Diskussion:Geordnetes Paar

Auszeichnung

Ist etwas unglücklich formuliert: Die vordere Komponente ist nicht per se ausgezeichnet (etwa wie das neutrale Element einer Gruppe), bzw. ebenso kann die hintere Komponente als ausgezeichnet betrachtet werden. Wichtig ist halt nur, daß man die Komponenten unterscheiden kann.--Hagman 10:56, 20. Jan. 2007 (CET)

Hi! Mir gefällt's auch nicht, ich habe mich nur nicht getraut, es zu ändern, weil es schon so lange im Artikel enthalten ist und das den Eindruck vermittelt, dass alle es gut finden. ;-) Ich unterstütze aber jede Änderung; gut gefällt mir z.B. die Formulierung des englischen Artikels, die sich im Sinn von "Ein geordnetes Paar oder 2-Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung zweier Objekte (im Gegensatz zur ungeordneten Zusammenstellung, der Paarmenge), von denen eines als das erste (linke, vordere), das andere als das zweite (rechte, hintere) Element erkennbar ist". Viele Grüße, --GottschallCh 12:29, 20. Jan. 2007 (CET)

Quellen

• englischer Artikel: Ordered Pair

Ich wünschte mir den vorhandenen Artikel wie folgt ersetzt:

Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Einträge von Objekten, wobei einer der Einträge ausgezeichnet ist. Das mit Auszeichnung eingetragene Objekt wird oft vordere Komponente, das andere hintere Komponente des geordneten Paars genannt. Auch spricht man von linker bzw. rechter oder erster bzw. zweiter Komponente.

Zum Notieren eines geordneten Paars ist es üblich, seine beiden Einträge, durch ein Komma getrennt, hintereinander zu schreiben, den vordere zuerst, und das ganze in Klammern zu setzen:

$(a,b)\quad [a,b]\quad \langle a,b\rangle$

Welche Klammernart dabei verwendet wird ist im jeweiligen mathematischen Kontext festgelegt. Wenn nichts Besonderes gesagt ist, schreiben viele Mathematiker die runden Klammern. Ausgeschlossen sind jedoch die geschweiften, denn diese sind generell für explizite Mengenangaben reserviert.

Formale Definition

Die Mathematik kennt zwei Definitionen für geordnetes Paar: $\lbrace x\,,\lbrace x\,,\,y\rbrace \rbrace$ und $\lbrace \lbrace x\rbrace \,,\lbrace x\,,\,y\rbrace \rbrace$ wobei $\,x$ die vordere Komponente ist. Letztere geht auf Kuratowski zurück. --Georg Roch bis 24. Februar

Kannst Du bitte erklären, inwieweit diese stark verknappte Version besser ist, als das Original? Alle Aussagen waren auch darin enthalten, oft besser erklärt. Weiter enthielt diese jede Menge Links, die ebenfalls verloren gingen, z.B. zum kartesischen Produkt als Menge aller geordneten Paare und zu den Relationen und darauf aufbauenden Grundstrukturen der Mathematik.--LutzL 10:34, 17. Okt. 2006 (CEST)

Benutzer:Georg Roch war anscheinend nur von 17. Feb 2006 bis 28. März 2006 aktiv. Du kannst evtl. noch versuchen, die Frage auf seiner Diskussionsseite zu stellen. Wenn dann keine Reaktion kommt, spricht meiner Meinung nach nichts dagegen, den Artikel auf eine Version zurückzustellen, die Du für sinnvoll hältst. Evtl. solltest Du aber die neuen Interwiki-Links miteinbauen. --NeoUrfahraner 13:49, 17. Okt. 2006 (CEST)

Geordnetes Paar (a,b) heißt doch soviel wie a vor b, oder? Wenn ja, dann irritieren mich die Definitionen doch ein wenig, weil die Definition einer Menge ja nichts über die Reihenfolge der darin enthaltenen Elemente aussagt? Demnach könnte ich ja sagen

$\lbrace a\,,\lbrace a\,,b\rbrace \rbrace \equiv \lbrace \lbrace a\,,b\rbrace \,,a\rbrace$ bzw. $\lbrace \lbrace a\rbrace \,,\lbrace a\,,b\rbrace \rbrace \equiv \lbrace \lbrace a\,,b\rbrace \,,\lbrace a\rbrace \rbrace$ oder sogar

$\lbrace a\,,\lbrace a\,,b\rbrace \rbrace \equiv \lbrace \lbrace b\,,a\rbrace \,,a\rbrace$ bzw. $\lbrace \lbrace a\rbrace \,,\lbrace a\,,b\rbrace \rbrace \equiv \lbrace \lbrace b\,,a\rbrace \,,\lbrace a\rbrace \rbrace$.

Wo ist da die Ordnung bzw. Reihenfolge? Oder ist es nicht statthaft diese beiden Begriffe gleichzusetzen? Oder was verstehe ich da nicht richtig? (Kam via Tupel, als deren wesentliche Eigenschaft ja eine Ordnung (Reihenfolge) angegeben, und wo ein 2-Tupel als geordnetes Paar bezeichnet wird, hierher. ) --Geri Broser 15:20, 4. Dez. 2006 (CET)

Aber wie ich der dortigen Diskussion jetzt entnehmen konnte, scheint da dahingehend ohnehin noch nicht alles restlos geklärt zu sein --Geri Broser 17:41, 4. Dez. 2006 (CET)

Die Ordnung entsteht gerade dadurch, dass das Element a in beiden Elementmengen vorkommt, das Element b aber nur in einer. In Mengen ist die Reihenfolge unwesentlich, die angegebenen Beziehungen sind richtig. {{a},{a,b}}={{a,b},{a}} ist vorzuziehen, da die Elemente dieser Mengen wieder Mengen auf gleicher Stufe sind, d.h. geordnete Paare dann der Potenzmenge der Potenzmenge angehören.--LutzL 20:07, 4. Dez. 2006 (CET)

"Die Ordnung entsteht gerade dadurch, dass das Element a in beiden Elementmengen vorkommt, das Element b aber nur in einer" --> Dass daraus eine Ordnung (=Reihenfolge) entstehen soll, leuchtet mir nicht ein. Auch warum du den Begriff Potenzmenge ins Spiel bringst, kann ich nicht nachvollziehen. Aber mein Auseinandersetzen mit Mengenlehre ist schon eine Zeitlang her, also kann es durchaus sein, dass mir so manches elementare Wissen nicht mehr geläufig ist. D.h. es lohnt vermutlich nicht, wenn du, oder sonst jemand sich bemüht es mir erläutern zu wollen. Andrerseits gibts ja auch noch http://de.wikipedia.org/wiki/WP:OMA, hmmm... --Geri Broser 21:09, 4. Dez. 2006 (CET)

Es kommt nicht wirklich auf die Reihenfolge an, sondern auf die Möglichkeit, eine solche festzulegen, also zu unterscheinden, welches der beiden Objekte man das "erste" und welches man das "zweite" nennen möchte. Wichtig ist vorallem: (a,b) ist nicht dasselbe wie (b,a). Hilft Dir das?--Digamma 20:37, 30. Jan. 2007 (CET)

Meist wird die erste Schreibweise mit runden Klammern verwendet, denn die zweite ist die gängige Notation für ein geschlossenes Intervall und die dritte für ein Skalarprodukt.

Das Argument widerspricht sich selbst. die Schreibweise mit runden Klammern steht auch häufig für offene Intervalle. --Abdull 12:39, 3. Dez. 2007 (CET)

Die Entfernung der kursiven Erläuterung halte ich für falsch: Wenn man einen typischen Text liest, (a, b) als Paar, [a, b] als geschlossenes Intervall und <a, b> als Skalarprodukt liest, liegt man meistens richtig. Da man offene Intervalle (der Anschauung folgend) als ]a, b[ bezeichnen kann, ist auch hier eine eindeutige Zuordnung der Schreibweisen möglich, während die Notation von Paaren als <a, b> oder [a, b] Anlaß zu Verwechslungen gibt. --FRR 18:15, 25. Feb. 2008 (CET)

Änderungen vom 22.02

Ich habe gesehen, dass an dem Artikel heute eine Menge Änderungen vorgenommen worden sind: [1]. Da sie ganz frisch sind, werde ich erstmal abwarten. Womöglich ist Benutzer:Hederich noch nicht fertig. Die etwas präzisere Formulierung der Einleitung begrüsse ich. Die Verkürkurzung des mengentheoretischen Teils ist dagegen nicht besonders glücklich, da er interessante Informationen enthielt. Überhaupt: der mengentheoretische Teil ist die Richtung, in die der Artikel am stäksten ausgebaut werden kann und eigentlich ausgebaut gehört. --Alexandar.R. 20:31, 22. Feb. 2008 (CET)

Hallo Alexander, ich verstehe Deine Betrübnis über die Herausnahme des (mengen)theoretischen Teils. Ich fand ihn, wie er war, nicht schlecht. Ich sehe jedoch den Begriff des geord. Paars im Zusammenhang mit den komplexeren Begriffen Folge und Tupel. Hier möchte ich eine gemeinsame theoretische Basis legen. Wenn Du interessiert bist, können wie dieses Problem auf meiner Disk-Seite ventilieren. Gruß --Hederich 21:27, 22. Feb. 2008 (CET)

Ok, ich freue mich, dass Du Enthusiasmus mitbringst. Damit aber die Zusammenarbeit gut klappt, habe ich zwei Bitten. Erstens versuche die Diskussionen hier oder auf der Diskussionseiten des jeweiligen Artikels zu führen und nicht auf den Benutzerseiten. Zweitens gib immer deine Quellen genau an (Seite bzw. Lemma, Buch, uws.), damit deine Schritte leichter nachvollzeihbar sind. Zu dem Thema: Welche ist die komplexere theoretische Basis, auf die Du den Begriff geordntes Paar legen möchtest? --Alexandar.R. 21:56, 22. Feb. 2008 (CET)

Ein Artikel sollte m.E. präzise alles zum Ausdruck bringen, was zum Verständnis des abgehandelten Begriffs erforderlich ist und abschweifende Ausführungen vermeiden.

Ich habe mir den alten Artikel noch einmal angesehen. In der formalen Definition auf deren Sinn hinzuweisen ist überflüssig, denn wer sich für sie interessiert, weiß ja dass mengentheoretisch zu definieren ist. Das Eingehen auf "ungeeignete" Definitionen gehört eher in einen Lehrgang zum Entwickeln von Definitionen.

Der Artikeltext wurde noch einmal gestrafft.

Nun zu Deiner letzten Frage. Ist der Begriff der Folge erst einmal definiert (s. Folge (Mathematik)), dann braucht man nur zu sagen: "n-Tupel" ist ein Synonym von "n-gliedrige Folge". Wie steht es aber mit "geordnetes Paar"? Manche Autoren neigen zu sagen: "geordnetes Paar" ist ein Synonym von "2-Tupel", wogegen umgangssprachlich nichts einzuwenden wäre. Es gibt formale Definitionen für Tupel (=endliche Folge), bei denen 2-Tupel auch geord. Paare sind, es gibt jedoch andere, wo dies nicht der Fall ist. Diesen Sachverhalt klar darzustellen, verbunden mit der Frage in welchem Artikel (Folge, Tupel o. geord. Paar) es behandelt werden kann, ist das komplexere Theoretische, was ich meine.--Hederich 15:53, 23. Feb. 2008 (CET)

Also zu den einzelnen Fragen:

• "ungeeignete" Definitionen: Im Prinzip ist es bei Wikipedia üblich, wenn ein Artikel nicht allzu lang ist, auch Beispiele und ähnliches Zeug dazuzuschreiben, da es theoretisch genug Platz gibt. In diesem Fall bin ich aber einverstanden, dass man auf die ungeeigenten Definitionen $\{x,y\}$ und $\{x,\{y\}\}$ verzichten könnte. Die Defintion $\{x,\{x,y\}\}$ sollte allerdings bleiben. Sie gehört zu einer Klasse von Defintionen, die unter bestimmten Vorasusetzungen "geeignet" sind. Welche diese Voraussetzungen sind ist eine wertvolle und interessante Information, die man nicht in jedem Buch findet.
• die naiven Kommentare und die Mengenlehre: Die Kommentare über den Sinn von formalen Dafinitionen können auch ausfallen. Das was man braucht ist eine Unterkapitelüberschrift wie Geordnetes Paar in der axiomatischen Mengenlehren oder ähnliches mit zwei einleitenden Sätzen. Das kann ich machen.
• geordnetes Paar als Tupel: Geordentes Paar als Tupel einzuführen finde ich eine ganz schlechte Idee. Geordnetes paar ist ein wichtigerer Begriff als Tupel, weil geordentes Paar in der Defintion von Funktion verwendet wird. Damit man diesen Weg geht, müsste man die letzte Definition im Artikel Tupel nehmen. Wenn man diese aber für n=2 aufschreibt, bekommt man $\{\{\{x\},\emptyset \},\{y\}\}$. Wenn man das mit $\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}$ vergleicht, sieht man, dass es sich um eine weitere formale Definition handelt - eine Variation der Wienerschen Definition, die man einfach dadrunter schreiben könnte, statt sie mit dem Begriff Tupel zu verschleiern. Wann 2-Tupel und geordentes Paar dasselbe ist, könnte man erwähnen aber nicht zum Ausgangspunkt machen. --Alexandar.R. 17:19, 23. Feb. 2008 (CET)

Zur ungeeigneten Definition $\{x,y\}$: Gerade die berühmte OMA braucht wahrscheinlich den Hinweis, dass $\{x,y\}=\{y,x\}$ ist. Ebenso wie Beispiele gehören zwecks Abgrenzung schließlich regelmäßig auch Gegenbeispiele zur Grundausstattung eines Artikels. Und die formale Definition gehört nicht einfach hingeklatscht, sondern motiviert - etwa damit, dass man zwar prinzipiell "Paar" als weiteren Grundbegriff in die Theorie einführen könnte, sich aber in der axiomatischen Mengenlehre bemüht, so etwas zu vermeiden. Wikipedia ist nicht Bourbaki II.--Hagman 11:22, 24. Feb. 2008 (CET)

Meine Vorstellungen

über WP-Artikel weichen wohl in zu vielen Punkten von den Eurigen ab. Ich traue WP-Lesern offensichtlich mehr zu als einige von Euch.
Ich habe Vorschläge für Folge, Tupel, geord.Paar unter H.Vorschlag zusammengestellt. Macht damit, was Ihr wollt.--Hederich 16:09, 24. Feb. 2008 (CET)

Also Belastung ist eine Sache. Ich bin auch gegen Belastungen. Allerdings ist deine spartanische Version so knapp, dass sie so gut wie falsch ist. Es ist nicht klar, was diese Gleichheit von Peano überhaupt ist. Ausserdem sind die Defintionen von Kuratowski und Wiener keine "formale Definitionen". Daher muss ich deine letzte Änderung revertieren. --Alexandar.R. 16:45, 25. Feb. 2008 (CET)

Ich schätze einmal, die aktuelle Entwurfsversion beruht auf o.g. Vorschlag. Wenn ich zwischen beiden wählen sollte, würde ich die gesichtete Version präferieren.--Hagman 19:45, 4. Mai 2010 (CEST)

Ungeordnetes Paar?

Was wäre ein nicht geordnetes (ungeordnetes) Paar? Wieso reicht der Mathematik das Wort "Paar" nicht einfach? Geschichtlicher Hintergrund, Banalität? Irgendwie könnte man das erwähnen - oder zumindest, dass es eben keine ungeordneten Paare gibt - oder doch? Also eine Menge ist doch ein ungeordneter Haufen oder, d.h. die Reihenfolge spielt keine Rolle .. Auf jeden Fall Klärungsbedarf. Grüße --WissensDürster 19:16, 14. Jul. 2009 (CEST)

Geordnete Paare braucht man gleich am Eingang der Mathematik, um Relationen und dann Funktionen zu definieren. Z.B. die elementar wichtige Nachfolgerfunktion auf den natürlichen Zahlen. Ungeordnete Paare oder allgemeiner ungeordnete Tupel verwendet man seltener, z.B. um die Nullstellenmenge eines Polynoms zu beschreiben und die Aussage, dass die Nullstellen stetig von den Koeffizenten abhängen, exakt zu formulieren. Ein ungeordnetes Paar könnte als Struktur { {a,b},{a},{b} } definiert werden.--LutzL 23:46, 14. Jul. 2009 (CEST)

... oder auch einfach als die Paarmenge {a,b}.--Hagman 18:17, 17. Jul. 2009 (CEST)

ja, das sollte zumindest erwähnt werden (wie im englischen Artikel), insbesondere weil der Artikel "Ungeordnetes Paar" auf die Seite "Geordnetes Paar" weiterleitet. Ich werde etwas entsprechendes ergänzen... --DerVanda (Diskussion) 12:21, 18. Jun. 2022 (CEST)

Den Begriff "ungeordnetes Paar" gibt es aber meines Wissens nicht. Das Attribut "geordnet" dient nur der Verdeutlichung, nicht der Unterscheidung. --Digamma (Diskussion) 22:22, 18. Jun. 2022 (CEST)

Im Lexikon der Mathematik (https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ungeordnetes-paar/11592) ist dieser Begriff enthalten. Insbesondere in der Graphentheorie wird der Begriff zur Definition ungerichteter Graphen ("jede Kante ist ein ungeordnetes Paar (u,v) von Knoten") sehr häugig verwendet, siehe auch Einleitung zu Gerichteter_Graph. --DerVanda (Diskussion) 18:13, 19. Jun. 2022 (CEST)

Geordnete Paare in der axiomatischen Mengenlehre

Es sollte darauf hingewiesen werden, dass die mengentheoretischen Definitionen den Nachteil haben, dass sie unerwünschte Folgerungen mit sich ziehen, die zudem auch noch von der gewählten Definition abhängen.

Folgerungen am Beispiel der Definition von Kuratowski:

Es gilt:

${\begin{aligned}&\{a\}\in (a,b),{\text{ hingegen ist }}\{b\}\notin (a,b)\\&(a,b)\cap (b,a)=\{a,b\}\\\end{aligned}}$ (nicht signierter Beitrag von Unigen (Diskussion | Beiträge) 20:35, 28. Jan. 2010 (CET))

Entsprechende Kollateralfolgerungen gelten immer, wenn man explizite Modelle angibt (deren Zweck möglicherweise nur der Nachweis der Existenz einer Struktur wie gewünscht ist). Definiert man $0:=\{\}$ und $n+1:=\{n\}$, so gilt $1\in 2,0\notin 2$; bei $n+1:=n\cup \{n\}$ hingegen auch $0\in 2$ - dabei will man über Elementrelationen zwischen natürlichen Zahlen ja gar keine Aussage machen.--Hagman 19:53, 4. Mai 2010 (CEST)

Fortsetzung von der Portal Diskussion

Hallo Lothario,

zu meinem 1. Punkt: Du hast ja inzwischen die Anwendungen wieder eingefügt. Wenn ich auch nicht verstehe, dass Du mit Funktionen und Relationen anfängst, statt mit der Produktmenge.

zu 2.: Für mich ist klar, dass Hausdorff das Folgende meint: "Wähle zwei beliebige Objekte "1" und "2". Dann definiere für alle a, b (wobei "1" und "2" nicht zugelassen sind): $(a,b)=\{\{a,1\},\{b,2\}\}$. Die Wahl von "1" und "2" ist also nicht Bestandteil der Definition, sondern geht ihr voran. Wenn das, was Du schreibst, nicht zitiert ist, sondern Deine eigene Interpretation, dann solltest Du es auf jeden Fall weglassen. Dann ist das nämlich Theoriefindung und nicht mehr die Wiedergabe von gesichertem Wissen.

zu 3.: Ich wollte keine alternative Quelle angeben. Ich wollte belegen, dass die Definition von Kuratowski die heute allgemein übliche ist. --Digamma 20:57, 17. Mai 2010 (CEST)

Hallo Digamma,

zu 1: Als einen Grund für die von mir gewählte Reihenfolge der Beispiele könnte ich nennen: Der Relationsbegriff ist frei von jeglicher Einschränkung, der Funktionsbegriff schränkt “Relation” lediglich durch die Eindeutigkeitsforderung ein, der Produktmengenbegriff setzt die Vorgabe zweier Mengen voraus, ist nach meiner Auffassung höher angesiedelt. Möchtest Du dieser Argumentation nicht folgen, dann würde ich es Dir nicht verübeln, wenn Du die Reihenfolge der Beispiele abändertest.

Du scheinst Anhänger einer Klassenmengenlehre zu sein. Üblicherweise definiert man Relationen und Funktionen als Mengen. Eine Relation ist somit eine Teilmenge einer Produktmenge. Andersherum, wenn man Klassen zulässt, dann auch das kartesische Produkt von zwei Klassen. --Digamma 21:42, 18. Mai 2010 (CEST)

zu 2: Ich habe den angesprochenen Passus zu Hausdorffs Definition herausgenommen, ich hatte damit, ich weiß nicht warum, dummes Zeug eingestellt. Davon mal abgesehen, ich hätte gerne gewusst, ob man Hausdorffs Definition, deren verbaler Anteil ja entscheidend ist, prädikatenlogisch wiedergeben kann und wenn ja, wie.

zu 3: Das mag sein, ist aber lediglich eine statistische Aussage, die wegen der Äquivalenz aller dem Peanoschen Lesbarkeitsaxiom genügenden Definitionen irrelevant ist, sie könnte bei deren Erwähnung im Artikel den Eindruck erwecken, als sei eine Definitionen bedeutungsvoller als andere. --Lothario Hederich 12:33, 18. Mai 2010 (CEST)

Nochmals Hausdorff
Ich versuche Hausdorffs Definition von “geordnetes Paar” zu verstehen. Sie lautet bekanntlich so:

(a,b):={{a,1},{b,2}}  wobei 1 und 2 voneinander und auch von a und b verschiedene Objekte sind

Es werden keine weiteren Forderungen an 1 und 2 gestellt, es können mithin beliebige Objekte sein, sofern sie nur der angegebenen Bedingung genügen.
Zum Beispiel erfüllen die Zahlen 2 für 1 und 1 für 2 diese Bedingung, wenn a=0 und b=3, sodass

(0,3)={{3,1},{0,2}}

Kann mir jemand sagen, was ich hier nicht beachte? --Lothario Hederich 20:07, 18. Mai 2010 (CEST)

Nichts. Wo ist das Problem? --Digamma 21:32, 18. Mai 2010 (CEST)

Hallo Digamma,

Deiner Bemerkung über meiner Anhängerschaft einer “Klassenmengenlehre” kann ich bejahend antworten, wenn Du darunter die moderne Klassenlogik verstehst, wie sie zum Beispiel von Arnold Oberschelp in “Allgemeine Mengenlehre” ausführlich dargelegt ist. Dort ist der Funktionsbegriff allgemein definiert und nicht auf Mengen beschränkt, wodurch einerseits vieles einfacher handbarer wird, andererseits Funktionen nicht mehr generell als mathematische Objekte angesehen werden können. Ich habe schon gesehen, dass man allgemein von “Zuordnung” spricht und solche Zuordnungen, die Mengen sind, “Funktion” nennt.

Du antwortetest: “Nichts. Wo ist das Problem?”. Ich lese das gegebene Beispiel so: (0,3) = {{0,2},{3,1}} –gemäß der Wahl von 1 und 2– = {{3,1},{0,2}} = (3,0). Irgendetwas in der Hausdorffschen Definition berücksichtige ich hier doch wohl nicht! Worauf ich letztlich hinaus will: Wie sieht eine prädikatenlogische Beschreibung der Hausdorffschen Definition aus? Dies müßte, so meine ich, doch möglich sein, wenn Hausdorffsche geord.Paare als mathematische Objekte gelten sollen. --Lothario Hederich 12:24, 19. Mai 2010 (CEST)

Ich weiß nicht, was Du unter "moderne Klassenlogik" verstehst. Ich kenne auch das Buch von Oberschelp nicht. In der Mengenlehre von von Neumann und Bernays gibt es Klassen und Mengen als Objekte. Heutzutage benutzt man aber in der Regel ZFC. Da gibt es als Objekte nur Mengen. "Klassen" können höchstens als Schreib- und Sprechweisen eingeführt werden. Im Grunde stehen sie für die logischen Ausdrücke, die sie definieren. Ich denke, wir sollten uns hier in der Wikipedia auf das meiner Meinung nach Übliche beschränken: Relationen und Funktionen als Mengen, nicht als Klassen.

Was Hausdorffs Definition betrifft, habe ich meine Interpretation schon geäußert. Man legt zuerst fest, was man unter 1 und 2 versteht. Erst danach definiert man:

$(a,b):=\{\{a,\mathbf {1} \},\{b,\mathbf {2} \}\}$.

Wenn Du Dich auf 1:=2 und 2:=1 festlegst, dann stehen eben diese beiden in der Definition. Und dann ist (0,3) eben so definiert, wie Du es oben tust. Wählt jemand anders 1 und 2 anders, dann verwendet er eine andere Definition als Du. So wie jemand, der die Wienersche Definition verwendet, eine andere Definition verwendet als ich (der die von Kuratowski benutzt). --Digamma 19:03, 19. Mai 2010 (CEST)

Wählt jemand 1:=x und 2:=y, dann sind für ihn (x,x), (x,y), (y,x) und (y,y) keine geordneten Paare. Dies ist doch das angeschnittene Problem. --Lothario Hederich 08:44, 20. Mai 2010 (CEST)

Richtig, das ist ein Problem bei Hausdorffs Definition. Allerdings ist mir nicht klar, warum er 1 = a, 1=b, 2=a und 2=b verbietet. Wenn man sie zulässt, erhält man (1,1) = {{1},{1,2}}, (1,2)={{1},{2}}, (2,1)={ {1,2} } und (2,2)={{1,2},{2}}. Dennoch glaube ich, dass meine Lesart Hausdorffs Intention am nächsten kommt. --Digamma 16:16, 20. Mai 2010 (CEST)

             weiter mit Hausdorff

Die Diskussion mit Dir, Digamma, veranlasst mich näher mit dem Hausdorffschen Problem zu befassen. Ich habe mir eine formale Definition überlegt, die automatisch 1 und 2 richtig wählt, sodass man sie als “gleichwertig” mit den anderen bekannten ansehen kann:

(a,b) := {{a,1} , {b,2}},   wobei  1  die kleinste und   2 größte Zahl in  {1,2,3,4} \ {a,b}  ist

Das Wort gleichwertig habe ich wohlbedacht apostrophiert: Während die anderen Definitionen ohne vordefinierte Begriffe auskommen, werden hier die Begriffe “natürliche Zahl” und die “Relation:kleiner als” als bekannt vorausgesetzt. Relationen sind Mengen geordneter Paare, sodass die Definition circulär ist. Hier sehe ich das Unbefriedigende in der Hausdorffschen Definition, man wird es wohl auch mit anderen Ansätzen als den oben gegebenen nicht los werden. -- Lothario Hederich 19:33, 20. Mai 2010 (CEST)

Nachtrag

Eine andere Definition, die das genannte Unbefriedigende nicht aufweist, ist diese:

(a,b) := {{1,a} , {2,b}},   wobei  1:={a,b},  2:={1}

Da sich noch unendlich viele andere originäre, d.h. nicht auf vordefinierte Begriff basierende Definitionen angeben lassen, sehe ich jetzt die von Hausdorff gewählte Formulierung, die, wie mir scheint, das Unwesentliche außen vorlässt und gleichzeitig die Benennungen: 1-te Komponente, 2-te Komponente impliziert, als recht beachtenswert an. -- Lothario Hederich 09:11, 21. Mai 2010 (CEST)

Die Idee ist gut. Aber im Sinne der Wikipedia-Richtlinien ist es Theoriefindung. Du solltest es deshalb aus dem Artikel streichen und es bei dem Hausdorff-Zitat belassen. --Digamma 16:16, 21. Mai 2010 (CEST)

Ok, schon geschehen -- Lothario Hederich 13:25, 22. Mai 2010 (CEST)

Hausdorff-Zitat

Hausdorffs Buch erscheint auf der Literaturliste. Für seine Definition eines geordneten Paars ist aber eine Sekundärquelle als Beleg angeben. Hat hier jemand Zugang zu Hausdorffs Buch und könnte die Definition direkt belegen? --Digamma 16:19, 21. Mai 2010 (CEST)

Hallo, entschuldigt meine späte Antwort. Ich habe nun das Buch "Grundzüge der Mengenlehre" von Felix Hausdorff ausgegraben. Auf der Seite auf der das geordnete Paar zum ersten mal erwähnt wird steht:

"§1. Eindeutige Funktionen.

Aus zwei verschiedenen Elementen a, b können wir die Menge oder das Paar $\{a,b\}=\{b,a\}$ zusammensetzen; beide Elemente treten darin symmetrisch, gleichberechtigt auf. Wir können sie aber auch zu einer unsymmetrischen, das eine Element vor dem anderen bevorzugenden Verbindung zusammenfassen: wir können das geordnete Paar

$p=(a,b)$

bilden, das von dem umgekehrt geordneten

$p^{*}(b,a)$

unterschieden werden soll. Falls die beiden Elemente gleich sind, können wir sie einerseits zur Menge {a}, andererseits zu dem geordneten Paar {a,a} zusammenfassen, das in diesem Fall mit seiner Umkehrung identisch ist. Zwei geordnete Paare p=(a,b) und P'=(a',b') gelten dann und nur dann als gleich, wenn a=a', b=b'.

Die Doppelindices (i,k) an Elementen einer Determinante, die rechtwickligen Koordinaten (x,y) von Punkten der Ebene sind geordnete Zahlenpaare. dieser Begriff ist also in der Mathematik fundamental, und die Psychologie würde hinzufügen, daß geordnete, unsymmetrische, selektive Verknüpfung zweier Dinge sogar ursprünglicher ist als ungeordnete, symmetrische, kollektive. Denken, Sprechen, Lesen und Schreiben sind an zeitliche Reihenfolge gebunden, die sich uns aufzwingt, bevor wir von ihr absehen können. Das Wort ist früher da als die Menge seiner Buchstaben, das geordnete Paar (a,b) früher als das Paar {a,b}.

Übrigens läßt sich, wenn man will, der Begriff des geordneten Paares auf den Mengenbegriff zurückführen. sind 1,2 zwei voneinander wie von a und b verschiedene Elemente, so hat das Paar von Paaren

{{a,1},{b,2}}

genau ein formalen Eigenschaften des geordneten Paares (a,b), nämlich Unvertauschbarkeit von a und b im Falle der Verschiedenheit beider Elemente. Diese Unsymmetrie wird hier durch die Verknüpfung mit den Elementen 1,2 erreicht und kann, da wir nun einmal sukzessiv und nicht simultan schreiben, durch die Bezeichnung (a,b) ausgedrückt werden, indem wir das mit 1 gepaarte Element an die erste, das mit zwei gepaarte an die zweite Stelle setzen. ..."

Reicht das soweit? Danach definiert er die Multiplikation von Mengen (Kartesisches Produkt) und eindeutige Funktionen. Viele Grüße --Christian1985 13:54, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe schon kurz bevor Deine Antwort kam, im Artikel die Quelle mit Seitenzahl eingetragen. Das müsste genügen. Überprüfe aber bitte nochmals die Seitenzahl, weil ich es aus meinen Notizen habe, die ich nicht nochmals kontrolliert habe. Dort S. 33 stehen auf jeden Fall die Funktionen.--Wilfried Neumaier 14:15, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ja habe ich getan, der Hauptteil des Zitates steht auf Seite 32. Viele Grüße --Christian1985 14:26, 7. Jun. 2010 (CEST)

Tupelbegriff

Die Aussage "zum Tupel-Begriff generalisierbare Definition" bei der ersten Definition des geordneten Paar suggeriert, dass nur diese zum Tupel-Begriff generalisiert werden kann. Dies ist falsch. Jede Paardefinition kann zum Tupelbegriff generalisiert werden. Es sei $\,^{<a,b>}$ eine beliebige Definition eines geordneten Paares. Dann kann man ein n-Tupel wie folgt definieren:

$\,^{()\,:=\,\varnothing }$

$\,^{(a_{1},\ldots ,a_{n})\,:=\,<a_{1},(a_{2},\ldots ,a_{n})>}$ für $\,^{n>0}$

--kowa 14:48, 23. Mär. 2011 (CET)

Nunja, es gibt halt ständig jemanden, der mit $\langle x,y\rangle \neq (x,y)$ ein Problem hat, und Begriff mit Kodierung verwechselt o.ä. --Daniel5Ko 23:24, 23. Mär. 2011 (CET)

Definition nach Schmidt

Die Gleichung
${\{{\mathcal {P}}(\{x\})\mid x\in b\}\,\cup \,\{\{\{x\}\}\mid x\in a\}}$
${=\{\{\emptyset ,\{x\}\}\mid x\in a\}\,\cup \,\{\{\{x\}\}\mid x\in b\}}$

ist fehlerhaft.
Schmidt definiert: $(a,b):={\mathfrak {Q}}\cup {\mathfrak {Q}}'$, wobei ${\mathfrak {Q}}:=\{\{\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in a\},\;{\mathfrak {Q}}':=\{{\mathcal {P}}(\{x\})\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in b\}$ --80.134.159.154 13:29, 16. Nov. 2013 (CET)

Problematische Tabelle

Die als Alternative angegebene Darstellung in der Zeile für Kuratowski ist nicht von Kuratowski. Das in der Spalte "Bemerkung" in der Zeile für Hausdorff Stehende ist wesentlicher Bestandteil der Definition, gehört also unbedingt in die erste Spalte womit die Tabellenform wohl kaum noch zu halten wäre. --80.134.166.73 13:55, 19. Nov. 2013 (CET)

Warum wird der moderne Paarbegriff nicht erwähnt?

--Lothario Hederich (Diskussion) 17:12, 3. Jun. 2015 (CEST)

Im Artikel werden sage und schreibe sechs verschiedene Definitionen aufgeführt (sogar mit Beleg). Welcher „moderne Paarbegriff“ würde denn noch fehlen? -- HilberTraum (d, m) 20:56, 3. Jun. 2015 (CEST) Vielleicht der Begriff „Homo-Ehe“? :-) -- HilberTraum (d, m) 20:59, 3. Jun. 2015 (CEST)

Im Artikel werden sechs verschiedene „Darstellungen als Mengen“ präsentiert, was noch keine Begriffsdefinition bedeutet. Siehe hierzu Allgemeine Mengenlehre von Oberschelp.--Lothario Hederich (Diskussion) 10:05, 4. Jun. 2015 (CEST)

Das Buch von Oberschelp ist auch nur eines von vielen. Seine Definition auch nur eine von vielen. --Digamma (Diskussion) 11:00, 4. Jun. 2015 (CEST)

Natürlich ist es so wie du sagst, es ist aber keine Antwort auf meine Frage. --Lothario Hederich (Diskussion) 09:38, 5. Jun. 2015 (CEST)

Der "moderne Paarbegriff" ist meiner Meinung nach einerseits die axiomatische Charakterisierung nach Peano, andererseits die mengentheoretische Definition von Kuratowski. Beides wird im Artikel erwähnt. --Digamma (Diskussion) 11:15, 5. Jun. 2015 (CEST)

Der moderne Paarbegriff lässt z.B. ({x|x ist eine Gruppe},{}) als Paar zu, nicht jedoch die im Paar-Artikel aufgeführten Mengendarstellungen. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:08, 5. Jun. 2015 (CEST)

Ich vermute mal, dass dies der Paarbegriff Oberschelps ist (ich habe sein Buch leider nicht vorliegen). Ich denke, dass es durchaus sinnvoll ist, diesen Paarbegriff zu ergänzen, weil er Paare von echten Klassen ermöglicht. Es gibt aber keinen Grund für die Behauptung, dies wäre der moderne Paarbegriff. Alle Mengenlehrebücher, die ich kenne (Ebbinghaus, Kunen, Jech) verwenden den von Kuratowski. --Digamma (Diskussion) 21:38, 5. Jun. 2015 (CEST)

Ich würde Oberschelps Paarbegriff schon als modern ansehen, im Gegensatz zu dem auf Mengen beschränkten. Zwar ist die Erweiterung auf echte Klassen nicht unproblematisch, denn wenn man die ganze mathematische Objektwelt zulässt, kann es zu widersprüchlichen Aussagen kommen, im Gegensatz bei Beschränkung auf die Welt der Mengen. Um Widersprüche zu vermeiden, hat Oberschelp in der Klassenlogik den Objektbegriff eingeschränkt, z.B. sind die Elemente der Klasse {x| x={x}} sowie diese Klasse selbst ausgeschlossen. Mit der Erweiterung des Paarbegriffs erweitern sich auch die der Tupel, Relationen und Funktionen erheblich. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:53, 6. Jun. 2015 (CEST)

Bitte genauer lesen: Ich habe nicht gesagt, dass Oberschelps Paarbegriff nicht modern sei, sondern dass er nicht der moderne Paarbegriff ist. Ich habe nichts dagegen, wenn du ihn nachträgst, aber eben als einer von vielen, nicht als "der". Soweit ich das sehe, befassen sich sehr wenige Leute mit Klassen-Mengenlehre (wenn man das so bezeichnen kann), den meisten Mengenlehre-Darstellungen liegt ZFC zu Grunde, und da gibt es keine Klassen. --Digamma (Diskussion) 19:53, 6. Jun. 2015 (CEST)

Wir disputieren jetzt aneinander vorbei; mit meiner Eingangsfrage wollte ich nur anregen, im Artikel auch zu erwähnen, dass es ein allgemeineres Verständnis des Paarbegriffs gibt (und, wenn es sinnvoll erscheint, auf Folgen daraus hinzuweisen). --Lothario Hederich (Diskussion) 10:25, 7. Jun. 2015 (CEST)

Dann schreib’s doch einfach mal rein. Was Schlimmeres als dass es revertiert wird, kann ja nicht passieren; aber danach sieht es ja nicht aus. Wertungen wie „modern“ sollten aber nur in den Artikel, wenn sich dafür unabhängige Quellen finden lassen. -- HilberTraum (d, m) 15:41, 7. Jun. 2015 (CEST)

Danke für den Rat, aber ich möchte nicht mehr im Portal Mathematik in Artikeln etwas einbringen.

Hier kurz was Oberschelp sagt:

"Ein (geordnetes) Paar besteht aus einem ersten und einem zweiten mathematischen Objekt und ist selbst ein mathematisches Objekt, aus dem sich die beiden genannten Objekte einschließlich der Reihenfolge zurückgewinnen lassen" (Oberschelp, Allg. Mengenlehre, Seite 27.), d.h., zwei Paare sind genau dann dasselbe Objekt, wenn ihre ersten Objekte gleich sind und ebenfalls ihre zweiten Objekte. Ist p ein Paar, dann bezeichnen pr₁(p) und pr₂(p) das erste respektive zweite Objekt von p. (Seite 65). Ein einfaches Beispiel ist das Paar, p, mit pr₁(p)=Klasse aller Mengen, pr₂(p)={}. --Lothario Hederich (Diskussion) 18:34, 7. Jun. 2015 (CEST)

Das, was du hier zitierst, steht (mit Ausnahme des Beispiels), natürlich in anderen Worten, schon im Artikel. In dieser Hinsicht unterscheidet sich Oberschelps Paarbegriff nicht von den anderen. Das Besondere bei Oberschelp ist, dass er als mathematische Objekte auch echte Klassen zulässt und insbesondere auch geordnete Paar von echten Klassen. Dies zeigt sich an dem genannten Beispiel. Interessant wäre nun aber, wie Oberschelp den Paarbegriff mengentheoretisch definiert, so dass er für Klassen anwendbar ist. Oder ist es bei ihm ein nicht weiter definierter Grundbegriff? --Digamma (Diskussion) 19:16, 7. Jun. 2015 (CEST)

Das geht mengentheoretisch nicht, Paare sind Basisobjekte der Mathematik, die sich nicht auf Anderes zurückführen lassen. --Lothario Hederich (Diskussion) 10:57, 8. Jun. 2015 (CEST)

Oberschelp nimmt in seinem Buch Paare als Basisobjekte, aber auf Seite 91 schreibt er selbst, dass „die heute übliche Paardefinition“ die von Kuratowski angegebene ist, und nennt die so definierten Paare „Kuratowski-Paare“. Auf der nächsten Seite identifiziert er dann sogar Paare und Kuratowski-Paare für den Rest des Buches miteinander. -- HilberTraum (d, m) 11:55, 8. Jun. 2015 (CEST)

Eine verspätete Antwort auf die letzte Bemerkung von HilberTraum

‹X,Y›=‹X,Y›_K gilt zwar für Individuen aus IM, nicht jedoch generell für Individuen aus ID. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:48, 26. Mai 2016 (CEST)

IM? ID? Worum geht’s hier? -- HilberTraum (d, m) 18:11, 26. Mai 2016 (CEST)

Es ist eine Ergänzung zu Deinen vorstehenden Bemerkungen (vom 8. Jun 2015). IM = Klasse der Mengen, ID = Allklasse, bei Oberschelp. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:38, 15. Jun. 2016 (CEST)

Allgemeingültige Paardarstellung

Von den aufgeführten 'basalen' Paardarstellungen (Wiener, Kuratowski) sind viele zwar für echte Urelemente (echt = ungleich Leermenge) und Mengen, nicht aber für echte Klassen gültig. Mit dem Schmidtschen Verfahren macht man daraus eine Darstellung, die für Klassen, also Mengen und echte Klassen gültig ist (Klasssenpaare), nicht aber für echte Urelemente. In einer Mengentheorie ohne echte Urelemente ist das ok. Das war wohl auch eine Intention, die W. v. O. Quine veranlasst hat, die echten Urelemente durch Quine Atome (die Lösungen von x = {x}, mehrere erlaubt) zu ersetzen, denn diese sind ja Mengen. Dennoch wäre eine Paardarstellung wünschenswert, die für echte Urelemente, Mengen und echte Klassen taugt. Leider führt eine 'abschnittsweise Definition' (wie Kuratowski für echte Urelemente, Schmidt-über-Kuratowski für Klassen; oder Kuratowski für echte Urelemente ind Mengen, Schmidt-über-Kuratowski für echte Klassen an den 'Bereichsgrenzen' dieser Definition auf Probleme mit der im Paaraxiom geforderten Eindeutiglkeit! Allerdings lässt sich das für eine große Klasse von Mengentheorien offenbar beheben:
Wie im Artikel erwähnt ist:

$(a,b)_{Schmidt}:=\bigcup _{x\in a}\bigcup _{y\in b}(x,y)$

Das geschilderte Verfahren lässt sich auch einseitig nur links oder nur rechts anwenden.
Vergleicht man dies mit der tautologischen Feststellung

$(a,b)=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(\{a\},\{b\})_{Schmidt}$

Nicht mehr so trivial sieht das aus, wenn wir rechts (x,y) durch die jeweilige 'primitive' (nicht nach Schmidt modifizierte) Paardarstellung (für echte Urelemente und Mengen) ersetzen:
Mit $a^{+}:=a\cup \{a\}$ für Mengen,$a^{+}=:\{a\}$ für echte Urelemente. $a^{+}:=a$ für echte Klassen. Diese Definition ist angelehnt an (d. h. eine Fortsetzung von):

$0:=\emptyset ,n+1:=n^{+}=n\cup \{n\}$ (Darstellung der natürlichen Zahlen in ZF und ähnlichen Mengentheorien)

Weiter:

$(a,b)_{+}:=\bigcup _{x\in a^{+}}\bigcup _{x\in b^{+}}(x,y)=(a^{+},b^{+})_{Schmidt}$

erhalten wir eine Paardarstellung, die für beliebige echte Urelemente, Mengen oder echte Klassen a und b (unabhängig voneinander) definiert ist - wobei das Paar (x,y) rechts wieder durch eine 'primitive' Paardarstellung (Kuratowski oder Wiener) zu ersetzen ist.
Genügt diese auch dem Paaraxiom?
Da Schmidt-Klassenpaare dem Paaraxiom genügen, sind lediglich Behauptungen der folgenden Art zu überprüfen:

$x\cup \{x\}=y\cup \{y\}\Rightarrow ^{?}x=y$

(und ähnliche Kombinationen nur mit x, {x}, y, {y}). Die Behauptung lässt sich für eine großen 'Klasse' von Mengentheorien beweisen:

• ist x=y, so sind wir fertig.
• ist x≠y, so ist x={y} und y={x}, also x={ {x} }
  • in Standard-Mengentheorien (ZF... bzw. gleichwertig Scott-Potter mit KLassen, ggf. Grothendieck-Universen) mit Fundierungsaxiom gibt es keine zirkelhafte Mengen. Dieser 2. Fall kommt nicht vor.
  • in Mengentheorien mit Quine-Atomen sind die einzigen zyklischen Mengen die Quine-Atome mit x={x}. Daher wird x={ {x} } nur von Quine-Atomen erfüllt und es ist x = { {x} } = y, qed.
  • in Hyperset-Theorien (mit Antifoundation-Axiom nach Peter Aczel) gibt es zu jeder mengentheoretschen Gleichung genau 1 Lösung. Die Lösung zu x = {x} erfüllt auch (und zwar als einzige) x = { {x} } und damit ist x = {x} = y, q.ed.
  • Vermutung/Spekulation: 'Hybride' Mengentheorien: So wie aus ZF-Theorien durch Identifikation von x, {x}, { {x} },... für echte Urelemente x aus diesen Quine-Atome entstehen, ist das wahrscheinlich auch in Hyperset-Theorien möglich. Wenn nur ein Teil der echten Urelemente 'umgewandelt' wird, entsteht ein komplexes Hybrid: x={x} kann mehrere Lösungen haben (Quine-Atome), ansonsten haben mengentheoretische Gleichungen wie x = {x, a, ...} usw. genau 1 Lösung bzw. nur so wenig, wie durch die Quine-Atome unabdingbar ist (eine Art Sparsamkeitsprinzip). Infolge des Sparsamkeitsprinzips ist aus x = {y} und y = {x} wieder auf x = { {x} } und daher x = {x} = y zu schließen, qed.
    

Habe diese Überlegungen kürzer gefasst jetzt in den Artikel eingebracht, mit Peter Aczel/Michael Rathjen als Quelle (Notation $a^{+}$) und $(a,b)_{all}$ statt $(a,b)_{+}$.--Ernsts (Diskussion) 17:57, 28. Mai 2018 (CEST)

• Gibt es weitere Autoren, die die x⁺-Paardarstellung beschreiben?
• Auch im Hinblick auf verschiedene Mengentheorien?

Und beschreibt jemand genau, wie die Paardarstellungen von Kuratowski oder Wiener für Russellsche Typentheorien abgewandelt werden müssen, wenn die beiden Koordinaten von verschiedenen Typenstufen sind, so dass das Paaraxiom in vollem Umfang gültig ist?
--Ernsts (Diskussion) 00:18, 1. Feb. 2018 (CET), letzte Aktualisierung: Ernsts (Diskussion) 18:59, 2. Feb. 2018 (CET)

Dupel

Gibt es Belege für die Bezeichnung "Dupel"? --Digamma (Diskussion) 22:32, 18. Jun. 2022 (CEST)