Diskussion:Gruppenoperation

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allgemeinverständliche Einleitung

Der Artikel ist für Nichtmathematiker vollkommen unnütz, weil er nichts werklärt, sondern fast nur Formeln abbildet. Zumindest die Einleitung sollte doch ein paar allgemeinvertändliche Aussagen über Zweck und Bedeutung des Gegenstandes enthalten.--WerWil 14:18, 18. Jul 2006 (CEST)

Findest du, dass sich das inzwischen gebessert hat? War würdest du noch in der Einleitung erwarten? --Martin Thoma 18:31, 24. Aug. 2012 (CEST)

Natürlich weiss ich nach nun über sechs Jahren auch nicht mehr was mich mal an dem Artikel besonders gestört hat, von daher kann ich keine relative Verbesserung festellen, aber ich muss gestehen das ich nach Lektüre der einleitung (immer noch) nicht mehr über den Gegenstand zu wissen glaube als vorher. Ich lese die Worte, verstehe sie zwar jeweils einzeln, auch mal einen halben Satz, aber am Ende ... fast nur Fragezeichen.

Z.B. ... Elemente einer Gruppe so mit Selbstabbildungen einer Menge identifiziert .... Selbst wenn ich nun den Link zur Selbstabbildung verfolge (auch kaum verständlich) bleibt das eine Aussage die irgendwie nach Mystik klingt. Wie kann eine Menge eine Abbildung von sich selbst enthalten? Das wäre ja so als würde die Menge gleichzeitig nur einmal und doch unendlich oft existieren, denn enthielte sie ein identisches Abbild von sich selbst, dann müsste dieses im Abbild ja auch wieder enthalten sein, ad infinitum.

Und wenn ich das dann einfach mal beiseite lasse, dann sollen hier Elemente einer Gruppe mit einer Abbildung einer Menge identifiziert werden. Was heißt hier mit ... identifiziert? Die Selbstabbildung einer Menge ist ein Mittel um die Bestandteile einer Gruppe zu finden, und das geht mit Gruppenoperationen?

Warum macht man sowas, was ist der praktische Nutzen? Wie die Diskussion hier auf der Seite inzwischen andeutet, scheint das beschreiben von Symmetrien und Strukturen einer Gruppe (worunter ich mir noch ganz nebulös was vorstellen könnte) ja auch nur ein Teilaspekt zu sein. Du merkst wahrscheinlich, ich bin bekennender Nichtmathematiker. Leider wird durch Lektüre der Einleitung meine OmA kaum kleiner.--WerWil (Diskussion) 18:15, 25. Aug. 2012 (CEST)

Hm, das mit dem Würfel verstehe ich ja noch. Bei der Definition kommt dann der Doppelpunkt : und mehrere Zeichen hinzu, die nicht erklärt sind: g, h, e, Theta usw. Da komme ich dann nicht mehr mit. (nicht signierter Beitrag von 2A02:1205:5019:C900:1D3F:3BA4:61B6:30CC (Diskussion | Beiträge) 15:16, 11. Jul 2016 (CEST))

Hm. Die Zeichen sind doch alle erklärt: g und h sind Elemente der Gruppe G; e ist das neutrale Element von G. Damit ist dann auch die eigentliche Definition der Gruppenoperation beendet. $\vartheta _{g\triangleright }$ ist eine Abbildung von X nach X, und sie ist so definiert, dass $\vartheta _{g\triangleright }$ von x gerade $g\triangleright x$ ist. --Digamma (Diskussion) 19:33, 11. Jul. 2016 (CEST)

eigentlich diskontinuierlich

Ich wäre dafür eigentlich diskontinuierlich in den Artikel aufzunehmen. Damit man dann irgendwo in der Wikipedia auch schreiben kann, dass der Quotient eine Mannigfaltigkeit mit einer frei und eigentlich diskontinuierlich wirkenden Gruppe wieder eine Mannigfaltigkeit ist. (War das so? Komisch, jetzt wo ich es schreibe, scheint mir die zweite Eigenschaft nicht frei seien zu können, weil mir aus eigentlich diskontinuierlich frei zu folgen scheint.) Nagut, trotzdem, das ist das was ich unter eigentlich diskontinuierlich kenne:

Wirkt $G$ auf einem topologischen Raum $m$, so heißt die Wirkung eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem Punkt $m\in M$ einen Umgebung $U_{m}$ gibt, so dass für alle $g\in G\setminus \{e\}$ gilt, dass $g(U_{m})\cap U_{m}=\emptyset$.

... Jetzt wo ich es aufschreibe wäre ich mir gerne sicher, dass es nicht nur $g(m)\notin U_{m}$ war, dass bin ich nicht 100%, aber ich denke schon, dass die erste Definition die richtig ist, und man damit dann für Quotienten von Mannigfaltigkeiten sicher ist, dass man eine lokale Umgebung für die Trivialisierung hat. -- JanCK 18:29, 19. Dez. 2007 (CET)

Vielleicht doch ganz anders als in meiner Erinnerung. ERHARD GOTTSCHLING schreibt in Invarianten endlicher Gruppen und biholomorphe Abbildungen, 1969, so ungefähr: Es sei $p:M\to M/G$ die Projektion. Die Wirkung einer Gruppe G heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es

• erstens zu $x,y\in M$ mit p(x)~ p(y) stets Umgebungen U von x und V von y gibt, so daß für

jedes $g\in G$ der Durchschnitt $V\cap g(U)$ leer ist, wenn

• zweitens für jeden Punkt $x\in M$ die Isotropiegruppe $G(x)=\{g\in G|g(x)=x\}$ eine endliche Untergruppe von G ist, und wenn
• drittens jeder Punkt $x\in M$ eine Umgebung U besitzt, die durch alle Abbildungen aus G(x) in sich überführt wird, so daß die Bedingungen $G\in G,y\in U,g(y)\in U$ stets die Aussage $g\in G(x)$ nach sich ziehen.

Das ist scheinbar deutlich länger als das, was ich oben aufgeschrieben habe. Und vielleicht wollte ich oben auch eher so was, wie für je zwei Punkte x,y gibt es Umgebungen U und V, so dass diese G(U) und V disjunkt sind. Das ließe sich jedenfalls sehr kurz hinschreiben, und da könnte man noch frei dazu fordern. -- JanCK 18:57, 19. Dez. 2007 (CET)

Fr itz Ehle rs schreibt in seinem Artikel Eine Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten und die Auflösung einiger isolierter Singularitäten 1975

Lemma 2. G operiert eigentlich diskontinuierlich auf X. Beweis. Zu zeigen ist: Für $z_{1},z_{2}\in X$ gibt es Umgebungen $U_{1},U_{2}$, so daß $gU_{1}\cap U_{2}\not =\emptyset$ für nur endlich viele $g\in G$gilt.

Das sagt natürlich nicht, dass dies auch die Definition ist. Aber mir scheint, dass klingt auch als Definition gut. Vielleicht als Definition noch $z_{1}\not =z_{2}$ und nur ein g und nicht endlich viele, in dem man nachher noch U_2 kleiner wählt, was möglich ist, wenn der Abschluss der $gU_{1}$ das $z_{2}$ nicht enthält. Hm, das ist ja überhaupt komisch? In meiner Vorstellung waren die Mengen $U_{1}$ und $U_{2}$ weiter auseinander. Definiert man die Eigenschaft eigentlich diskontinuierlich eigentlich überhaupt nur, wenn die Menge Haussdorffsch ist? -- JanCK 19:30, 19. Dez. 2007 (CET)

Hor st H am mer schreibt in seiner Diplomarbeit aus 2000

Sei X ein metrischer Raum, G eine Gruppe von Homomorphismen von X. Dann operiert G eigentlich diskontinuierlich, wenn die G-Bahn jedes Punktes in X lokal endlich ist. Dabei wird die G-Bahn eines Punktes aufgefaßt als Familie von einelementigen Teilmengen von X.

Das heißt aber doch nur zu jede zwei Punkten x,y gibt es eine Umgebung U von x, so dass es nur endlich viele $g\in G$ gibt, für die $gy\in U$. Das war meiner Erinnerung nach nicht die Definition, die ich mal gelernt habe. Aber vielleicht galt meine Definition in einem anderen Kontext? Ich bin eher für etwas, dass die Bahnen von Umgebungen von beiden Punkten betrachtet. -- JanCK 19:43, 19. Dez. 2007 (CET)

Was ist denn eigentlich den englische Ausdruck für eigentlich diskontinuierlich? -- JanCK 19:45, 19. Dez. 2007 (CET)

Die englishe Übersetzung lautet en:properly discontinuous. Und siehe da: Diskontinuierlich bei x = nur endlich viele gU schneiden U für geeignete Umgebung U. Eigentlich diskontinuierlich = nur eU schneidet U. So kommt mir das auch bekannt vor.--Hagman 20:58, 19. Dez. 2007 (CET)

Anna Wi enhar d schreibt in Zwischen Flexibilität und Starrheit Gruppenhomomorphismen und geometrische Strukturen

So sind beispielsweise die Eigenschaften, dass Γ mittels φ auf dem Raum X frei und eigentlich diskontinuierlich wirkt, d. h. dass nur die Identität einen Fixpunkt hat und dass jede kompakte Teilmenge K ⊂ X nur endlich viele ihrer Bilder unter Γ schneidet, oftmals äquivalent dazu, dass der Homomorphismus φ injektiv und das Bild φ(Γ) diskret ist.

Vielleicht kann man daraus sich überlegen, was genau die Definition von eigentlich diskontinuierlich ist? -- 19:59, 19. Dez. 2007 (CET)

Ah, k, danke. Irgendwie dachte ich, ich hätte das mal in die Suche eingegeben gehabt. Hm, hatte ich wohl nicht. -- JanCK 21:16, 19. Dez. 2007 (CET)

Einleitung missverständlich

Ich bin der Meinung, dass die Einleitung ein missverständliches Bild abgibt. Eine Gruppenoperation ist eine mathematische Abbildung, die viel mehr umfasst, als Symmetrien von Objekten. Es ist zwar ein anschauliches Beispiel für eine Operation und eine schöne Anwendung, aber der Begriff ist ja dann (zu recht!!) im großteil des Artikels viel abstrakter gefasst! (nicht signierter Beitrag von 134.95.214.143 (Diskussion) 16:45, 19. Jul 2010 (CEST))

Was umfasst sie denn noch alles? Man könnte das wörtchen "beispielsweise" in dem Satz, auf den du wohl anspielst, einfügen. Dann würde es sich gleich ganz anders anhören. (Ich mach das jetzt nicht, weil ich mich gerade erst in das Thema einlese) --Martin Thoma 18:58, 24. Aug. 2012 (CEST)

Symbol

Zu Beginn des Artikels, im Abschnitt "Definition" wird die Gruppenoperation immer mit einem $\cdot$ bezeichnet ($g\cdot m$), weiter unten dann aber mit $g\bullet m.$ Und irgendwo mit $\odot$. Ich sehe keinen Grund für diese unterschiedlichen Schreibweise. Meines Erachtens ist der Punkt üblich, oder sogar, die Aneinanderreihung ohne Verknüpfungszeichen ($gm\,$). Wenn überhaupt, dann würde es höchstens in der Definition einen Sinn ergeben, das Verknüpfungszeichen von einem Malpunkt zu unterscheiden. -- Digamma 21:42, 20. Jul. 2010 (CEST)

Hallo Digamma,

mein Prof. hat bei der Einführung dem einen Namen gegeben, also

$\varphi :G\times X\rightarrow X;~~~(g,x)\mapsto \varphi (g,x)$

Das wäre eine weitere Möglichkeit, die man für diesen Artikel in Betracht ziehen könnte.

Sonst wäre ich für $\circ$, da damit klar wird, dass es sich um eine ziemlich beliebige Verknüfung handeln kann.

$\cdot$ verbinde ich persönlich eher mit der "üblichen" Multiplikation (also z.B. in $\mathbb {R}$, eine Skalarmultiplikation oder eine Matrizenmultiplikation). $\circ$ hingegen wird am KIT häufig verwendet, wenn es um die Verknüpfung einer Gruppe geht.

Egal welches Symbol das beste ist, ich bin auch für eine einheitliche Lösung.

Grüße, --Martin Thoma 18:39, 24. Aug. 2012 (CEST)

Die Menge, auf der die Gruppe operiert ist auch inkonsistent zuerst mit $X$, dann mit $M$ bezeichnet. --80.121.1.67 21:24, 10. Jan. 2013 (CET)

Ich habe die Bezeichnungen einheitlich gemacht. Als Gruppenoperation habe ich eine Multiplikation gewählt, weil das meistens der Fall sein dürfte. --RPI (Diskussion) 11:43, 9. Sep. 2013 (CEST)

Inzwischen hast du die Punkte durch Dreiecke ersetzt. Mir ist diese Notation noch nie begegnet. Hast du dir die ausgedacht, oder wer schreibt das? Und bitte kennzeichne deine Änderungen nicht als "Nur Kleinigkeiten wurden verändert". Das sind keine Kleinigkeiten, siehe H:KÄ. --Digamma (Diskussion) 20:16, 9. Sep. 2013 (CEST)

Ja, weil mir eingefallen ist, dass auch wichtige Beispiele eine Addition als Gruppenoperation haben. Und irgendwie, muss man das ja bezeichnen, da bot es sich an, die Dreiecke zu benutzen. Ich habe auch nicht jedes Mal „nur Kleinigkeiten verändert“. Die Reihenfolge habe ich übrigens deswegen umgestellt, weil beim Stabilisator Bezeichnungen gebraucht wurden, die erst später unter einem Beispiel erklärt wurden. So wie jetzt, ist das in sich stimmiger. --RPI (Diskussion) 09:19, 10. Sep. 2013 (CEST)

Das passte so auch nicht zusammen, ich hab den Artikel deshalb gründlicher überarbeitet. Er sollte jetzt in sich stimmig sein. Das Beispiel eines dynamischen Systems fehlt allerdings noch. --RPI (Diskussion) 12:05, 11. Sep. 2013 (CEST)

Die jetzt verwendete Symbolik $h\triangleright x$ scheint mir doch etwas unüblich. Vor allem besteht Verwechslungsgefahr mit dem Symbol für Normalteiler.--Café Bene (Diskussion) 07:51, 7. Mär. 2014 (CET) Man sollte durchaus erwähnen, welche unterschiedlichen Notationen es gibt, sich im Artikel dann aber natürlich für eine entscheiden.--Café Bene (Diskussion) 07:53, 7. Mär. 2014 (CET)

Ich habe in der Literatur schon viel öfter das Symbol mit dem Kreisförmigen Pfeil entdeckt, aber ich kenne gerade kein LaTeX Symbol dafür. --feudiable✉ 22:18, 13. Jan. 2015 (CET)

Meinst du sowas wie $\circlearrowright$ oder $\circlearrowleft$? --Digamma (Diskussion) 21:21, 15. Jan. 2015 (CET)

Klassengleichung

Im Abschnitt Gruppenoperation#Operation durch Konjugation wird ein Link zu einer Klassengleichung gebildet, der sich in dewiki nicht auflösen lässt. Wenn man sucht, findet man im Artikel Satz von Burnside einen zwar blauen Link, der aber genau an die unaufgelöste Stelle verweist. So könnte man zu vermuten beginnen, dass man vom nahen Kontext über Bahnformel#Konjugation zu

$|G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|$

kommt. Diese Vermutung müsste aber von jemand wirklich Wissendem bestätigt, wenn nicht gar belegt werden.

Andernfalls müsste die Klassengleichung aus zwei Artikeln verschwinden. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:05, 29. Aug. 2017 (CEST)

Inzwischen taucht der Link zu Klassengleichung in mindestens vier Artikeln auf: Satz von Wedderburn, Fixpunktsatz (endliche Gruppen), Satz von Burnside, Gruppenoperation. Weiterhin sind alle diese Links aber lediglich Weiterleitungen auf den Artikel Gruppenoperation. Hier sollte im Unterabschnitt "Operation duch Konjugation" die entsprechende Gleichung ergänzt werden und die Links in anderen Artikeln so abgeändert werden, dass sie auf diesen Abschnitt zeigen. --Arcademiker (Diskussion) 15:56, 19. Mai 2021 (CEST)