Diskussion:Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

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Funktionsprinzip

Der Teil "Funktionsprinzip der Verfahren", der ja sowas wie den Beweis darstellen sollte ist so für mich nicht verständlich. Und zwar der vorletzte Rechenschritt: $\langle v_{k},u_{j}\rangle -\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {\langle v_{k},u_{i}\rangle }{\langle u_{i},u_{i}\rangle }}\langle u_{i},u_{j}\rangle$ $=\langle v_{k},u_{j}\rangle -\langle v_{k},u_{j}\rangle$ Sollte das nicht über eine vollständige Induktion ablaufen? Frostus 11:32, 21. Aug. 2008 (CEST)

Nein, eine Anwendung von vollständiger Induktion kann ich an der Stelle nicht erkennen. Der Rechenschritt ist korrekt, weil die (normierte) Summe der dyadischen Produkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^{k-1} \frac{ u_i \otimes u_i}{\langle u_i,u_i \rangle} } identisch ist mit der Einheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

In Bra-Ket-Notation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v_k | u_j \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_k | u_i \rangle \langle u_i | u_j \rangle}{\langle u_i | u_i \rangle} = \langle v_k | u_j \rangle - \langle v_k | \sum_{i=1}^{k-1} \frac { | u_i \rangle \langle u_i | }{\langle u_i | u_i \rangle} | u_j \rangle = \langle v_k | u_j \rangle - \langle v_k | E | u_j \rangle = \langle v_k | u_j \rangle - \langle v_k | u_j \rangle = 0 } Ich hoffe, ich habe jetzt keinen Fehler eingebaut und die Rechnung ist nun einigermaßen verständlich... ;-) --GluonBall 14:51, 21. Aug. 2008 (CEST)

Das Argument und somit der Rechenschritt ist richtig, versteckt aber den entscheidenden Punkt: Wir nehmen an, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1, \ldots, v_{k-1}} orthogonal sind, also verschwinden die Skalarprodukte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v_i,v_j \rangle} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \neq j} trivialerweise. --Jan Krieg (Diskussion) 04:08, 14. Mai 2012 (CEST)

Ob da ein Fehler drin ist oder nicht, kann ich nicht beurteilen, aber ich finde, man sollte den entsprechenden Rechenschritt im Artikel irgendwie kommentieren, ausführlicher gestalteten oder (falls das irgendwie gehen sollte) einfacher argumentieren.

Ich hatte mir eben den Artikel angeschaut und konnte diese Umformungen auch nicht nachvollziehen. --KullerhamPster 12:09, 26. Jul. 2010 (CEST)

Schema nicht offensichtlich

Die Schritte für das Gram-Schmidt Verfahren sind nicht offensichtlich, ich würde vorschlagen eine ähnliche Variante noch anzuführen wie sie im Buch "Lineare Algebra" von Howard Anton zufinden ist. da sind die Schritte offensichtlicher zu verstehen. Viele Grüsse, Daniel

Zweifel eines Benutzers

Auf der Artikel-Seite war noch folgendes zu lesen:

EDIT Bin kein Mathe-Jesus, aber halte das Verfahren wie hier beschrieben für falsch. Habe es mit verschiedenen Vektoren probiert und es hat nicht funktioniert. Habe bei meiner Internetrecherche diesbezüglich festgestellt, dass alle anderen Seiten in der Summe noch durch das Quadrat von vi teilen. Zusätzlich normieren sie später noch. Weiss es nicht, war lange nicht mehr in der Vorlesung und kann es daher nicht im Skript nachschlagen. Aber guckt euch nochmal alternativen an bevor ihr damit eure Zeit verschwendet. mfg

Ich habe keine Ahnung, worum es überhaupt geht, aber die obigen Anmerkungen sollten wohl hier auf die Diskussionsseite. Giant2 19:18, 19. Jul 2004 (CEST)

Der Algorithmus stimmt definitiv nicht. Ich glaube, korrekt müsste er lauten:

* ${\vec {w}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{1}}{\|{\vec {v}}_{1}\|}}$

* Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec l_n = \vec v_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle \vec v_n , \vec w_i \rangle \vec w_i }

* Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec w_n = \frac{\vec l_n}{\| \vec l_n \| } }

kann das bitte mal einer nachrechnen und bestätigen? User:Marathi

Ich sehe den Unterschied zum im Artikel genannten Algorithmus nicht. Kannst du bitte explizit ausführen, wo du einen Fehler vermutest. --Squizzz 15:13, 10. Apr 2006 (CEST)

Der Artikel ist etwas verwirrend: erst wird ein Algorithmus für ein OrthoGONALsystem vorgestelltt, dann Gram-Schmidt für ein OrthoNORMALsystem. Das ist erstens viel zu umständlich, und zweitens funktionieren die zusammen irgendwie nicht (habe mehrere durchgerechnet, ging nie auf). mit dem obigen Algorithmus ist alles gesagt, und schnell gehts auch (und funktioniert ;-) User:Marathi

Die beiden Algorithmen sollen auch nicht zusammen funktionieren. Wenn Du lediglich ein OrthoGONALsystem brauchst, nimmst Du den einen Algorithmus, wenn Du ein OrthoNORMALsystem (also zusätzlich Normierung) brauchst, den anderen. Der Algorithmus für das OrthoNORMALsystem ist (bis auf Notationsänderung) identisch mit dem von Dir oben angegebenen. --NeoUrfahraner 16:24, 11. Apr 2006 (CEST)

Ich glaube, man sollte die Artikel trennen und unter der jetzigen Überschrift wirklich nur das OrthoGONALisierungsverfahren ansetzen. Verwirrt sonst zu sehr.

Die Ähnlichkeit der beiden Verfahren ist so groß, dass getrennte Artikel noch verwirrender ist, weil sie die Ähnlichkeit beider Verfarhen verstecken. Was ist denn verwirrend? Die ersten beiden Sätze des Artikels sollten doch das Verhätnis der beiden Verfahren klar machen. --NeoUrfahraner 09:07, 22. Apr 2006 (CEST)

Die beiden jetzt dort zu lesenden Verfahren sind gut beschrieben und IMHO auch korrekt. Den Einleitungssatz habe ich noch gestrafft, so sieht man die Unterschiede und Ähnlichkeiten noch direkter. Erledigt. --Juliabackhausen 14:33, 18. Okt. 2009 (CEST)

Ich habe deine Änderungen wieder zurückgedreht. Die Behandlung jedes der beiden Verfahren in einem eigenen Satz halte ich für einfacher lesbar als das nebeneinanderstellen mit bzw. Auch achte ich darauf, dass die Einleitung die wichtigsten Fakten enthält. Deshalb gibt es keine speziellen Abschnitte zur Namensgebung und Berechnung, die dann nur jeweils einen Satz enthielten. Beim „Beweis“ sehe ich auch keinen Vorteil, wenn Formel anstatt Text verwendet wird. Die Ergänzung zum Wertebereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} halte ich eher für verwirrend. Der Wertebereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} ist ja schon festgelegt. --Stefan Birkner 19:24, 18. Okt. 2009 (CEST)

Ich halte meine Änderung durchgehend für besser. Wenn Variablen nicht korrekt eingeführt werden, ist das furchterregend. Und in der Erklärung unten ist auch ein tatsächlicher Fehler drin. Da aber scheinbar in Mathe-Artikeln Genauigkeit in der Wikipedia von vielen Usern nicht gewünscht wird, steht es da halt weiter falsch, ich sehe keinen Sinn darin wieder Details hinzukorrigieren, die vom nächsten wieder wegkorrigiert werden. Dann bleiben die Artikel eben falsch. Die Armen, die für Mathematik Wikipedia nutzen müssen, weil sie es alleine nicht können... Wohl nicht erledigt. --Juliabackhausen 23:19, 18. Okt. 2009 (CEST)

@Juliabackhausen: Über die Einleitung sind wir beide unterschiedlicher Meinung. Solange sich nicht mehr Leute für deine Version aussprechen, möchte ich meine gerne beibehalten, da ich massgeblich zur jetzigen Gestalt des Artikels beigetragen habe. Die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} wurde als Indexvariable bei der ersten Formel des entsprechenden Abschnitts eingeführt. Welchen Fehler enthält der Artikel? --Stefan Birkner 07:39, 19. Okt. 2009 (CEST)

Das i in der ersten Formel ist eine GEBUNDENE Variable. Sie ist außerhalb der Summe UNBEKANNT. Ein Umstand, den ich Stundenten seit ungefähr sechs Jahren versuche beizubringen, der aber von vielen nicht verstanden wird. Weiter unten ist das i UNBEKANNT und NICHT EINGEFÜHRT. Man muss das i ABERMALS EINFÜHREN, damit es korrekt ist.

Und der Satz, dass man "diesen Wert" einsetzt, ist natürlich ein daraus resultierender Folgefehler. Es gibt "diesen Wert" nicht, entweder man definiert vorher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = (\lambda_i)_{1\leq i\leq n}} und dann kann man "diesen Wert" Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} einsetzen. Ja, aber wenn man das nicht macht, dann muss man schon "diese Werte" $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ schreiben.

--Juliabackhausen 11:17, 19. Okt. 2009 (CEST)

Zur Einleitung: Meiner Meinung nach sollten sehr wohl eigenständige Abschnitte für dieses und jenes existieren, auch wenn sie kurz sind. Der erste Satz vor dem Inhaltsverzeichnis sollte möglichst in ein oder zwei Sätzen einen allgemeinen Überblick geben und nicht nebensächliche Informationen, wie die Namensgeber enthalten. Sie sind über dies wesentlich einfacher zu finden, wenn es einen Abschnitt "Namensgebung" gibt, anstatt dass diese Information irgendwo versteckt ist. Ich habe sie gesucht und beim Überfliegen nicht gefunden. Eine entsprechende Überschrift hätte mir sehr geholfen. --Juliabackhausen 11:17, 19. Okt. 2009 (CEST)

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i} beziehen sich auf die Summe und damit ist das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} bekannt. Die Namensgeber müssen nicht in die Einleitung. Falls ich oder jemand anderes diesen Artikel um einen historischen Abriss ergänzt, wäre das der geeignete Ort um sie dort zu erwähnen. Ansonsten ist es natürlich immer so, dass einem geholfen ist, wenn das, nachdem man sucht, explizit durch eine Überschrift hervorgehoben ist. Doch dafür bräuchte man für jeden Leser eine eigene Version des Artikels. --Stefan Birkner 21:29, 21. Okt. 2009 (CEST)

Ich versuche gerade, die Orthogonalität von (v1,v2) im Orhtogonalisierungsverfahren nachzuprüfen und glaube einen Fehler gefunden zu haben. Wenn ich das Skalarprodukt bilde, müssten die Normierungen keine Rolle spielen (bzw. man kann sie ausklammern), also ist das Skalarprodukt (w1,v2') zu berechnen, das 0 ergeben müsste. Bei mir kommt aber das Skalarprodukt (w1,w2-)-(w1,w2)/(w1,w1) heraus, also habe ich effektiv eine Normierung zuviel in der Definition von v2' und die beiden Vektoren sind nicht orthogonal. Ich habe leider keine Ahnung, wie sich das hier in mathematischer Schreibeweise darstellen lässt, aber kann das jemand mal nachprüfen? Wenn ich recht habe, müsste v2'=w2-(w1,w2)*v1 gelten --87.178.249.130 16:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Mein Fehler, hab die Normierungen nicht richtig bedacht --87.178.249.130

Wo sind die Vektorpfeile?

Irre ich mich oder warum fehlen hier überall die Vektorpfeile? Ist zwar nur formelles blabla, aber ich denke, dass gehört hier schon rein. k00ni 22:49, 14. Jul. 2008 (CEST)

Hallo E86, da kann man drüber streiten. Einige Leute markieren Vektoren durch Vektorpfeile, andere durch Fettdruck oder Unterstreichen, noch andere gar nicht. Tendenziell neigen nach meiner Erfahrung Physiker zu den Pfeilen und Skalarprodukt als einfachen Punkt wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a \cdot \vec b} , während Mathematiker eher nicht markieren und das Skalarprodukt mit spitzen Klammern wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle a , b \rangle} schreiben. Nicht zu vergessen, die Bra-Ket-Notation in der Quantenmechanik. So weit ich weiß, gibt es leider noch keine Wikipedia-weite einheitliche Regelung, wann welche Schreibweise zu verwenden ist. Gruß, --GluonBall 23:21, 14. Jul. 2008 (CEST)

PS: habe hier: Diskussion:Vektor#Vektorscheibweise in der Wikipedia noch eine Diskussion allgemein zu dem Thema gefunden.

Komplexität

Gehe ich richtig in der Annahme, dass das Verfahren die Komplexität O(n^3) hat? --91.52.36.121 18:40, 13. Jun. 2012 (CEST)

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens hat einen Verdreher der Variablen

Hallo,

wie im Betreff der "Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens" ist, so wie er da steht, nur fuer reelle SKPRaeume korrekt. Es mss in der Summationsformel (und dann auch entsprechend weiter oben) "\langle w_j, v_i\rangle" heissen, ansonsten heben sich die Terme im Komplexen nicht weg.

Gruss --88.73.181.239 09:41, 2. Jun. 2020 (CEST)

Das hängt davon ab, wie das Skalarprodukt definiert wird, also ob es linear im ersten oder im zweiten Argument ist. In Abschnitt „Vorbemerkung“ wird darauf hingewiesen. -- HilberTraum (d, m) 20:16, 2. Jun. 2020 (CEST)