh 17:49, 10. Feb. 2012 (CET)

Was ich meinte ist dies, lassen wir den anderen Disput bei Seite, Schwamm drüber. Vielleicht wird es das Beste sein, wenn ich dir zuerst darlege, wie ich den Satz sehe, ich stütze mich hierbei auch auf Gödels Paper, wobei ich eben dies gerade nochmal durchgehe und noch nicht am Ende angelangt bin, und auf diverse .pdf (google mal Gödelscher Unvollständigkeitssatz Beweis, da müsste ein Koblaschewsky oder so ähnlich bei sei ein Dresdner Paper, du siehst das dann) und auf den Essler. Ich gebe nun wieder, wie ich diese Autoren verstehe und sage im Anschluss, wieso dies dem Artikel widerspricht:

Ein formales System ist unvollständig, wenn einer semantisch abgeleiteten Wahrheit nicht eine syntaktische Ableitung entspricht. Inkorrekt, wenn einer syntakischen Ableitung nicht eine wahre Aussage entspricht. Die Frage sehe ich nun darin: Kann ich beweisen, dass jede wahre Aussage innerhalb der Arithmetik mithilfe eines finiten Kalküls (in Form eines n-stufigen Algorithmus) auch abgeleitet werden kann. Respektive und weiter gefasst:

Kann ich von jeder semantisch wahren oder falschen Aussagen eine syntaktische Ableitung aus endlich vielen Axiomen finden, die mir sagt, dass $\not {\vdash }_{S}p$. In S. Wobei die "syntaktische Ableitung" , die ich dafür verwende, durch mein Axiomensystem eingerahmt wird.

Kann ich also diese Ableitung durch Wahl eines geeigneten Algorithmus stets finden?

Gödels Unvollständigkeitssatz zeigt, dass eine solche Demonstration unmöglich ist. Das Ergebnis einer solchen Demonstration wird laut Gödel mit finiten Methoden stets der Gödelsche UVS sein.

Ich würde demnach analytisch dazwischen unterscheiden, was passiert, wenn man den Ansatz macht, die Ableitung der Vollständigkeit in dem Formalen System zu finden, dann entsteht dieser Satz. Und was passiert, wenn man das formale System betrachtet, ohne dieses in sich selber zu analysieren. Dieses so erweitert gedachte Formale System ist Opfer des Gödelsatzes, aber nicht das ursprüngliche System. Oder wie es auch auf der englischen Wikiseite formuliert ist: (siehe century problems)

Prove that the axioms of arithmetic are consistent. There is no consensus on whether results of Gödel and Gentzen give a solution to the problem as stated by Hilbert. Gödel's second incompleteness theorem, proved in 1931, shows that no proof of its consistency can be carried out within arithmetic itself. Gentzen's consistency proof (1936) shows that the consistency of arithmetic follows from the well-foundedness of the ordinal ε0.

Es wird jedoch in dem Artikel stets darauf abgehoben, dass die Mathematik(!) unvollständig oder widersprüchlich ist. Dies erscheint mir zu weit zu gehen, da dies nur einen Versuch, die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit der Arithmetik mithilfe einer fiten Arithmetik selber zu zeigen, betrifft. Oder wie siehst du das ? -- ClydefrogL 23:49, 10. Feb. 2012 (CET)

Ein Antwortversuch von mir:

Es gibt in der Logik zwei verschiedene Vollständigkeitsbegriffe (siehe Vollständigkeit (Logik)).

• Der erste (dort Punkt 2: Vollständigkeit von Sequenzenkalkülen) bezieht sich auf die Ableitbarkeit in formalen (Beweis-)Systemen, also (z.B.) in einem Kalkül. Ein solches System heißt vollständig, wenn jeder Satz, der in allen möglichen Modellen einer Satzmenge gilt (d.h. der im semantischen Sinn aus der Satzmenge folt) auch aus der Satzmenge formal ableitbar ist. Äquivalent dazu ist die folgende Formulierung: Jede Satzmenge, aus der sich formal kein Widerspruch ableiten lässt (also widerspruchsfrei ist), besitzt ein Modell (ist also erfüllbar). Die Logik erster Stufe mit den üblichen Ableitungsregeln ist in diesem Sinn vollständig. Dies ist die Aussage des Gödelschen Vollständigkeitssatzes.
• Der zweite bezieht sich auf Axiomensysteme. Ein Axiomensystem ist vollständig, wenn jeder Satz, der in der formalen Sprache formuliert werden kann, in dem Axiomensystem bewiesen oder widerlegt werden kann. Ein Axiomensystem der Arithmetik ist demnach vollständig, wenn jeder in der Sprache der Arithmetik (Sprache erster Stufe mit den Funktionssymbolden + und * und den Konstantensymbolen 0 und 1) formulierbare Satz in diesem Axiomensystem bewiesen oder widerlegt werden kann. So ein Axiomensystem gibt es trivialerweise: Man nimmt einfach alle in der Arithmetik (d. h in $\mathbb {N}$) wahren Sätze. Dieses triviale Axiomensystem ist jedoch nicht hilfreich, es verlagert das Problem, einen zahlentheoretischen Satz zu beweisen, nur dahin, zu entscheiden, ob er Element dieses (riesigen) Axiomensystems ist.

Gesucht ist also ein Axiomensystem, das erstens vollständig ist, und zweitens rekursiv, d.h. entscheidbar. Ein rekursives Axiomensystem ist z.B. das Axiomensystem der Peano-Arithmetik der ersten Stufe. Aber dieses ist nicht vollständig (in diesem zweiten Sinn).

Dies ist die Aussage des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes: Kein Axiomensystem der Arithmetik ist sowohl rekursiv also auch vollständig.

Aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz folgt sogar noch mehr: Jedes rekursive Axiomensystem, in das sich die Arithmetik einbetten lässt, ist unvollständig. Dies gilt insbesondere für jedes Axiomensystem der Mengenlehre (in dem sich die Existenz einer unendlichen Menge beweisen lässt), also insbesondere für ZFC.

Und ich denke, dass das genauso für jede Typenmengenlehre gilt. --Digamma 11:58, 11. Feb. 2012 (CET)

Hallo Digamma,

diesen Unterschied habe ich ja in meinem Post, glaube ich, impliziert. Nämlich folgendes: Deine Vollständigkeit(1) wird ja durch den Gödelsatz nicht beeinträchtigt. Bei dem zweiten Fall hakt es allerdings für mich. Ich stimme dir in deiner Charakterisierung der Vollständigkeit zu. Wobei nun natürlich eine Rolle spielt, wie beispielsweise der Satz gelesen wird: "Ein Axiomensystem ist vollständig, wenn jeder Satz, der in der formalen Sprache formuliert werden kann, in dem Axiomensystem bewiesen oder widerlegt werden kann." Genau darum geht es. Nehmen wir uns einen Satz Kalkülregeln (1) - (N) eine Objektmenge ($\mathbb {N}$), deren Untermenge eine Axiomenmenge sei, und einen Zeichensatz ($+,\cdot ,\rightarrow ,\wedge ,\forall$) etc. und einen Satz verschiedenstelliger Prädikate $p\in P$.

Unsere Regeln werden uns sagen dass $p^{n}(x_{1},\dots ,x_{k},a_{1},\dots ,a_{l})$ eine Aussage des Kalküles ist. Nun fragen wir uns: Gegeben ein Satz A wohlgebildet. Existiert in dieser Sprache eine Rekursionsformel, so dass wir entscheiden können, dass dieser Satz aus den Axiomen abgeleitet wurde? Wir nehmen nun den Satz S:

Die Aussage A ist in dem Kalkül bewiesen, gdw. eine Ableitung von A aus einer Axiomenmenge 

$\alpha$ durch Anwendung der Kalkülregeln gefunden werden kann. Widerlegt, gdw. eine Ableitung von nicht A aus ...

Satz T: Jede Aussage des Kalküls ist beweisbar.

Dieser Satz ist kein Bestandteil des Kalküls. Ich wüsste nicht, wo er in dem Kalkül auftauchen sollte, da dieser Satz der Metasprache angehört. Anscheinend wird nun aber für Gödels Satz folgendes angenommen: Der Satz S ist ein Axiom der Arithmetik in der selben Weise, in der die Peano Axiomatik ein Teil der Arithmetik ist. Dies ist aber allem Anschein nach unrichtig, da die Peanoaxiomatik Kalkülregeln angibt (1+1+1...) und Prädikate vergibt (Successoreigenschaft) an die Objektmenge und dadurch Aussagen generiert. Gemäß PA ist also die Aussage 1+1+1 ... wohlgeformt und die PA sind ja ein Teil der Arithmetikaxiome.

Wenden wir uns nun dem Satz S' zu: Der Satz S ist in dem Kalkül bewiesen, gdw. eine Ableitung von S aus einer Axiomenmenge .....

Man fordert also dann einen Beweis für den Satz T, indem man ihn für einen Teil der Axiomatik der Arithmetik erklärt wie die PA. Man setzt also den Satz S als Objekt in den Satz S selber ein und generiet so S'. Der Satz S ist offenbar selbst wiederum a) Bestandteil des Kalküls b) führt bei seiner eigenen Analyse innerhalb der kalkulatorischen Regeln des Kalküls auf den Gödelsatz folglich nicht-T oder widersprüchlich.

Woran ich mich aufhalte ist dies: Ich bin unschlüssig, den Satz "Ein logisches System heißt vollständig gdw. ... " als Axiom innerhalb des logischen Systemes anzutragen oder als wohlgeformte Aussage innerhalb des Systems anzuerkennen. Daher kamen wohl auch Wittgensteins Schmerzen. Ich glaube, der Wert des Gödelsatzes besteht auch im Wesentlichen darin, gezeigt zu haben, dass genau eine solche Analyse unlösbare Probleme aufwirft (für Wittgensteinianer übrigens kein Wunder) und dass die Beweisführung der Vollständigkeit und Widersprüchlichkeit selbst problematisch wird. Deshalb hatte ich auch oben kryptisch von einem erweitert vorgestellten Logischen System gesprochen, da der Satz "Eine Logik ist vollständig, gdw ... " eben kein Satz innerhalb des Kalküls ist, sondern ein Satz über den Kalkül, sich also nach Wittgenstein (und ich nehme mal an: Auch Russell) in dem Kalkül auch gar nicht aufstellen lässt (weshalb die Stufung so wichtig ist, aber es ist eben eine andere Art von Stufung als die typentheoretische im Prädikatensinn). Folglich sagt der Gödelsatz also, dass wir mit der in dem Kalkül formulierten Sprache und ihrer Beweistechniken den Satz "Der Kalkül ist vollständig" nicht analysieren können, ohne die Konstruktion des Gödelsatzes zuzulassen. Wir kommen also nicht umhin, einzuräumen, dass wir die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit des Kalküls mithilfe der rekursiv in dem Kalkül definierten Beweisverfahren (n-fache Anwendung der Kalkülregeln) nicht beweisen können. Aus der Unmöglichkeit, diesen Beweis zu führen, können wir jedoch nur auf die Unvollständigkeit schließen, wenn wir diesen Beweis als notwendigen Bestandteil des Systems auffassen und damit den Satz "Der Kalkül ist vollständig .." ebenfalls. Diese Aussagen erscheinen mir jedoch keine Aussagen der Arithmetik zu sein. Es wäre also so gesehen sogar unrichtig, dass jedes hinreichend mächtige formale System entweder ws oder uvs ist. Es sei eben denn, vollständig würde bedeuten, dass das System seine eigene Vollständigkeit mithilfe seines eigenen Kalküls beweisen könnte. Gödel hat ja eben gezeigt, dass dies unrichtig ist. Der Satz hat also einen massiven Kontext, der mir in dem einfach hingeschriebenen Satz "Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder uvs oder ws." verloren geht. Bevor ich die Sache noch irritierender mache, warte ich mal -- ClydefrogL 02:58, 12. Feb. 2012 (CET)

Hallo. Ich glaube, Du machst Dir hier an der falschen Stelle Probleme. Vollständigkeit in dem hier verwendeten Sinn heißt doch: für jeden wohlgeformten Satz $\phi$ der Sprache ist $\phi$ oder $\neg \varphi$ in S anbleitbar (aber nicht beides, weil S sonst widersprüchlich ist). Wenn ich alle Sätze durchgehe und finde, dass ich einen Satz angeben kann, bei dem weder $\phi$ noch $\neg \varphi$ in S ableitbar ist, habe ich gezeigt, dass S unvollständig ist. Das kann ich dann von außen über das S sagen und darum geht es schließlich, denn ich selbst arbeite ja in der Metatheorie. Zu fordern, dass im System S selbst ein Satz der Art Das System S ist unvollständig beweisen werden soll ist m.E. eine Stufe zu viel. --Mini-floh 22:44, 12. Feb. 2012 (CET)

Oder konkret: Man finde einen Beweis (in der nomralen Peano-Arithmetik) oder widerlege: ¬∃b:∃c:∃d:〈∃e:∃f:∃g:〈a=((((((e+ f)+ g)· ((e+ f)+ g))· ((e+ f)+ g))+ ((e+ f)· (e+ f)))+ e) ∧ ∃h:∃i:〈〈∃j:h=(j· Si) ∧ 〈∃j:h=(d+ (j· S(i· Sg))) ∧ ∃j:(d+ j)=(i· Sg)〉〉 ∧ ∀j:〈∃k:S(j+ k)=g ⇒ ∀k:∀l:〈〈〈∃m:h=(k+ (m· S(i· Sj))) ∧ ∃m:(k+ m)=(i· Sj)〉 ∧ 〈∃m:e=(l+ (m· S(f· Sj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· Sj)〉〉 ⇒ 〈〈¬l=SSSSSSSSSS0 ⇒ 〈〈∃m:h=S(k+ (m· S(i· SSj))) ∧ ∃m:S(k+ m)=(i· SSj)〉 ∧ 〈∃m:b=(l+ (m· S(c· Sj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(c· Sj)〉〉〉 ∧ 〈l=SSSSSSSSSS0 ⇒ 〈〈〈∃m:h=S((a+ k)+ (m· S(i· SSj))) ∧ ∃m:S((a+ k)+ m)=(i· SSj)〉 ∧ 〈∃m:b=SSSSSSSSS(m· S(c· S(a+ k))) ∧ ∃m:SSSSSSSSSm=(c· S(a+ k))〉〉 ∧ ∀m:〈∃n:S(m+ n)=a ⇒ 〈∃n:b=SSSSSSSS(n· S(c· S(m+ k))) ∧ ∃n:SSSSSSSSn=(c· S(m+ k))〉〉〉〉〉〉〉〉〉 ∧ ∃e:∃f:∃g:∃h:∃i:〈〈〈〈〈∃j:i=(j· Sf) ∧ ∃j:i=(j· S(f· Sg))〉 ∧ ∀j:∀k:∀l:〈〈〈∃m:S(j+ m)=g ∧ 〈∃m:i=(k+ (m· S(f· Sj))) ∧ ∃m:(k+ m)=(f· Sj)〉〉 ∧ 〈∃m:i=(l+ (m· S(f· SSj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· SSj)〉〉 ⇒ 〈k=l ∨ 〈∃m:e=(m· S(f· Sj)) ∧ 〈k=Sl ∨ l=Sk〉〉〉〉〉 ∧ ∀j:〈∃k:S(j+ k)=g ⇒ ∀k:∀l:∀m:∀n:〈〈〈〈〈∃o:e=(k+ (o· S(f· Sj))) ∧ ∃o:(k+ o)=(f· Sj)〉 ∧ 〈∃o:h=(l+ (o· S(f· Sj))) ∧ ∃o:(l+ o)=(f· Sj)〉〉 ∧ 〈∃o:h=(m+ (o· S(f· SSj))) ∧ ∃o:(m+ o)=(f· SSj)〉〉 ∧ 〈∃o:h=(n+ (o· S(f· SS(m+ j)))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SS(m+ j))〉〉 ⇒ 〈〈〈〈〈〈∃o:((j+ l)+ o)=g ∧ 〈∃o:SSSSSSSSSo=k ⇒ l=S0〉〉 ∧ 〈〈〈k=0 ∨ k=SSSSSSS0〉 ∨ k=SSSSSSSS0〉 ⇒ l=Sm〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈k=S0 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSS0〉 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ∨ k=SSSSSS0〉 ⇒ 〈l=S(m+ n) ∧ ∀o:〈〈∃p:〈∃q:S(p+ q)=m ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ ∃p:〈∃q:S(p+ q)=n ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SS((m+ j)+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SS((m+ j)+ p))〉〉〉 ⇒ 〈〈∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=m ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS(j+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS(j+ p))〉〉 ∨ ∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=n ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS((m+ j)+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS((m+ j)+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS((m+ j)+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS((m+ j)+ p))〉〉〉 ⇒ ∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=(m+ n) ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS(j+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS(j+ p))〉〉〉〉〉〉〉 ∧ ∀o:〈〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSj))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSj)〉 ⇒ 〈〈〈〈〈〈k=0 ∨ k=S0〉 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSSSSSS0〉 ⇒ 〈〈〈〈o=S0 ∨ o=SS0〉 ∨ o=SSS0〉 ∨ o=SSSSSS0〉 ∨ o=SSSSSSS0〉〉 ∧ 〈〈〈〈k=SSS0 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ∨ k=SSSSSSSS0〉 ⇒ 〈〈o=SSSS0 ∨ o=SSSSS0〉 ∨ ∃p:SSSSSSSSp=o〉〉〉 ∧ 〈k=SSSSSS0 ⇒ ∃p:SSSSSSSSSSp=o〉〉〉〉 ∧ ∀o:〈〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(m+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(m+ j))〉 ⇒ 〈〈〈k=0 ⇒ k=o〉 ∧ 〈〈〈k=S0 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSSSSS0〉 ⇒ 〈〈〈〈o=S0 ∨ o=SS0〉 ∨ o=SSS0〉 ∨ o=SSSSSS0〉 ∨ o=SSSSSSS0〉〉〉 ∧ 〈〈〈k=SSS0 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ⇒ 〈〈o=SSSS0 ∨ o=SSSSS0〉 ∨ ∃p:SSSSSSSSp=o〉〉〉〉〉 ∧ 〈j=0 ⇒ k=0〉〉〉〉〉 ∧ ∃j:〈〈〈g=S(j+ d) ∧ ∃k:e=(k· S(f· Sj))〉 ∧ ∀k:¬〈〈∃l:S(k+ l)=d ∧ 〈∃l:b=SSSSSS(l· S(c· Sk)) ∧ ∃l:SSSSSSl=(c· Sk)〉〉 ∧ ∃l:b=(l· S(c· SSk))〉〉 ∧ ∀k:∀l:〈〈∃m:S(k+ m)=d ∧ 〈∃m:b=(l+ (m· S(c· Sk))) ∧ ∃m:(l+ m)=(c· Sk)〉〉 ⇒ 〈∃m:e=(l+ (m· S(f· SS(j+ k)))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· SS(j+ k))〉〉〉〉 ∧ ∀j:∀k:〈〈∃l:e=(l· S(f· Sj)) ∧ 〈∃l:h=(k+ (l· S(f· SSj))) ∧ ∃l:(k+ l)=(f· SSj)〉〉 ⇒ 〈〈〈〈∃l:e=SSSSSS(l· S(f· SSj)) ∧ ∃l:SSSSSSl=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSj)) ∧ ∃l:SSSSSSSSSSl=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈∃l:e=SSSSSSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∨ 〈〈〈∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSj))〉 ∧ 〈〈∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∨ 〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈〈〈〈〈〈∃l:e=SSSSSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSSj))〉 ∧ 〈〈〈∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSj))〉 ∨ 〈〈〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSj))〉 ∧ 〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSj)) ∧ ∃l:SSSSSl=(f· SSSSSSSSSSSSj)〉〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSSSj))〉〉〉〉〉 ∨ ∃l:∃m:〈〈〈〈∃n:S(l+ n)=j ∧ ∃n:e=(n· S(f· Sl))〉 ∧ 〈∃n:h=(m+ (n· S(f· SSl))) ∧ ∃n:(m+ n)=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀n:∀o:∀p:〈〈〈〈∃q:i=(n+ (q· S(f· SSl))) ∧ ∃q:(n+ q)=(f· SSl)〉 ∧ ∃q:((l+ o)+ q)=j〉 ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· SS(l+ o)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(l+ o))〉〉 ⇒ ∃q:(p+ q)=n〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=m ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉 ⇒ ∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ l))))〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSS(n· S(f· SSj)) ∧ ∃n:SSSn=(f· SSj)〉 ∧ k=m〉 ∧ ∃n:∃o:〈〈S(n+ o)=k ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ n)))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ o))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ o)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l))))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSSSSSS(n· S(f· SSj)) ∧ ∃n:SSSSSSSn=(f· SSj)〉 ∧ k=SSm〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=m ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSSS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSSS(n+ j))〉〉 ⇒ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ l)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ l))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSSSSSS(n· S(f· SSl)) ∧ ∃n:SSSSSSSn=(f· SSl)〉 ∧ m=SSk〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=k ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSSS(n+ l)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSSS(n+ l))〉〉 ⇒ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈〈〈∃p:h=(n+ (p· S(f· SSSl))) ∧ ∃p:(n+ p)=(f· SSSl)〉 ∧ S(n+ o)=m〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSj)) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSS(j+ n))) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSS(j+ n))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ l))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (j+ n)))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (l+ n)))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈〈〈∃p:h=(n+ (p· S(f· SSSj))) ∧ ∃p:(n+ p)=(f· SSSj)〉 ∧ S(n+ o)=k〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSl)) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSl)〉〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSS(l+ n))) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSS(l+ n))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ l))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (l+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (l+ n)))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ n)))〉〉〉〉 ∨ 〈〈∃n:e=SS(n· S(f· SSl)) ∧ ∃n:SSn=(f· SSl)〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=k ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉 ⇒ ∃p:e=(o+ (p· S(f· SSS(n+ l))))〉〉〉 ∨ ∃n:〈〈〈∃o:h=(n+ (o· S(f· SSSl))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SSSl)〉 ∧ 〈∃o:e=SS(o· S(f· SSl)) ∧ ∃o:SSo=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀o:∀p:〈〈∃q:S(o+ q)=k ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SS(o+ j)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(o+ j))〉〉 ⇒ ∃q:e=(p+ (q· S(f· SSS(o+ (l+ n)))))〉〉〉 ∨ 〈k=SSm ∧ ∃n:∃o:〈〈〈〈S(n+ o)=m ∧ 〈∃p:e=S(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSj)〉〉 ∧ 〈∃p:e=S(p· S(f· SSl)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (j+ n)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ o)))))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:∃p:∃q:〈〈〈m=SSq ∧ 〈∃r:e=SSSSSS(r· S(f· SSl)) ∧ ∃r:SSSSSSr=(f· SSl)〉〉 ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· SSSl))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· SSSl)〉〉 ∧ 〈∀r:〈∃s:〈∃t:S(s+ t)=p ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· S(o+ s)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· S(o+ s))〉〉 ⇒ ∀s:¬〈〈∃t:S(s+ t)=q ∧ 〈∃t:e=SSSSSS(t· S(f· SSSS(l+ s))) ∧ ∃t:SSSSSSt=(f· SSSS(l+ s))〉〉 ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· SSSSS(l+ s)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· SSSSS(l+ s))〉〉〉 ∧ ∃r:∃s:〈〈∃t:r=(t· Ss) ∧ 〈∃t:r=(k+ (t· S(s· Sq))) ∧ ∃t:(k+ t)=(s· Sq)〉〉 ∧ ∀t:∀u:∀v:∀w:〈〈〈〈∃x:S(t+ x)=q ∧ 〈∃x:r=(u+ (x· S(s· St))) ∧ ∃x:(u+ x)=(s· St)〉〉 ∧ 〈∃x:r=(v+ (x· S(s· SSt))) ∧ ∃x:(v+ x)=(s· SSt)〉〉 ∧ 〈∃x:e=(w+ (x· S(f· SSSS(l+ t)))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· SSSS(l+ t))〉〉 ⇒ 〈〈¬w=n ⇒ 〈〈∃x:e=(w+ (x· S(f· SS(j+ u)))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· SS(j+ u))〉 ∧ v=Su〉〉 ∧ 〈w=n ⇒ 〈∀x:∀y:〈〈∃z:S(x+ z)=p ∧ 〈∃z:e=(y+ (z· S(f· S(o+ x)))) ∧ ∃z:(y+ z)=(f· S(o+ x))〉〉 ⇒ 〈∃z:e=(y+ (z· S(f· SS((x+ u)+ j)))) ∧ ∃z:(y+ z)=(f· SS((x+ u)+ j))〉〉 ∧ v=(p+ u)〉〉〉〉〉〉〉〉 ∨ ∃n:〈∀o:〈〈〈∃p:S(o+ p)=j ∧ ∃p:e=(p· S(f· So))〉 ∧ ∀p:∀q:∀r:〈〈〈〈∃s:i=(q+ (s· S(f· So))) ∧ ∃s:(q+ s)=(f· So)〉 ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(p+ o)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(p+ o))〉〉 ∧ ∃s:S((o+ p)+ s)=j〉 ⇒ ∃s:S(q+ s)=r〉〉 ⇒ ∀p:¬〈〈〈∃q:h=(p+ (q· S(f· So))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· So)〉 ∧ ∃q:〈∃r:S(q+ r)=p ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· S(o+ q)))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· S(o+ q))〉〉〉 ∧ ∀q:¬〈〈∃r:S(q+ r)=p ∧ 〈∃r:e=SSSSSS(r· S(f· S(o+ q))) ∧ ∃r:SSSSSSr=(f· S(o+ q))〉〉 ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· SS(o+ q)))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· SS(o+ q))〉〉〉〉 ∧ 〈〈〈∃o:e=SSSSSS(o· S(f· SSj)) ∧ ∃o:SSSSSSo=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃o:e=(n+ (o· S(f· SSSj))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SSSj)〉〉 ∧ ∀o:∀p:〈〈∃q:S(o+ q)=m ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSS(o+ j)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSS(o+ j))〉〉 ⇒ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SS(o+ l)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(o+ l))〉〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈∃p:S(n+ p)=j ∧ ∃p:e=(p· S(f· Sn))〉 ∧ 〈∃p:h=(o+ (p· S(f· SSn))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSn)〉〉 ∧ ∀p:∀q:∀r:〈〈〈〈∃s:i=(p+ (s· S(f· SSn))) ∧ ∃s:(p+ s)=(f· SSn)〉 ∧ ∃s:((n+ q)+ s)=j〉 ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(n+ q)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(n+ q))〉〉 ⇒ ∃s:(r+ s)=p〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈〈∃p:e=SS(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:SSp=(f· SSj)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=m ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ l))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ m))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ m)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n))))〉〉 ∨ 〈〈〈∃p:e=S(p· S(f· SSl)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSl)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ l))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ n))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=k ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ o))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (l+ o)))〉〉〉〉 ∨ 〈〈∃p:e=SSS(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:SSSp=(f· SSj)〉 ∧ ∃p:∃q:∃r:〈〈〈〈〈S(p+ q)=k ∧ S(p+ r)=m〉 ∧ S(r+ q)=o〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=p ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ j)))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ j))〉〉 ⇒ ∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ l))))〉〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=r ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ n)))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ n))〉〉 ⇒ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (l+ p))))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ (l+ p)))〉〉〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=q ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (j+ p))))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ (j+ p)))〉〉 ⇒ ∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (n+ r)))))〉〉〉〉 ∨ ∃p:〈〈〈〈〈〈〈〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SSj)) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSj))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SSn)) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SSn)〉〉 ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSn))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSn)〉〉 ∧ 〈∃q:e=S(q· S(f· SSSSn)) ∧ ∃q:Sq=(f· SSSSn)〉〉 ∧ ∀q:∀r:〈〈∃s:S(q+ s)=m ∧ 〈∃s:e=(r+ (s· S(f· SSSS(q+ j)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SSSS(q+ j))〉〉 ⇒ 〈∃s:e=(r+ (s· S(f· SSSSS(q+ n)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SSSSS(q+ n))〉〉〉 ∧ ∀q:∀r:∀s:〈〈〈∃t:S(q+ t)=m ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· SS(l+ q)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· SS(l+ q))〉〉 ∧ 〈∃t:e=(s+ (t· S(f· SSSS(j+ q)))) ∧ ∃t:(s+ t)=(f· SSSS(j+ q))〉〉 ⇒ 〈〈s=p ⇒ r=SSSSSSSSS0〉 ∧ 〈¬s=p ⇒ r=s〉〉〉〉 ∧ ∃q:∃r:〈〈∃s:q=SSSS((m+ l)+ (s· S(r· SSSSj))) ∧ ∃s:SSSS((m+ l)+ s)=(r· SSSSj)〉 ∧ ∀s:∀t:∀u:∀v:∀w:〈〈〈〈〈∃x:S(s+ x)=m ∧ 〈∃x:q=(t+ (x· S(r· SSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(t+ x)=(r· SSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:q=(u+ (x· S(r· SSSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(u+ x)=(r· SSSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:e=(v+ (x· S(f· SSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(v+ x)=(f· SSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:e=(w+ (x· S(f· St))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· St)〉〉 ⇒ 〈〈v=p ⇒ 〈〈u=SSt ∧ 〈∃x:e=(p+ (x· S(f· SSt))) ∧ ∃x:(p+ x)=(f· SSt)〉〉 ∧ w=SSSSSSSS0〉〉 ∧ 〈¬v=p ⇒ 〈u=St ∧ w=v〉〉〉〉〉〉〉 ∨ 〈∃p:〈〈〈S(n+ o)=j ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· Sl))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· Sl)〉〉 ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· SSj))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSj)〉〉 ∧ ∀q:∀r:〈〈∃s:S((l+ q)+ s)=j ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(l+ q)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(l+ q))〉〉 ⇒ ∃s:S(p+ s)=r〉〉 ∧ 〈〈〈∃p:e=S(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSj)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=m ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ l))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ n))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ m))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ m)))〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉 --Hagman 17:55, 14. Feb. 2012 (CET)

Sehr nett! (Was ist eigentlich die Gödelnummer davon?) Aber kannst Du das wirklich lesen? Oder anders ausgedrückt (Slang der Peanuts): "Hints! We need more hints!" --Mini-floh 19:00, 14. Feb. 2012 (CET)

@ClydefrogL: Du sagst Aus der Unmöglichkeit, diesen Beweis zu führen, können wir jedoch nur auf die Unvollständigkeit schließen, wenn wir diesen Beweis als notwendigen Bestandteil des Systems auffassen und damit den Satz "Der Kalkül ist vollständig .." ebenfalls. Diese Aussagen erscheinen mir jedoch keine Aussagen der Arithmetik zu sein. Wenn ich dich richtig verstehe, äußerst Du Bedenken, die in der Literatur auch schon geäußert wurden. Es gibt zwar eine arithmetische Aussage die in einem intuitiven Sinne die Vollständigkeit ausdrückt [etwa so: $\forall x(aussage(x)\rightarrow \exists d(beweis(d,x)\vee beweis(d,negation(x)))$ wobei die deutschen Namen für die Arithmetisierungen von primitiv rekursiven Relationen/Funktionen stehen], aber es ist zunächst nicht klar, dass dieser Satz wirklich die intendierte Bedeutung hat, da es auch Nichtstandard-Modelle der Arithmetik gibt, in denen er "fälschlicherweise" wahr ist. Vielleicht beruhigt Dich aber folgende Tatsache: Es gibt einee arithmetische Formel A = "x ist Gödelnummer einer vollständigen rekursiv aufzählbaren Theorie", sodass A genau dann in $\mathbb {N}$ gilt, wenn mann für x die Nummer einer (rekursiv aufzählbaren) vollständigen Axiomenmenge einsetzt. Setzt man eine Gödelnummer für die Arithmetik ein, wird die Aussage falsch, nimmt man eine schwache, vollständige Axiomatisierung, wird die Formel wahr. In dem Sinne kann die Arithmetik schon verlässlich über die eigene Vollständigkeit reden. Grüße--Schreiber ✉ 20:15, 19. Feb. 2012 (CET)

Verschiebung eines Artikelteils von "Axiomensystem" hierher

Im Artikel Axiomensystem ist ein längerer Teil, der dort in dieser Ausführlichkeit nicht wirklich passt:

===Axiomatisches System und Gödelscher Unvollständigkeitssatz [Bearbeiten]===

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze von 1931 sprechen über höchstens rekursiv aufzählbar axiomatisierte Theorien, die in der Logik erster Stufe formuliert sind. Es wird ein vollständiger und korrekter Beweiskalkül vorausgesetzt. Der erste Satz sagt aus: Falls die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind, dann ist die Arithmetik unvollständig. Es gibt also mindestens einen Satz ΦG, so dass weder ΦG noch seine Negation ¬ΦG in der Arithmetik beweisbar sind. Des Weiteren lässt sich zeigen, dass jede Erweiterung der Axiome, die rekursiv aufzählbar bleibt, ebenfalls unvollständig ist. Damit ist die Unvollständigkeit der Arithmetik ein systematisches Phänomen und lässt sich nicht durch eine einfache Erweiterung der Axiome beheben. Der zweite Unvollständigkeitssatz sagt aus, dass sich insbesondere die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht im axiomatischen System der Arithmetik beweisen lässt.

Die Unvollständigkeitssätze werden in der Literatur gerne fehlinterpretiert. Dies wird im Folgenden kommentiert:

Es ist möglich, die Arithmetik vollständig zu axiomatisieren. Die Theorie $T=\{\Phi \in {\mathcal {L}}_{\operatorname {PA} };\ \mathbb {N} \models \Phi \}$ ist eine vollständige, widerspruchsfreie Erweiterung der bekannten Peano-Axiome. Infolge der Unvollständigkeitssätze ist diese Theorie aber nicht rekursiv aufzählbar.

Es gibt vollständige, widerspruchsfreie, rekursiv aufzählbare Axiomensysteme, Diese können aber keine Erweiterung der Arithmetik sein; insbesondere ist es in derartigen Systemen nicht möglich, über dieses System selbst zu reden. Sie sind damit nicht so ausdrucksstark, wie die volle Arithmetik mit 0, Nachfolger, Addition und Multiplikation. Ein einfaches Beispiel für ein derartiges, schwaches System ist die Arithmetik nur mit 0 und Nachfolger.

Die Nichtbeweisbarkeit der eigenen Widerspruchsfreiheit in der Arithmetik ist keine absolute Grenze des formalen Denkens. So hat etwa Gerhard Gentzen gezeigt, dass man die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik beweisen kann (in einem formalen System), wenn man die Möglichkeiten des Systems etwas erweitert. Damit zeigen die Unvollständigkeitssätze lediglich, dass man ein stärkeres System benötigt, um die Widerspruchsfreiheit eines schwächeren Systemes zu beweisen.

Die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit für die Unvollständigkeitssätze ist wesentlich. Zum einen kann sie innerhalb der Arithmetik nicht bewiesen werden; zum anderen würde aus der Inkonsistenz der Axiome sofort folgen, dass jeder Satz beweisbar wäre. Damit wäre die Arithmetik vollständig und insbesondere wäre auch der Satz, der die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik aussagt, bewiesen.

Setzt man die Mengenlehre voraus, kann man mit den Natürlichen Zahlen \mathbb N ein Modell der Arithmetik angeben. Damit ist die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik gezeigt. Jedoch ist die Mengenlehre ihrerseits ein axiomatisches System, das ausdrucksstärker als die Arithmetik ist. Damit ist sie selbst wieder unvollständig und sie kann wiederum ihrerseits nicht ihre eigene Konsistenz beweisen.

Hier noch einige Beispiele aus der Literatur:

Nach dem 1931 von Gödel bewiesenem Gödel-Theorem (auch: Unvollständigkeitssatz) ist es für ein mathematisches formales System „unmöglich, zugleich dessen Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zu beweisen“ [Schülerduden, Philosophie (2002), Satz vom (verbotenen) Widerspruch]. "Kein adäquates Axiomensystem der Theorie eines unentscheidbaren Kalküls ist absolut-vollständig."[Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 136]

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze "beweisen die Grenzen formalistischen Denkens und die Grenzen unseres Erkenntnisvermögens" [Zoglauer, Einführung (1999), S. 115] und zeigen eine „absolute Grenze“ der formalen Logik".[Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 272]

„Die angesprochene Unvollständigkeit der Arithmetik beispielsweise bedeutet folgendes: Für jede nur denkbare Formalisierung der elementaren Arithmetik gilt, dass es in ihr Sätze gibt, die in dieser Formulierung weder beweisbar noch widerlegbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt in jeder dieser Formalisierungen Sätze A mit der Eigenschaft, dass sich weder A noch ¬ A beweisen lässt."[Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 272]

Ich hatte dort in Diskussion:Axiomensystem vorgeschlagen, diesen ganz zu löschen (und durch eine kurze Zusammenfassung samt Link hierher zu ersetzen). Ich frage hier als Alternative: Soll man den Abschnitt ab "Die Unvollständigkeitssätze werden in der Literatur gerne fehlinterpretiert" hierher, also nach "Gödelscher Unvollständigkeitssatz" verschieben? Man könnte einen eigenen Unterabschnitt daraus machen und nach und nach alle Hinweise, die im Text ja hier vorhanden sind, in diesen Abschnitt einbauen. --Mini-floh 22:16, 10. Feb. 2012 (CET)

Entweder hat sich der Artikel verändert oder meine Rezeption. Die Behauptung der Widersprüchlichkeit oder Unvollständigkeit der Mathematik sehe ich nicht mehr. So finde ich den Artikel in Ordnung, wundere mich aber gerade, was ich ursprünglich gelesen hatte Oo.

-- ClydefrogL 03:08, 11. Feb. 2012 (CET)

(Dies ist zugleich eine Antwort auf die Frage, die Du unter "Typenfreie Logik" gestellt hast) Das ist einer der Gründe, warum ich inzwischen an "Verschieben" dieses ganzen Abschnittes denke und hier einen eigenen Abschnitt "Mögliche Fehlinterpretationen" bilden möchte. Ich gebe zu, dass mir beim ersten schnellen Lesen ähnliche Gedanken kamen wie Dir. Ich habe aber zum Glück gleich ein zweites Mal gelesen und dabei bemerkt, dass ich hier falsch assoziiert hatte. Daher finde ich jetzt, dass eine solche Zusammenfassung der möglichen Fehlinterpretationen vielleicht beim Lesen hilft.

Ich möchte dabei klarstellen, dass ich durchaus nicht der Meinung bin, dass der verschobene Abschnitt unverändert bleiben sollte. Die vielen hier schon vorhandenen Hinweise auf Fehlinterpretationen sollte auf jeden Fall damit "koordiniert" werden. Auch finde ich aus dem Zusammenhang gerissene Zitate immer problematisch.

Zum Artikel hier: für mich wäre er einfacher zu lesen, wenn man "systaktische Folgerung" immer durch "Ableitung" ersetzt. Diese Terminologie wird ja in einem Teil des Artikels schon verwendet.--Mini-floh 10:05, 11. Feb. 2012 (CET)

Gödelsche Unvollständigkeitssätze

Hat jemand was dagegen, wenn ich den Artikel nach Gödelsche Unvollständigkeitssätze verschiebe? Es gibt ja zwei, und die englische WP hat als Lemma auch Gödel's incompleteness theorems. Grüße--Schreiber ✉ 19:49, 19. Feb. 2012 (CET)

Prinzipiell ist das natürlich richtig, aber für die Nichtfachleute, und für die ist das hier ja gedacht, ist immer nur "der" Unvollständigkeitssatz bekannt. Insofern müsste man abwägen: Korrektheit des Titels gegen leichte Auffindbarkeit. Das lässt sich vielleicht mit entsprechender Weiterleitungsseite auffangen. Aber wäre es nicht besser, unter dem jetzigen Titel anzufangen "Die beiden Gödelschen Unvollständigkeitssätze..." Oder: "Eigentlich hat Gödel 2 USätze formuliert ..."

Ich bin also nicht gegen eine Umbenennung, ich denke nur (aus eigener Erfahrung in anderen Bereichen, wo ich z.T. mit Volltextsuche arbeiten muss, um den von Fachleuten als "korrekt" empfundenen Titel zu finden), dass man das berücksichtigen sollte.--Mini-floh 08:21, 20. Feb. 2012 (CET)

Auf jeden Fall sollte aus dem Text des Artikels klar hervorgehen, dass es zwei Gödelsche Unvollständigkeitssätze gibt. Das ist bislang nicht der Fall. Das Lemma kann dann auch im Singular stehen. --Digamma 10:35, 20. Feb. 2012 (CET)

Okay, hab mal einen Hinweis eingebaut und lass die Verschiebung sein. Grüße--Schreiber ✉ 14:14, 20. Feb. 2012 (CET)

Neuer Hauptartikel: "Beweise des gödelschen Unvollständigkeitssatzes"?

Hallo! Es ist sehr verdienstvoll, wenn die wesentlichen Teile des Beweises hier dargestellt werden. Trotzdem habe ich den Eindruck, dass das hier etwas "exzessiv" ist. (Vergleicht mal den Umfang, den die Teile mit "Beweis" einnehmen mit dem Rest.

Mein Vorschlag: die Teile "Genaue Formulierung" und "Beweis" zusammen mit dem ganzen Teil "alternative Beweise" in einen eigenen Hauptartikel zu verschieben. Dann beim Abschnitt "Beweisskizze" (der ja vorhanden ist) dorthin verweisen. Ich würde mir nämlich wünschen, dass auch ein "normaler Leser" noch bis zu "Häufige Fehlschlüsse" und eventuell "Beispiele für Unvollständigkeit" kommt! Vielleicht könnte man sich dann darauf konzentrieren, den übrig gebliebenen Teil so zu gestalten, dass er korrekt und verständlich ist.

(Ich hatte eigentlich angekündigt, einen Teil aus "Axiomensystem" hierher zu verschieben, weil ich dort als zu umfangreich empfand; aber so hat das gar keinen Platz hier: IMHO liest kaum jemand, den es angehen würde, den Artikel so weit, dass er darauf trifft!)--Mini-floh 15:58, 26. Feb. 2012 (CET)

Hallo Mini-floh, stimme dir vollkommen zu, dass das etwas exzessiv geworden ist. Ich erledig das gleich mal. Grüße--Schreiber ✉ 16:51, 26. Feb. 2012 (CET)

Hab jetzt das Plurallemma genommen (Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze), weil man den Artikel sowieso nur über den Link finden wird, also die Auffindbarkeit egal sein sollte. Der Abschnitt aus "Axiomensystem" passt jetzt sicher gut in den Artikel. Grüße--Schreiber ✉ 17:25, 26. Feb. 2012 (CET)

Der Artikel sieht so viel leserfreundlicher aus. Also: Beifall!

Die Pluralform finde ich hier oK, da man ja wahrscheinlich meist über den Link dahin geführt wird.

Für die Einfügung des anderen Teils muss ich mir jetzt nur noch einen Überblick verschaffen, an welchen Stellen man sinnvollerweise den Text des Artikels ändert, damit nicht allzu viele Doubletten entstehen. Ich habe die bisherigen Doubletten erst mal stehen lassen.--Mini-floh 18:49, 26. Feb. 2012 (CET)

Freut mich! Ich denke, den anderen Teil kann man erst mal in den Abschnitt "Häufige Fehlschlüsse" kopieren, um die Doubletten kann man sich danach noch kümmern (vor allem der "Bedeutungs"-Abschnitt, den ich aus dem englsichen Artikel übernomenn habe, hat einige Überschneidungen). Grüße--Schreiber ✉ 19:05, 26. Feb. 2012 (CET)

Über „Fehlschlüsse“ und andere Doubletten

Ich habe in einer ersten Runde den aus Axiomensystem eingefügten Abschnitt und seine Umgebung so bearbeitet, dass sich innerhalb dieses Bereichs keine allzu starken Überschneidungen ergeben. Ich habe im Augenblick noch nichts unternommen, um Doubletten insgesamt zu entfernen. Die Tatsache, dass man innerhalb des Systems ... nicht die Widerspruchsfreiheit beweisen kann, wird auch im vorderen Teil des Artikels noch mehrfach erwähnt. Ich weiß nicht, wie oft „gut“ ist? Andererseits scheint mir eine „Sammlung“ der Fehlschlüsse auch sinnvoll.

@Schreiber: Ich finde einen Abschnitt zur Geschichte etc. sehr sinnvoll. Vielleicht kann man einen Teil der „Vorgeschichte“ bei Axiomensysteme sinnvoll unterbringen? Ich habe ja dort schon angemerkt, dass die Vorstellungen von Hilbert &Co dargestellt werden müssten.--Mini-floh (Diskussion) 22:24, 2. Mär. 2012 (CET)

Hm, ich bin mir auch noch nicht ganz sicher, wie wir das mit den Doubletten machen sollen. Ich werd mal Teile des "Bedeutungs"-Abschnitts in die Fehlschlüsse einbauen. Um die Geschichte und einen Abschnitt für "Axiomensystem" werd ich mich auch demnächst kümmern.--Schreiber ✉ 10:36, 3. Mär. 2012 (CET)

Geklapper in der Einleitung

„Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas, der versuchte, eine Theorie der Menschenrechte mit der Aussage zu zeigen, werden in dem Zusammenhang, zusammen mit ihren ebenso zahlreichen Kritikern, gern exemplarisch herausgehoben.“

• der versuchte, eine Theorie der Menschenrechte mit der Aussage zu zeigen: Stimmt inhaltlich nicht; ist bestenfalls zu eng gefasste Interpretation seiner Thesen. Vgl. Lucas' Aufsatz The Godelian Arguments; der Begriff human rights kommt darin nicht vor.
• In dem Zusammenhang ist eine überflüssige Floskel. „In welchem sonst?“ schreibt Wolf Schneider in Deutsch für junge Profis
• zusammen mit ihren ebenso zahlreichen Kritikern: Ebenso zahlreich wie wer? Wie Lucas und Hofstadter? Also nur zwei Kritiker? Außerdem hat jedes philosophische Werk Kritiker; die braucht man dem Leser nicht in jedem Einzelfall unter die Nase zu reiben. „Das Geheimnis zu langweilen besteht darin, alles zu sagen“ (Voltaire).

--Mussklprozz (Diskussion) 10:36, 9. Apr. 2012 (CEST)

Stimmt!--Schreiber ✉ 11:17, 9. Apr. 2012 (CEST)

Der Bezug sowohl von Gödel, Escher, Bach wie auch Lucas zum vorliegenden Lemma ist bestenfalls skuril-esoterisch. Ich würde den Satz komplett entfernen. --Boobarkee (Diskussion) 11:37, 9. Apr. 2012 (CEST)

Weder Hofstadter noch Lucas halte ich für esoterisch oder skurril. --Mussklprozz (Diskussion) 11:52, 9. Apr. 2012 (CEST)

Das habe ich auch nicht behauptet. Ich spreche von dem nicht bzw. nur mangelhaften Bezug zum Artikel. Ein derart vage angedeuteter Bezug zwischen Unvollständigkeitssatz und Menschenrechten ist mMn durchaus esoterisch-skuril. --Boobarkee (Diskussion) 11:54, 9. Apr. 2012 (CEST)

Danke für die Klarstellung. Den Satz mit den Menschenrechten habe ich schon rausgeschmissen. Gruß, --Mussklprozz (Diskussion) 12:13, 9. Apr. 2012 (CEST)

Beweisbarkeit der unbeweisbaren Aussage

Die folgenden Beiträge bis 17:34, 1. Mai 2012 sind von Benutzer_Diskussion:Eulenspiegel1#Gödel kopiert.--Schreiber ✉ 17:36, 1. Mai 2012 (CEST)

Hallo Eulenspiegel1, Mussklprozz und ich haben Deine Änderungen bei Gödelscher Unvollständigkeitssatz reviertiert, weil es sich da um ungünstige FOrmulierungen oder eventuell ein Missverständnis handelt. Du schreibst

Dieser Beweis findet jedoch auf der Meta-Ebene statt. Es existiert jedoch kein Beweis im strengen Sinne, in dem sich der Satz mittels Kalkülen innerhalb der verwendeten Logik ableiten lässt.

und in einem früheren Edit, dass es nicht innerhalb der Prädikatenlogik erster Stufe geht. Ich weiß nicht genau, was du mit "innerhalbd er verwendeten Logik" meinst. Natürlich gibt es im betrachteten Axiomensystem keinen Beweis für "Ich bin nicht beweisbar". Sehr wohl exisitiert aber darin ein Beweis für "Wenn das System konsistent ist, bin ich nicht beweisbar" (siehe Beweise_der_Gödelschen_Unvollständigkeitssätze#Zweiter_Unvollständigkeitssatz für eine Ableitung dieser Aussage in der Peano-Arithmetik). Um "Ich ich bin in der Arithmetik (oder was für ein System man betrachten will) nicht beweisbar" zu zeigen, genügt ein anderes Axiomensysteme in Logik erster Stufe, beispielsweise Arithmetik+transfinite Induktion bis ε₀ oder die Mengenlehre. Der Beweis erfordert zwar dann Axiome, die das betrachtete System nicht hatte, aber der Beweis ist vollkommen formal und findet in einem normalen Kalkül der Prädikatenlogik statt. Grüße--Schreiber ✉ 14:19, 1. Mai 2012 (CEST)

Es kann schon daher nicht in der verwendeten Logik beweisbar sein, da es in der Prädikatenlogik 1. Stufe kein Symbol für "beweisbar" gibt. Das Symbol für "beweisbar" ist $\vdash$. Das heißt, formal aufgeschrieben lautet der Satz "p ist im Modell $\Gamma$ nicht beweisbar": $\neg (\Gamma \vdash p)$. Und der komplette Satz, den es zu beweisen gilt, lautet: Es gibt eine wahre Aussage, die nicht beweisbar ist, oder eine falsche Aussage, die beweisbar ist. Und das formal aufgeschrieben ist:

$\exists p:\,\left(\Gamma \vDash p\wedge \Gamma \not \vdash p\right)\,\lor \,\left(\Gamma \not \vDash p\wedge \Gamma \vdash p\right)$

Und dieser Satz ist weder Prädikatenlogik noch 1. Stufe: In der Prädikatenlogik kommen die Symbole $\vDash ,\vdash$ nicht vor. Sie werden als Metazeichen verwendet, sind selber aber keine Symbole der Prädikatenlogik. Und in der 1. Stufe sind Quantoren nur über Variablen bzw. über Leerstellen von Prädikaten zulässig. In dem Augenblick, in dem man Quantoren über ganze Prädikate macht, erhalten wir die Prädikatenlogik zweiter Stufe.

Es lässt sich zwar mit dem Trick der Gödelisierung aus einem Satz der Prädikatenlogik 2. Stufe ein Satz der Prädikatenlogik 1. Stufe machen. Und dann kann man den Satz der Prädikatenlogik 1. Stufe innerhalb der Prädikatenlogik 1. Stufe beweisen. Aber der Beweis, dass der Satz der Prädikatenlogik 1. Stufe äquivalent ist mit dem Satz der Prädikatenlogik 2. Stufe verläuft wiederum in der 2. Stufe. Grundsätzlich kann man mit der 1. Stufe niemals Sätze beweisen, die in der 2. Stufe aufgeschrieben sind. Und bei dem Beweis des 1. Gödelschen Satzes fällt außerdem auf, dass die Symbole $\vDash ,\vdash$ überhaupt keine Gödelnummer bekommen haben. Damit wurden die beiden Symbole auch nicht in die Prädikatenlogik 1. Stufe eingebettet und verbleiben auf der Meta-Ebene. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 16:27, 1. Mai 2012 (CEST)

die formulierung mit dem "vertrauen" finde ich auch nicht so schoen, ich habe den satz nochmal umgeschrieben, ohne inhaltlich etwas zu aendern. wie waere es, die ganze diskussion hier auf die artikeldisk zu kopieren? --Mario d 17:29, 1. Mai 2012 (CEST)

Hab ich gemacht.--Schreiber ✉ 17:36, 1. Mai 2012 (CEST)

(Bearbeitungskonflikt) Du schreibst:

Und der komplette Satz, den es zu beweisen gilt, lautet: Es gibt eine wahre Aussage, die nicht beweisbar ist, oder eine falsche Aussage, die beweisbar ist. Und das formal aufgeschrieben ist:

$\exists p:\,\left(\Gamma \vDash p\wedge \Gamma \not \vdash p\right)\,\lor \,\left(\Gamma \not \vDash p\wedge \Gamma \vdash p\right)$

Das ist nicht richtig, denn das wäre ein Widerspruch gegen den Vollständigkeitssatz, der besagt, dass $\Gamma \vDash \phi$ und $\Gamma \vdash \phi$ äquivalent sind.

Nebenbei (das ist zwar hier nicht entscheidend, aber als Bemerkung):

Es lässt sich zwar mit dem Trick der Gödelisierung aus einem Satz der Prädikatenlogik 2. Stufe ein Satz der Prädikatenlogik 1. Stufe machen.

Naja, mit der Gödelisierung kann man Formeln in der Logik erster Stufe betrachten, aber nicht (im Allgemeinen) Prädikate. Über Formeln kann man in der Logik zweiter Stufe auch nicht direkt reden.

Und bei dem Beweis des 1. Gödelschen Satzes fällt außerdem auf, dass die Symbole $\vDash ,\vdash$ überhaupt keine Gödelnummer bekommen haben. Damit wurden die beiden Symbole auch nicht in die Prädikatenlogik 1. Stufe eingebettet und verbleiben auf der Meta-Ebene.

Naja, $\vdash$ wird durch ein arithmetisches erststufiges Prädikat Bew(x) repräsentiert (Beweise_der_Gödelschen_Unvollständigkeitssätze#Die_Beweisbarkeitsrelation), im folgenden Sinne: Bew(Gφ) ist genau dann im System beweisbar, wenn φ im System beweisbar ist. Diese Äquivalenz ist in der Tat in dieser Form eine Meta-Aussage weil $\vdash$ zunächst auf der Meta-Ebene existiert, aber Bew(x) verhält sich genauso wie $\vdash$, d.h. man kann innerhalb des Systems verlässlich über Beweisbarkeit reden. Grüße--Schreiber ✉ 17:34, 1. Mai 2012 (CEST)

Also die korrekte Aussage lautet z.B.:

$\Gamma \vdash \bot \vee \exists \phi (\neg (\Gamma \vdash \phi )\wedge \neg (\Gamma \vdash \neg \phi ))$

Mit Gödelisierung und dem Bew(x)-Prädikat kann man das leicht zu einer arithmetischen Formel machen.--Schreiber ✉ 17:41, 1. Mai 2012 (CEST)

Dass sich $\vdash$ und Bew() identisch verhalten, ist wiederum eine Aussage auf Meta-Ebene und lässt sich nicht in der Prädikatenlogik 1. Stufe beweisen. Und OK, in Logiken, in denen Tertium non datur gilt, ist deine Aussage äquivalent zum 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz. Was aber auf Meta-Ebene bewiesen werden muss, ist, dass dein Satz äquivalent ist zu:

$Bew(\bot )\vee \exists G_{\phi }(\neg Bew(G_{\phi })\wedge \neg Bew(\neg G_{\phi }))$

Und anschließend muss man auch noch das Diagonallemma anwenden, das besagt: $\forall F\exists p:\,p\leftrightarrow F(G(p))$. Und das Diagonallemma ist ebenfalls Bestandteil der Logik höherer Stufe. Den Allquantor über F könnte man noch wegbekommen, da man das Diagonallemma nicht für alle Formeln sondern nur für eine ganz bestimmte Formel benötigt. Aber den Existenzquantor über p bekommt man nicht weg. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 18:23, 1. Mai 2012 (CEST)

Zitat:

Dass sich $\vdash$ und Bew() identisch verhalten, ist wiederum eine Aussage auf Meta-Ebene und lässt sich nicht in der Prädikatenlogik 1. Stufe beweisen. [...] Was aber auf Meta-Ebene bewiesen werden muss, ist, dass dein Satz äquivalent ist zu:

Du kannst $\vdash$ als Prädikat hinzufügen und die mathematische Logik z.B. innerhalb der Mengenlehre in Logik erster Stufe formalisieren. Dann kannst du die Äquivalenz der beiden Prädikate formal in der Prädikatenlogik beweisen. Du könntest einwenden, das $\vdash$ in der formalisierten Logik verhalte sich dann ja nur "zufällig" wie das intuitive $\vdash$ und um deren Äquivalenz zu beweisen, brauche man wieder die Meta-Ebene. Aber das ist dann genau das gleiche Problem, dass man bei jeder Formalisierung mathematischer Aussagen hat. Ebenso wie man eine Aussage über Zahlen in der Arithmetik erster Stufe beweisen kann, kann man eine Aussage über mathematische Logik innerhalb eines geeigneten Systems wie der Mengenlehre beweisen. Ebenso wie man nur auf der Meta-Ebene beweisen kann, dass die formalen Repräsentationen von Zahlen den intuitiven Zahlen entsprechen, kann man natürlich nur auf der Meta-Ebene beweisen, dass das intuitive und das formalisierte $\vdash$ das Gleiche bedeuten. Aber das Gleiche gilt eben bei jeder anderen Formalisierung eines Beweises. Und dennoch würde man wohl kaum behaupten 1+1=2 lasse sich nur auf der Meta-Ebene beweisen, weil die Zahlen nur Objekte der Meta-Ebene sind. Mit dem Unvollständigkeitssatz ist es nicht anders.

Und das Diagonallemma ist ebenfalls Bestandteil der Logik höherer Stufe.[...]

Wie gesagt, in Logik höherer Stufe kann man genauso wenig direkt über Formeln reden wie in der Logik erster Stufe. Man braucht immer irgendeine Art von Gödelisierung (durch Zahlen, Mengen, Funktionen, ...). Aber wie gesagt, das ist bei der Formalisierung immer so. Über "1" kann man in der Arirthmetik auch nicht reden, nur über ein formales Objekt, das wir intuitiv als 1 deuten. Bei den Formeln ist das nicht anders. Grüße--Schreiber ✉ 19:16, 1. Mai 2012 (CEST)

Man kann $\vdash$ als Prädikat hinzufügen. Das Problem ist, dieses Prädikat innerhalb der Prädikatenlogik 1. Stufe aber auch richtig zu definieren. Und das wird dir nicht möglich sein.

Und richtig, man kann nur auf der Meta-Ebene beweisen, dass das intuitive Verständnis von Zahlen durch die Peano-Axiomatik wiedergegeben wird. Und wenn es eine Seite hier in der Wikipedia gibt, in der steht, dass bewiesen wurde, dass die Peano-Axiomatik das intuitive Verständniss der natürlichen Zahlen widerspiegelt, würde ich mich dafür einsetzen, dass der Zusatz hinzukommt, dass dies keins terng formaler Beweis im strengen Sinne ist sondern "nur" auf der Meta-Ebene stattfindet. Was sich streng formal beweisen lässt:

• Die Induktive Menge aus ZFC erfüllt alle Peano-Axiome.

Was sich jedoch nicht formal beweisen lässt und was ich auch jedesmal dazu schreibe, wenn jemand von einem "Beweis" spricht:

Die Peano-Axiome erfüllen das intuitive Verständnis von natürlichen Zahlen. (Man kann Modelle angeben für Zahlensysteme, bei denen ein Peano-Axiom verletzt ist. Aber es ist unmöglich zu beweisen, dass die Peano-Axiome das intuitive Verständnis von natürlichen Zahlen widerspiegeln.) Im folgenden Punkt von dir stimmen wir daher überein:

Ebenso wie man nur auf der Meta-Ebene beweisen kann, dass die formalen Repräsentationen von Zahlen den intuitiven Zahlen entsprechen, kann man natürlich nur auf der Meta-Ebene beweisen, dass das intuitive und das formalisierte $\vdash$ das Gleiche bedeuten.

Im folgenden Punkt stimmen wir jedoch nicht überein:

Aber das Gleiche gilt eben bei jeder anderen Formalisierung eines Beweises. Und dennoch würde man wohl kaum behaupten 1+1=2 lasse sich nur auf der Meta-Ebene beweisen, weil die Zahlen nur Objekte der Meta-Ebene sind.

Diesen Punkt sehe ich jedoch anders: Diese Sachen lassen sich z.B. ZFC streng formal beweisen, ohne die Meta-Ebene zu betreten. Wenn man zum Beispiel den Körper $\mathbb {Z} _{2}$ verwendet, gilt zum Beispiel: 1+1=0.

Man kann also innerhalb eines gegebenen Axiomensystems streng formal beweisen, ob 2=0 oder $2\neq 0$ gilt oder ob es unentscheidbar ist. Es ist nicht notwendig, dafür die Meta-Ebene zu betreten. Und hier sehen wir auch schon die erste Problematik: In ZFC per se gilt weder das eine noch das andere. Man kann in ZFC die Induktive Mengen hernehmen mit der Inklusion als Nachfolgeoperation und es lässt sich formal beweisen, dass in diesem Fall $2\neq 0$ ist. Man kann in ZFC aber ebensogut $\mathbb {Z} _{2}:=\{\emptyset ,\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$ nehmen, und die beiden Elemente als jeweiligen Nachfolger definieren, dann lässt sich streng formal beweisen, dass 2=0 gilt. ($\mathbb {Z} _{2}$ ist relativ langweilig. Aber es gibt durchaus auch Anwendungen von größeren Körpern mit endlichen Elementen (z.B. $\mathbb {Z} _{9973}$), wo sich dann formal beweisen lässt, dass dieser Körper nicht die Peano-Axiomatik erfüllt. Und es lässt sich auch formal beweisen, ob eine gegebene Menge mit zwei definierten Verknüpfungen nun ein Körper, eine Gruppe oder nichts von beiden ist. In all den Fällen ist es nicht notwendig, auf die Meta-Ebene zurückzukehren, wie es bei "Peano-Axiomatik entspricht intuitiven Zahlenverständnis" oder "Unvollständigkeitssatz" notwendig ist. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 19:53, 1. Mai 2012 (CEST)

Zitat:

Das Problem ist, dieses Prädikat innerhalb der Prädikatenlogik 1. Stufe aber auch richtig zu definieren. Und das wird dir nicht möglich sein.

Naja, also das Bew()-Prädikat entspricht ja genau diesem Beweisbarkeitsprädikat, und ist in Logik erster Stufe definiert.

Diesen Punkt sehe ich jedoch anders: Diese Sachen lassen sich z.B. ZFC streng formal beweisen, ohne die Meta-Ebene zu betreten. Wenn man zum Beispiel den Körper $\mathbb {Z} _{2}$ verwendet, gilt zum Beispiel: 1+1=0.[...]

Wir scheinen da aneinander vorbeigedet zu haben. Nimm irgendeinen nichttrivialen mathematischen Satz, z.B. einen aus der Zahlentheorie. So wie ich Dich verstehe, würdest Du sagen, dass der Beweis dieses Satzes nicht formal durchführbar ist, weil es die natürlichen Zahlen nur auf der Meta-Ebene gibt, weil man die Äquivalenz des intuitiven Zahlenverständnisses mit einem formalen Objekt wie der kleinsten induktiven Menge nicht formal beweisen kann (Ich stimme Dir auch zu, dass man das nicht beweisen kann).

Und es lässt sich auch formal beweisen, ob eine gegebene Menge mit zwei definierten Verknüpfungen nun ein Körper, eine Gruppe oder nichts von beiden ist. In all den Fällen ist es nicht notwendig, auf die Meta-Ebene zurückzukehren, wie es bei "Peano-Axiomatik entspricht intuitiven Zahlenverständnis" oder "Unvollständigkeitssatz" notwendig ist.

Wo ist der Unterschied zwischen "X ist eine Gruppe" und "die Axiomenmenge X beweist Formel F"? In beiden Fällen gibt es eine metasprachliche Definition von "Gruppe" bzw. "Beweis", die man formalisieren kann, um diese Aussagen formal zu beweisen.--Schreiber ✉ 20:27, 1. Mai 2012 (CEST)

Ja, wir reden aneinander vorbei: Es gibt die natürlichen Zahlen nicht auf der Meta-Ebene. Die natürlichen Zahlen sind streng formal definiert als eine Tripel $(\mathbb {N} ,0,')$ mit $0\in \mathbb {N}$ und $'\subset \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ für das die Peano-Axiome gelten. Desweiteren ist meistens noch formal ein $+\subset \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ definiert. Wir stellen uns die natürlichen Zahlen natürlich meistens als real existierende Zahlen vor. Aber das ist nur eine Vorstellung. Per Definition ist es erstmal nur ein Tripel, das die Peano-Axiomatik erfüllt.

Zum Unterschied "X ist eine Gruppe" und "die Axiomenmenge X beweist Formel F":

Die formale Definition von "Gruppe" lässt sich innerhalb der Prädikatenlogik 1. Stufe aufschreiben. Mich würde jetzt interessieren, wie die formale Definition von "Beweis" aussieht. Die Definition in der Metasprache lautet: Es gibt eine endliche Folge von Aussagen mit den folgenden Eigenschaften:

• Für jede Aussage gilt: Sie ist ein Axiom oder lässt sich durch die Kalküle aus den vorhergehenden Aussagen gewinnen.
• Die letzte Aussage ist der zu beweisende Satz.

Und mich würde interessieren, wie du das mit Hilfe der Prädikatenlogik aufschreiben willst. Klar, du kannst innerhalb deines Modells ein Subsystem definieren und dann mit Hilfe der Prädikatenlogik deines Modells die Beweisbarkeit im Subsystem aufschreiben. Aber die Beweisbarkeit im ursprünglichen Modell lässt sich nicht aufschreiben. Diesen Umweg muss man bei "X ist eine Gruppe" nicht gehen.

Der Unterschied ist darüberhinaus, dass du gewisse Anforderungen an dein Modell bzw. Axiomensystem stellen musst, damit du Beweisbarkeit überhaupt prädikatenlogisch "definieren" kannst. Das ist bei Gruppe nicht der Fall. Hier lässt sich in jedem Axiomensystem definieren, was eine Gruppe ist. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:27, 1. Mai 2012 (CEST)

Zitat:

Wir stellen uns die natürlichen Zahlen natürlich meistens als real existierende Zahlen vor. Aber das ist nur eine Vorstellung. Per Definition ist es erstmal nur ein Tripel, das die Peano-Axiomatik erfüllt.

Naja, ich glaube nicht, dass das die meisten Mathematiker so sehen. Aber okay.

Und mich würde interessieren, wie du das mit Hilfe der Prädikatenlogik aufschreiben willst. Klar, du kannst innerhalb deines Modells ein Subsystem definieren und dann mit Hilfe der Prädikatenlogik deines Modells die Beweisbarkeit im Subsystem aufschreiben. Aber die Beweisbarkeit im ursprünglichen Modell lässt sich nicht aufschreiben.

Ich weiß nicht was Du mit "Beweisbarkeit in einem Modell" meinst. Beweisbarkeit ist zunächst für Theorien definiert. Auf jeden Fall ist es aber kein Problem, die Beweisbarkeit innerhalb etwa der Arithmetik oder Mengenlehre in der jeweiligen Theorie selbst zu definieren. Wie das geht, wird hier grob erklärt.

Hier lässt sich in jedem Axiomensystem definieren, was eine Gruppe ist.

Nee, um über Gruppen zu reden, sollte ein System zumindest mal über endliche Mengen reden können. In einem Axiomensystem zu einer Sprache, die als nichtlogische Zeichen z.B. nur einstellige Prädikate hat, kann man "X ist eine Gruppe" auch nicht sinnvoll definieren.

Aber bevor wir hier in einer philosophischen Debatte versumpfen: Die mathematische Literatur, die ich zum Thema kenne, hält Formalisierung von Logik für unproblematisch. So hat Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic sogar ein eigenes Kapitel (6.6) darüber, wie man Resultate der Logik (wie den zweiten Unvollständigkeitssatz) in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre - in Logik erster Stufe - beweisen kann. Wenn man Logik in Logik erster Stufe nicht formalisieren könnte, wäre übrigens auch der zweite Unvollständigkeitssatz völlig sinnlos. Also egal was unsere philosophischen Positionen sind, in der modernen mathematischen Logik hat man wohl kein Problem damit, Logik in Prädikatenlogik zu formalisieren. Kennst Du mathematische Literatur, die das anders sieht? Gruß--Schreiber ✉ 21:59, 3. Mai 2012 (CEST)

Was eine Gruppe ist, lässt sich nicht in jeder logischen Sprache definieren. Aber es lässt sich in jedem Axiomensystem definieren. Und noch ein weiterer Unterschied: In logischen Sprachen, in denen man "Gruppe" nicht prädikatenlogisch definieren kann, gibt es auch keine Gruppen. Die prädikatenlogische Definition von Gruppe ist sozusagen eine notwendige Voraussetzung dafür, dass es Gruppen gibt.

Bei Beweisen ist das anders: In Sprachen, in denen man "Beweis" nicht prädikatenlogisch definieren kann, gibt es dennoch Beweise. Das zeigt, dass die prädikatenlogische Definition nicht die wahre Definition ist sondern nur äquivalent zur eigentlichen Definition ist. (Und dass diese Äquivalenz vorliegt, wird in einer Ebene höher bewiesen.)

Und ich halte Formalisierung von Logik auch für unproblematisch. Man muss nur aufpassen, auf welcher Ebene der Beweis durchgeführt wird. So hat man ja einen Beweis des 1. Unvollständigkeitssatzes. Aber eben nicht in der Ebene, in der der 1. Unvollständigkeitssatz gilt, sondern eine Ebene höher. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 22:40, 3. Mai 2012 (CEST)

Zitat:

So hat man ja einen Beweis des 1. Unvollständigkeitssatzes. Aber eben nicht in der Ebene, in der der 1. Unvollständigkeitssatz gilt, sondern eine Ebene höher.

In der Literatur werden die Unvollständigkeitssätze auch in prädikatenlogischen Systemen erster Stufe bewiesen, sowohl in der Arithmetik als auch der Mengenlehre (allerdings nicht in zu schwachen Systemen wie der Robinson-Arithmetik). Egal ob man anerkennt, dass diese dann tatsächlich die angegebenen Aussagen repräsentieren, in der Literatur wird das eben als Formalisierung der Unvollständigkeitssätze verstanden. Ich verstehe Deine Sicht und kann das jetzt durchaus nachvollziehen, aber wir sollten hier statt eigenen philosophischen Überlegungen die allgemein anerkannte Sicht darstellen. Von der Notwendigkeit, das auf einer Meta-Ebene zu beweisen, habe ich (in der mathematischen Literatur) noch nie gelesen. Kennst Du andere Literatur? Gruß--Schreiber ✉ 23:04, 3. Mai 2012 (CEST)

Ich habe im Moment nicht genügend Zeit für eine Literaturrecherche. Aber OK, von mir aus kann der strittige Satz entfernt werden, bis ich eine passende Literaturstelle gefunden habe. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:37, 6. Mai 2012 (CEST)

Okay, Mario hat ja schon den Satz so umformuliert, dass er aus meiner Sicht unstrittig geworden ist. Gruß--Schreiber ✉ 14:15, 9. Mai 2012 (CEST)

Schreibweise des Artikelnamens

Kurzes Googlen fördert zutage, dass viele Uni-Websites scheinbar die doppelte Großschreibung, d.h. „Gödelscher Unvollständigkeitssatz" bevorzugen. Ähnlich wird auch im Falle des Freud'schen Versprechers verfahren. Im Kontrast dazu empfiehlt der Duden die Kleinschreibung (siehe Regel 135), versehen mit der Einschränkung „im Allgemeinen". Wie soll weiter verfahren werden? Ich selbst bin mir nicht sicher. Vielleicht kann jemand weitere Beispiele oder gar eine Wikipediakonvention vorbringen. --Rubinsky (Diskussion) 22:09, 11. Mai 2012 (CEST)

Wikipediakonvention ist: Man soll es so lassen, wie es ist, siehe WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive ("Wenn die Argumentation über diese unklare Regelung möglich ist, sollte in bestehenden Artikeln die vorhandene Schreibweise nicht geändert werden."). --84.130.159.233 22:23, 11. Mai 2012 (CEST)

Diskussionen über die Auslegung des § 62 der amtlichen Rechtsschreibung (Kleingeschrieben werden adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph verdeutlicht wird, ferner alle adjektivischen Ableitungen mit anderen Suffixen) sind in der WP schon genügend geführt worden. Ein Ergebnis war z. B., dass das Ohmsches Gesetz kein Eigenname ist und daher kleingeschrieben wird. Die analoge Anwendung auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz bedeutet eben: gödelscher Unvollständigkeitssatz. Aber irgendwie sieht es so, dass trotzdem keine Vereinheitlichung zu erzielen ist. Die Heisenbergsche Unschärferelation wird aktuell wieder mal groß geschrieben, bis Anfang Februar war sie kleingeschrieben. Einsteinsche Feldgleichungen befinden sich im Stadium der Kleinschreibung. Wer lustig ist, kann ja noch weitere Beispiele für die uneinheitliche Schreibung in der WP suchen und finden. Viel Spaß.--Horst Gräbner (Diskussion) 10:01, 12. Mai 2012 (CEST)

Das Ergebnis steht in der von mir vielfach und auch von Dir selbst zitierten Regel WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive und lautet "Wenn die Argumentation über diese unklare Regelung möglich ist, sollte in bestehenden Artikeln die vorhandene Schreibweise nicht geändert werden". Dies ist hier der Fall, also wird die bestehende Schreibweise, das ist in diesem Fall die Großschreibung (Version vor den Änderungen), beibehalten. --84.130.160.180 10:05, 12. Mai 2012 (CEST)

In diesem Artikel wurde die Großschreibung Gödelscher Unvollständigkeitssatz vom ursprünglichen Autor verwendet. Am 16. August 2004 wurde die Kleinschreibung mit Verweis auf den Duden eingefügt und bis 28. Mai 2009 beibehalten; am 29. Mai 2009 wurde die Großschreibung ohne Begründung wieder eingefügt. Am 10. Mai diesen Jahres wurde diese wieder auf Kleinschreibung zurückgesetzt. Dass eine falsche Schreibung drei Jahre Bestand hatte, macht sie nicht zur „bestehenden“ und auch nicht zur richtigen. Siehe auch Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze.--Horst Gräbner (Diskussion) 10:43, 12. Mai 2012 (CEST)

Was soll "bestehende Schreibung" denn sonst bedeuten, wenn nicht die ursprüngliche?--Schreiber ✉ 11:29, 12. Mai 2012 (CEST)

(Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze wurde auch erst jetzt auf Keinschreibung geändert, die "bestehende" wäre Großschreibung.--Schreiber ✉ 11:30, 12. Mai 2012 (CEST))

Nachvollziehen könnte ich auch noch die Handhabung, dass man die zitierte Regel in WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive ab dem Zeitpunkt, an dem sie im Konsens eingetragen wurde, anwendet, also etwa ab Mitte Januar 2011 (bedeutet hier also ebenfalls Beibehaltung der Großschreibung). Da wäre dann freilich noch einiges von Ghdma, Mrig11 und Konsorten in Kleinschreibung Geändertes nachzuarbeiten. Mir ging es mehr darum, diese irgendwann einfach auf den Senkel gehenden Rechtschreibmissionen zu stoppen, dafür genügt die pragmatische Handhabung, beim Überhandnehmen dieser stets ohne inhaltliche Weiterentwicklung der Artikel (geschweige denn als Hauptautor) ausgeübten Tätigkeit einzugreifen, die entsprechenden Benutzer über die Regel zu belehren und in Bezug darauf zu konstruktiver Mitarbeit anzuhalten. Es sollte einleuchten, dass es dabei legitim ist, die regelwidrige Bearbeitung mit Hinweis auf die Regel rückgängig zu machen, aber nicht legitim, diese Rückgängigmachung ebenfalls mit Hinweis auf die Regel zu revertieren. --84.130.173.97 00:19, 13. Mai 2012 (CEST)

Unentscheidbar oder wahr und unentscheidbar?

Wikipedia ist inkonsistent bezüglich der Frage, ob der Erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in hinreichend komplexen widerspruchsfreien axiomatischen Systemen immer (1) unentscheidbare oder immer (2) wahre unentscheidbare Aussagen gibt. Die Formulierung (1) findet sich in der Einleitung des Artikels:

Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen, noch widerlegen kann. […] Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen immer unbeweisbare Aussagen gibt.

und später im Abschnitt Gödels Sätze:

Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass man in (rekursiv aufzählbaren) Systemen der Arithmetik nicht alle Aussagen formal beweisen oder widerlegen kann.

Im Abschnitt Bedeutung heißt es dann aber entsprechend Variante (2):

Gödels erster Unvollständigkeitssatz zeigt, dass jedes konsistente formale System, das genug Aussagen über natürliche Zahlen enthält, unvollständig ist: es gibt wahre Aussagen, die in seiner Sprache ausdrückbar sind, die aber nicht beweisbar sind.

Und im Artikel Beweise der Gödelschen Unvollständigkeitssätze, Einleitung:

Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass kein konsistentes Axiomensystem, dessen Theoreme von einem Algorithmus aufgezählt werden können, alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen mit Addition und Multiplikation beweisen kann.

Fette Hervorhebung jeweils durch mich. Ich denke, dass der Unterschied nicht unerheblich ist. So wäre die Kontinuumshypothese ein Beispiel nach Variante (1), was wir von Variante (2) allerdings nicht sagen können (wurde auch oben schon angesprochen). So ist die folgende Aussage im Artikel Kontinuumshypothese als Ausdruck von Variante (1) einzustufen:

Damit ist sie das erste relevante Beispiel für Gödels 1. Unvollständigkeitssatz.

Der englische Artikel scheint übrigens Variante (2) zu präferieren. Es wäre toll, wenn jemand eine quellenbelegte Klärung herbeiführen könnte, sodass die Artikel vereinheitlicht & verbessert werden. – Ocolon (Diskussion) 05:41, 23. Jun. 2012 (CEST)

Sehr gut! Du legst den Finger in die Wunden der populärwissenschaftlichen Darstellungen von Gödels Theorem.

Um es mal kurz zu klären: (1) ist richtig. Es ist die stärkste der drei Formulierungen, und zwar nicht logisch (sie sind äquivalent, falls noch Zusatzannahmen gemacht werden, s. u.), sondern sprachlich, weil diese ohne den Begriff der "Wahrheit" auskommt.

Ohne hier zu viel in den metamathematischen Hintergrund der Grundlagenkrise der Mathematik einzutauchen, ist es wichtig zu wissen, dass man zu Zeit von Gödels Entdeckung auf der Suche nach einer Fundierung der Mathematik war. Die Programme sowohl des Formalismus als auch des Logizismus wollten ohne den Begriff der "Wahrheit" auskommen, weil er schlecht zu definieren ist.

Da Gödel eine direkte Antwort auf die Principia Mathematica war, ist seine Arbeit so geschrieben, dass er bei der Beschreibung der Objektsprache komplett ohne den Begriff der Wahrheit auskommt.

Die Formulierung (2) und (3) setzen voraus, dass man Aussagen (der Objektsprache) Wahrheitswerte zuordnen kann.

Um aber "Wahrheit" vernünftig zu definieren, brauchen wir eine Modelltheorie, wozu wir aber wieder mehr Axiome auf der Metasprache brauchen. (In der Metasprache wurde Gödels Theorem bewiesen.)

Wir bewegen uns mit diesen Formulierungen von der ursprünglichen Aussage weg.

Wenn es kein Problem mehr ist, von der Wahrheitheit von Aussagen über natürliche Zahlen zu reden (weil wir auf der Metasprache die Axiome der Mengenlehre hinzugenommen haben), dann ist (1) äquivalent zu (2), wenn man (2) umformuliert zu:

Gödels erster Unvollständigkeitssatz zeigt, dass jedes konsistente rekursiv aufzählbare formale System, das genug Aussagen über natürliche Zahlen enthält, unvollständig ist: es gibt wahre Aussagen, die in seiner Sprache ausdrückbar sind, die aber nicht beweisbar sind.

(Strenggenommen muss man voraussetzen, dass die beweisbaren Aussagen rekursiv aufzählbar sind)

Ansonsten ist (2) schlicht falsch. (3) ist eine korrekte Formulierung, wenn man, wie gesagt, den Begriff der "Wahrheit" verwendet möchte.

Der Unterschied zur Kontinuumshypothese ist, dass wir bei der Mengenlehre anders als bei den natürlichen Zahlen keinen naiven Zugang haben, wir also nicht annehmen, dass jede Aussage über Mengen schon irgendwie wahr oder falsch ist. Wir haben sozusagen kein Standardmodell im Kopf. Und das, da hast du recht, entspricht der Situation von (1)

Was in populärwissenschaftlichen Darstellungen oft das Problem ist, ist, dass man das Problem zu sehr aus dem technischen Zusammenhang löst, also zB nicht genau zwischen Objekt- und Metasprache unterscheidet, "Wahrheit" naiv (für die Objektsprache) verwendet, vergisst die "Rekursivität" usw. Man fängt zwar noch sauber an, spätestens bei der Beweisskizze schludert man, was dann zu ungenauen Formulierungen führt. (ZB bei Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze gehts drunter und drüber, da mach ich mich mal irgendwann dran.)--Frogfol (Diskussion) 03:01, 27. Jul. 2012 (CEST)

Mich würde interessieren, was Dir an Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze missfällt. Ich habe aus der zweiten Version dort die Wahrheit rausgenommen, da sie dort überflüssig ist, war es das oder gibt es noch mehr? Der Begriff des "formalen Systems" wird übrigens m.W. gemeinhin schon als rekursiv aufzählbares Axiomensystem verstanden, das sollte also doch wohl kein Problem sein. Gruß--Schreiber ✉ 18:00, 28. Jul. 2012 (CEST)

Nein, das ist sehr viel mehr. Ich hab hier gerade erst angefangen, da bin ich über den Artikel gestolpert. Sry, wenn ich etwas flapsig rüber kam, wollte niemendem auf die Füße treten. Wie gesagt, ich arbeite mich gerade erst ein, hab aber angefangen, meine Kritik aufzuschreiben und werde sie dann, wenn ich fertig bin, in der disk zu Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze posten.--Frogfol (Diskussion) 06:02, 29. Jul. 2012 (CEST)

Okay. Kleine Sachen kannst Du auch ruhig ohne Disk korrigieren (der Disku-Beitrag bei Satz von Löb ist gut, wäre aber nicht nötig gewesen). Gruß--Schreiber ✉ 09:19, 29. Jul. 2012 (CEST)

Ich habe jetzt die Wahrheit aus dem Beweisskizzenabschnitt eliminiert. Im Bedeutungsabschnitt ist die sicherlich noch erwähnenswert, da sollte dann aber klar gemacht werden, unter welchen Bedingungen an die Metasprache und das untersuchte formale System man von so etwas sprechen kann. Der Unvollständigkeitssatz an sich setzt zunächst nicht voraus, dass wir sowas wie Wahrheit arithmetischer Aussagen überhaupt definieren können (wofür man die Sätze womöglich erstmal übersetzen und dann interpretieren muss), und er lässt auch zu, dass in dem System falsche arithmetische Aussagen bewiesen werden. Dass es unmöglich ist, die „wahre Arithmetik“ zu axiomatisieren, ist eine Konsequenz, aber auch nur eine (die man im Übrigen mit ein wenig elementarer Rekursionstheorie einfacher haben kann).

An dieser Stelle habe ich jetzt auch auf die Formulierung „wahr aber nicht beweisbar“ verzichtet, und nur gesagt, dass der metasprachliche Satz „der Satz mit der Nummer n ist nicht beweisbar“ gilt. Damit die Formulierung „wahr aber nicht beweisbar“ zum Verständnis hilfreich ist, muss man sich meines Erachtens auf eine gewisse Situation beziehen. Falls die Wahrheit solcher Sätze gar nicht definierbar ist oder sie aber definierbar ist, man aber nicht beweisen kann, dass aus der Beweisbarkeit Wahrheit folgt, besteht ja zwischen den objektsprachlichen Aussagen und metasprachlichen Entsprechungen kaum eine Beziehung, sodass man da auch nichts erwartet. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 02:21, 12. Aug. 2013 (CEST)

Hinweis und für Pädagogik den Artikel

Die stumpfe Spitze der Gödel daher für diese beiden Unvollständigkeitssätze, dass Primzahlen ("höchstwahrscheinlich") sind unendlich, aber dass es keine mathematische Formel für sie zu identifizieren, und dass, als sie ganz sind, von einem Punkt "da oben" unbekannt vornherein, Primzahlen sich genommen, zumindest teilweise und als Phänomen, diese beiden Unvollständigkeitssätze und dass, natürlich, damit Gödel behauptet, dass die Sätze endgültig sind, wahrheitsgemäß erhalten, wie durch seine Arbeit, das ist, seine Verwendung von "Beweis" braucht.
Deshalb ist die erste Zeile der "Angriff" auf Gödel ist zu behaupten und unter der Prämisse arbeiten, dass der Lügner-Paradox bedeutungslos ("meaningless") ist.
Nächste Überlegung ist dass für Leute, die das machen ein Titel "Das ist nicht ein Titel" auf einem Buch (Raymond Smullyan, fx.) Angelegenheiten denken, müssen Sie nicht viel tun, außer Setzung eines Austin Aussage, dass Sie begehen einen Sprechakt, ist nicht Logiken! So jetzt, endlich, uns, die zu der Gruppe, die für "System Vollständigkeit" suchen angehören, sind wir für eine erfolgreiche Tage in den Monaten und Jahren, möglicherweise sogar Gödel, von der "anderen" Seite, ist eine christliche (von seiner "ontologische Gott"). Tarski ist auch eine kontinuierliche Faktor hier durch seine Arbeit. Wiedersehn. --LFOlsnes-Lea (Diskussion) 23:47, 22. Sep. 2012 (CEST)

Tut mir leid, ich verstehe nicht, was Du meinst. Du kannst auf Diskussionsseiten auch Englisch oder eine andere Sprache benutzen, dann ist das für uns sicher leichter verständlich. Gruß--Schreiber ✉ 00:07, 23. Sep. 2012 (CEST)

Ihr Anspruch ist nicht begründet, Schreiber, und eine solche Logik der Sprache ist einfach unter der Klasse von Gödel Diskussion überhaupt, folglich (Logiken auch, logischen Bedingungen "->"), tut mir leid für Sie!

Sie könnten es von Chamberlain hätte: "... und folglich dieses Land ist jetzt im Krieg mit Deutschland." von

"Chamberlain: "...and consequently this country is now at war with Germany."" --LFOlsnes-Lea (Diskussion) 03:24, 23. Sep. 2012 (CEST)

Ich glaub' irgendwie nicht, dass dieses Geschreibsel mehr Sinn ergibt, wenn's auf Englisch oder Norwegisch neu verfasst wird. Wiedersehn. --Daniel5Ko (Diskussion) 04:03, 23. Sep. 2012 (CEST)

Ich bürge für diesen Mann. Spitze -> Sinn, Leute -> die Leute, Sprechakt -> Sprechhandlung, Dass zwei verknüpfte Ziel werden gesucht, einer der Vollständigkeit und einer der Unvollständigkeit, und daß die erste, die erreicht werden soll, um im Laufe der Geschichte zu stehen und der andere ist effektiv, logisch zerstört. Austin Referenz: J. L. Austin, Performative Utterances in The Philosophy of Language, A. P. Martinich, 5th ed. Oxford University Press, 2008, unter "II", Speech Acts. Gut? --109.189.65.102 13:47, 28. Sep. 2012 (CEST)

Es ist erwähnenswert, dass das Wort „Primzahl“ fünf Instanzen in den 23 Seiten seines Aufsatzes hat. MfG, 62.16.242.169 00:05, 24. Nov. 2012 (CET)

Jüngste Änderungen

Hallo Eulenspiegel! Ich habe mir nochmal meinen damaligen Bearbeitungskommentar angeguckt, die Änderung hatte sogar zwei Gründe:

• „Wahr“ wird wie gesagt in diesem Kontext in der mathematischen Logik nicht definiert, hat nur eine intuitive Bedeutung. Die Aussage im Text sollte rein mathematisch sein. Will man davon abweichen, sollte man einen guten Grund dafür haben und darauf hinweisen.
• Unvollständigkeit ist so definiert, dass es einen Satz gibt, der ebensowenig wie seine Negation nicht zur Theorie gehört, nicht beweisbar ist. Wenn man das nicht explizit sagt und nur etwas von Wahrheit spricht, dann im nächsten Satz aber auf die Unvollständigkeit zu sprechen kommt, so wird dadurch die Bedeutung von Unvollständigkeit verschleiert.

Grüße --Chricho ¹ ² ³ 00:07, 9. Aug. 2013 (CEST)

1) Wahr hat auch in der Logik & Modelltheorie eine große Bedeutung: Es wird benutzt, um zwischen Semantik und Syntax zu trennen:

• Semantik: $A\vDash \varphi$ bedeutet: $\varphi$ ist wahr/richtig in jedem Modell von A.
• Syntax: $A\vdash \varphi$ bedeutet: $\varphi$ ist ableitbar/beweisbar in A.

Diese beiden Sachen sind nur äquivalent, falls das verwendete Logik-Kalkül sowohl vollständig als auch korrekt ist (z.B. das Hilbert-Kalkül).

2) Vollständigkeit von Theorien ist so definiert, dass für jede Aussage $\varphi$ gilt: $A\vDash \varphi$ oder $A\vDash \neg \varphi$. Die Vollständigkeit von Theorien bezieht sich also auf die Semantik. - Wenn ein logisches Kalkül zugrundeliegt, das sowohl vollständig als auch korrekt ist, macht das keinen Unterschied, da in diesem Fall die Semantik äquivalent zur Syntax ist. Dies ist jedoch nicht immer der Fall.

3) Zwischen "$\varphi$" und "$\varphi$ ist ableitbar" existiert ein Unterschied. Die Ableitung für $\varphi$ unterscheidet sich von der Ableitung für "$\varphi$ ist ableitbar". Wenn du also einen Beweis dafür hast, dass $\varphi$ beweisbar ist, ist das noch kein Beweis für $\varphi$. Dafür würde deine Logik ein Kalkül der Form $\mathrm {Bew} (\varphi )\vdash \varphi$ für alle $\varphi$ benötigen. Dieses Kalkül wird aber in keiner gebräuchlichen Logik verwendet. (Schon alleine, weil in den normalen Sprachen die Beweisfunktion nicht existiert.) Und so weit ich weiß, hat auch Gödel für den Beweis des Unvollständigkeitssatzes nicht extra dieses Kalkül eingeführt.

Gäbe es das Kalkül, dann könnte man aus der Ableitbarkeit/Beweisbarkeit von $\varphi$ auch $\varphi$ folgern. Oder anders ausgedrückt: Wenn ich beweisen kann, dass $\varphi$ beweisbar ist, dann wäre der verwendete Beweis zusammen mit dem neuen Kalkül auch ein Beweis für $\varphi$. Ohne dieses Kalkül gilt dies jedoch nicht.

Um mit Hilfe der Beweisbarkeit von $\varphi$ also auch Aussagen über $\varphi$ treffen zu können, müssen wir uns die Korrektheit des Kalküls zu nutze machen. Also daraus, dass wir abgeleitet haben, das $\varphi$ ableitbar ist, folgt, dass es wahr ist, das $\varphi$ ableitbar ist. Daraus folgt, dass $\varphi$ ableitbar ist. (Semantisch ist dieser Schluss zulässig. Syntaktisch ist dieser Schluss unzulässig, da uns ein notwendiges Kalkül fehlt.)

4) In der Standardlogik der Mathematik ist es so, dass doppelte Negationen sich gegenseitig aufheben. Das ist jedoch nicht in allen mathematischen Logiken der Fall: Wenn du einen Blick auf die konstruktive Mathematik oder intuitionistische Logiken betrachtest, stellst du fest, dass die doppelte Negation nicht unbedingt wieder die ursprüngliche Aussage ergeben muss. Wir können also aus "Es gilt nicht, dass Satz n nicht ableitbar ist" nicht per se schließen, dass Satz n ableitbar ist. Hier müsste man also noch argumentieren, wieso das in der verwendeten Logik möglich ist. (Ja, es ist in der verwendeten Logik möglich. Aber das ist keine Selbstverständlichkeit.)

5) Es wurde vor dem Unvollständigkeitssatz bereits gezeigt, dass Systeme, in denen eine Aussage in mind. 1 Modell des System wahr ist, obwohl es nicht ableitbar ist, unvollständig sind. Diese Eigenschaft ist zwar nicht die Definition von Unvollständigkeit, aber sie ist äquivalent zur Unvollständigkeit falls die verwendete Logik vollständig ist (was das Hilbert-Kalkül ja ist).

Der Hauptgrund, weshalb ich den aktuellen Abschnitt aber für falsch halte, ist 3). Und Punkt 1)+2) zeigen imho, dass es auch in der Logik & Modelltheorie üblich ist, von "wahr" zu sprechen. Es also kein Begriff ist, den man meiden sollte. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 14:24, 10. Aug. 2013 (CEST)

Zu 1 und 2: Solch ein formaler Wahrheitsbegriff wurde in der von mir ersetzten Passage aber nicht verwendet. Wenn du das anders siehst, erklär mir bitte, in welchem formalen Sinne der „Satz mit der Nummer n […] wahr“ ist. In den Unvollständigkeitssätzen wird auf Modelltheorie keinerlei Bezug genommen, das sind rein beweistheoretische Aussagen und Argumente. Vollständigkeit spielt da keine Rolle, die spielt womöglich erst eine Rolle, wenn du eben modelltheoretische Implikationen ins Spiel bringen willst, aber die sind wie gesagt zunächst nicht Teil der Unvollständigkeitssätze.

Aber ich denke, ich weiß, auf was für eine Problematik du hinaus willst, werde nochmal darüber nachdenken. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 15:06, 10. Aug. 2013 (CEST)

So, nun zu deinen Punkten 3 und 4: Wenn ich so naiv „ebensowenig wie seine Negation (wäre diese ableitbar, würde dies auch eine Ableitung des Satzes mit Nummer n liefern)“ schreibe, treten in der Tat zwei Probleme auf: 1. Wenn man keine klassische Negation hat, so ist nicht garantiert, dass die Negation des Satzes mit der Nummer n äquivalent ist zu $Bew(n)$. Das Problem lässt sich lösen, indem wir statt dessen direkt den (in klassischer Logik äquivalenten) Satz $Bew(n)$ betrachten. 2. Um aus der Beweisbarkeit von $Bew(n)$ die Beweisbarkeit des Satzes mit der Nummer n zu folgern, reicht die Annahme der Konsistenz nicht aus, es braucht ω-Konsistenz (diese Eigenschaft ist stets gegeben, wenn wir fordern, dass die betrachtete Theorie nur „wahre“ arithmetische Sätze herleitet, dies ist hier jedoch nirgends gefordert und ich würde auch davon Abstand nehmen, weil dies nicht gerade sparsam ist und zudem bedeutet, dass wir eine starke Metatheorie brauchen, die über einen Wahrheitsbegriff für arithmetische Aussagen verfügt, dann könnte man den Beweis des Unvollständigkeitssatzes nicht mehr in Arithmetik führen). Gödel hat im Original die ω-Konsistenz gefordert, das heißt in den Theorien, die Gödel ursprünglich betrachtet hat, galt in der Tat $Bew(\#(\varphi ))\vdash \varphi$ ($\#(\varphi )$ sei die Gödelnummer von $\varphi$, eine spezielle Sprache, in dem man $Bew(\varphi )$ sagen kann wird nicht benutzt, man benutzt hier einfach Kodierungen von Sätzen) mit einer passenden Definition von $Bew$. Die Korrektheit des Kalküls allein reicht dafür nicht aus und hat damit auch nichts zu tun (Korrektheit ist ein auf Modelltheorie bezogener Begriff, und die spielt hier nicht mit hinein). Was man braucht, damit man statt ω-Konsistenz einfach nur Konsistenz benutzen kann, ist Rossers Trick (siehe auch Rosser’s trick).

Was Punkt 5 hiermit zu tun hat, verstehe ich nicht.

Noch eine Anmerkung zur Wahrheit: Informell wird unter „$\varphi$ ist wahr“ in der Mathematik oft einfach nur die Aussage $\varphi$ verstanden. In der Modelltheorie definiert man die Wahrheit in einem Modell, um die geht es hier aber nicht. Was es dann noch gibt, sind Wahrheitsprädikate $Wahr(n)$ in dem Sinne, dass für alle Formeln $\varphi$ aus einer bestimmten Menge $Wahr(\#(\varphi ))$ äquivalent zu $\varphi$ ist.

Was tun? Ich denke, in dieser Beweisskizze sollte man nicht auf Rossers Trick eingehen, sondern nur eine Skizze des einfachen Beweises liefern, der allerdings ω-Konsistenz benötigt. Mein Vorschläg wäre also: Im Beweisskizzenabschnitt dazu sagen, dass man hier von ω-Konsistenz der Theorie sowie einer klassischen Negation ausgeht, der Satz aber auch allgemeiner gilt, wobei die Grundidee des Beweises nicht anders ist. --Chricho ¹ ² ³ 18:06, 10. Aug. 2013 (CEST)

Vorwort: Du wolltest wissen, in welchem formalen Sinne der Satz n wahr ist. Das erkennt man imho deutlich, wenn man versucht, den Gödelschen Unvollständigkeitssatz für eine vollständige, aber nicht notwendigerweise korrekte Logik zu beweisen. Der Beweis funktioniert erst, wenn man die Korrektheit des verwendeten Kalküls nutzt. Nach diesem Vorwort versuche ich nun, deine Frage zu beantworten.

Antwort auf deine Frage: Wir haben das Universum V und eine Gödelisierung des Universums $G\subset V$. Innerhalb des Universums gibt es nun den Satz n, der besagt: "Der Satz n ist nicht ableitbar." bzw. $G\not \vdash \mathrm {Satz} (n)$ Wir wissen nicht, ob wir diesen Satz ableiten können oder nicht. Prinzipiell gibt es für ein System mit einer vollständigen (aber nicht notwendigerweisen korrekten) Logik drei Möglichkeiten:

1. $G\vdash \mathrm {Satz} (n)$ und das System ist widerspruchsfrei. Dann ist die verwendete Logik aber nicht korrekt, da wir eine falsche Aussage abgeleitet haben. (Wir haben in dieser Logik abgeleitet, dass Satz n nicht ableitbar ist, obwohl wir gerade Satz n abgeleitet haben. Das heißt, in dieser Logik lassen sich auch falsche Aussagen ableiten.) ACHTUNG: Da das System widerspruchsfrei ist, können wir die Negation von Satz n nicht ableiten: Das heißt, wir können in der verwendeten Logik zwar Satz n ableiten, aber wir können nicht ableiten, dass Satz n ableitbar ist.
2. $G\not \vdash \mathrm {Satz} (n)$ und das System ist widerspruchsfrei. Da die verwendete Logik vollständig ist, würde daraus folgen, dass Satz n nicht in jedem Modell wahr ist. Das heißt, es gibt mind. 1 Modell, in denen n nicht wahr ist. (Wenn Satz n in jedem Modell wahr wäre, müsste Satz n aufgrund der Vollständigkeit der Logik ableitbar sein. Da Satz n nicht ableitbar ist, gibt es mind. 1 Modell, in dem der Satz falsch ist.) Satz n darf aber auch nicht in jedem Modell falsch sein. Das heißt, es gibt Modelle, in denen die Aussage wahr ist und andere Modelle, in denen die Aussage falsch ist.
3. Das System ist widersprüchlich.

Im 1. Fall können wir keine Aussagen darüber treffen, ob das System vollständig ist oder nicht. Wir können nur die Aussage treffen, dass im 1. Fall die Logik nicht korrekt ist. Um also sicherzustellen, dass nur der 2. oder 3. Fall eintreten können, benötigen wir die Korrektheit der verwendeten Logik. Und die Korrektheit einer Logik besagt nunmal: "Wenn wir einen Satz ableiten können, dann ist dieser Satz auch wahr." --Eulenspiegel1 (Diskussion) 19:20, 11. Aug. 2013 (CEST)

Nochmal: Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz und sein Beweis nehmen keinerlei Bezug auf Modelle bzw. modelltheoretische Semantik. Der Vollständigkeitsbegriff ist immer bezogen auf eine gewisse Art von Semantik, wenn man mit einer solchen gar nichts zu tun hat, ist auch Vollständigkeit vollkommen egal. Ansonsten: Was ist dieses Universum? Ist das eine Menge? Wo kommt das her? Und was soll eine Gödelisierung eines Universums sein? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:31, 11. Aug. 2013 (CEST)

Nochmal: Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz verwendet, dass das Hilbert-Kalkül vollständig und korrekt ist. Der Satz "Satz n ist nicht ableitbar" benötigt, dass die Ableitung in einem vollständigen und korrekten Kalkül stattfindet. Versuche den Beweis mal mit einer nicht korrekten Logik nachzuvollziehen. Dann stellst du fest, dass dir der Satz "Satz n ist nicht ableitbar" überhaupt nichts bringt, da er keinerlei Aussagekraft hat. Du benötigst Korrektheit der Logik, damit du mit dem Satz irgendetwas anfangen kannst. (Ohne Semantik gibt es keinen Unterschied zwischen "Satz n ist nicht ableitbar" und "Satz n ist ein Hühnchen." Klar, beide Sätze haben unterschiedliche Gödelnummern. Aber es ist die Semantik, die dafür sorgt, dass der erste Satz uns beim Beweis des Unvollständigkeitssatzes weiterhilft und der zweite Satz nicht.)

Ein Universum ist keine Menge sondern eine Klasse. Genaugenommen die Allklasse.

Die Gödelisierung des Universums bedeutet, dass man jeder Aussage der Logik eine Gödelnummer zuordnet und dann die Klasse aller Gödelnummern betrachtet.

PS: Da das evtl. zu Missverständnissen geführt hat: Das G bei $G\vdash$ ist als Schreibschrift G zu lesen. Es umfasst alle gödelisierten Axiome unseres Systems. Das heißt, es umfasst die Gödelnummern der Axiome des Systems. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 20:04, 11. Aug. 2013 (CEST)

Ich weiß zwar nicht, was das mit der Allklasse zu tun haben soll, aber das kann ich ja einfach ignorieren.

Nun zum eigentlichen: Ich habe die Beweisskizze in dem Artikel überarbeitet. Kannst du das nachvollziehen? Ich wiederhole nochmal: Mit Korrektheit oder Vollständigkeit hat das überhaupt nichts zu tun. Wichtig sind beim hier skizzierten Beweis maßgeblich, dass man eine Formel $\varphi (x)$ mit der intuitiven Bedeutung „es existiert ein Beweis für die Aussage mit der Nummer n“ hat, welche die folgenden formalen Eigenschaften hat: 1. Hat man einen Beweis für die Aussage mit der Nummer n, so folgt daraus die Existenz für einen Beweis von $\varphi (n)$ (das ergibt sich aus der Forderung, dass das System hinreichend aussagestark ist: Man kann den Beweis durch eine Zahl kodieren, aus der Zahl eine Formel in dem System machen und dann innerhalb des Systems folgern, dass man tatsächlich einen Beweis vor sich hat). 2. Hat man einen Beweis für die Aussage $\varphi (n)$, so existiert ein Beweis für die Aussage mit der Nummer n. Das folgt aus der ω-Konsistenz: Der Satz „es existiert ein Beweis für die Aussage mit der Nummer n“ lässt sich allein durch existentielle Quantifizierung, beschränkte Allquantifizierung und eben atomare arithmetische Formeln schreiben. Nun geht man diese Aussage von außen nach innen durch und zeigt so die Existenz eines Beweises für die Aussage mit der Nummer n: Gelangt man an einen Existenzquantor, so folgt aus der ω-Konsistenz, dass tatsächlich eine natürliche Zahl existiert, die man da einsetzen kann, sodass das Ergebnis beweisbar ist. Gelangt man an einen beschränkten Allquantor (also „$\forall x<y\psi$“), so folgt aus der „Stärke des Systems“, dass das dahinter folgende $\psi$ tatsächlich für alle $x<y$ beweisbar ist. Bei quantorenfreien arithmetischen Formeln am Ende ist der Fall dann klar. --20:54, 11. Aug. 2013 (CEST)

Die aktuelle Fassung ist auf alle Fälle um Längen besser. Vor allem gefällt mir die Unterscheidung zwischen dem formalen "Satz n ist nicht ableitbar" und dem metasprachlichen "Satz n ist nicht ableitbar". --Eulenspiegel1 (Diskussion) 22:22, 11. Aug. 2013 (CEST)

Stimme zu, die neue Fassung ist viel besser und klarer. Schön, dass die ω-Konsistenz nicht mehr unter den Tisch fällt, davor klang es so, als würde die Konsistenz beim Beweis mit Gödelsatz irgendwie ausreichen. Grüße--Schreiber ✉ 10:40, 12. Aug. 2013 (CEST)

Kein Satz - was ist gemeint?

Am Ende des Abschnitts „Beispiele für Unbeweisbarkeit konkreter Sätze“ findet sich die Formulierung „... dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Einschränkungen oder Erweiterungen Aussagen weder beweis- noch widerlegbar sind.“ Das ist kein Satz. Was soll das bedeuten? --Mosmas (Diskussion) 12:49, 26. Sep. 2015 (CEST)

Das soll vermutlich so etwas heißen wie „…dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder in Einschränkungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder in Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre Aussagen weder beweis- noch widerlegbar sind.“ Die Formulierung kommt jedenfalls aus einer Änderung vom 17. Oktober 2012, und vorher hieß es „…dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) oder Erweiterungen Aussagen unentscheidbar sind.“ – Tobias Bergemann (Diskussion) 19:33, 26. Sep. 2015 (CEST)

Für "hinreichend starke Systeme" fehlt die Definition

Allein in der Einleitung kommt der Begriff 4 mal vor, wird aber später nur mal so am Rande und nur teilweise spezifiziert.--Bleckneuhaus (Diskussion) 13:23, 22. Nov. 2018 (CET)

Naja, unten wird das dann doch etwas erklärt. Man braucht wirklich nur in etwa die Grundrechenregeln der natürlichen Zahlen. Das Problem ist, dass der erste UV-Satz etwas andere Voraussetzungen braucht als der zweite. Ev. könnte ich das mal ergänzen, leider war die Ergänzung von Benutzer:Eulenspiegel1 wirklich komplett falsch, auch war die Quelle offenbar unbrauchbar und sagt auch etwas anderes aus als der Edit.--Frogfol (Diskussion) 01:11, 11. Apr. 2020 (CEST)

1. Nein, die Quelle sagt nicht etwas anderes aus der Edit. In der Quelle steht auf Seite 4: "Hinreichend mächtig heißt es ist in der Lage den ersten Satz zu formalisieren.[...] Außerdem müssen für alle Formeln f und h die Bernays-Löb-Axiome gelten" In meinem Edit habe ich geschrieben: Ein System T heißt in diesem Kontext hinreichend mächtig, wenn es die Bernays-Löb-Axiome erfüllt und wenn es den 1. Unvollständigkeitssatz innerhalb des Systems formalisieren kann.

Inwiefern sagt der Edit hier etwas anderes als die Quelle aus?

2. Nein, die Grundrechenregeln der natürlichen Zahlen sind nicht ausreichen.

3. Hier vielleicht noch eine Quelle, die du vielleicht akzeptierst: Strukturtypen der Logik,Springer-Verlag 2013, Seite 343: "Gödel ist bei der Beweisskizze seines zweiten Theorems ein kleiner Irrtum unterlaufen, der erst viel später von BERNAYS entdeckt wurde: Das zweite Gödelsche Theorem gilt nur unter einer zusätzlichen Voraussetzung, nämlich der Ableitbarkeit einer bestimmten Formel im fraglichen formalen System. (...) Dort wird die erforderliche Zusatzbedingung als Bernaysche Ableitbarkeitsbedingung bezeichnet." --Eulenspiegel1 (Diskussion) 02:14, 11. Apr. 2020 (CEST)

Der Ausschnitt der Quelle ist zu kurz, ich müsste dazu die Originalarbeit von Hilbert und Bernays lesen. So viel ich weiß, hat G. den Beweis für UV2 nur kurz skizziert, von einem Fehler bei den Annahmen zu sprechen, ist bei einer Skizze doch gewagt, da würde ich gerne die Originalarbeit von Hilbert und Bernays lesen. Die Ableitbarkeitsbedingungen kenne ich, die Quelle, die ich für mein Referat damals benutzt habe, war, wenn ich mich recht erinnere, Hilbert-Ackermann.--Frogfol (Diskussion) 14:48, 11. Apr. 2020 (CEST)

Beispiel Arzt

"Analog gilt die Aussage „Der Arzt ist ein Heiler von Krankheiten" in der Struktur, durch die er über fundierte Gesundheitsmodelle verfügt, nicht hingegen in einer, die das Gesunde als krank wähnt (z. B. sündhaft), so dass sie denselben Arzt als pathogenen Faktor 'behandelt'. (Vgl. Politeia, Höhlengleichnis). Dies ist keine mathematische Aussage, aber eine gültige."

Ich sehe keinen Zusammenhang zum Thema. Deshalb sollte der Absatz wieder entfernt werden. Es geht hier nicht darum, was man in der Logik allgemein unter einer Aussage versteht, sondern nur darum, was im Zusammenhang mit dem Gödelschen Unabhängigkeitssatz damit gemeint ist. --Digamma (Diskussion) 09:12, 4. Jun. 2021 (CEST)

Im Moment sehe folgende Zusammenhänge:

• Es geht um den Abschnitt Grundbegriffe, Kontext Modelltheorie; da finde ich überhaupt sinnvoll, etwas Kleines einzubringen, das die Sache auch für Menschen anschaulich macht, denen die Mathematik noch eine Fremdsprache darstellt. Auch hatte ich die Aussage "Ein formales System ist ein System, in dem sich mathematische Aussagen beweisen lassen. " abgewandelt zu "Ein formales System ist ein System, in dem sich Aussagen beweisen lassen." Respektive die Aussage "Jedes formale System besteht aus einer Sprache" um " – wie z.B. die der Mathematik –" ergänzt. Ist der Korrekturversuch zutreffend? Aus welchem Grund ggf. nicht?
• Mathematik ist eine Universalsprache. Gödel verstand seine UV's als Antwort auf die u.a. von Kant erörterte metaphysische Grundfrage: Was sind die Grenzen der Gewissheit. Die Antwort kann also auf alles Denkmögliche angewendet werden. Z.B. befasste sich Gödel gern mit Theologie. Auf diesem Gebiet leistet sein von den UV's abgeleiteter ontologischer Gottesbeweis gegen den "religös" konnotierten Gottesbegriff das, was sie gegen das Hilbertprogramm geleistet haben. Die energetische Singularität 'vor' dem Urknall ist also nicht Jehova (Urheber der 10 Gebote, gemäß einer Behauptung 'Mosis'), sondern die erste Ursache des Kausalnexus. (Die Scholastiker zogen aus dem korrekten Ergebnis ihrer geistigen Opperationen unzuässige Schlüsse.)
• Gödel sollte spätestens anhand seines Gottesbeweis deutlich geworden sein, dass z.B. hinter der Anklage gegen Sokrates ein anderer Gottesbgriff steht als der, den Sokrates-Platon im "Staat" und in der Apologie vorträgt: letzterer stammt aus einem mit sich selbst übereinstimmenden Denken, ersterer aus dem Höhleninneren. Es sind andere Beispiele denkbar, das des Bezugs zur Antike austauschbar. Im Prinzip geht es darum, dass ein in sich konsistentes Denken ein anderes, nämlich in die Gewissheit der eigenen Grenzen gestütztes Wertesystem hat (Auffassung von Gerechtigkeit, Gesundheit ect.) als jene, die nur eine Meinung vertreten, zu schweigen von denen, die über ihre 'Glaubens'-Sätze ein dogmatisches Denkverbot verhängen. Eine konsistente Def. von "Glaube" schreitet methodisch zum "Wissen" hin, von den Hypothesen zur Theorie, indem sie hinterfragt werden, verworfen oder bejaht.

Das erstgenannte Für-Argument scheint mir das wichtigste zu sein; vielleicht genügt, wenn wir das diskutieren? --GOTTLIEB II (Diskussion) 12:16, 4. Jun. 2021 (CEST)

Ich sehe auch keinen Zusammenhang zum Lemma. Wenn man sich die Beiträge [1] des Autors mal anguckt, kann es einem manchmal grausen. Hier würde ich sagen: Beleg zeigen und ihn ggflls. diskutieren, sonst weg damit. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:12, 4. Jun. 2021 (CEST)

@GOTTLIEB II Du wirst für die von Dir eingefügten Aussagen zu Gödels Ansichten und den Begriffen seines Satzes etc. sicher Quellen haben, die wirklich zitierfähig sind und jedem denkmöglichen Verdacht, dass alles sei Deine private Entdeckung, die Grundlage entziehen. Bitte bring sie umgehend, weil das sonst gelöscht werden muss (vgl. WP:TF und WP:Belege). Unabhängig davon, ob Deine Einfügungen richtig sind und zum Lemma gehören: wie könnte Wikipedia denn sonst vor der aus Erfahrungen erwartbaren Flut spinnerter Privatmeinungen geschützt bleiben? --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:46, 5. Jun. 2021 (CEST)

Hab zwar jetzt auf die schnelle keine Quelle parat außer die im Text genannte (Platon), doch dieses Beispiel ist austauschbar. Der Sachverhalt findet sich z.B. auch in der Tatsache dass die mittelalterliche Kirche naturwissenschaftliche Forschungen etwa zum Thema Erdumlaufbahn gern zum Anlass nahm, den betreffenden Sünder einer läuternden Behandlung zu unterziehen. Hat Freud nicht darüber referiert? Wenn ich richtig erinnere las ich vor Jahre eine Stellungnahme zu Freuds Machenschaften Seitens eines Theologen, aber es ist natürlich richtig: Wenns nicht um Binsenweisheiten geht, müssen in WP Quellen her. --GOTTLIEB II (Diskussion) 22:31, 5. Jun. 2021 (CEST)

Das mag alles richtig sein, nur hat das nichts mit dem Gödelschen Unabhängigkeitssatz zu tun. Auch Gödels philosophische Ansichten und insbesondere sein Gottesbeweis haben nichts damit zu tun. Der Gödelsche Unabhängigkeitssatz hat sicher auch Auswirkungen auf die Philosophie, aber die wären gesondert zu betrachten und nicht an dieser Stelle, wo es darum geht, die für den Gödelschen Unvollständigkeitssatz selbst wichtigen Begriffe zu erklären. Ich lösche deshalb deine Ergänzungen wieder. --Digamma (Diskussion) 10:50, 6. Jun. 2021 (CEST)

Warum so eilig? Ich hatte Dir in der Stellungnahme auf Deinen Post abschließend angemerkt, warum m.E. vor allem der erste der drei aufgelisteten Punkte die Einbringung des Beispiels rechtfertigt, und Dich gebeten, das in einer Diskussion möglichst zu berücksichtigen. Es geht primär um Grundbegriffe, Fundament Modelltheorie. Wobei ich w. g. nicht sehe, was dagegen spräche, Nicht-Mathematikern für's Verständnis derselben ein Beispiel zu geben, das in Umgangssprache dasselbe sagt, wie das vorherige mit den natürlichen und reellen Zahlen. Dass das Beispiel zur Politeia, Höhlengleichnis verweist (aktuellere Quellen wären habbar, wie angedeutet im Post an Bleckneuhaus) ist also nur ein secundäres Bonbon. Man braucht diesen philosophischen Aspekt nicht kennen, um die UV's zu verstehen; er legt nur einen 'Link' zur Antwort auf die Frage, warum Gödel Platoniker war. Übrigens eine Tatsache, die Deinem Argument zufolge im Artikel seinerseits nichts zu suchen hat; genausowenig der Gottesbeweis. Ich warte jetzt ein paar Tage auf Erwiderungen Deinerseits; dann sehe ich weiter. Gruß, --GOTTLIEB II (Diskussion) 14:29, 6. Jun. 2021 (CEST)

@GOTTLIEB II : Belege!!! Es geht in Wikipedia nicht darum, ob Du es potenziell belegen könntest (und wenn, dann bitte mit Sekundärliteratur, nicht mit Deiner womöglich subjektiven Platon-Sicht)! Und bevor Du weiter in der Einleitung - wie sage ich es: herummachst, hätten solche Anmerkungen im Abschnitt 4. Philosophisches ihren richtigen Platz. Ich würde zustimmen, dass der Begriff "formales System" schon in der Einleitung knapp erläutert (oder ggflls. verlinkt) werden sollte, und dass in der Erläuterung (in "Grundbegriffe") das Verb "bewiesen werden können" in "abgeleitet werden können" berichtigt werden muss. Es gibt also genug zu tun am Artikel, aber auf keinen Fall neue, der WP:TF verdächtige Beurteilungen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:40, 6. Jun. 2021 (CEST)

@BleckneuhausBewiesen vs. abgeleitet: Das beträfe den Unterschied zwischen Logik und experimenteller Falsi-/Verifikation? Formales System: Bläht's die Einleitung nicht auf wenn dort erklärt würde dass ein solches nicht notwendig "mathematisch" konzipiert sein muss? Der Sachverhalt fügt sich m.E. zwanglos kompakt in "Grundbegriffe". Bei denen würde ich gerne klären, was gegen die umgangssprachlich formulierte Version des Beispiels mit den natürlichen und reelen Zahlen spricht. Argumente, siehe oben. Ne, Platons Höhlengleichnis (Bezug Apologie) ist nicht subjektiv. Sokrates Ermordung ist nicht fiktiv; Du müsstest selbst wissen, es gibt gefährliche Irre. Wahngebilde, die in Konflikt mit fundierten Weltanschauungen geraten. In "Die Zukunft einer Illusion erörtert Freud u.a., dass ein Arzt (mit Gesundheitsmodell aus der Naturwissenschaft) aus der Sicht derer, die aus seiner Sicht seelisch Kranke (Religionsfanatiker) sind, kein Arzt sondern jemand ist, der im kirchlichen Mittelalter "gute Gelegenheit gefunden hätte, sich einen Kopf kürzer zu machen zu lassen." Soweit geklärt? --GOTTLIEB II (Diskussion) 18:33, 6. Jun. 2021 (CEST)

Ps. "bevor Du weiter in der Einleitung - wie sage ich es: herummachst, hätten solche Anmerkungen im Abschnitt 4. Philosophisches ihren richtigen Platz." Ja, Du missverstehst. Der Sinn des umgangssprachlichen Beispiels ist nicht, eine philosophische oder psychopathologische Diskussion in den "Grundbegriffen" auszubreiten. Es sagt ja lediglich auf umgangssprachliche Weise dasselbe, was das Beispiel mit den natürlichen und reelen Zahlen sagt. Um auch Nichtmathematiker anzusprechen. Translation vom Umgangssprachlichen (scholastische Quelle) zur Mathematik ist ja auch ein Thema für Gödels Gottesbeweis: eine der Ableitungen aus den UV's. --GOTTLIEB II (Diskussion) 18:44, 6. Jun. 2021 (CEST)

Ich muss mich hier leider für ein bis zwei Wochen ausklinken, weil ich mich dringend um etwas anderes kümmern muss. Vielleicht übernimmt ja jemand anderes in der Debatte mit GOTTLIEB II und setzt im Falle fortwährender Uneinsichtigkeit seinerseits die Wikipediaregeln durch. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:52, 6. Jun. 2021 (CEST)

Mal schaun was dran ist an der dreisten These und den anderen drolligen Stichelleien des Users: Habe ich verneint, in den Grundbegriffen eine philosophische Debatte (wie kommt er denn da drauf?) ausbreiten zu wollen? Ja. Beschreibt das umgangssprachliche Beispiel das gleiche wie das mathematische? Ja. Hab ich eine seriöse Quelle genannt? Ja. Wundert mich dass der User keine 'Zeit' hat für sachliche Kommentare? Nicht mehr; hatte er schon die ganze Zeit nicht. Falls auch von anderen nix Sinnvolles kommt, pflege ich das Beispiel also ein die Tage. --GOTTLIEB II (Diskussion) 23:30, 6. Jun. 2021 (CEST)

Wenn ich das richtig sehe möchtest du eigentlich ein allgemein verständlicheres Beispiel dafür haben, was eine Aussage in der Logik ist (bzw. was in der Logik keine Aussage ist, umgangssprachlich aber eine Aussage ist), richtig? Dies ist meiner Meinung nach durchaus an der Stelle passend, aber das Höhlengleichnis ist wirklich nicht dafür geeignet. Vielleicht fällt dir ja ein besseres Beispiel ein. --BlauerBaum (Diskussion) 01:08, 7. Jun. 2021 (CEST)

Genau, wie oben ausgeführt gehorcht das umgangssprachliche Beispiel demselben Muster wie das mit den natürlichen gegenüber den reellen Zahlen; das finde ich erwähnenswert für Menschen, denen Mathematik noch wie Chinesisch klingt. Die Nennung des Höhlengleichnisses (sein Bezug zum Todesurteil über Sokrates, verhängt von den athenischen Troglodyten) ist ungeeignet weil es in WP nicht als seriöse Quelle gilt? Als Ersatz oder Ergänzung gibt es eine entsprechende Aussage in Die Zukunft einer Illusion. Ähnlich in Das Unbehagen in der Kultur. --GOTTLIEB II (Diskussion) 14:56, 8. Jun. 2021 (CEST)

Da würde ich viel lieber das angebene Beispiel "normal" formulieren - es ist wirklich "abweisend" geschrieben. Z.B. so:

Dabei kann die Wahrheit einer Aussage durchaus von der betrachteten Struktur abhängen: Die Aussage „Es gibt eine Zahl zwischen 0 und 1" gilt zum Beispiel in den rationalen oder Bruchzahlen (1/2 liegt zwischen 0 und 1), aber nicht in den ganzen Zahlen (da gibt es keine zwischen 0 und 1).

Das reicht dann doch, oder? (und, an eventuelle Formalisten: Ich glaube, man kann hier "verständlich" und dafür "unpräzis" formulieren, weil es eben um Verständnis geht. "Die Aussage mit der intendierten Bedeutung X" ist auf dieser Ebene wirklich dasselbe wie "Die Aussage X", und letzteres ist viel einfacher ...). --Haraldmmueller (Diskussion) 15:07, 8. Jun. 2021 (CEST)

Wenn "intendierend" überflüssig ist kann's weg; auch sonst finde ich Deine Variante besser. Mit dem umgangssprachlichen Extrabeispiel wird trotzdem gleich deutlich, warum die nächste Aussage "Ein formales System ist ein System, in dem sich mathematische Aussagen beweisen lassen" nicht ganz korrekt ist. Sonst hätte sich der scholastische Gottesbeweis nicht übersetzen lassen in Gödel sein. Das gehört m.E. also auch korrigiert. --GOTTLIEB II (Diskussion) 16:37, 8. Jun. 2021 (CEST)

Entweder fehlt ein "NICHT", oder eine klare(re?) Erklärung

Unter "Beweisskizze" steht:

Man nehme nun an, dass die Negation des Satzes, also der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“ ableitbar ist und somit auch der dazu äquivalente Satz mit der Nummer n. Weil das System als hinreichend mächtig angenommen wird, um diesen Beweis innerhalb des Systems „nachzuvollziehen“, folgt nun, dass der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar“ ableitbar ist. Hierfür müsste allerdings wiederum das System widersprüchlich sein. Also ist auch der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“ nicht ableitbar.

Das "folgt nun" würde ich nur verstehen, wenn danach steht: dass der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist NICHT ableitbar“ ableitbar ist. Sollte hier nicht das Folgende stehen?:

Man nehme nun an, dass die Negation des Satzes, also der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“ ableitbar ist. Weil das System als hinreichend mächtig angenommen wird, um diesen Beweis innerhalb des Systems „nachzuvollziehen“, folgt aus dem so geführten Beweis, dass der Satz mit der Nummer n nicht ableitbar ist, was im Widerspruch zur Annahme steht.

• Stimmt meine Sicht, dass das obige NICHT fehlt?
• Wenn nicht, wär's cool, wenn man das "folgt nun" so erklären könnte, dass ich es auch verstehe: Wie man also von der - angenommenen - Ableitbarkeit des "... ist nicht ableitbar"-Satzes zu einem "nachvollzogenen" Beweis von "Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar" (ohne "nicht") kommt ...

--Haraldmmueller (Diskussion) 20:06, 6. Jun. 2021 (CEST)

Nein, es fehlt kein "nicht".

Man hat den Satz "Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar" und will folgendes zeigen: Wenn dieser Satz ableitbar ist, dann ist auch die Negation ableitbar.

Das geht gemäß Beweisskizze wie folgt: Wenn der k-te Satz "Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar" ableitbar ist, dann haben ich einen Beweis für diesen Satz. Ich habe also einen Beweis für den k-ten Satz. Das heißt, der k-te Satz ist ableitbar. Das heißt, der Satz mit der Nummer k ist ableitbar. Da ich innerhalb des Systems Beweise nachvollziehen kann, gilt: Wenn x ableitbar ist, dann ist auch der Satz "x ist ableitbar" ableitbar. In unserem Fall haben wir also: Wenn der Satz mit der Nummer k ableitbar ist, dann ist auch der Satz "Der Satz mit der Nummer k ist ableitbar" ableitbar. Aufgrund des Diagonal-Arguments gibt es einen Satz, in dem k=n gilt. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 20:47, 6. Jun. 2021 (CEST)

Danke! Sehe ich es dann richtig, dass das "nun" in "folgt nun" eher irreführend ist? Ich habe dieses "nun" als "aus dem vorher gesagten" gelesen. Ich ändere mal die Reihenfolge der Gedanken - stimmt das dann noch?

a) Wenn der Satz mit der Nummer k ableitbar ist, dann ist auch der Satz "Der Satz mit der Nummer k ist ableitbar" ableitbar. Das gilt alleine aufgrund der Nachvollziehbarkeit von Beweisen im System.

b) Das gilt auch für k = n. Daher ist, wenn der Satz n ableitbar ist, auch "Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar" ableitbar.

c) Der Satz n soll lt. Voraussetzung ableitbar sein - also (m.p.) ist tatsächlich "Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar" ableitbar.

d) Aber leider ist damit genau die Negation der Voraussetzung auch ableitbar = widersprüchliches System.

Ich wäre mit dieser Reihenfolge der Darstellung glücklicher - wenn sie denn stimmt ...

(Ergänzt) Mein Problem ist wohl, dass ich aus dem Text die übliche Baumstruktur des Beweises (was der vorher gesagten ist "Input" für den nächsten Beweisschritt) nicht erkennen kann - ein m.W. altes math.-didaktisches Problem: Will man's perferkt machen, nummeriert man - und schreibt dann nur noch "Aus (3) und (5) folgt wegen ... (6)"; dann wird's aber extrem "unelegantes Deutsch", und auch wieder für nicht-Mathematiknotation-Gewohnte abschreckend. Schreibt man aber "elegantes Deutsch", suchen die Leser (ok: ich) manchmal die Voraussetzungen an falschen Stellen und verirren sich ... --Haraldmmueller (Diskussion) 21:08, 6. Jun. 2021 (CEST)

Ja, man kann die Argumente auch in der Reihenfolge aufführen, wie du es gerade gemacht hast. Wie man es am besten math.-didaktisch formuliert, weiß ich auch nicht. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:07, 7. Jun. 2021 (CEST)

Widerspruchsbeweis und Fallunterscheidung

Es gibt zwei Arten von Beweisen, in denen explizit eine Annahme getroffen wird:

1. Bei Widerspruchsbeweisen trifft man eine Annahme, zeigt, dass diese Annahme zum Widerspruch führt. Damit beweist man, dass die Negation der Annahme richtig ist.
2. Bei Fallunterscheidungen trifft man eine Annahme A und zeigt damit Aussage B. Anschließend trifft man als Annahme "Negation von A" und zeigt, dass dies ebenfalls zu Aussage B führt. Damit hat man gezeigt, dass unabhängig von der Annahme die Aussage B richtig ist.

Aus Gründen der Lesbarkeit sollte sobald explizite Annahmen getroffen werden, deutlich gemacht werden, ob es sich um einen Widerspruchsbeweis oder um eine Fallunterscheidung handelt. Ich mache daher die folgende Änderung rückgängig: [2] --Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:04, 6. Jun. 2021 (CEST)

Deine Erklärung leuchtet ein. Ich meine aber trotzdem (oder eigentlich: nun, nach meinem verunglückten ersten Versuch, der das nicht tat), dass man dazu sagen soll (muss?): "... Wir machen dazu einen Widerspruchsbeweis." Die Aussage "um einen Widerspruch zu erzeugen" ist meiner geringen Meinung nach NICHT die "Einleitung" eines Widerspruchsbeweises; das ist in mathematischen Texten ausreichend, wo Dein "Beweisartmuster" schon im Rückenmark der Leser einmassiert ist (und sein muss), aber nicht hier, in der WP ... ... ... meine ich. --Haraldmmueller (Diskussion) 21:12, 6. Jun. 2021 (CEST)

Ja, das ist für Nicht-Mathematiker wahrscheinlich verständlicher, wenn man es explizit so hinschreibt. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:07, 7. Jun. 2021 (CEST)