Diskussion:Vektor/Archiv/2

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[[Diskussion:Vektor/Archiv/2#Thema 1]]

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Geschichte

Dieser Abschnitt ist leider nicht korrekt. Graßmann hatte so gut wie keinen Einfluss auf die Entwicklung der Vektorrechnung, da sein Werk bis in die 1870er Jahre vernachlässigt wurde. Die Vektorrechnung ging aus den Quaternionen hervor wie in "Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis" sehr ausführlich belegt ist. Im Prinzip ist der Abschnitt zur Geschichte aus der englischen Wikipedia ziemlich gut: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector#History Zu Graßmann: Ich würde auch eher sein erstes Werk "Theorie der Ebbe und Flut" von 1840 zitieren, da bin ich aber nicht sicher. Ich bin neu, deswegen möchte ich nicht einfach drauflos korrigieren, sondern das erstmal zur Diskussion stellen :-)

Wie läuft das generell? Ich finde der englische Abschnitt ist schon gut, wäre es in Ordnung den als Übersetzung zu übernehmen? (Einerseits fände ich das in Ordnung weil es mir künstlich erscheint einen Text neu zu schreiben der eigentlich in einer anderen Sprache schon gut ist, andererseits ist es nicht in Ordnung fremde Texte zu übernehmen. Ich habe bisher zu der Frage nichts gefunden, also ein Hinweis auf die entsprechende Regelung, falls es da eine gibt würde mich auch interessieren). --Jana:Peters (Diskussion) 10:39, 10. Mär. 2014 (CET)

Hallo Jana, die Regelungen findest du in Wikipedia:Übersetzungen. Da es sich hier nur um einen relativ kurzen Abschnitt handelt, brauchst du keinen Versionsimport vornehmen, sondern es reicht aus, wenn du in der Versionsgeschichte des englischen Artikels die Hauptautoren des Geschichtsabschnitts ausfindig machst. Dann kannst du den englischen Text einfach übersetzen (die Einzelnachweise nicht vergessen) und den bisherigen Abschnitt durch deine Übersetzung ersetzen. In die Zusammenfassungszeile schreibst du dann einen Hinweis auf den englischen Artikel und gibst die Liste der Autoren an. Das war's. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:25, 10. Mär. 2014 (CET)

Geometrische Veranschaulichung

Prinzipiell finde ich den Versuch, das ausführlicher in Worten darzustellen gut. Die Formulierung

Die Projektion hat die Länge $|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ (bzw. $-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ je nach Winkel $\varphi$).

ist aber problematisch. Erstens wird nicht erklärt, bei welchen Winkeln das Minuszeichen zu nehmen ist. Zweitens kann man $-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ nicht als "Länge" bezeichnen, denn dies ist ja eine negative Zahl. Im Moment fällt mir aber auch keine bessere Formulierung ein als die recht formale in Skalarprodukt#Veranschaulichung. --Digamma (Diskussion) 20:38, 30. Apr. 2014 (CEST)

Du hattest Recht. Ich habe es verbessert. Wie findest Du die jetzige Version? --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:17, 30. Apr. 2014 (CEST)

Gefällt mir. Danke. --Digamma (Diskussion) 23:19, 30. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Pyrrhocorax! Mir gefällt die erste Version grundsätzlich besser, man müßte sie natürlich etwas abändern, etwa so:

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch wie folgt verstehen (s. Abbildung): Man projiziert den einen Vektor ${\vec {b}}$ senkrecht auf den anderen ${\vec {a}}$. Die Projektion hat die vorzeichenbehaftete Länge $b_{a}$. Diese Zahl multipliziert man mit der Länge $|{\vec {a}}|$ des Vektors ${\vec {a}}$ und erhält als Ergebnis das Skalarprodukt. Vertauscht man die beiden Vektoren bei diesem Vorgang, so ergibt sich derselbe Wert. Schließen die beiden Vektoren einen spitzen bzw. stumpfen bzw. rechten Winkel ein, so ist $b_{a}$ (und damit auch das ganze Skalarprodukt $b_{a}\cdot |{\vec {a}}|$) positiv bzw. negativ bzw. gleich null. Die Projektion ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ selbst ist dabei gleichsinnig bzw. ungleichsinig parallel zu ${\vec {a}}$ bzw. gleich dem Nullvektor.

Liebe Grüße, Franz 00:00, 1. Mai 2014 (CEST)

Zeilenvektoren?

Der Abschnitt über Spaltenvektoren ist einigermaßen ausführlich. Aber es überrascht, dass man nicht einmal erwähnt, dass es auch Zeilenvektoren gibt und wie sie zusammenhängen. Sollte man das also nicht ändern? Wenn man sie aber einführt, sollten sie gleichberechtigt neben den Spaltenvektoren stehen - finde ich. (Da wäre dann auch wenigstens ein Hinweis auf Bra- und Ket-Vektoren gerechtfertigt). Ich selbst traue mich da aber nicht ran, da ich kein Mathematiker bin. --Pyrrhocorax (Diskussion) 19:00, 30. Apr. 2014 (CEST)

Die Unterscheidung zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren ist verwandt mit der zwischen ko- und kontravarianten Vektoren. Beides ist hauptsächlich für die Physik relevant. Die Identifikation von Bras und Kets mit Vektoren ist etwas problematisch. Denn bei ihnen handelt es sich genau genommen nicht um einzelne Elemente eines Vektorraums, sondern um Strahlen des jeweiligen Hilbertraums. Siehe zum Beispiel Henrik van Hees.---<)kmk(>- (Diskussion) 17:20, 20. Okt. 2014 (CEST)

Kovariante und Kontravariante Komponenten

Fördert der von MovGP0 eingefügt Abschnitt wirklich das Verständnis des Lesers oder verwirrt es ihn mehr? --Pyrrhocorax (Diskussion) 00:00, 20. Okt. 2014 (CEST)

Etwas verwirrend sicherlich. Hauptsächlich wegen der plötzlichen Schreibweisenänderungen (Skalarprodukt nicht mehr gekennzeichnet, Summenkonvention, Verwendung von $u$ von $v$ usw.). Die Rechnungen in den Beispielen bringen eigentlich nicht viel Neues, sondern stehen alle schon irgendwo weiter oben. -- HilberTraum (d, m) 15:48, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ich finde, das gehört nicht in diesen Artikel. Kovariante und kontravariante Komponenten gibt es bezüglich der Vektorbasen, die von krummlinigen Koordinatensystemen im Raum erzeugt werden. Solange man es nur mit Vektoren und einer festen Basis zu tun hat, gibt es kein "kovariant" oder "kontravariant". Das gehört eher in einen Artikel über krummlinige Koordinatensysteme als in einen über Vektoren. --Digamma (Diskussion) 16:01, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ich entferne den Abschnitt. Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in Vektor (Geometrie), damit deutlich wird, dass hier nicht alles hineingehört, was "Vektor" im Namen führt, und den Physikteil ganz auslagern. --Digamma (Diskussion) 16:08, 20. Okt. 2014 (CEST) Zweiten Teil des Beitrags und Antworten darauf ausgelagert in den folgenden Abschnitt --Digamma (Diskussion) 11:35, 27. Okt. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 11:35, 27. Okt. 2014 (CET)

Aufspaltung des Artikels

Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in Vektor (Geometrie), damit deutlich wird, dass hier nicht alles hineingehört, was "Vektor" im Namen führt, und den Physikteil ganz auslagern. --Digamma (Diskussion) 16:08, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ja! Eine Verschiebung auf ein besser zum beabsichtigten Inhalt des Artikels passendes Lemma würde ich begrüßen. Das bietet die Chance den seit langem anhaltenden Missstand aufzulösen, dass die Einleitung eine verkappte Begriffsklärung ist. Unter dem generischem Lemma "Vektor" wäre dann wahlweise ein Artikel zur allgemeinen Bedeutung als Element eines Vektorraums, oder tatsächlich eine (reine) Begriffsklärung zu finden.

Für einen Großteil des physikalischen Inhalts wäre ein Artikel vektorielle Größe das passende Lemma. Das gilt insbesondere für die Aspekte, die mit den Einheiten und dem Verhalten unter Transformation zu tun haben.

Die von MovGP0 eingefügten Inhalte sollten nicht verloren gehen. Sie sind für die Formulierung der Relativitätstheorie wichtig.---<)kmk(>- (Diskussion) 17:07, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass es nun an der Zeit ist, diesen Artikel zu zerschlagen. Die Aufteilung in einen geometrischen, einen physikalischen und einen algebraischen Teil ist dabei der richtige Ansatz. Der derzeitige Abschnitt zu den n-Tupeln wird mittlerweile durch den Artikel Koordinatenraum abgedeckt und kann daher wegfallen. Der algebraische Teil wird durch den Artikel Vektorraum abgedeckt, da sehe ich für einen separaten Artikel keinen eigenständigen Inhalt. An sich gibt es zwei Möglichkeiten der Lemmawahl:

• Vektor (Geometrie), Vektor (Physik) und Vektor (lineare Algebra) (als Weiterleitung auf Vektorraum) sowie einer BKS Vektor
• Vektor (mit BKL III) für die geometrischen, Vektorielle Größe für die physikalischen und Vektorraum für die algebraischen Aspekte

Die zweite Variante kommt ohne Klammen aus und hätte den Charme, dass wir das Lemma Vektor nicht verlieren. Die erste Variante hat eine klarere Strukturierung und verringert dadurch die Gefahr von Falschverlinkungen. Für die geometrischen Aspekte verwendet die englische WP übrigens das Lemma en:Euclidean vector. Für den physikalischen Teil wären jeweils beide Lemmata möglich, wir sollten nur sicher gehen, dass der Begriff „vektorielle Größe“ nicht zu einschränkend für den vorgesehenen Inhalt ist. Ich hätte eine leichte Präferenz für die erste Variante mit den Klammern, grundsätzlich sind mir aber alle Varianten recht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:51, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ich bin klar für die zweite Variante, denn ich sehe eine gewisse Hierarchie: Die geometrischen Vektoren bilden die Grundlage für die vektoriellen Größen der Physik. Die vektoriellen Größen erben alle Eigenschaften der (geometrischen) Vektoren, haben aber noch einige zusätzliche (Einheiten, Transformationsverhalten, Vierervektoren, ...). Daher muss man im Artikel über vektorielle Größen nicht mehr erklären, wie ein Skalarprodukt oder ein Kreuzprodukt funktioniert. In den "Mutter"-Artikel "Vektor" gehört das aber sehr wohl. --Pyrrhocorax (Diskussion) 11:29, 21. Okt. 2014 (CEST)

Zu Skalarprodukt und Kreuzprodukt gibt es auch eigene Artikel, man würde dann im Artikel "Vektorielle Größen" direkt auf diese verlinken und nicht auf "Vektor". Man kann das aber gerne euch Physikern überlassen, wie der Artikel dann heißt.

@Quartl: Der Artikel Koordinatenraum behandelt Spaltenvektoren über beliebigen Körpern. Da ist das Skalarprodukt z.B. nicht dabei und das ganze ist vielleicht zu abstrakt für jemanden, der sich als Anwender für Vektoren in der Matrizenrechnung interessiert. Andererseits: Macht das Skalarprodukt überhaupt Sinn, wenn die Vektoren nicht aus der Geometrie stammen? --Digamma (Diskussion) 16:21, 21. Okt. 2014 (CEST)

Es ist halt die Frage, wo die Geometrie aufhört und wo die lineare Algebra anfängt. Ich dachte wir bleiben im Artikel Vektor (Geometrie) im Anschauungsraum. Wenn man den $\mathbb {R} ^{n}$ auch noch zur Geometrie zählt (und erst den $K^{n}$ zur linearen Algebra), dann kann der Abschnitt natürlich auch gerne bleiben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:01, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ne, das muss er von mir aus nicht. Er steht ja auch jetzt nicht im Abschnitt "Geometrie". Vielleicht könnte man stattdessen einen Abschnitt über Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen einfügen. Mein Einwand zielte eher darauf, ob Koordinatenraum das richtige Ziel ist für jemanden, der "arithmetische Vektoren" sucht. Aber ein Artikel "Spaltenvektor" wäre wahrscheinlich im Wesentlichen eine Dopplung von "Koordinatenraum".

Es gibt ja übrigens schon eine BKL Vektor (Begriffsklärung). Man könnte dann einfach die verschiedenen Bedeutungen in der Mathematik in einem Absatz bündeln und dabei natürlich auch auf Artikel verweisen, die nicht "Vektor" mit Klammerzusatz heißen. --Digamma (Diskussion) 18:54, 21. Okt. 2014 (CEST)

Gegen einen Abschnitt Verallgemeinerungen spricht natürlich nichts. Zum Thema Spaltenvektoren könnte man (wie momentan) auch auf Matrix (Mathematik) verweisen. Die bestehende BKS kann jedenfalls in allen Varianten problemlos angepasst werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:58, 21. Okt. 2014 (CEST)

@Pyrrhocorax: Vektorielle Größen lassen sich im allgemeinen nicht ohne weiteres wie geometrische Vektoren behandeln. So darf man eine Kraft nicht einfach so parallel verschieben -- eine Operation, die bei geometrischen Vektoren folgenlos bleibt. Es gibt natürlich eine starke Verwandtschaft.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:46, 21. Okt. 2014 (CEST)

(quetsch)Nichts anderes hatte ich gesagt. --Pyrrhocorax (Diskussion) 22:44, 21. Okt. 2014 (CEST)

Alles gut. Ich hatte das "erben alle Eigenschaften" anscheinend wörtlicher verstanden als Du es gemeint hattest.---<)kmk(>- (Diskussion) 23:33, 21. Okt. 2014 (CEST)

Für solche Fälle hätten wir aber auch einen Artikel gebundener Vektor anzubieten, der wie ich mich erinnere auch schon mal ziemlich ausführlich und kontrovers diskutiert wurde. -- HilberTraum (d, m) 21:56, 21. Okt. 2014 (CEST)

Zu einer vektoriellen Größe gehören allerdings noch mehr Aspekte. Spontan fallen mir das Verhalten unter Koordinatenspiegelung und die Sache mit den Einheiten ein.---<)kmk(>- (Diskussion) 22:05, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ich bin auch für die zweite der von Digamma vorgeschlagenen Varianten. Ein Lemma "Vektor (Physik)" würde für meinen Geschmack zu stark suggerieren, dass die Physik einen spezifischen, von der Mathematik getrennten Begriff verwenden würde. Außerdem hat "Vektorielle Größe" den Charme, dass es diesen Begriff in der Fachsprache bereits gibt. Eigentlich überraschend, dass wir dazu im Moment noch nicht einmal eine Weiterleitung haben.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:59, 21. Okt. 2014 (CEST)

Die Vorschläge waren von Quartl, nicht von mir.

Was den Unterschied zwischen freien und gebundenen Vektoren betrifft: Es ist nicht so, dass man bei freien Vektoren die Vektoren verschieben würde. Verschoben werden nur die Pfeile, die die Vektoren darstellen. Die Vektoren leben ja eigentlich nicht im euklidischen Punktraum, sondern in einem eigenen Vektorraum. Bei gebundenen Vektoren wird dieser jedoch an einen Punkt des Punktraums "angeheftet". Auf diese Art bilden für jeden Punkt die dort angehefteten Vektoren einen eigenen Vektorraum. In der Differentialgeometrie nennt man diesen den Tangentialraum. (Für die Differentialgeometrie ist das vor allem in den Fällen wichtig, wo der Punktraum kein affiner Raum mehr ist, sondern eine Mannigfaltigkeit. In Mannigfaltigkeiten gibt es keine Verbindungs- oder Verschiebungsvektoren, aber Tangenialvektoren).

Solche gebunden Vektoren (oder Tangentialvektoren) treten aber auch in der Geometrie auf, nicht nur in der Physik. So denkt man sich etwa den Tangentenvektor ${\dot {c}}(t)$ einer parametrisierten Kurve $c\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ für jeden Parameterwert $t$ an den Kurvenpunkt $c(t)$ angeheftet. Physikalisch entspricht dem der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t$, wenn $c$ eine Bahnkurve und $t$ die Zeit ist. Andererseits, wenn man die Beschleunigung definiert oder berechnet, indem man den Geschwindigkeitsvektor nochmals ableitet, dann muss man die Geschwindigkeitsvektoren so behandeln, als lägen sie alle im selben Vektorraum, sonst kann man keine Differenzenquotienten und somit keine Zeitableitung bilden. (Weil dies auf Manngifaltigkeiten nicht geht, braucht man dort eine Zusatzstruktur, den Zusammenhang, um Vektorfelder abzuleiten.) --Digamma (Diskussion) 22:21, 21. Okt. 2014 (CEST)

Wie gehen wir nun weiter vor? Das beste ist vermutlich, wenn einer der Physiker einen Artikel Vektorielle Größen neu anlegt, evtl. unter Verwendung von Material, das jetzt schon im Artikel ist. Es gab wohl auch früher schon einmal einen Artikel Vektor (Physik), der dann mit diesem hier vereinigt wurde. Möglicherweise kann man ihn aus der Versionsgeschichte herausfischen, ober ein Admin kann ihn aus dem Orkus der gelöschten Artikel herausholen. Möglicherweise ist aber auch Neuschreiben besser. Anschließend würde ich diesen Artikel kürzen und die Einleitung entsprechend umschreiben. --Digamma (Diskussion) 18:38, 22. Okt. 2014 (CEST) PS: Der Text aus dem damaligen Artikel Vektor (Physik) wurde mit dieser Änderung in den Artikel eingefügt. --Digamma (Diskussion) 19:18, 22. Okt. 2014 (CEST)

+1. Für den Fall, dass Inhalte aus diesem Artikel verwendet werden, wäre auch eine Duplikation des Artikels angebracht, da seit der letzten Zusammenführung einiges dazugekommen ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:42, 22. Okt. 2014 (CEST)

Ein Artikel zum Begriff "Vektoriellen Größe" ist kein Sammelbecken für Aussagen zu "Vektoren in der Physik". Er stellt nur einen der Aspekte dar, die im Moment im letzten Abschnitt des Vektor-Artikels angerissen werden. Entsprechend unangemessen wäre ein formales Auslagern.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:25, 23. Okt. 2014 (CEST)

Ob formales Auslagern angemessen ist, ist nur eine Frage des Urheberrechts. Wenn wesentliche Teile des Abschnitts übernommen werden, dann ist formales Auslagern der urheberrechtlich richtige Weg, selbst wenn danach nur kleine Teile des Abschnitts im neuen Artikel übrigbleiben und diese auch im neuen Artikel nur einen kleinen Anteil ausmachen.

Es spricht aber auch nichts dagegen, den neuen Artikel komplett neu zu schreiben. Nur darf man dann eben nicht aus dem alten abschreiben. --Digamma (Diskussion) 22:00, 23. Okt. 2014 (CEST)

Die Grundkrankheit dieses Artikels besteht darin, dass er unter dem generischen Lemma "Vektor" nicht das darstellt, was für alle Vektoren gilt. Stattdessen bezieht er sich lediglich auf die Teilmenge der Vektoren im geometrischen Anschauungsraum. Der Rest der Probleme ist eine Folge davon: Um nach anderen Aspekten suchende Leser nicht im Regen stehen zu lassen, kommt die Einleitung als ausformulierte Begriffsklärung daher. So etwas ist aus gutem Grund eigentlich unerwünscht. Siehe WP:Artikel und WP:BKS. Außerdem sind damit viele der für die Physik wesentlichen Aspekte noch nicht abgedeckt.
Also kommt ganz am Ende noch eine Wundertüte "Vektoren in der Physik". Deren Inhalt passt nicht wirklich zum Programm des restlichen Artikels. Und er bleibt merkwürdig stichpunktartig und lückenhaft -- kein Wort zur Metrik, von Bras und Kets erfährt man lediglich ihre Existenz. Dass Zustände nur beinahe Vektoren sind, fällt hinten runter. Der Zusammenhang zum Begriff des Tensors wird in einer Weise erwähnt, die man nur versteht, wenn man ihn schon verstanden hat. Alles keine guten Voraussetzungen für eine Verlinkung aus Physik-Artikeln nach hier.
So lange die "Grundkrankheit" unbehandelt bleibt, sind alle Bemühungen notwendigerweise ein Rumdoktern an Symptomen ohne Chance auf ein langfristig befriedigendes Ergebnis.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:14, 23. Okt. 2014 (CEST)

Die Dinge, die für beliebige Vektoren gelten, stehen im Artikel Vektorraum. Vektoren in dieser allgemeinsten Definition haben nur wenige Eigenschaften: man kann sie addieren und mit einem Skalar multiplizieren, wobei ein paar Rechenregeln gelten. Nach Wahl einer Basis hat ein Vektor noch Koordinaten, viel mehr ist nicht. Es gibt keine Anschauung, keine Zeilen oder Spalten, keinen Betrag, kein Skalarprodukt und erst recht kein Kreuzprodukt. Ein Artikel, der Vektoren in dieser allgemeinsten Definition behandelt, wäre vollständig redundant zum Artikel Vektorraum. Erst wenn man Vektoren im euklidischen Raum betrachtet gibt es mehr Struktur. Man hat eine Anschauung in Form von Vektorpfeilen, Koordinatentupel (oder Spaltenvektoren), Betrag, Skalarprodukt und einiges mehr. Wenn nun von irgendeinem Artikel auf Vektor verlinkt wird, dann ist nicht klar, ob die Bedeutung als Element eines euklidischen Raums oder als Element eines allgemeinen Vektorraums gemeint ist. Dieses Schicksal teilt dieser Artikel z.B. auch mit dem Artikel Skalarprodukt. Die dortige Lösung kann man auch hier übernehmen, also eine Strukturierung der Art

1. Vektoren im euklidischen Raum
2. Vektoren in allgemeinen Vektorräumen

Eine solche Strukturierung hat den Vorteil, dass alles an einem Ort ist, aber den Nachteil, dass der Leser selbst herausfinden muss, unter welcher Bedeutung von Vektor er weiterlesen muss (es sei denn es wurde direkt auf den richtigen Abschnitt verlinkt). Auch bei der Verlinkung aus Physik-Artikeln muss formal gesagt werden, in welchem Raum man Vektoren gerade betrachtet. In der klassischen Physik wäre dies der euklidische Raum oder ein entsprechender Phasenraum, in der Relativitätstheorie der Minkowski-Raum und in der Quantenmechanik ein spezieller Hilbertraum (wobei QM-Zustände formal gar keine Vektoren sind). Alle weiteren physikalischen Inhalte, wie Einheiten, Transformationsverhalten, freie und gebundene Vektoren, polare und axiale Vektoren, Vierervektoren, Bra-Ket-Notation oder ko- und kontravariante Komponenten, müssen als allererstes dem passenden Raum zugeordnet werden, erst dann kann man entscheiden, an welchem Ort man die Inhalte unterbringt. Ich würde mich am wohlsten fühlen, wenn Vektoren im euklidischen Raum, Vektoren in allgemeinen Vektorräumen und vektorielle Größen in jeweils eigenen Artikeln (ggf. Weiterleitungen) abgehandelt würden. Dann klappts auch mit der Verlinkung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:15, 23. Okt. 2014 (CEST)

@KaiMartin: Ich glaube, wir waren uns einig, dass der Abschnitt über "Vektoren in der Physik" wegfallen und es stattdessen einen neuen Artikel Vektorielle Größe geben soll. Deshalb verstehe ich nicht so recht, warum du jetzt den Abschnitt "Vektoren in der Physik" kritisierst. Der wird sowieso nicht überleben. Dieser Artikel wird ein Artikel zu Vektoren in der Geometrie werden, was er ja im Wesentlichen schon ist. Am Ende werden sicher Abschnitte stehen, die Querbezüge herstellen, darunter auch zu vektoriellen Größen, aber garantiert nicht in der jetzigen Form. --Digamma (Diskussion) 22:00, 23. Okt. 2014 (CEST)

Ich stimme der Aufteilung des Artikels zu. Ich empfehle in diesem Fall die Strukturierung der englischen Wikipedia, wo es einen Artikel Euklidscher Vektor (en:Euclidean vector), sowie einen Übersichts- und Begriffsklärungsartikel en:Vector (mathematics and physics) gibt. Der derzeitige Artikel beschränkt sich in erster Linie auf den Spezialfall der euklidschen Vektoren und grenzt nich klar ab. Man sollte daher den derzeitigen Artikel nach Euklidscher Vektor verschieben, die Begriffsklärungsseite Vektor (Begriffsklärung) hierher verschieben und für allgemeine Vekoren als Elemente eines Vektorraums einen neuen Artikel Vektor (Vektorraum), sowie für den Spezialfall von Vektoren in der Physik Vektorielle Größe, anlegen. — MovGP0 09:08, 25. Okt. 2014 (CEST)

Auch die englische Wikipedia hat sich mit der Lemmafindung sehr schwer getan. "Euklidischer Vektor" halte ich zumindest für das Deutsche für Begriffsfindung. Deshalb der Vorschlag "Vektor (Geometrie)". "Vektor (Vektorraum)" ergibt keinen Sinn. Der wäre völlig redundant zu "Vektorraum". Wir haben ja aus gutem Grund auch keine Artikel Gruppenelement oder Punkt (Topologischer Raum). Im allgemeinen Sinn ist "Vektor" nur eine Bezeichnung für die Elemente eines Vektorraums, und das im Wesentlichen zur Unterscheidung von den bei der Behandlung von Vektorräumen ebenfalls auftretenden Körperelementen, die in diesem Kontext "Skalare" genannt werden.

Wir sollten aber nicht lange über das Lemma diskutieren, wichtig wäre, dass jemand (und das müsste wohl ein Physiker) sein, mal damit anfängt, einen Artikel Vektorielle Größe zu schreiben. Danach kann man diesen umgestalten.

Ich könnte diesen Artikel natürlich auch gleich schon in Vektor (Geometrie) umbenennen und entsprechend umbauen, das heißt im Wesentlichen die Teile über Spaltenvektoren und über Vektoren in der Physik entfernen. Wäre dieses Vorgehen sinnvoll? --Digamma (Diskussion) 09:37, 25. Okt. 2014 (CEST)

Nach BK: Entschuldigung, aber die Verschiebeaktion bevor ein Konsens hergestellt wurde und offensichtlich gegen die Meinung der anderen Mitdiskutanten war Scheiße. --Digamma (Diskussion) 09:37, 25. Okt. 2014 (CEST)

+1 zu Digamma. Bitte ganz schnell zurückverschieben! --Quartl (Diskussion) 09:50, 25. Okt. 2014 (CEST)

OK. Nach der Weiterverschiebung auf Vektor (Geometrie) kann ich damit leben. Der neue Artikel Vektor (der aus dem alten kopiert wurde) hat dennoch keine Berechtigung. Stattdessen sollte die jetzige Begriffsklärung Vektor (Begriffsklärung) auf Vektor verschoben und die Aufspaltung der mathematischen und physikalischen Bedeutungen dort eingebaut werden. --Digamma (Diskussion) 10:58, 25. Okt. 2014 (CEST)

Können wir bitte wieder auf den Status quo ante? Wir wollen ja nicht alle Verlinkungen zerstören. --Chricho ¹ ² ³ 11:04, 25. Okt. 2014 (CEST)

Ich stimme der Variante von Digamma zu. Also Ersetzen von Vektor durch die Begriffsklärungsseite. Hierfür scheint es den größten Konsens zu geben.

Das Verlinkungsproblem ist Technische Schuld die früher oder später ohnehin beglichen werden muss.

— MovGP0 11:32, 25. Okt. 2014 (CEST)

Zurück auf Version vom 21. Okt. 2014: Bitte zunächst Konsens um neues Lemma finden, samt Klärung der Fragen um BKL.--wdwd (Diskussion) 12:22, 25. Okt. 2014 (CEST)

Abstimmung

Wurde von Einsteller wieder entfernt. --Quartl (Diskussion) 06:29, 28. Okt. 2014 (CET)

Was soll jetzt diese Abstimmung? Wir sind immer noch am diskutieren, wie am besten weiter vorgegangen werden soll und wägen Pro- und Kontraargumente für die einzelnen Vorschläge ab. Manche Diskussionsteilnehmer haben sich inhaltlich auch noch gar nicht geäußert. Das ganze Vorgehen nennt sich Konsensfindung und ist noch nicht abgeschlossen. Wir waren auch auf einem guten Weg, bis du mit deiner Verschiebungsaktion alles torpediert hast. Für's Protokoll: zum jetzigen Zeitpunkt lehne ich eine Abstimmung ab. --Quartl (Diskussion) 06:34, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. --Digamma (Diskussion) 11:08, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. --Chricho ¹ ² ³ 12:48, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. (Ich wollte in der Tat genau dasselbe schreiben) --Pyrrhocorax (Diskussion) 20:17, 27. Okt. 2014 (CET)

Es gibt zwei Grundprinzipien nach denen ich vorgehe. Erstens Wikipedia:Nimm nicht an Abstimmungen teil. Also Dinge ändern ohne zu fragen. Falls das auf Widerstand stößt kommt Wikipedia:Nimm an Abstimmungen teil zum tragen. Man erstellt also eine Abstimmung. Das hier beides nicht akzeptiert wird war für mich nicht vorhersehbar. Ein Meinungsbild wäre natürlich auch eine Möglichkeit, allerdings halte ich das in der Regel für Overkill - vor allem auch da es sehr lange dauert. — MovGP0 23:48, 27. Okt. 2014 (CET)

Zu inhaltlichen Fragen bei einzelnen Artikeln werden keine Meinungsbilder abgehalten. --Quartl (Diskussion) 07:00, 28. Okt. 2014 (CET)

@MovGP0: Hast du Wikipedia:Nimm nicht an Abstimmungen teil wirklich gelesen? Dort steht nicht "Dinge ändern ohne zu fragen", sondern diskutieren statt abstimmen. Das, was du genau nicht getan hast. Nichts gegen Wikipedia:Sei mutig, aber das gilt nicht beim Verschieben von Artikeln. --Digamma (Diskussion) 09:17, 28. Okt. 2014 (CET)

Weitere Diskussion

Ich mache mal hier bei der eigentlichen Diskussion weiter, nicht bei der "Abstimmung" oben, die ich ablehne. Meine bevorzugte Lösung:

• Der jetzige Artikel Vektor wird in Vektor (Geometrie) umbenannt. Die Teile über n-tupel (Spaltenvektoren) und Vektoren in der Physik werden entfernt.
• Die jetzige BKL Vektor (Begriffsklärung) wird umbenannt in "Vektor". (Müssen dazu tatsächlich vorher alle Links umgebogen werden?)
• Ein Artikel Vektorielle Größe wird neu angelegt.

Einen Artikel "Vektor (lineare Algbra)" oder "Vektor (Vektorraum)" lehne ich ab. Wie Benutzer:Quartl oben schon gesagt hat: So ein Artikel wäre vollumfänglich redundant zu Vektorraum. --Digamma (Diskussion) 11:32, 27. Okt. 2014 (CET)

Dem Vorschlag kann ich zustimmen, wobei in Vektor (Geometrie) (kurze) Abschnitte zur Verwendung und zu Verallgemeinerungen im Laufe der Zeit noch ergänzt werden sollten. Um ein Sichten und passendes Umbiegen aller Links werden wir nicht herumkommen. Ich würde zu diesem Zweck eine Weiterleitung Vektor (Vektorraum) oder Vektor (lineare Algebra) auf Vektorraum anregen und die Links für die algebraische Verwendung auf diese Weiterleitung setzen. Der Grund dafür ist, dass man auf diese Weise den Raum und seine Elemente thematisch in der Verlinkung auseinanderhalten kann. Außerdem lässt sich so auch leichter und vor allem dynamischer auf einen bestimmten Artikelabschnitt verlinken. Sollte in der Zukunft doch ein eigener Artikel angebracht sein, muss dann auch nur die Weiterleitung überschrieben werden. Von der Reihenfolge her müsste vor dem Umbiegen der Links zumindest eine Grundversion von Vektorielle Größe vorhanden sein, ansonsten müssten wir eine ganze Reihe unnötiger Rotlinks erzeugen. Außerdem bräuchten wir eine Richtlinie, wann auf den physikalischen und wann auf einen mathematischen Artikel verlinkt wird. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:50, 27. Okt. 2014 (CET)

Die "Richtlinie" halte ich für größtenteils trivial: Wenn es um eine physikalische Größe geht, dann ist vektorielle Größe als Linkziel passend. Und wenn geometrische Vektoren in zwei, oder drei euklidischen Dimensionen gemeint sind, ist es Vektor (Geometrie). im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie ist Vierervektor passend. Und wenn es um Vektoren im ganz allgemeinen Sinn geht, wird nach Vektorraum verlinkt. Die sich vermutlich ergebenden Ausnahmen, bei denen keins dieser vier Zeile wirklich passt, muss man einzeln anschauen.

Klammerlemmata sind eigentlich ausschließlich dafür da, als Qualifikator zur Unterscheidung ansonsten identischer Lemmata zu dienen. Um die die Verlinkung zu differenzieren, würde ich im Vektor-Artikel an passender Stelle die Vorlage:Anker verwenden und dann den Link direkt dorthin zielen.---<)kmk(>- (Diskussion) 13:50, 14. Nov. 2014 (CET)

Ich bezog mich eher auf WP:WL#Neuer Artikel könnte entstehen (Stubs …), ist aber auch nicht so wichtig. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:44, 14. Nov. 2014 (CET)

Von mir auch Zustimmung zu dem obigen Vorschlag von Digamma. Er bietet eine deutliche Verbesserung gegenüber dem aktuellen Zustand. Leser werden auf dem hier in Wikipedia üblichen Weg zum jeweils passenden Artikel geleitet. Das Redundanz-Argument empfinde ich als eher schwach. Mensch ist auch nicht redundant zu Menschheit. Aber wenn ein Artikel zu den (wenigen) allgemein gültigen Eigenschaften von Vektoren durchaus nicht konsensfähig ist, ist eine BKL-Typ 1 die zweitbeste Lösung. Ich erkläre mich bereit, das Lemma vektorielle Größe mit einem Artikel zu füllen.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:14, 14. Nov. 2014 (CET)

Wikitechnische Anmerkung zur Verschiebung von Vektor (Begriffsklärung) nach Vektor: Die Begriffsklärung ist im Artikelnamensraum nur von Vektor und von Vector aus verlinkt. Von der Seite aus ist es also problemfrei. Der Artikel Vektor ist 400 Mal verlinkt. Diese Links können (und sollten) erst nach Verschiebung und Anlage des Artikels zur vektoriellen Größe umgebogen werden. Der größte Teil wird bei vektorielle Größe landen. Bei einem kleineren Teil ist Vektor (Geometrie) passend. Einige wenige sind beim Vektorraum richtig. Ob dann noch ein Rest bleibt, für den beides nicht recht passt, kann ich noch nicht absehen.
Die Umbiege-Aktion ist natürlich ein Klotz Arbeit. Auf mehrere Schultern verteilt, verliert so etwas aber den Schrecken. Ich kann versuchen, die Mitgleider der Redaktion Physik zum mitmachen zu motivieren.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:29, 14. Nov. 2014 (CET)

Vektorielle Größe

Ich habe mal angefangen, einen Entwurf für die vektoreielle Größe zu schreiben, da ich glaube, dass dieser Artikel ein neues Gesicht bekommen sollte und nicht nur aus dem bestehen kann, was man aus dem aktuellen Artikel Vektor herauskopieren könnte. Ich werde in den nächsten Tagen kaum daran weiterarbeiten können. Vielleicht will der eine oder andere ja mal drüberschauen und kritisieren, verbessern, ergänzen, erweitern ... Würde mich freuen. --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:19, 28. Okt. 2014 (CET)

Oh, jetzt erst gesehen. Weiter oben hatte ich mich gerade bereit erklärt, mich bei der vektoriellen Größe zu engagieren. Schön, dass es schon einen Anfang gibt. Ich werde "drüberschauen und kritisieren, verbessern, ergänzen, erweitern ...".---<)kmk(>- (Diskussion) 14:17, 14. Nov. 2014 (CET)

@-<)kmk(>-, Pyrrhocorax: Hm ... tut sich da was? Es wäre schöne, wenn die Aktion, die vektoriellen Größen hier auszulagern, nicht wieder versandet. --Digamma (Diskussion) 22:20, 6. Dez. 2014 (CET)

Ich komme im Moment nicht dazu, da einen kompletten Artikel aufzusetzen. Einen Anfang habe ich jedoch gemacht. --Pyrrhocorax (Diskussion) 16:53, 7. Dez. 2014 (CET)

Geschichte

Hallo, ich finde man sollte den Geschichtsteil sehr viel mehr ausbauen, gerade der Vektorformalismus der heutzutage überwiegend benutzt wird, hat eine sehr interessante Geschichte. Auf jeden Fall sollte man auch Willard Gibbs und Oliver Heaviside erwähnen. Der Benutzer Digamma hat mir ein schönes pdf gezeigt das wir als Richtlinie benutzen können A History of Vector Analysis Hat jemand Lust mitzuarbeiten? --Neoleviathan (Diskussion) 18:13, 22. Feb. 2016 (CET)

Der Artikel "Vektor" lässt die zugehörige "Geschichte" mit der "Vektorrechnung" beginnen. "Vektor" ist aber nach allgemeiner Definition zunächst einmal nur "eine Größe, die durch Maßzahl und Richtung bestimmt ist" (Brockhaus Enzyklopädie). In diesem Sinn sind Vektoren mindestens seit Galileis und Newtons Bewegungslehre bekannt. Galileis Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte macht ohne den Vektorcharakter dieser Kräfte keinen Sinn. Siehe dazu auch Galileis "Discorsi" von 1638 in der neuen deutschsprachigen Übersetzung von Ed Dellian, erschienen 2015 bei Felix Meiner Hamburg (Philosophische Bibliothek Nr. 678). Ein Vektor ist natürlich auch laut Newtons Lex II die "vis motrix impressa", die eingedrückte bewegende Kraft; denn zu dieser Kraft gehört ausdrücklich, wie Newton schreibt, "die Richtung der geraden Linie", in der sie einwirkt, und die Änderung dieser Richtung ist ebenso eine "mutatio motus" wie die Änderung der Geschwindigkeit des bewegten Körpers.--91.37.153.86 14:30, 22. Mär. 2016 (CET)

Die Vektoranalysis hat eine sehr interessante Geschichte, jenseits von bloßen Definitionen. In dem Artikel kommt alles vor was das Rechnen mit Vektoren als gerichtete größen ausmacht. Daher muss auf jeden Fall auch die Entstehung rein und die Abstammung von Hamilton's Quaternionen. Nehmen wir mal das Produkt von zwei puren Quaternionen, wie Hamilton sie bezeichnet:

$q_{1}=ia_{1}+ja_{2}+ka_{3}$

$q_{2}=ib_{1}+jb_{2}+kb_{3}$

$q_{1}q_{2}=-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+i(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+j(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+k(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

Setzt man nun die Basisvektoren für $i,j,k$ ein, sieht man das der erste Teil das negative Skalarprodukt beschreibt, und der zweite (Vektorteil) das Vektor-Kreuzprodukt ist. Das ist genau das was Gibbs später getrennt hat um zwei verschiedene seperate Produkte zu definieren, die heutzutage jeder Student der Naturwissenschaften lernt, obwohl fast niemand weis das es sich um ausseinandergebrochene Quaternionen handelt. Und genau dieser Streit sollte erklärt werden, soweit ich gelesen haben wird dies in keinem Artikel zu diesem Thema wirklich getan. --Neoleviathan (Diskussion) 17:16, 22. Mär. 2016 (CET)

Skalarprodukt

Meiner Meinung nach ist die Grafik zum Skalarprodukt falsch. Im Text wird eindeutig und korrekt gesagt, dass das Skalarprodukt von Vektoren ein Skalar liefert. Es ist damit also eine Abbildung von V × V auf |K (mit dem Vektorraum V und dem Körper |K): •: V × V → |K. Es sollte daher kein Vektor als Ergebnis dieser Abbildung in der Grafik dargestellt werden.

Vielmehr muss erwähnt werden, dass eine Multiplikation von Vektoren in V nicht definiert ist, weil eben •.: V × V nicht nach V, sondern nach |K abbildet. Der in der Grafik dargestellte Vektor b(a) hat nur den selben Betrag, wie das aus a•b erhaltene Skalar. Zeigen lässt sich die Nicht-Äquivalenz auch am Kommutativgesetz des Skalarprodukts: So liefert a•b = x und b•a = x' mit x = x' für Skalare (das Kommutativgesetz ist also erfüllt), während a•b = x und b•a = x' mit x ≠ x' für Vektoren liefern würde: Im Falle a•b wäre a auf b projiziert und man erhielte den Vektor a(b), im Falle b•a wäre b auf a projiziert und man erhielte den Vektor b(a). Beide hätten den selben Betrag, aber unterschiedliche Richtungen: a(b) hätte die Richtung wie b, b(a) hätte die Richtung wie a, also a(b) ≠ b(a) für alle a ≠ b und damit im Widerspruch zum Kommutativgesetz.

Selbiges gilt natürlich auch für den Artikel Skalarprodukt selbst.

Anmerkung: Sorry für fehlende Vektorpfeile und generell unschönes Layout, ich bin noch nicht so richtig fit, was Sonderzeichen angeht.

--Al-chemist (Diskussion) (12:50, 25. Aug. 2016 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Du hast das Bild falsch verstanden. Vielleicht sollte man die Bildunterschrift ändern. Der Vektor ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ stellt nicht das Skalarprodukt dar, er ist nur ein Hilfsmittel zur Bestimmung des Skalarprodukts. Das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist auch nicht der Betrag von ${\vec {b}}_{\vec {a}}$. Vielmehr erhält man das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, indem man den Betrag von ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ mit dem Betrag von ${\vec {a}}$ multipliziert (und ein Minuszeichen davorsetzt, wenn diese beiden Vektoren entegegengesetzt gerichtet sind). --Digamma (Diskussion) 13:08, 25. Aug. 2016 (CEST)

Habe die Bildunterschrift an die aus dem Artikel Skalarprodukt angepasst. Dort ist es m.E. unmissverständlich. --Digamma (Diskussion) 16:38, 25. Aug. 2016 (CEST)

Element, Komponente oder Dimension?

Wie heißt eigentlich so ein Teil eines Vektors? Bei "Addition und Subtraktion" steht "In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise", also wäre das eine "Komponente". Bei "n-Tupel und Spaltenvektoren" steht "In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von ...", also "Elemente". Gibt es einen allgemeinen passenden Begriff? Freimatz (Diskussion) 14:34, 29. Sep. 2016 (CEST)

Antwortversuch:

"Elemente" in dem zitierten Satz hat nichts mit den Koordinaten zu tun, sondern ist im Sinn der Mengenlehre gemeint: Der Vektor ist ein Element der Menge $\mathbb {R} ^{n}$. Allerdings nennt man oft auch die Einträge einer Matrix "Elemente" und in diesem Sinn kann man die Einträge von Spalten- oder Zeilenvektoren, ihre Elemente nennen. In diesem Fall wäre Element also gleichbedeutend mit "Koordinate".

Mathemetiker nennen oft die Einträge eines Spalten- oder Zeilenvektors seine "Komponenten". Insbesondere auch, wenn die Vektoren abstrakt gemeint sind, ohne geometrische Bedeutung. Ist die Darstellung bezüglich eines Koordinatensystems bzw. einer Basis gemeint, dann spricht man eher von "Koordinaten".

Im Gegensatz dazu meinen Physiker mit "Komponenten" in der Regel nicht die Koordinaten, sondern die Vektoren einer Zerlegung des Vektors. Konkreter:

Beim Vektor ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {e}}_{1}+a_{2}{\hat {e}}_{2}+a_{3}{\hat {e}}_{3}$ meint ein Mathematiker mit "Komponenten" die Zahlen $a_{1},a_{2},a_{3}$, der Physiker die Vektoren $a_{1}{\hat {e}}_{1},a_{2}{\hat {e}}_{2},a_{3}{\hat {e}}_{3}$.

(Ich kann das nicht im einzelnen belegen, das ist nur meine Erfahrung.) --Digamma (Diskussion) 21:08, 20. Okt. 2016 (CEST)

Ein Vektor ist ein addierbares und multiplizierbares Element eines Verktorraums?

Was für eine Definition soll das - als erster Satz - sein? - Das klingt so wie "eine Kuh ist ein melkbares Tier in einer Kuhherde" oder "ein Apfelbaum ist ein Baum mit essbaren Äpfeln." Irgendwie ist das noch einmal zu überarbeiten - z.B. nach einem Blick in den englischen Artikel (nicht signierter Beitrag von 2003:88:6D11:A700:8174:77E8:2942:E437 (Diskussion | Beiträge) 04:24, 13. Jan. 2017 (CET))

Ich kann die Kritik nicht nachvollziehen. Der erste Satz lautet nämlich gar nicht so, wie hier kritisiert, sondern: "Im allgemeinen mathematischen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann." Der Vektor wird also nicht nur als Element eines Vektorraums definiert, sondern es wird auch erklärt, was ein Element eines Vektorraums auszeichnet. Es handelt sich hier also nicht um einen Zirkelschluss. Aber es ermöglicht es dem Leser die allgemeine abstrakte Bedeutung des Vektorbegriffs im Artikel Vektorraum zu finden, bevor er in dem hiesigen Artikel nur die zwar gebräuchlicheren, aber spezielleren Eigenschaften geometrischer Vektoren liest. --Pyrrhocorax (Diskussion) 11:22, 13. Jan. 2017 (CET)

Naja, "ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums" ist schon eine unglückliche Einleitung. Imho könnte man den Einleitungssatz besser dreiteilen:

Im allgemeinen mathematischen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Objekt, das addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Die Addition und Skalarmultiplikation sind weitgehend beliebig vorgebbar. Gleichartige, derartig definierte Vektoren bilden in ihrer Gesamtheit den ihnen zugehörigen Vektorraum.

--Alva2004 (Diskussion) 12:08, 13. Jan. 2017 (CET)

Das ist nicht besser. Denn beim allgemeinen Begriff eines Vektors ist der originäre Begriff der des Vektorraums. Der Begriff des Vektors ist davon abgeleitet.

Um beim Vergleich oben mit der Kuh zu bleiben: Der Begriff des Vektors entspricht nicht dem einer Kuh. Eher dem Begriff "Herdentier". Hier muss man auch zuerst definieren, was eine Herde ist. Danach kann man festlegen, dass ein Herdentier ein Tier ist, das in Herden lebt. Ganz ähnlich ist es beim allgemeinen Vektorbegriff. Man legt fest, was ein Vektorraum ist. Danach kann man sagen, dass ein Vektor ein Element eines Vektorraums ist.

In diesem Artikel geht es aber gar nicht um den im ersten Satz genannten allgemeinen Vektorbegriff, sondern um den speziellen geometrischen. --Digamma (Diskussion) 17:07, 13. Jan. 2017 (CET)

Sehr seltsam, aber ok. Dann sollte OMA jedenfalls schonender darauf vorbereitet werden, denn das irritiert sogar mich, der schon weiß, was ein Vektor ist! --Alva2004 (Diskussion) 17:56, 13. Jan. 2017 (CET)

Es gab mal vor Jahren eine Diskussion über die Abgrenzung zwischen dem allgemeinen Vektorbegriff (Element eines Vektorraums), auf den in der Einleitung nur verwiesen wird, und dem speziellen geometrischen Begriff, der in diesem Artikel behandelt wird, und wie dies in der Einleitung behandelt werden soll. Insbesondere ging es darum, ob die Einleitung erst den allgemeinen oder erst den speziellen Begriff vorstellen soll. Ich habe damals für letzteres plädiert und den folgenden Text vorgeschlagen:

Unter einem Vektor (lat.: vector = „Träger“, „jemand, der zieht/befördert“; zu lat.: vehere = „[etwas/jemanden] fahren/transportieren“) versteht man im engeren Sinn in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Eng verwandt mit diesen geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

In der linearen Algebra wird der Begriff des Vektors sehr viel allgemeiner gefasst. Im allgemeinen Sinn ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das mit anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

Das Ergebnis der Diskussion war dann aber, vom algemeinen zum speziellen vorzugehen, was letztlich zu der heutigen Einleitung geführt hat.

Einheitsvektoren

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren dies verstehe ich so, dass der Einheitsvektor einheitenbehaftet ist und nicht wie weiter unten einheitenbefreit. Im verlinkten Artikel Einheitsvektor befindet sich auch die Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}} so dass das Ergebnis einheitenbehaftet ist, während die hier verwendete Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \vec{v}} NICHT einheitenbehaftet ist. Was ist richtig? Ist zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_a} und â zu unterscheiden? Ra-raisch (Diskussion) 12:49, 7. Mai 2017 (CEST) unter Normierung befindet sich die gleiche einheitenlose Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat a = \frac{\vec{a}} {|\vec{a}|}} Ra-raisch (Diskussion) 13:14, 7. Mai 2017 (CEST)

Mir ist schon klar, dass das alles eine Definitionsfrage ist, und in der Mathematik meist keine Einheiten verwendet werden, und die modernen Physiker alle Einheiten kurzerhand weglassen und am Ende die gewünschte Einheit einfach dazuschreiben .... Ra-raisch (Diskussion) 13:29, 7. Mai 2017 (CEST)

Weder Längen noch Vektoren haben in der Mathematik Einheiten. Ich verstehe nicht, warum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}} einheitenbehaftet sein soll und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \vec{v}} nicht.

In der Physik kann ich mir vorstellen, dass es sowohl Sinn macht, die Einheiten den Beträgen zuzuordnen, so dass die Einheitsvektoren einheitenlos sind, als auch, die Einheiten den Einheitsvektoren Einheiten zuzuordnen, so dass die Werte reine Zahlen sind. Ich könnte mir vorstellen, dass man Richtungen durch einheitenlose Einheisvektoren ausdrückt, aber Basisvektoren einheitenbehaftet sind. --Digamma (Diskussion) 17:22, 7. Mai 2017 (CEST)

in der Geometrie sind mir schon m und cm untergekommen ... ||x|| ist der reine Zahlenwert, während |x|=²(x1²+x2²+x3²) einheitsbehaftet ist und nur der Vektor in einen Skalar "verwandelt" wird. Ra-raisch (Diskussion) 18:48, 7. Mai 2017 (CEST)

Längeneinheiten werden in der Geometrie im Schulunterricht und wenn es um geometrische Probleme in der realen Welt geht, verwendet. Die Unterscheidung zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| x \|} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x|} in dem von dir genannten Sinn habe ich noch nirgendwo gesehen. Wer macht diese Unterscheidung? --Digamma (Diskussion) 19:41, 7. Mai 2017 (CEST)

zB in den Videos (Youtube) von Prof.Loviscach (FH Bielefeld) und im verlinkten Artikel Einheitsvektor bzw ausführlicher Norm_(Mathematik) Ra-raisch (Diskussion) 17:20, 8. Mai 2017 (CEST)

Also wie gesagt, in der Mathematik sind Längen und Vektoren ohne Einheiten und aus der Formulierung im Artikel Einheitsvektor darfst du nicht schließen, dass der Einheitsvektor einheitenbehaftet ist. Ob für den Betrag einfache oder doppelte Betragsstriche genommen werden, hat auch nichts mit Einheiten zu tun. Die doppelten Striche nimmt man, wenn man allgemeiner Räume als euklidische Vektorräume hat, nämlich normierte Vektorräume. Der Artikel Vektor bschäftigt sich nur mit Vektoren im euklidischen Raum, deshalb verwendet er einfache Betragsstriche. Der Artikel Einheitsvektor bezieht sich allgmeiner auf beliebige normierte Räume, deshalb verwendet er doppelte Betragsstriche. Auch bei den Videos von Loviscach, die ich mir gerade angeschaut habe, ist alles einheitenlos. Dass er doppelte Striche nimmt und nicht einfache ist einfach eine persönliche Vorliebe von ihm. Er benutzt einfache Striche nur für den Betrag von Zahlen. --Digamma (Diskussion) 17:36, 8. Mai 2017 (CEST)

schade, ich hatte schon auf einen kleinen Unterschied gehofft, zumindest in der Physik. Da stellt sich halt die Frage, ob nun die Einheit wegfällt oder nicht. Anlass war ja ein Physikbuch, das allerdings diverse Fehler enthält, wo der Einheitsvektor â als einheitenlos behandelt wird a¹ = |a|·â, was mir relativ schleierhaft ist, 1 auf der x-Achse ohne Einheiten, wenn die x-Achse doch in m skaliert ist? Ra-raisch (Diskussion) 22:38, 8. Mai 2017 (CEST)

in der Quantenmechanik werden derartige Operatoren schon benützt, aber hier geht es (mir) eben um den Einheitsvektor, egal ob man ihn nun als â oder e_a schreiben will. Ra-raisch (Diskussion) 00:07, 9. Mai 2017 (CEST)

@Digamma : Einheiten hin oder her, das ist nicht der Punkt. Es ist die Frage, ob der Einheitsvektor eine Länge besitzt oder "nur" eine Richtung. Ist also 3â =? â+â+â oder gilt â =? â+â+â. Eine Länge ist gleichbedeutend mit einer Längen-Einheit, egal ob diese m oder kg oder 1 ist. Sofern der Einheitsvektor tatsächlich nur die Richtung ohne Länge aufweisen würde, könnte man eben 3â unterschiedlich interpretieren, 3 als Länge oder 3 als effektloser Multiplikator. Ra-raisch (Diskussion) 12:43, 9. Mai 2017 (CEST)

Der Einheitsvektor besitzt eine Länge, nämlich die Länge 1. Deshalb heißt er ja so. Aber diese Länge ist nur eine Zahl, sie besitzt keine Maßeinheit. Natürlich ist 3â = â+â+â, sonst wäre der Längenvektor kein Vektor. --Digamma (Diskussion) 15:50, 9. Mai 2017 (CEST)

Danke, aber wenn die Länge eine Einheit hat, häufig zB m, dann hat auch der Einheitsvektor diese Einheit, er muss ja die Einheit der Länge haben, wenn er eine Länge hat. Das Ganze mag wie Haare Spalten aussehen, aber ich denke, gerade im Detail liegt die Wahrheit. â=Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} /|a| ist dann falsch, denn der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und sein Betrag |a| sind (einheitenbehaftete) Längen und diese Einheiten würden sich ja ebenso wie die Längeneigenschaft wegkürzen, also hätte â zwar eine Richtung und den Pseudowert 1 aber keine Länge. Nach meiner Meinung kann nur wie folgt gerechnet werden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec e_a = e_1 \vec a / |a|} . Ich dachte, dass das gleiche Ergebnis durch die doppelten Betragsstriche bewerkstelligt wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec e_a = \vec a / ||a||} wobei ||a|| eben keine Länge besitzt sondern ein reiner Zahlenwert ist. Ra-raisch (Diskussion) 18:03, 9. Mai 2017 (CEST)

@Ra-raisch: Ich glaube, Du machst den Fehler, dass Du die physikalische Größe Länge mit dem mathematischen Begriff (im Sinne von 2-Norm) gleich setzt. Ich weiß, dass das verwirrend ist und ich selbst verwende das Wort "Länge" daher ausschließlich für die physikalische Größe. Der mathematische Begriff wird von mir mit "Betrag" bezeichnet. Wenn wir eine physikalische Größe nehmen, z. B. die magnetische Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B} , so erhalten wir die Komponenten des Vektors durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_i=\vec B\cdot \hat e_i} . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_i} haben nur dann dieselbe Einheit, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_i} die Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} hat. Ein weiteres Argument: Wenn wir eine Gleichung mit mehreren Größen verschiedener Dimension haben und wenn in dieser Gleichung auch noch Einheitsvektoren auftauchen, dann kann es ja nicht sein, dass der eine Einheitsvektor die Einheit Meter und der andere die Einheit Tesla hat. Langer Rede kurzer Sinn: Einheitsvektoren haben keine Einheit.--Pyrrhocorax (Diskussion) 16:09, 10. Mai 2017 (CEST)

in der Physik ist der Betrag einer Länge (zB [r]=m) auch eine Länge (zB [|r|]=m): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=|\vec a|} . Daraus entsteht ja das Problem, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a/|a|} keine Länge ist sondern nur eine Zahl (Faktor). Wenn aber ein Vektor definiert werden kann als 10 * Einheitsvektor, dann muss der Einheitsvektor auch eine Länge (mit Einheit zB m oder N etc, auch "1") sein/haben, je nach dem Ursprungs-/Ergebnisvektor(!). (im Megnetismus kenne ich mich leider noch nicht so gut aus, ich bleibe lieber bei den anschaulichen Längen, das scheint mir vorerst ausreichend). Wieso soll es für unterschiedliche Dimensionen nicht unterschiedliche Einheitsvektoren geben? Im Grunde ergeben Vektoren sowieso nur in den räumlichen 3 Dimensionen einen Sinn, weil nur hier die Richtung variabel ist (in der SRT natürlich 4 Dimensionen). Alle anderen gerichteten Größen sind in Wahrheit nur in der räumlichen Komponente (also im Raum) gerichtet, etwa die Geschwindigkeit, Kraft etc. Eine "Richtung" zwischen kg und Coulomb wird es nicht geben, zumindest bisher nicht. Wenn der Winkelgeschwindigkeit ω eine Richtung zugeordnet wird, so ist diese ebenfalls eine räumliche, im Grunde ist es ja sowieso der Vektor v, lediglich normiert durch den Radius r, als Pseudovektor kann man aber auch gut mit ω rechnen, genauso wie β=v/c eigentlich lediglich eine Normierung der Geschwindigkeit durch c ist. Wie gesagt, ich schließe die Einheit "1" gar nicht aus, unterscheide sie aber von einem Faktor 1. So tief müssen wir hier aber gar nicht bohren, es geht hier allein um den Einheitsvektor. Wenn er nicht die Dimension/Einheit (Benennung) des Urspungsvektors hätte, wäre er nicht seine Einheit sondern nur noch seine Richtung. Es mag ja sein, dass genau dies oftmals erwünscht ist, es sollte aber nicht Einheitsvektor genannt werden. Wenn es in der Literatur vermischt wird, sollte hier zumindest auf den möglichen Unterschied hingewiesen werden. Ra-raisch (Diskussion) 11:03, 11. Mai 2017 (CEST)

Ich glaube, dass Du Dich da in etwas verrannt hast, aber ich beginne langsam zu verstehen, was Du meinst. Ich versuche mal, Dich zu paraphrasieren. Du meinst, dass es z. B. zur Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} ein Konstrukt gibt, ich schreibe mal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf e_{\vec v}} , das folgende Eigenschaften hat: Sein Betrag ist 1 m/s und seine Richtung stimmt mit der von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} überein. Wenn man eine Geschwindigkeit angeben möchte, könnte man dann schreiben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = x \cdot \mathbf e_{\vec v}} . Und dieses Ding würde dann "Einheitsvektor" heißen. Habe ich so richtig wieder gegeben, wie Du Dir den Sachverhalt vorstellst? Leider muss ich Dir mitteilen, dass es so nicht gehandhabt wird. Stattdessen ist der Einheitsvektor <maht>\hat e_v</math> so definiert, dass gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = |\vec v|\cdot\hat e_v} . Dein Satz: "Wenn er nicht die Dimension/Einheit (Benennung) des Urspungsvektors hätte, wäre er nicht seine Einheit sondern nur noch seine Richtung." ist vollkommen richtig: Ja, der Einheitsvektor enthält trotz seines Namens keine Information über die Einheit, sondern nur über die Richtung einer Größe. Das ist auch sinnvoll, denn damit hat eine Geschwindigkeit denselben Einheitsvektor, egal ob sie in m/s, km/h, mph oder Knoten angegeben wird. Mag sein, dass die Bezeichnung "Einheitsvektor" irreführend ist. Vielleicht leitet sich das Wort von der Zahl "eins" ab oder von "einheitlich", jedenfalls nicht von "Maßeinheit". Kennst Du Komponentenschreibweise von Vektoren? Da ist ein Vektor definiert als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A = \sum_{i=1}^3 A_i \hat e_i} . Das macht mit den Einheiten nur dann einen Sinn, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_i} die Einheit 1 hat.--Pyrrhocorax (Diskussion) 10:27, 12. Mai 2017 (CEST)

danke, so wird ein Schuh draus, und ich dachte immer, die Komponenten wären dimensionslos, weil die Dimension im Einheitsvektor steckt. Ok abgehakt, ob man dazu eine Verdeutlichung in den Artikel schreiben sollte? Ich hatte schon diverse Diskussionenen darüber ohne konkretes Ergebnis bisher. Oder an anderer Stelle? Ra-raisch (Diskussion) 13:42, 12. Mai 2017 (CEST)

Ein paar Überlegungen dazu:
Wenn Vektoren eine Dimension hätten, was wäre denn dann die Dimension des Skalarprodukts zweier Vektoren? Des Vektorprodukts? Einer (beliebig komplexen) Kombination von Skalar- und Vektormultiplikationen wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}\times\vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d}) ?} Was wäre die Dimension der Rotation eines Vektorfelds? Und wenn Vektoren eine Dimension haben, müssten denn dann nicht Tensoren und andere „höhere“ Konstrukte auch eine Dimension haben?
Und wie komme ich vom Einheitsvektor der Richtung zum Einheitsvektor der Geschwindigkeit? Dividiere ich den Einheitsvektor der Richtung mit Dimension Länge durch die Dimension des Skalars (Zeit) und bekomme einen neuen Einheitsvektor mit gleicher Richtung, aber neuer Dimension Länge pro Zeit? Und habe ich dann zwei Vektoren mit gleicher Länge und gleicher Richtung, die aber nicht identisch sind, weil sie sich in ihrer Dimension unterscheiden?
Ich habe mal gelernt, dass Vektoren keine Dimension haben. Deshalb kann man sie für vereinfachte Rechnungen, bei denen die Richtung nicht interessiert, einfach weglassen. Wenn ich zwei Geschwindigkeiten addiere (natürlich nur im kollinearen Fall so simpel möglich), nehme ich die (dimensionsbehafteten) Skalare, addiere sie und erhalte einen Skalar mit der gleichen Dimension. Wenn die Dimension im (Einheits-)Vektor stecken würde, wo käme sie denn dann bei rein skalarer Rechnung her? Wäre ein (skalarer) Ausdruck wie 5 m/s denn dann nicht von vornherein „systemwidrig“ …?
Grüße, Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   14:48, 12. Mai 2017 (CEST)

ja natürlich ist das so, das Skalarprodukt hat ebenso wie das Vektorprodukt das Produkt der entsprechenden Einheiten (v¹=r¹×ω¨) und die Geschwindigkeit wird genau so durch den Längenvektor geteilt durch die skalare Zeit hergestellt (v¹=r¹/t). Tensoren haben nicht notwendig eine einheitliche Einheit aber das ist anzustreben, indem jedes Glied auf die gleiche Einheit gebracht wird. Bei der Einsteingleichung hat jedes Glied die Einheit 1/m² (was meinst Du, was sonst der Faktor 8pi*G/c^4 darin zu suchen hätte). Aber zurück zu @Pyrrhocorax : @Digamma wird Dir nicht zustimmen, er hat genau die konträgre Antwort gegeben. Gilt denn nun ê+ê=ê oder ê+ê=2ê. Wenn ê keine Länge sondern nur eine Richtung hat, müßte die erste Gleichung gelten und die Abkürzung davon 2ê wäre auslegungsbedürftig, ist die "2" ein reiner Zahlenfaktor (in diesem Fall also ohne Auswirkung) oder ist es eine Länge mit der Dimension "1". Ra-raisch (Diskussion) 21:27, 12. Mai 2017 (CEST)

Ich verstehe nicht, warum Benutzer:Digamma etwas völlig konträres zu mir gesagt haben sollte. Wenn ich ihn richtig verstanden habe, meint er präzise dasselbe wie ich. Ich habe übrigens nie behauptet, dass der Einheitsvektor keine Länge habe. Ich habe gesagt, dass der zu einem Vektor gehörende Einheitsvektor keine Information über dessen Einheit enthalte, wohl aber über seine Richtung. Der Einheitsvektor selbst hat natürlich einen Betrag, und zwar 1. Dieser Betrag ist nicht zu verwechseln mit einem physikalischen Weg. Natürlich ist e+e+e=3e. --Pyrrhocorax (Diskussion) 22:43, 12. Mai 2017 (CEST)

gut, die Länge 1 der Einheit 1 (zB Stückzahl) ist natürlich möglich. Das war eigentlich naheliegend.... danke für die Diskussion. Ich meine, das sollte man aber anstatt "einheitenlos" dann auch in den Artikel schreiben. Aber es ist wohl zu spitzfindig. Ra-raisch (Diskussion) 00:37, 13. Mai 2017 (CEST)

Ra-raisch, der Artikel behandelt zum größten Teil Vektoren in der Mathematik und vor allem im ersten Teil, auf den du dich beziehst, Vektoren in der Geometrie. Vieles davon kann man auf vektorielle Größen in der Physik übertragen, aber nicht alles. Beispielsweise kann man in der Geometrie (und allgemein in Vektorräumen) Vektoren mit Zahlen multiplizieren, aber nicht mit physikalischen Größen (also Zahlen mit Maßeinheiten). Wenn hier also Dinge stehen, die zu Widerprüchen führen oder widersprüchlich erscheinen, wenn man sie auf Vektoren in der Physik anwendet, dann liegt das daran, dass es gar nicht um Vektoren in der Physik geht.

Vieles kann man dennoch übertragen. Am leichtesten geht es, wenn man Maßeinheiten einfach ignoriert. Wenn man vektorielle physikalische Größen mit Maßeinheiten betrachten möchte, dann muss einiges modifiziert werden. Aber das gehört dann nicht in den Geometrieteil oder in den teil "Eigenschaften", sondern in den Teil "Vektoren in der Physik".

Über diesen Teil gab es hier schon längere Diskussionen, siehe Diskussion:Vektor/Archiv/1#Vektoren_und_Einheiten und einiges davon kann hier vielleicht auch erhellend sein, insbesondere das dort erwähnte Kapitel im Lineare-Algebra-Buch von Jänich. --Digamma (Diskussion) 20:28, 14. Mai 2017 (CEST)

im Prinzip ja, aber 1) hier steht nicht "Mahte" im Lemma, 2) es ist bereits in der Einleitung von Physik die Rede und 3) es ist von "dimensionslos" die Rede. Natürlich kann man Probleme mit Dimensionen vermeiden, wenn man die Dimensionen wegläßt, das ist aber nicht das Ziel von Wiki, sondern Probleme zu (er)klären. Ich schaue mir jetzt gerne den Link an. Ich bestehe auch nicht auf einer Änderung, denke aber "Dimension 1" wäre besser als "dimensionslos". Ra-raisch (Diskussion) 22:50, 14. Mai 2017 (CEST)

Zumindest in diesem Artikel Vektor ist nirgendwo von "dimensionslos" die Rede. --Digamma (Diskussion) 06:37, 15. Mai 2017 (CEST)

Komponentenschreibweise

Digamma hat folgenden Post an meine Benutzerdiskussion geschrieben. Ich halte ihn aber für hier besser aufgehoben:

Hallo Pyrrhocorax,

ich verstehe nicht so recht, wofür man diesen Abschnitt braucht. Ich sehe auch gar nicht, warum die Komponentenschreibweise etwas ganz anderes sein soll als die Schreibweise als Spaltenvektoren. Die Komponenten sind doch die Einträge der Spalten. Es ist eine etwas andere Formulierung derselben Aussage, aber eigentlich keine andere Schreibweise.

Ob ich schreibe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3\end{pmatrix}}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}+\vec{b} = \vec c} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i = a_i + b_i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i = 1, \dots, 3}

ist doch dasselbe. Beides besagt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}+\vec{b}} der Vektor ist, dessen Komponenten die Summe der entsprechenden Komponenten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}} sind.

Und in der angegebenen Form funktioniert das nur, wenn die Vektoren als Variable gegeben sind, aber nicht, wenn die Komponenten konkrete Zahlenwerte haben. --Digamma (Diskussion) 19:10, 17. Feb. 2018 (CET)

Natürlich ist der Anfang trivial und scheint überhaupt nichts neues zu bringen. Ich erinnere mich aber daran, wie verwirrend ich als junger Student die Komponenten-Schreibweise in der theoretischen Physik fand (vor allem mit Verwendung der einsteinschen Summenkonvention). Warum sollte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{rot}\vec A} dasselbe sein wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec \nabla \times \vec A} und das wiederum gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{ijk} \frac \partial {\partial x_j}A_k} ? Der Gag ist, dass man viele Beziehungen für den Vektor als Ganzes formulieren kann oder aber als eine Gleichung für eine einzige Komponente, ohne dass man Informationen verliert. (Der Trick besteht darin, dass man den Index der Komponente zu einem Teil der Rechenoperation macht, z. B. durch Summation oder die verwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{ijk}} ). Natürlich ist das nichts "ganz anderes" wie Du schreibst. Im Gegentei: Es muss äquivalent zu der hier verwendeten Notation sein. Trotzdem halte ich es für wichtig, dass auch die andere Notation zumindest erwähnt wird. --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:06, 17. Feb. 2018 (CET)

OK, das geht aber über das, wie Mathematiker üblicherweise die Komponentenschreibweise verwenden (nämlich unter Berufung auf eine Basis und darauf, dass der Index von 1 bis n läuft) hinaus. Hier steht die Komponente stellvertretend für den ganzen Vektor und nicht nur für eine einzelne Komponente. Bist du sicher, dass das in diesen Artikel gehört? Ich kenne das eigentlich nur aus der Tensorrechnung. Und zur Einsteinschen Summenkonvention gibt es einen eigenen Artikel. Aus der von dir eingefügten Tabelle wurde mir nicht so recht klar, was der Sinn sein soll. Jetzt schon eher. --Digamma (Diskussion) 21:18, 17. Feb. 2018 (CET)

Ergänzung: Was du meinst, wird wohl eher als "Indexschreibweise" bezeichnet, vgl. Indexnotation von Tensoren. --Digamma (Diskussion) 21:29, 17. Feb. 2018 (CET)

Alle benannten Größen Vektoren - entfernt

Ich habe folgenden Satz entfernt:

"Auch alle benannten Größen (Zahlenwert mit Einheit, z. B. Längenangaben mit der Einheit Meter; Geldbeträge mit Einheit Euro usw.) sind in diesem Sinn Vektoren. (Dabei kann man durch Übergang zu einer anderen Einheit, z. B. von Euro zu Dollar, zwar die Zahlenwerte verändern; die Vektoren selbst aber bleiben unverändert.)" Es gibt sicherlich (auch traditionell "skalare") Größen für die das zutrifft, aber so allgemein finde ich diese Aussage problematisch, aus mehreren Gründen:

1. Für manche Größen z.B. die Temperatur in Kelvin sind nur positive Werte definiert. Daher kann die Addition keine Gruppe sein.

2. Geschwindigkeiten sind im Betrag durch c beschränkt. Hier ist daher die normale Addition nicht für alle möglichen Werte definiert. Die Verknüpfung gemäß dem Relativistischen Additionstheorem für Geschwindigkeiten hat dieses Problem nicht, ist aber im Allgemeinen weder assoziativ noch kommutativ.

3. Außerhalb der Physik gibt es auch viele Größen, bei denen nur ganze (bzw. natürliche) Werte sinnvoll sind. Hier wird es mit Skalarmultiplikation schwierig.

4. Auch bei Geldbeträgen wird es problematisch, weil man (zumindest nach meinem Verständnis) keine beliebig präzisen Werte und zumindest keine periodischen Dezimalbrüche zulässt. --Letkhfan (Diskussion) 02:43, 2. Jan. 2016 (CET)

"allgemeiner" und "engerer" Sinn

@Digamma: Die von dir wieder zurückgesetzte Charakterisierung der unterschiedlichen Bedeutungen als "allgemeiner" und "engerer" Sinn halte ich für falsch bzw. sie sind zumindest missverständlich: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2,3,4)\in \R^3} ist auf jeden Fall ein Tupel von Zahlen aber nicht notwendigerweise ein Vektor im Sinne "Element eines Vektorraumes", denn dafür bräuchte ich Addition, Skalarmultiplikation usw. die "V1-V4" und "S1-S4" erfüllen. Daher sehe ich "Element eines Vektorraumes" im Normalfall als den "engeren" und Tupel von Zahlen als den "allgemeineren" Sinn. Natürlich gibt es auch Funktionenräume usw. die man nicht wirklich gut als Tupel von Zahlen schreiben kann, aber meine Formulierung sollte auch nicht das Gegenteil schreiben, sondern Element eines Vektorraumes als die "eigentliche" (= im engeren, ursprünglicheren Sinn) Bedeutung, und dann Tupel von Zahlen als "weitere" (= zusätzliche) Bedeutung kennzeichnen, ohne zu schreiben, dass etwas "allgmeiner" als das andere ist.--Debenben (Diskussion) 00:04, 19. Feb. 2018 (CET)

Der Artikel behandelt in erster Linie geometrische Vektoren. Diese sind immer Elemente eines Vektorraums. Tupel reeller Zahlen sind nur dann Vektoren, wenn mit ihnen wie mit Vektoren gerechnet wird, d.h., wenn der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} als Vektorraum aufgefasst wird. Nur darum geht es in diesem Artikel. Wenn man Tupel reeller Zahlen betrachtet ohne auf diesen eine Addition und Skalarmultiplikation einzuführen, dann sind das auch keine Vektoren, sondern nur Zahlentupel. Alle in dem Artikel betrachtete Vektoren sind also Elemente eines Vektorraums. Die Vektorräume von geometrischen Vektoren bzw. von Zahlentupeln sind spezielle Vektorräume. Wenn man sich auf diese speziellen Vektorräume beschränkt, dann sind das also Vektoren im engeren Sinn.

Die ursprüngliche Bedeutung von "Vektor" ist meiner Meinung nach die geometrische. Die Axiomatisierung von Vektorräumen ist eine Verallgemeinerung davon. --Digamma (Diskussion) 15:00, 19. Feb. 2018 (CET)

Um das noch etwas zu untermauern: Der erste Satz des Abschnitts "n-Tupel und Spaltenvektoren" lautet: "In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden." (Hervorhebung von mir) --Digamma (Diskussion) 15:03, 19. Feb. 2018 (CET)

@Digamma: Danke für die Erläuterungen, so kann ich zumindest deine Sichtweise verstehen. Inzwischen glaube ich, dass es besser wäre nicht nur die zwei Worte zu streichen, sondern die missverständliche Einleitung grundsätzlich neu zu schreiben. Schließlich steht nichts von "typischen Rechenoperationen" in der Einleitung und selbst wenn man den Satz hinzufügt braucht man immernoch die Existenz von inversen Elementen usw. Dazu kommt noch die zusätzliche Verwirrung durch "Parallelverschiebung [wird] durch Koordinaten dargestellt", "in der klassischen Physik", "im geometrischen Sinn" und "Koordinatenraum". Gerade die Assoziation mit Koordinaten und mit Ort sind falsch, denn Koordinaten eines Ortes (auf der Erde, auf einer Manigfaltigkeit...), generalisierte Koordinaten oder Zustandsvektoren im klassischen Sinn sind Elemente des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} aber keine Elemente eines Vektorraumes, auch wenn es (leider) vorkommt, dass sie als Vektoren bezeichnet werden. Ich habe versucht ein Lexikonartikel zu finden, den man als Inspiration für eine neu formulierte Einleitung nehmen kann aber bisher habe ich nichts brauchbares gefunden. Außerdem sehe ich die Möglichkeit wie in der englischen Wikipedia, einen wohldefinierten Artikel unter dem Lemma Euklidischer Vektor und unter Vektor einen BKL-artigen Übersichtsartikel anzulegen.--Debenben (Diskussion) 03:29, 25. Feb. 2018 (CET)

Bevor ich antworte: Bitte lies dir mal die Diskussion, auch im Archiv, durch. Es gab dazu schon lange Diskussionen und die derzeitige Einleitung ist das Resultat dieser Diskussionen. Koordinaten werden hier nur als Koordinaten von Vektoren bezüglich kartesischer Koordinaten betrachtet. Mit "Koordinatenraum" ist eigentlich der Raum der Spaltenvektoren gemeint, siehe den entsprechenden Artikel Koordinatenraum. Auch dort wurde schon bezweifelt, dass das die adäquate Bezeichnung ist. Nur kenne ich keine bessere. Vielleicht fällt dir ja dazu etwas anderes ein. Von mir aus kann man auch den ganzen Abschnitt über die Tupel bzw. Spaltenvektoren streichen. Dazu gibt es ja schon einen eigenen Artikel. Nur werden dann gleich wieder Stimmen kommen, die das vermissen, weil viele Leute unter "Vektoren" genau solche Spaltenvektoren verstehen. Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 21:08, 25. Feb. 2018 (CET)

Das Ergebnis ist so, dass ich unseren (Physik-) Studenten davon abrate, die Artikel der deutschsprachigen Wikipedia zum Themenumfeld Vektor und Vektorraum konsultieren. Der hiesige Artikel verstärkt nachdrücklich das Pfeilbild und n-Tupeln im Kopf der Leser. Das ist leider nur bis zur Physik des 19. Jahrhunderts tragfähig. Und auch beim Höhepunkt der klassischen Physik war man schon dabei sich von dieser speziellen Klasse von Vektoren zu lösen. Siehe zum Beispiel die von Deneben angesprochenen generalisierten Koordinaten. Damit führt der Artikel Leser in die Irre, die sich genau deshalb mit dem Thema beschäftigen (müssen), weil sie perspektivisch die moderne Physik verstehen wollen. Wobei schon die Formulierungen schon in der Einleitung fehl gehen. Ein Vektor ist in der Physik keine physikalische Größe. Aber das ist nur ein Detail. Das eigentlich Problem besteht in der generellen Ausrichtung des Artikels. Diese beißt sich mit dem generellen Lemma "Vektor". Und nein, der Artikel Vektorraum ist für diese Leserschaft keine angemessene Hilfe, oder Ersatz. Denn er konzentriert sich zu Recht darauf, was ein Vektorraum ist. Weitere Details und Hintergründe dafür sind im Archiv in der Tat lang und ausführlich benannt worden. Es schmerzt, dass diese enzyklopädische Fehlleistung auch nach mehr als zehn Jahren noch besteht.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:52, 25. Feb. 2018 (CET)

Dann würde mich mal interessieren, was du deinen Studenten als Lektüre empfiehlst und was deiner Meinung nach ein Vektor ist. --Digamma (Diskussion) 21:49, 26. Feb. 2018 (CET)

@Debenben: Der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} als Koordinatenraum für Mannigfaltigkeiten oder generalisierte Koordinaten ist ein Vektorraum. Ohne die Vektorraumstruktur gäbe es keine Differenzierbarkeit. Ohne die Vektorraumstruktur des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} gäbe es deshalb auch keine differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, keine Vektor- und Tensorfelder. ("Zustandsvektoren" kenne ich nur aus der Quantenmechanik. Was sind "Zustandsvektoren im klassischen Sinn"? Koordinaten im Zustandsraum? Ich habe noch nie gesehen, dass diese als Vektoren bezeichnet wurden.) --Digamma (Diskussion) 18:56, 28. Feb. 2018 (CET)

@-<)kmk(>-: Ich habe nichts dagegen, wenn dieser Artikel, der zum überwiegenden Teil die Vektoren der Vektorgeometrie behandelt, umbenannt würde, z.B. in Vektor (Geometrie). Dann könnte unter "Vektor" ein neuer Artikel angelegt werden, der das abdeckt, was deiner Meinung nach für die Physik wichtig ist. Falls es danach Überschneidungen gibt, könnte dieser Artikel hier entsprechend gekürzt werden. Ich sehe mich aber nicht in der Lage, so einen Artikel "Vektor" zu schreiben. Wenn jemand anders das tut, werde ich aber gerne mithelfen. --Digamma (Diskussion) 19:28, 28. Feb. 2018 (CET)

@Digamma: Ich habe bisher nicht die Zeit gehabt mich durch die alten Diskussionen zu lesen. Zu obigem Kommentar: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} mit geeigneten Koordinaten, Skalarprodukt etc. ist ein Vektorraum. Generalisierte Koordinaten sind aber kein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} (Beispiel Doppelpendel: zwei Winkel -> Torus; Beispiel Perle auf endlicher Schnur -> beschränktes Intervall). Wie du wahrscheinlich weißt ist es in dem Fall sogar so, dass es keine Koordinaten gibt die ein Vektorraum oder global differenzierbar wären, aber da einem normalerweise niemand sagt was geeignete Koordinaten sind, muss man davon ausgehen, dass sie beliebig dämlich gewählt sind und damit erst Recht kein Vektorraum. Und noch ein ART-Beispiel: Übliche Raumzeitkoordinaten für ein schwarzes Loch sind kein Vektorraum und die Mannigfaltigkeit lässt sich auch nicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} einbetten.--Debenben (Diskussion) 20:24, 28. Feb. 2018 (CET)

Ja, dies ist mir alles bekannt. Ich sehe aber nicht, wie der Artikel dem Missverständnis Vorschub leisten würde. Generalisierte Koordinaten sind eine Abbildung von der betrachteten Mannigfaltigkeit in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} . Missverständnisse entstehen dadurch, dass nicht zwischen der Mannigfaltigkeit und den Koordinaten unterschieden wird. Verstärkt wird das, wenn kartesische Koordinaten eines Punktes "(Orts-)Vektoren" genannt werden.

Ich ersetze mal die derzeitige Einleitung durch meine ursprüngliche, die meiner Meinung nach etwas weniger widersprüchlich ist. --Digamma (Diskussion) 20:47, 28. Feb. 2018 (CET)

Was die alte Diskussion im Archiv betrifft: Es geht vor allem um diesen Abschnitt. --Digamma (Diskussion) 21:31, 28. Feb. 2018 (CET)

Nochmal zum Begriff "Koordinatenraum": Ich habe ein bisschen gegoogelt und dabei festgestellt, dass Physiker und Mathematiker das Wort verschieden verwenden. Für Physiker ist das anscheinend ein Synonym für "Ortsraum" oder "Konfigurationsraum". Das ist also ein Raum, dessen Punkte durch Koordinaten beschrieben werden (die oben genannten generalisierten Koordinaten). Für Mathematiker ist es aber der Raum der Koordinaten, also die Menge der Zahlentupel (siehe z.B. [1]). In dem oben genannten Beispiel des Doppelpendels ist demnach nach Physikersprechweise der Koordinatenraum (also der Konfigurationsraum) ein Torus. Nach Mathematikersprechweise ist der Koordinatenraum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} , die Menge der Zahlenpaare, die benutzt werden, um die Punkte des Konfigurationsraums zu beschreiben. --Digamma (Diskussion) 22:19, 28. Feb. 2018 (CET)

Verstehe ich nicht. Wie du oben schon richtig gesagt hast sind Koordinaten streng genommen Abbildungen in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} , was aber nicht heißt, dass man im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} als Vektorraum rechnen kann und das Ergebnis dann ein Urbild hat und physikalisch Sinn macht (Paris + Rom = ?). Abgesehen davon ist es solange kein Vektorraum, bis man nicht geschrieben hat wie Addition, Multiplikation und Skalarprodukt definiert sind. Z.B. bei Wahrscheinlichkeitsvektor, Zufallsvektor, Ortsvektor oder der "klassische Zustandsvektor" wie in Zustandsraumdarstellung ist das völlig unklar und manchmal ist (leider) mit "Vektor" einfach ein Tupel von Zahlen gemeint.--Debenben (Diskussion) 22:57, 28. Feb. 2018 (CET)

Das verstehe ich jetzt nicht. Ich habe nicht behauptet, dass sich die Koordinaten (z.B. von der Erdoberfläche in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} mit der Vektorraumstruktur des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} vertrage würde. Deshalb kann ich selbstverständlich Orte (Städte) nicht addieren. Ich kann aber Koordinaten addieren und mit Skalaren multiplizieren. Und ich muss auch nicht erst sagen, wie ich das mache, denn die Addition und die skalare Multiplikation im Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} ist ein für alle mal festgelegt. Wenn ich nur die Orte durch die Koordinaten beschreiben möchte, brauche ich natürlich die Vektorraumstruktur nicht. Wenn ich aber zum Beispiel mit Hilfe der Koordinaten die Geschwindigkeit eines Autos berechnen möchte, das sich auf einer Straße von Rom nach Paris bewegt, dann brauche ich die Vektorraumstruktur, sonst kann ich nicht ableiten.

Wahrscheinlichkeitsvektoren bilden nur eine Teilmenge des Vektorraums, aber man benutzt die Vektorraumstruktur, wenn man sie mit Matrizen (z.B. Übergangsmatrizen multipliziert. Zufallsvektoren bilden natürlich Elemente eines Vektorraums. Man kann sie komponentenweise addieren und mit Zahlen multiplizieren. Natürlich ist das nicht für alle Anwendungen notwendig, aber es ist möglich. Und z.B. wird bei der Definition der Kovarianzmatrix das Skalarprodukt benutzt. Und die Definition des Erwartungswerts benutzt die Vektorraumstruktur. Auch Ortsvektoren sind Vektoren. Es sind keine anderen Vektoren als die hier im Artikel behandelten geometrischen Vektoren, nur eben in ihrer Funktion, einen Ort zu beschreiben. Sonst wäre es ja gar nicht möglich, einen Vektor zu einem Ortsvektor zu addieren um dann einen neuen Ortsvektor zu bekommen. Im Artikel Zustandsraumdarstellung steht:

Der „Zustandsraum“ ist der dem Zustandsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline {x}(t)} zugehörige n-dimensionale Vektorraum, in dem sich jeder Zustand als Punkt und jede Zustandsänderung des Übertragungssystems sich als Teil einer Bahnkurve (Trajektorie) darstellt.

Da steht also sehr wohl etwas von einem Vektorraum.

Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du mal aufschreiben würdest, wie man deiner Meinung nach den Artikel bzw. seine Einleitung überarbeiten sollte. --Digamma (Diskussion) 12:21, 1. Mär. 2018 (CET)

Das Problem liegt darin, dass von einem euklidischen Raum ausgegangen wird. Wenn der Ort ein Vektor wäre, müsste z.B. (V1) gelten, sprich (Paris + Rom) + Berlin = Paris + (Rom + Berlin). Zumindest in der ART lässt sich da auch nichts hinbiegen sodass das gilt, da Paralleltransport wegabhängig ist. Der Ort an sich hat daher schon keine Vektorraumstruktur. Koordinaten (aus Sicht des Physikers willkürliche Abbildungen "der Realität" oder eines mathematischen Modells der Realität in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ) müssen weder differenzierbar noch sonst irgendwas sein. Wenn ich für diese willkürlichen Zahlen eine Addition etc. definiere hat das Ergebnis keine Entsprechung in der Realität oder widerspricht dem, was ich z.B. im euklidischen Raum bei der Addition zweier Vektoren (nicht Koordinaten) erhalten würde. Daher würde man keine solch sinnlose mathematische Operation definieren und damit sind Koordinaten kein Vektorraum. Das gleiche Problem hat der Artikel Zustandsraumdarstellung, insbesondere ist die von dir zitierte Passage nicht allgemeingültig. Zur Erläuterung warum die Ableitung funktioniert schlage ich eine Formulierung vor wie

"Mathematische Realisierungen dynamischer Systeme weisen nicht notwendigerweise einen Zustandsraum auf, der den Anforderungen an einen Vektorraum genügt. Folglich kann nicht angenommen werden, dass die beschreibenden Systemgleichungen grundsätzlich über einem Vektorraum definiert sind. Stattdessen bezeichnet man den Zustandsraum als eine Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M} , welche zumindest in einer lokalen Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal U_0} dieselben Eigenschaften wie ein Vektorraum aufweist." Torsten Wey: Nichtlineare Regelungssysteme: ein differentialalgebraischer Ansatz. Springer-Verlag, 2002, S. 291 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  Auch wenn der Zustandsraum nicht die Anforderungen eines Vektorraums genügt, werden Elemente des Zustandsraums als Zustandsvektoren bezeichnet.--Debenben (Diskussion) 23:33, 1. Mär. 2018 (CET)

Debenben, ich stimme dir völlig zu, dass ein Ort kein Vektor ist und der geometrische und der physikalische Raum kein Vektorraum. (Das siehst du z.B. im weitgehend von mir geschriebenen bzw. überarbeiteten Artikel Euklidischer Raum). Und dasselbe gilt natürlich erst recht für die "Punkte" eines Konfigurationsraums, wie z.B. von SO(3) bei der Beschreibung der Lage eines starren Körpers. Aber die Werte der Koordinatenabbildungen liegen im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} und der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ist ein Vektorraum mit der komponentenweise Addition und skalaren Multiplikation. Nur muss man eben das Koordinatentupel streng von dem damit bezeichneten Ort unterscheiden. Jedes Analysisbuch betrachtet den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} als Vektorraum. Nochmal: Man braucht die Vektorraumstruktur um Differenzierbarkeit und Ableitung zu definieren. Die Ableitung einer Abbildung in einem Punkt ist die Approximation durch eine lineare Abbildung. Das geht nur, wenn der Raum (der Koordinatenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} , nicht die Mannigfaltigkeit des Zustandsraums) eine Vektorraumstruktur hat.

Ich bezweifle, dass die Elemente des Zustandsraum auch dann als Zustandsvektoren bezeichnet werden, wenn der Zustandsraum kein Vektorraum ist. Dafür hätte ich gerne einen Beleg. Falls das tatsächlich so ist, dann gebrauchen hier meiner Meinung nach die Physiker oder Ingenieure die mathematischen Begriffe einfach falsch.

Ich denke (siehe oben), dass unsere Meinungsverschiedenheit auf einem Missverständnis bzw. auf dem unterschiedlichen Gebrauch des Wortes "Koordinatenraum" beruhen. Du meinst damit den Zustandsraum, der eine Mannigfaltigkeit ist, ich meine damit den Raum der Zahlentupel, die benutzt werden, um diese Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu beschreiben. Bei dir umfasst "Koordinatenraum" die Koordinatenabbildungen, bei mir nur die Werte. Zahlentupel kann ich addieren und mit Zahlen mutliplizieren. Mehr ist nicht damit gemeint, wenn ich sage, der Koordinatenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} sei ein Vektorraum.

Um dieses Missverständnis zu vermeiden, schlage ich vor, die Bezeichnung "Koordinatenraum" für den Raum der Zahlentupel zu vermeiden. --Digamma (Diskussion) 16:57, 5. Mär. 2018 (CET)

@Digamma: Mit Koordinatenraum meine ich nicht die Mannigfaltigkeit sondern auch "den Raum der Zahlentupel, die benutzt werden, um diese Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu beschreiben". Im Gegensatz zu dir meine ich aber nur die Zahlentupel, die auch wirklich benutzt werden und ich schließe alle Zahlentupel, die kein Urbild haben, also durch Umkehrung der Koordinatenabbildung nicht zurück auf die Mannigfaltigkeit bzw. die Realität abgebildet werden können explizit aus. Damit ist die Menge der Koordinaten eine Teilmenge des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} , aber es ist nicht der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} sondern im Allgemeinen eine echte Teilmenge z.B. beim Doppelpendel zwei Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \in [0,2\pi)} . Bei Winkeln von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sind die gewählten Koordinaten auch nicht stetig und damit nicht differnzierbar. Wenn ich einfach wie im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} addieren würde könnten die Winkel größer als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\pi} werden, die Menge der Koordinaten und die übliche Addition ist also keine Gruppe und damit der Koordinatenraum kein Vektorraum. Genauso würde ich auch bei den normierten Wahrscheinlichkeitsvektoren usw. argumentieren, solange nicht dabei steht wie die Mengen und Verknüpfungen usw. zu definieren sind sodass es tatsächlich ein Vektorraum ist.

Für den Zustandsvektor lässt sich leider recht schnell ein trauriges Beispiel finden: Jan Cornelius Schmidt: Instabilität in Natur und Wissenschaft: Eine Wissenschaftsphilosophie der nachmodernen Physik. Walter de Gruyter, 2008, S. 77, Fußnote 3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  Die falschen Verwendungen des Begriffs Vektor verdienen zwar keinen eigenen Artikel, aber ich denke man kommt nicht darum herum sie in einem Übersichtsartikel zu erwähnen.--Debenben (Diskussion) 20:56, 5. Mär. 2018 (CET)

Ich sehe, dass wir uns näher kommen. Erstmal danke für den Link. Beim nochmaligen Nachdenken habe ich gemerkt, dass ich mich wohl auch dagegen wehren würde, wenn ein Zahlentupel, das einen Punkt auf einer Mannigfaltigkeit beschreibt, als Vektor bezeichnet wird. Im Artikel ist mit "Koordiantenraum" aber schlicht der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} , also die Menge aller Zahlentupel gemeint, typischerweise sogar als Spaltenvektor geschrieben. Der Wortbestandteil "Koordinaten" soll sich vermutlich nicht auf Koordinaten von Punkten auf Mannigfaltigkeiten beziehen, sondern auf die Koordinaten eines Vektors (ganz allgemein als Vektorraumelement) bezüglich einer Basis. Ich habe inzwischen in der Einleitung das Wort "Koordinatenraum" durch "„Tupelraum“" ersetzt (in Anführungszeichen, weil das zwar vielleicht selbsterklärend, aber sicher keine übliche Bezeichnung ist). Im Text steht noch "Koordinatenraum", einfach deshalb, weil Benutzer:Quartl den Artikel zum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^n} so genannt hat. Gibt es eine bessere Bezeichnung?

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hat dich nur die Formulierung der (alten) Einleitung gestört, aber nicht die im Text im Abschnit "n-Tupel und Spaltenvektoren".

Dabei zurückkommend auf die Ausgangsfrage, ob es Objekte gibt, die Vektor heißen, aber keine sind, weil sie keinen Vektorraum bilden: In einem Kontext, wo die Vektorraumoperationen keinen Sinn ergeben, würde ich Zahlentupel nicht als Vektoren bezeichnen. (Kann sein, dass ich mir gerade selbst widerspreche.) Auf jeden Fall halte ich die Bezeichnung "Zustandsvektor" in dem Fall, wo der Zustandsraum kein Vektorraum ist (oder zumindest ein affiner Raum, der durch die Einführung eines Ursprungs zum Vektorraum gemacht werden kann) für falsch. --Digamma (Diskussion) 21:14, 5. Mär. 2018 (CET)