Diskussion:Integration durch Substitution

Erklärung und Beispiele

Der Artikel bedarf meines Erachtens nach einer Überarbeitung. Die Subtitutionsregel und Substitutionsgleichungen werden nicht hinreichend genug erklärt. Die Beispiele sind mit unnötigen Falltüren gespickt und daher unverständlich.

Findest du - wer immer du auch bist - das immer noch?

Falls ja, nutze bitte {{Lückenhaft}}, {{Allgemeinverständlichkeit}}, {{Überarbeiten}} oder {{QS-Mathematik}}.

Eine etwas genauere Beschreibung, was deiner Meinung nach nicht gut ist, wäre dann jedoch wünschenswert.

Grüße, --Martin Thoma 19:23, 15. Sep. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 10:30, 9. Mär. 2014 (CET)

Liste unverstaendlicher Dinge

• "da $2x*dx=2$" wuerde im ersten Beispiel erklaeren, woher dieses dx/dt eigendlich kommt.

weshalb die verwirrende Formulierung phi(t)? phi soll doch Substitution von x sein also wäre logisch auch phi(x) (nicht signierter Beitrag von 134.169.49.115 (Diskussion | Beiträge) 14:54, 12. Jan. 2010 (CET))

Finde ich auch nicht so gelungen. Ich versuch es mal bisschen schöner zu schreiben.. --Tormate (Diskussion) 18:36, 3. Sep. 2014 (CEST)

bitte um Links zu Beispielen

Weblinks: kann einer von den Mathematikern unter euch ein paar Links zu Seiten angeben, wo weitere ausführliche(!) Beispiele der Integration durch Substitution zu finden sind ?

Vollkommen unverständlich!-- und ich bin promovierter Geisteswissenschaftler und war mal auf einer Matheschule!

Hab grad einen eingefügt. Würde mich über weitere freuen; find die Erklärung hier auch etwas unverständlich ohne Vorwissen über die Regel... --84.143.27.78 17:46, 29. Nov. 2006 (CET)

Toter Link unter "Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel"

Integrieren mit mehreren Variablen

Wenn mit mehreren Variablen mit einer Substitution integriert wird, muss man die Determinante der Funktion anwenden und dem Integral hinzufügen. Kann dazu was gesagt werden? Danke, --Abdull 16:32, 25. Mai 2006 (CEST)

Transformationssatz, siehe auch den zweiten Absatz. --P. Birken 16:50, 25. Mai 2006 (CEST)

Korrekte Formel?

muss es beim ersten unterpunkt nicht dx/dt heißen?^^(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.139.101.97 (Diskussion • Beiträge) 20:38, 16. Apr 2007) -- calculus !¡ ?¿ 21:17, 16. Apr. 2007 (CEST) Nein! -- calculus !¡ ?¿ 21:17, 16. Apr. 2007 (CEST)

Soweit ich es hier vom Lösungsblatt Statistik Semester 2002 TU München ablesen kann, muss es dx/dt heißen :) bzw. nein, wurde anders verwendet.

Beweis der Substitutionregel

Es wäre toll, wenn jmd auch den Beweis zur Substitutionsregel liefern könnte, so wie er bei der partiellen Integration zu finden ist.

Injektiv?!?

Ich glaube das die Injektivitätsforderung unnötig ist, die brauch man nur wenn man die Regel rückwärts anwendet 90.135.44.83 20:46, 27. Mai 2008 (CEST)

Syntax FAIL

In dem Abschnitt "Vorstellung des Verfahrens" steht folgendes: $\int _{0}^{\sqrt {\pi }}t\sin(t^{2})dt=\int _{0}^{\sqrt {\pi }}=t\sin(t^{2}){\frac {1}{2t}}dx=\ldots {}$

Ist da vll. ein Gleichheitszeichen zu viel? (hint: das zeite?)

Aber auch ohne das zweite Gleichheitszeichen ist es unverstaendlich: Wie wurden die Integrationsgrenzen ersetzt, wie kommt es, dass die "t"s durch "x"e ersetzt werden? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 134.100.9.63 (Diskussion • Beiträge) 24. Nov. 2008, 13:33)

Es wird $x(t):=t^{2}$ gesetzt (steht im Absatz, der mit „Wir erhalten das gleiche Ergebnis, ...“ beginnt). Wie weiter oben müssen nach der Substitution die Grenzen zu $x(0)=0$ und $x({\sqrt {\pi }})=\pi$ abgeändert werden. --Sabata (D|WZ) 13:53, 24. Nov. 2008 (CET)

Wenn unter dem Integral sowohl t als auch x vorkommen, dann ist für mich nicht klar, auf welche Variable sich die Integrationsgrenzen beziehen. Man müsste dann vielleicht der Deutlichkeit halber $\int _{t=0}^{\sqrt {2}}$ schreiben.
Andererseits ist mir noch nie begegnet, dass man t und dt nicht gleichzeitig substituiert. Ich werde mal versuchen, das entsprechend umzuschreiben. --Digamma 10:27, 8. Mai 2010 (CEST)

Zur Begründung des Schemas / Tricks, Abschnitt 2.3

Vor ca. 20 Jahren habe ich mich das erste mal gefragt, warum das "formal" nicht korrekte Berechnungs-Schema dennoch zum richtigen Ergebnis führt. Hier habe ich dann eine Begründung gefunden, die mir jedoch nicht gefällt. Es wird von der Form $\int _{a}^{b}f(t)dt$ ausgegangen, in den Situationen in denen das Schema angewandt wird, ist jedoch $\int _{a}^{b}f(\varphi (t))dt$ zu berechnen. Daher hier ein anderer Ansatz, der jedoch auf der Idee der Autorin bzw. des Autors beruht. Bewiesen ist die "normale Substitutions-Regel":

$\int _{a}^{b}(f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)dx\qquad \qquad (1)$

Berechnung nach der Substitutions-Regel

Nun "berechne ich" $\int _{a}^{b}f(\varphi (t))dt$ unter Verwendung der Regel, die Forderungen an $\varphi (t)$ bleiben bestehen, Bijektiv, differenzierbar und ungleich 0 sollte reichen (die Ausage: höchstens auf Null-Mengen gleich 0 ist mir nicht klar). Die Umkehrfunktion der Funktion $\varphi$ wird mit $\varphi ^{-1}$ bezeichnet.

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (t))dt&=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot {\frac {1}{\varphi '(t)}}\cdot \varphi '(t)dt\qquad {\text{ erweitert }}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {f(\varphi (t))}{\varphi '(\varphi ^{-1}(\varphi (t)))}}\cdot \varphi '(t)dt\qquad {\text{ Identitaet eingeschoben }}\varphi ^{-1}\circ \varphi \\&{\text{definiere Hilfsfunktion }}h(x)={\frac {f(x)}{\varphi '(\varphi ^{-1}(x))}}{\text{, damit }}\\&=\int _{a}^{b}h(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}h(x)dx\qquad \qquad {\text{nach (1)}}\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{\frac {f(x)}{\varphi '(\varphi ^{-1}(x))}}dx\qquad \qquad (2)\end{aligned}}$

Beachte: $\varphi ^{-1}(x)$ ist zu berechnen und in die Ableitungsfunktion einzusetzen.

Berechnung nach dem Schema

Ich setze ähnlich an, wie die Autorin / der Autor: ${\frac {d}{dt}}\varphi (t)=\varphi '(t)$ also $dt={\frac {1}{\varphi '(t)}}\cdot d\varphi (t)$ Damit ergibt sich: ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (t))dt&=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot {\frac {1}{\varphi '(t)}}\cdot d\varphi (t)\qquad {\text{eher nicht definiert}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {f(\varphi (t))}{\varphi '(\varphi ^{-1}(\varphi (t)))}}\cdot d\varphi (t)\qquad {\text{auch nicht, jetzt ersetzen: }}\varphi (t)=x\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{\frac {f(x)}{\varphi '(\varphi ^{-1}(x)))}}\cdot dx\qquad {\text{definiert und identisch mit (2)}}\end{aligned}}$

Die Anwendung des Schemas wird durch die Substitutions-Regel begründet. Das Schema funktioniert m.E., da man intuitiv die Berechnung von $\varphi '(\varphi ^{-1}(x))$ richtig durchführt: Erst wird $\varphi '$ berechnet, dort wird dann $\varphi ^{-1}$ eingesetzt.

Nochmal das Beispiel $\int _{1}^{2}e^{\sqrt {t}}dt$ in Kurzform. Berechne vorab ( x>0) : $\varphi (t)={\sqrt {t}},\qquad \varphi (x)={\sqrt {x}},\qquad \varphi ^{-1}(x)=x^{2},\qquad \varphi '(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\qquad \varphi '(\varphi ^{-1}(x))={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}}}}}={\frac {1}{2x}}$

Damit ergibt sich nach (2)

${\begin{aligned}\int _{1}^{2}e^{\sqrt {t}}dt&=\int _{\sqrt {1}}^{\sqrt {2}}{\frac {e^{x}}{\varphi '(\varphi ^{-1}(x))}}dx\\&=\int _{\sqrt {1}}^{\sqrt {2}}{\frac {e^{x}}{\frac {1}{2x}}}dx\\&=\int _{\sqrt {1}}^{\sqrt {2}}2xe^{x}dx\\\end{aligned}}$

anschließend partielle Integration.

Ich hoffe meine Irrtümer halten sich in Grenzen. 91.55.59.124 12:39, 26. Nov. 2009 (CET)

Über-Rigorosität

Bei diesem Beispiel erreicht man rechnerische Vereinfachung, wenn man nicht streng den Regeln des Verfahrens folgt. Niemand schreibt diese strengen Regeln vor. Im Gegenteil, es ist besser, statt nach t aufzulösen, direkt x und dx im Integrand aufzufinden und zu ersetzen. Auch schon in dem Beispiel davor, wo das Verfahren vorgestellt wird. Statt nach dt aufzulösen, formt man um zu t dt = 1/2 dx und erhält direkt $\int t\sin(t^{2})\,dt=\int {\frac {1}{2}}\sin(x)dx$. Wenn man so vorgeht, dann braucht man auch nicht zu fordern, dass die innere Funktion $\varphi$ umkehrbar ist. --Digamma 11:45, 8. Mai 2010 (CEST)

phi=x

Fehlt in der Formel in der Einleitung nicht der definierende Zusammenhang $x=\varphi (t)$  ? --Itu 22:31, 18. Mär. 2011 (CET)

Nein. $x$ und $t$ sind in den beiden Integraltermen unabhängig voneinander gebunden und existieren außerhalb nicht. --Daniel5Ko 23:09, 18. Mär. 2011 (CET)

Beispiel 1

hier fehlt die Berechnung der Grenze...in Beispiel 2 jedoch vorhanden...
-- (Diskussion) 10:49, 3. Jan. 2013 (CET)

Ich verstehe nicht, was du meinst. Es gibt ein Beispiel 1 im Abschnitt "Substitution eines bestimmten Integrals". Hier werden auch die Grenzen berechnet (wie auch in Beispiel 2 und Beispiel 3). Im Abschnitt "Substitution eines unbestimmten Integrals" kommen in beiden Beispielen keine Grenzen vor, weil es sich eben um unbestimmte und nicht um bestimmte Integrale handelt. --Digamma (Diskussion) 20:09, 3. Jan. 2013 (CET)

Substitution eines bestimmten Integrals - Beispiel 3

Vorab eine kleine Entschuldigung - Ich habe keine Ahnung wo man hier den Formeleditor findet. also in Worten: Hier wird gesagt ${\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=|(\cos(t)|$, was auch stimmt da $1-\sin ^{2}=\cos ^{2}$ und damit ${\sqrt {\cos ^{2}}}=|\cos(t)|$, da die Wurzel im reellen > 0 ist. Eine Zeile später wird aber aus $|\cos(t)|\cdot \cos(t)$ plötzlich $\cos ^{2}(t)$, was nicht stimmt da ein Quadrat immer größer Null ist (in diesem Fall zwischen 1 und 0, $\cos(t)$ * sein Betrag jedoch zwischen -1 und +1 liegt und damit keines Falls immer > 0 ist, da der cosinus < 0 sein kann, sein Betrag jedoch nicht. Bitte korrigieren. Und noch eine Frage: Haut es trotzdem hin und wenn ja, warum? --134.76.62.65 23:09, 15. Jan. 2013 (CET)

Ich habe mir mal erlaubt, die Formeln in TeX zu formatieren. --Digamma (Diskussion) 00:21, 16. Jan. 2013 (CET)

Hier wird über das Intervall $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ integriert. Auf diesem Intervall ist der Kosinus nirgendwo negativ, also gilt in diesem Intervall $|\cos(t)|=\cos(t)$. --Digamma (Diskussion) 00:24, 16. Jan. 2013 (CET)

Wikiandria

Der Artikel "Integration durch Substitution" ist nur einer von vielen zum Thema "Mathematik" (aber ein Paradebeispiel dafür), dass "Wikipedia" keine -pedia ist, sondern eine -andria (für Universitätsangehörige). Und - so meine Überzeugung - wahrscheinlich verstehen auch von diesen so manche nichts. Aber, wie dem auch sei, so ist es eben. Gibt es nun ein Portal, in dem wirklich -pedia ist? Vielleicht habe ich es nur noch nicht entdeckt.

Fra0nz (22:47, 8. Mär. 2014 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Substitution eines unbestimmten Integrals

Die Formel

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t.$

ist wahlweise falsch oder, wenn man sie wohlwollend interpretiert, zumindest irreführend. Ich möchte kurz erläutern, warum diese Formel, die schon seit Jahrzehnten in tausenden Lehrbüchern von der weiterführenden Schule bis zur Uni steht, mathematisch nicht einwandfrei ist. Wie die Formel zu interpretieren ist, hängt natürlich davon ab, was man unter dem Ausdruck $\int f(x)\,\mathrm {d} x$ versteht. Meistens, und so wohl auch hier, ist dies die Schreibweise für eine Stammfunktion einer Funktion $f:D\to \mathbb {R}$. Man schreibt ja deswegen auch $\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c$, wobei das $c$ andeutet, dass eine solche Stammfunktion nicht eindeutig bestimmt ist. Die Variable $x$ ist hierbei eine Dummy-Variable, die auch durch jede andere ausgetauscht werden kann, d.h. es ist $\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f(u)\,\mathrm {d} u=\int f(t)\,\mathrm {d} t=...$. Dementsprechend ist mit $\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t$ eine Stammfunktion der Funktion ($f\circ \varphi )\cdot \varphi ':I\to \mathbb {R}$ gemeint, wobei $I$ der Definitionsbereich von $\varphi$ ist. Mit dieser Interpretation bedeutet die obige Formel aber nichts anderes, als dass eine Stammfunktion von $f$ zugleich eine Stammfunktion von $(f\circ \varphi )\cdot \varphi '$ ist! Dies ist natürlich nicht zutreffend. Vielmehr ist eine Stammfunktion von $f$ verkettet mit $\varphi$, also die Funktion $F\circ \varphi$, zugleich eine Stammfunktion von $(f\circ \varphi )\cdot \varphi '$. Die Frage ist natürlich jetzt, was man da machen kann. Die Krux liegt darin, dass die Integralnotation für Stammfunktionen einfach gewisse Schwächen hat, wenn sie in Verbindung mit verketteten Funktionen gebracht wird. Denn sobald man versucht, in dieser Notation die Verkettung einer Stammfunktion mit einer anderen Funktion, also $F\circ \varphi$, auszudrücken, begibt man sich in Schwierigkeiten. Schreibt man etwa einfach $\int f(\varphi (x))\,\mathrm {d} x=F\circ \varphi$, so ist dies auch nicht zutreffend, denn mit dem linken Ausdruck meint man nach Definition eine Stammfunktion von $f\circ \varphi$, und das ist was anderes als die rechte Seite. Der einzig gangbare Weg besteht meiner Meinung nach darin, dass man die obige Formel mit dem ausdrücklichen Zusatz versieht, dass man, damit die Gleichung stimmt, noch im Ergebnis von $\int f(x)\,\mathrm {d} x$ den Term $u$ durch $\varphi (t)$ ersetzen muss. Das ist natürlich nicht sehr elegant, da eine einmal hingeschriebene Gleichung als solche gar nicht korrekt ist, sondern nur mit einem Zusatz, wie man denn mit einer Seite weiterverfahren muss, damit die Gleichung tatsächlich korrekt ist. (nicht signierter Beitrag von 78.52.155.44 (Diskussion) 23:47, 11. Sep. 2014 (CEST))

Vorweg will ich sagen, dass ich selbst von der Notation des Integrals ohne Grenzen nicht viel halte und sie persönlich auch immer vermieden habe. Sie kommt allerdings in jedem Buch, das die Integralrechnung einführt, vor und gehört deshalb auch in diesen Artikel. Aber ich denke, Du wolltest diesen Abschnitt sowieso nicht komplett streichen.

Bei den unbestimmten Integralen ist es eben leider gerade nicht so, dass x oder t nur Dummyvariablen sind, sondern man muss, um die Stammfunktion zu bestimmen auch immer zurücksubstituieren. Das steht ja auch schon im Satz direkt unter der besagten Formel. --Christian1985 (Disk) 15:59, 12. Sep. 2014 (CEST)

Verwendung der Variablen

Guten Tag, nach wie vor finde ich die unterschiedliche Verwendung von Variablen (z. B.: "dt", das einmal durch "dx", in anderen Fällen durch weitere Kürzel ersetzt wird) innerhalb der Mathematik oder des Rechnens leicht verwirrend, resp. trägt eine Nicht-Standardisierung, jedenfalls betreffend des Unterrichts, nicht zu einer Erleichterung des mathematischen Verständnisses für nicht rein Mathematisch-Begabte bei. Einfach: Die Standardisierung der Variablen wäre, zumindest auf Schulniveau, von Vorteil. Zumal viele der Lehrer nicht genau erklären können oder wollen, welche Ursprünge, die jeweiligen Variablen, Konstanten und Zeichen haben. In der Physik könnte man e=mc² = "Energie = Masse * Lichtgeschwindigkeit (zum Quadrat)", derartig modifizieren, dass c nicht die Konstante für Lichtgeschw. darstellen muss; oder auch: a² + b² = c² könnte modifiziert werden. Somit muss die Formel an sich nicht jene Bedeutung implizieren. Solche Vorstellungen mögen zur Ontologie, als auch zur Epistemologie der Physik oder Mathematik zählen, jedoch sieht man allein, dass diese Formeln (wenn man das jeweilige Fachgebiet sowie die Definitionen außer Acht lässt) einen offensichtlichen Widerspruch indizieren. Die klassische Logik gibt ein Verbot der sich selbst widersprechenden Wahrheit (anhand zweier Aussagen) an. Logik natürlichen Ursprungs, das logische Denken, sorgt z. B. dafür, dass man meist nicht "aneinanderrempelt". Kurz gesagt: Nichts scheint wie es ist. Verschiedene Interpretationen lassen zu viel Spielraum für das Wesentliche. Die Standardisierung ist erforderlich.
Viele Grüße, --176.6.124.234 12:28, 16. Mär. 2016 (CET)

Beispiel 3 bestimmtes Integral

Es wird am Ende behauptet, es könne "Das Ergebnis kann mit Partieller Integration berechnet werden", jedoch ist unklar, wie das gehen soll. Eine Ausführung bis zum Ende wäre hier angebracht. (nicht signierter Beitrag von 77.3.104.104 (Diskussion) 20:52, 25. Jun. 2016 (CEST))

Ich habe mal das Endergebnis ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 21:21, 17. Dez. 2018 (CET)

Nicht mehr als drei Gleichungen in einer Zeile; Unleserlichkeit von mathematischen Formeln

Hey Wiki-Gemeinde, Ich bin zugegebenermaßen etwas angefressen, würde doch meine Beispieländerung rückgängig gemacht.

Mein Background ist Informatik. Es gibt einen Grund warum man jede/n Befehl/Funktion in der Informatik in eine neue Zeile schreibt oder die Editoren mit Farben für Schlüsselworte arbeiten, deswegen kann ich nicht verstehen warum man mehr als drei Gleichungen in eine Zeile klatscht, bzw. sich gegen die Änderung wehrt mit der Begründung solch einfache Gleichungen kann man auch so, einfach verstehen.

Es geht nicht darum ob man es kann, es geht darum dass es unleserlich ist. Niemand liest sich diesen Artikel durch weil er das Thema schon verstanden hat. Ich kann auch Algos die 1000 Zeichen in einer Zeile haben lesen, es ist nur totaler Krampf.

Hier hatte ich offensichtlich Probleme so sehr dass ich es geändert habe. Ich denke andere haben auch das Problem, deswegen möchte ich es hier thematisieren. Ein alternativer Vorschlag wäre, die Font zumindest so zu ändern das ein einprägsames Muster für das menschliche Auge entsteht, daher das Äquivalenzzeichen so abzuändern dass es sich deutlicher abhebt, weil dies tut es im Moment meiner Meinung nach nicht so dass es leicht zu Missinterpretationen kommt, sowas kostet Zeit und Energie. Warum also nicht Beiträge maximal leserlich gestalten? Außerdem gilt auf Bildschirmen keine Serifen-Schrift.

Ich denke das ist nicht wiki-global durchsetztbar, von daher meiner Meinung nach sollte gelten nicht mehr als drei Gleichungen in einer Zeile. Paul13337 (Diskussion) 17:57, 15. Feb. 2020 (CET)

Ich finde, dein Vergleich hinkt. Das ist kein Programm-Code, auch kein Tafelanschrieb, sondern ein Fließtext, in den Formeln eingestreut sind. Die eigentlich wichtige Umformung ist die des Integrals, die denn auch abgesetzt ist. Aber zugegeben, das ist hier ein grenzwertiger Fall. Ich versuche mal, ob ich das ohne Zeilenumbrüche lesbarer bekomme. Gruß, --Digamma (Diskussion) 19:41, 15. Feb. 2020 (CET)

Variablennamen in der Formel und den Beispielen

Wäre es nicht geschickter, die Variablenbezeichnungen in der Substitutionsformel zu tauschen? In der Formel steht $t$ für die zu substituierende Variable, in den Beispielen ist es jeweils $x$. Jedes Mal, wenn ich mir den Artikel und dann die Beispiele anschaue, bin ich verwirrt, weil ich die Variablen jeweils auf der falschen Seite der Formel suche... --176.198.180.148 14:42, 19. Jun. 2020 (CEST)

Das erscheint mir ganz sinnvoll.--Christian1985 (Disk) 17:21, 19. Jun. 2020 (CEST)