Diskussion:Vektor

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Archiv

2003 bis 2013 ab 2014

Wie wird ein Archiv angelegt?

Aufspaltung des Artikels - neuer Anlauf

Wenn ich es richtig gelesen habe, war die Grundsätzliche Idee einer Aufspaltung damals hauptsächlich an der Lemmawahl Vektor (Geometrie) oder Euklidischer Vektor gescheitert. Ich würde daher folgenden Vorschlag machen:

• Diesen Artikel auf das Lemma Euklidischer Vektorraum verschieben. Im Gegensatz zu Euklidischer Vektor besteht da keine Gefahr der Begriffsetablierung, es ist analog Vektorraum und man sieht gleich, dass es ein Spezialfall davon ist. Das Lemma ist dann eindeutig und klar definiert, im Gegensatz zu Vektor (Geometrie), womit theoretisch alles mögliche gemeint sein kann.
• Einen neuen Artikel Vektorielle Größe, @Pyrrhocorax: hatte damals schon einen Entwurf Benutzer:Pyrrhocorax/Vektorielle Größe.
• Das Lemma Vektor wird ein Übersichtsartikel über das zugrundeliegende Konzept, der dem Laien die Unterschiede der genauen Definitionen erklärt und auf Vektorraum, Euklidischer Vektor und Vektorielle Größe verweist.

--Debenben (Diskussion) 23:55, 1. Mär. 2018 (CET)

@Debenben: Grundsätzlich Zustimmung zum Vorschlag, den Artikel aufzuspalten. Aber:

Ein euklidischer Vektorraum ist etwas ganz anderes, als was hier beschrieben wird. Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Die Elemente können aber von ganz verschiedener Art sein, z.B. auch Funktionen.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht so recht, was gegen Vektor (Geometrie) spricht. --Digamma (Diskussion) 16:36, 5. Mär. 2018 (CET)

Der Vorteil von euklidischer Vektorraum ist, dass es ein feststehender Begriff ist, der auch anderswo einen eigenen Artikel hat [1]. Gerade weil der aktuelle Artikel z.B. annimmt dass es ein Skalarprodukt und damit auch Längen und Winkel gibt passt er zu dem Lemma. Das Klammerlemma mit Geometrie klingt für mich ehr nach einem Essay über die Wortverwendung in der Geometrie, wobei die Geometrie an sich ein so großes Gebiet ist, dass man nicht wirklich sagen kann, in der Differentialgeometrie, diskreten Geometrie... wäre Vektor ein eigener Begriff, der sich von Element eines Vektorraums unterscheidet.--Debenben (Diskussion) 21:11, 5. Mär. 2018 (CET)

Geometrische Vektoren sind trotzdem nur ein Spezialfall von Vektoren eines euklidischen Vektorraums. Der Begriff des euklidischen Vektorraums ist viel allgemeiner. Hinzu kommt, dass der Begriff nicht so feststehend ist, wie es scheint. Die Autoren sind sich nicht einig, ob euklidische Vektorräume endlichdimensional sein müssen, und auch nicht, ob sie reell sein müssen. (Wenn ich mich nicht irre, gab es dazu eine längere Diskussion auf Diskussion:Prähilbertraum.) Außerdem beschränkt sich der Artikel im geometrischen Teil, da er vom Anschauungsraum ausgeht, explizit auf Dimension 2 und 3.

Wenn der Klammerzusatz "Geometrie" zu allgemein ist, wie wäre es mit "Vektorgeometrie"? Oder ist das zirkulär? Oder "Analytische Geometrie"? --Digamma (Diskussion) 21:29, 5. Mär. 2018 (CET)

@Digamma, Pyrrhocorax, KaiMartin: Ich habe als ersten Schritt mal den Artikel Benutzer:Pyrrhocorax/Vektorielle Größe weitergeschrieben und denke er ist so weit, dass man ihn in den Artikelnamensraum verschieben kann. Bei der Lemmafrage für den geometrischen Vektor würde ich immer noch ehr zu Euklidischer Vektorraum tendieren, aber vielleicht hat ja jemand noch einen besseren Vorschlag. Wirklich überzeugt bin ich inzwischen von keinem der Lemmavorschläge mehr.--Debenben (Diskussion) 23:28, 10. Mär. 2018 (CET)

Koordinat und Komponente

Ich habe die Idee die zwei Begriffe 'Koordinat' und 'Komponente" werden hier als Synonym benutzt. Eigentlich ist doch eine Komponente selbst ein Vektor, und sind die Koordinate die Kenzahlen bezüglich einen Basis. Man kann einen Vektor in seine Komponenten zerlegen, die dann zusammen wieder den Vektor bilden.(vergessen anzumelden) Madyno (Diskussion) 13:37, 14. Dez. 2018 (CET)

Ohne jetzt eine Quelle parat zu haben: Meines Wissens bezeichnen die Mathematiker tatsächlich die Koordinaten bezüglich der Standardbasis (also die Einträge in den Spaltenvektoren) als "Komponenten". Ich müsste aber nochmal nachschauen. --Digamma (Diskussion) 18:39, 14. Dez. 2018 (CET)

Die Logik war immer: der Vektor (1,2,3) in R3 hat Kennzahlen 1,2 und 3. Das sind auch die Koordinaten bezüglich der Standardbasis. Er hat die Komponenten (1,0,0), (0,2,0) und (0,0,3), oder gelegentlich (1,0,1) und (0,2,2). Bezüglich der Basis (1,0,0), (0,2,1) und (0,0,1) hat er die Koordinaten 1, 1 und 2. Madyno (Diskussion) 14:35, 16. Dez. 2018 (CET)

Die Bezeichnung "Kennzahlen" kenne ich im Deutschen nicht. Für mich waren das immer Komponenten. --Digamma (Diskussion) 17:39, 16. Dez. 2018 (CET)

Hast recht, ich habe gesehen dass Komponent gänglich ist für "Kennzahl". Auch im Englisch. Für Komponent einer Kraft wird (auch?) Teilkraft gesagt. (Aber componere zusammenfügen.) Madyno (Diskussion) 17:43, 16. Dez. 2018 (CET)

Zeilen und Spalten

Ein Zeilenvektor $Z$ ist eine $1\times n$-Matrix:

$Z={\begin{pmatrix}z_{11},z_{12},\ldots ,z_{1n}\end{pmatrix}}$

Ein Spaltenvektor $s$ ist eine (korrigiert!) $n\times 1$-Matrix:

$S={\begin{pmatrix}s_{11}\\s_{21}\\\vdots \\s_{n1}\end{pmatrix}}$

oder horizontal geschrieben:

$S={\begin{pmatrix}s_{11},s_{21},\ldots ,s_{n1}\end{pmatrix}}$

Eigentlich sollte mann mit Klammern schreiben:

$Z={\begin{pmatrix}(z_{11}),(z_{12}),\ldots ,(z_{1n})\end{pmatrix}}$

$S={\begin{pmatrix}(s_{11},s_{21},\ldots ,s_{n1})\end{pmatrix}}$

Zb ist

$Z={\begin{pmatrix}(3),(0),\ldots ,(-2)\end{pmatrix}}$

ein Zeilenvektor, und

$S={\begin{pmatrix}(3,0,\ldots ,-2)\end{pmatrix}}$

ein Spaltenvektor.

Dass mann einen Zeilenvektor mal horizontal und einen Spaltenvektor mal vertikal schreibt, ist dabei nicht essentiell, nur eine Art Hilsmittel führ uns Menschen.Madyno (Diskussion) 17:38, 26. Dez. 2021 (CET)

Hmm. Ist das deine Systematik oder hast du dafür eine reputable Belegstelle? Kein Einstein (Diskussion) 20:09, 26. Dez. 2021 (CET)

Na jah, was wäre wohl die mathematische Bedeutung von "unter einander schreiben"? --Madyno (Diskussion) 22:52, 27. Jun. 2022 (CEST)

Ich kann dir nicht folgen. Für dich ist eine Matrix ein Tupel von Tupeln? Aber wenn man das so auffasst, sind dann nicht die inneren Tupel die Zeilen? D.h. die Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ würde ich als $[[a,b],[c,d]]$ schreiben. Ein Zeilenvektor hat dann die Form $[[a,b,c,...]]$, ein Spaltenvektor die Form $[[a],[b],[c],...]$. Also gerade andersherum als du das schreibst. Aber das sind Konventionen von Computer-Algebra-Systemen und Programmiersprachen, keine mathematischen Konventionen. --Digamma (Diskussion) 20:30, 1. Jul. 2022 (CEST)

Nochmals:

Die matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ kan man entweder aufassen als $((a,b),(c,d))$, oder als $((a,c),(b,d))$.

Die lineare Abbildung $L:V\to W$ hat bzgl der Bases $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und $w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$ die $m\times n$-Matrix $A$. Die koefficienten der Bilder $Lv_{1},\ldots ,Lv_{n}$ der Basisvektoren bilden die $n$ Spalten der Matrix $A$:

$Lv_{k}=\sum _{r=1}^{m}c_{kr}w_{r}$

$A_{rk}=c_{kr}$

$A=((c_{11},\ldots ,c_{1m}),\ldots ,(c_{n1},\ldots ,c_{nm}))=c^{T}$

Eine $1\times n$-Matrix $A$ ist also der Zeilenvektor

$A=((A_{11}),\ldots ,(A_{1n}))=((c_{11}),\ldots ,(c_{n1}))=c^{T}$

Und eine $m\times 1$-Matrix $A$ ist der Spaltenvektor

$A=((A_{11},\ldots ,A_{m1}))=((c_{11},\ldots ,c_{1m}))=c^{T}$

Ich hoffe ich habe es jetzt richtig geschrieben.Madyno (Diskussion) 16:11, 6. Jul. 2022 (CEST)

Naja, wenn man Matrizen als Codes für lineare Abbildungen zwischen freien Vektorräumen verstehen will, ist es schon am natürlichsten, eine "Matrix" als (Quellbasisindexmengen-)indizierte Ansammlung von Spaltenvektoren (welche dann obendrein nur endlich viele Einträge ungleich 0 haben dürfen) zu definieren. Wir haben ja, für beliebige Mengen $I$ und $K$-Vektorräume $V$, wegen $F\dashv U$: $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),V)\cong \mathrm {Set} (I,U(V))$; im Spezialfall mit $V=F(J)$ für beliebige Mengen $J$ also $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),F(J))\cong \mathrm {Set} (I,U(F(J)))$.

Spalten- und Zeilenvektoren (als spezielle Matrizen aufgefasst) sind mit beliebigen Indexmengen dann auch recht verschiedene Dinge: $\mathrm {Vec} _{K}(F(1),F(J))\cong \mathrm {Set} (1,U(F(J)))\cong U(F(J))$ und $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),F(1))\cong \mathrm {Set} (I,U(F(1)))\cong \mathrm {Set} (I,U(K))$. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:35, 6. Jul. 2022 (CEST)