Diskussion:Kardinalzahl (Mathematik)

Ich bin der Meinung, man sollte im Gegensatz zur englischen Wikipedia die Artikel Mächtigkeit und Kardinalzahl getrennt lassen (so wie ich es jetzt angefangen hab), da man Mächtigkeiten auch untersuchen kann, ohne sich auf Kardinalzahlen beziehen zu müssen. Falls jemandem noch Teile eines der beiden Artikel auffallen, die in den anderen Artikel gehören, dann zögere derjenige nicht, sie umzukopieren. --SirJective 13:12, 21. Sep 2003 (CEST)

Für mathematische Tiefflieger wie mich, wären ein Paar Beispiele ganz gut: -> Anzahl der Elemente |B| von B wenn B := {(w_1, w_2) Element von Omega | w_1 < w_2} und Omega = {1, ..., 6}^2 (Würfeln) -> also Ergebnis des 1. Wurfes ist kleiner als das des 2.

Fachlich Falsch

Eine Kardinalzahl ist nicht als Äquivalenzklasse definiert, denn eine Kardinalzahl ist eine Menge, die Gesamtheit aller Mengen einer gewissen Mächtigkeit hingegen ist im Allgemeinen eine echte Klasse (schon die Gesamtheit der einelementigen Mengen ist trivialerweise eine echte Klasse). Historisch steht diese Definitionen in einigen älteren Büchern, in denen man das Mengenkonzept noch nicht so durchdrungen hatte. Jedes moderne Buch definiert sie aber (hoffentlich) anders. Die Mächtigkeit einer Menge ist das Infimum der Ordinalzahlen, zu denen es eine Bijektion mit dieser Menge gibt, und Kardinalzahlen sind genau diejenigen Ordinalzahlen, die Mächtigkeiten sind. Siehe zum Beispiel "Set Theory" von Kenneth Kunen, oder "Einführung in die Mengenlehre" von Oliver Deiser. 91.11.232.161 02:23, 20. Apr. 2009 (CEST)

Das ist richtig. Ich empfinde das als großen Makel dieses Artikels. Möchte einer der ursprünglichen Autoren ihn von Grund auf überarbeiten? -- Carsten Schultz 08:59, 4. Jan. 2010 (CET)

Unverständlich

Der Artikel ist einem Laien völlig unergründlich. Gleich im ersten Satz wird der unbedarfte Leser überrascht mit einer nebulösen Defintion die mehr verwirrt als klärt. Es kommt der Verdacht auf, jede ganze Zahl sei eine Kardinalzahl: "Eins, zwei, drei, ...". Offensichtlich ist der Artikel für Leser, die sich über die Einleitung hinaus wagen, ohne Linkverfolgung überhaupt nicht möglich: "Wie im Artikel Mächtigkeit dargestellt...", "Im Artikel Mächtigkeit wird gezeigt, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.", "Dabei ist X × Y ein kartesisches Produkt...", usw. Zudem ist das Layout grauenhaft. Formeln werden als Einzeiler mit TeX in die Mitte geschrieben und nicht in den Volltext eingebettet. Gruß von einem 12-Schüler mit Mathe-LK, Schaengel89 @me 21:00, 10. Dez. 2006 (CET)

Ab einem gewissen ‘Level’ werden mathematische Artikel einem Laien einfach unverständlich – und transfinite Mengen und die damit einhergehenden dem ‘normalen Hausverstand’ widersprechenden Resultate gehören diesem Level an. Man steht vor der Wahl: entweder erkläre ich’s für Otto Normalverbraucher verständlich, aber unexakt/unvollständig, oder umgekehrt.
Ich finde dieser Artikel hat den zweiten (IMHO besseren) Weg eingeschlagen.
MikeTheGuru 20:12, 25. Jan. 2007 (CET)

Also, eine Diskussion über Verständlichkeit kann man ja meinetwegen führen (ich finde den Artikel diesbezüglich nicht so schlecht, und ich bin keiner der Autoren). Aber gleich die Kategorie "Unverständlich" ist meiner Meinung nach ein wenig heftig reagiert. Ich nehme das jetzt mal zurück. Such doch vielleicht ein paar Mitstreiter, die den Artikel ebenfalls unverständlich finden. Kardinalzahl ist nun einmal (abgesehen vom endlichen Fall, der aber zur Vernschaulichung hier stets auch genannt wird) ein recht abstraktes Konzept.

• 'Wie im Artikel Mächtigkeit dargestellt' - nur meine persönliche Meinung, aber in einem Medium wie Wikipedia muss man wirklich nicht alle Details bei verwandten oder ähnlichen Lemmata wiederholen. Im Gegensatz zum 12-bändigen Goldschnitt im Regal bietet die Wikipedia den referenzierten Artikel nahezu ohne Zeitverzug und körperliche Ertüchtigung.

Einspruch euer Gnaden: Genau das macht ja den Vorteil der Wikipedia aus, daß man jederzeit (in Fachkreisen bekannte) Schlag- und Fachworte verwenden kann, und durch einen entsprechend gesetzten Link auch den nicht-Alleswissern die Möglichkeit bietet sich tiefergehend zu informieren. Die Erwähnung dieser ‘Details’ trägt nicht unwesentlich zum Verständnis des Zusammenhanges dar.
MikeTheGuru 20:12, 25. Jan. 2007 (CET)

• 'Dabei ist X x Y ein kartesisches Produkt' - unverständlich wäre wohl eher, wenn X x Y OHNE den Hinweis, dass es sich um ein kartesisches Produkt handelt.

• 'Zudem ist das Layout grauenhaft' - irrelevant in diesem Zusammenhang

• 'Formeln werden als Einzeiler mit TeX in die Mitte geschrieben' - Formeln kann man mit TeX als Einzeiler in die Mitte schreiben.

Gruß nach Koblenz (und an welcher Schule besuchst Du denn Deinen Mathe-LK - nur persönliches Interesse ?) -- 82.83.97.145 09:37, 22. Dez. 2006 (CET)

"Kardinalzahl" ist ein zutiefst mathematisches und auch sehr abstraktes Konzept (früher hat man Kardinalitäten mit ${\bar {\bar {X}}}$ bezeichnet -- 2 Stricher wegen der "doppelten Abstraktion"). Dass man dabei auf andere Konzepte und somit auf andere Artikel aufbaut, finde ich ganz natürlich.

Es ist übrigens richtig, dass jede nichtnegative ganze Zahl eine Kardinalzahl ist.

--Wuzel 10:51, 22. Dez. 2006 (CET)

Ist schon erstaunlich, was man sich so alles durchlesen muss, wenn man einen Artikel miserabel geschrieben findet und es trotz Willen wegen mangelden Wissens nicht ändern kann! Ich frage mich, was es an der Unverständlichkeit oder Nicht-Unverständlichkeit eines Artikels ändert, wenn es noch mehr Leute gibt, die auf der Diskussionsseite was dazu abdrücken. Vielleicht können wir ja abstimmen, was?

Ich halte meine Kritik nach wie vor aufrecht: Der Artikel ist unverständlich. Dir, 82.83.97.145, Faulheit vorzuwerfen, hätte ich unglaubliche Lust. Bei dir besteht anscheinend (oder vielleich auch nur scheinbar) das Wissen um Kardinalzahlen. Prima! Teil es mit mir! Und bitte sorge dafür, dass eine Verständlichkeit ohne Linkverfolgung gegeben ist, ganz gleich, wie weit ich meinen Arm bewege. Wichtig in diesem Zusammenhang ist doch, dass der Leser nicht unterbrochen wird. Sowas nennt sich Lesefluss (letzter Absatz) und ist ungemein wichtig (ich hab übrigens auch Deutsch-LK).

Auch aus deiner Erklärung zu "X x Y ein kartesisches Produkt" geht mir nicht hervor, was nun ein kartesisches Produkt oder x oder Y noch das Produkt daraus ist. Hier besteht noch Verbesserungsbedarf, liebe IP. Auch die Behauptung, das Layout sei irrelevant, halte ich für verfehlten Humbug. Weiter oben habe ich was zu Verständlichkeit geschrieben. Ruft es euch ins Gedächtnis, und fügt hinzu Verständlichkeit ist nicht in einem gut strukturierten und übersichtlichen Textkörper gegeben (Englisch-LK habe ich übrigens nicht). Oder habt ihr schon mal ein Mathe-Buch ohne Absätze, Bilder, Einschübe, Diagramme und hervorgehobene Textpassagen gesehen? (Sogar im 19. Jahrhundert wussten das schon Mathematiker: siehe hier). Auch die Wikipedia gibt mir Recht: Layout ist "das detaillierte Sichtbarmachen eines gedanklichen Bildes im Sinne eines tatsächlichen Entwurfs" ([1]). Da kann man nicht einfach drüber hinweg sehen.

Zum letzten Punkt: Dort fehlt noch etwas. Etwas ganz Entscheidenes. Man kann Formeln mit TeX als Einzeiler darstellen, wenn man Ahnung hat, wie es hinterher aussehen soll. Es nützt nichts, im Text herumzueditieren ohne zu Ahnung von der Materie zu haben. Da brauch man jemanden, der was davon versteht und der es auch gut erklären kann. Selbst bei solchen Dingen wie Absätzen kann man ne Menge falsch machen, schließlich verändert sich dadurch das Layout - und wie wichtig das ist, wissen wir ja jetzt. Schaengel89 01:27, 30. Dez. 2006 (CET) PS: Meine Schule trägt den Namen eines Nobelpreisträgers

Also man kann doch von einem Artikel über etwas wie die Kardinalzahlen nicht erwarten, dass erstmal alle Grundlagen der Mengenlehre und der Mächtigkeiten ausgebreitet werden, und wenn man es dann liest am besten auch nochmal die Definition des kartesichen Produktes (was man als Schüler der 12ten Klasse auch ohne Mathe-LK wissen müsste ^^). Wenn man alles, was irgendwem irgendwie unverständlich sein könnte, erläutern würde, so bräuchte man die Wikilinks gar nicht mehr. Und sich bei Verständnisfragen eben die angegebenen Lemmata durchzulesen ist hoffentlich auch nicht zu viel verlangt. Naja, lange Rede, ich hab den Baustein mal entfernt. Ich persönlich finde eher, dass der Artikel sogar noch zu laienhaft geschrieben ist, weswegen der Qualitätsbaustein drin bleibt ^^ Werd mir die Seite die Tage vielleicht mal vornehmen und verbessern (und vllt auch die ein oder andere Erklärung mehr mit einbringen ^^) --xand0r112358 02:09, 26. Dez. 2007 (CET)

Ich finde es auch viel zu "hoch". Kardinalzahlen sind sogar wichtig für die Grundschuldidaktik. Vielleicht könnte man da mal drauf eingehen..!

Man muss das ganze auch noch besser in Verbindung setzen mit Ordinalzahlen. --Froop 14:42, 6. Feb. 2008 (CET)

´finde in einem Lexikon folgende Definition, die mir im Gegensatz zu hiesigen Einleitung verständlich erscheint: "In der Mengentheorie ist die Kardinalzahl einer (endlichen) Menge A die Anzahl der Elemente von A (auch: "Mächtigkeit")." Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002), ISBN 3-520-45203-0/Kardinalzahl --Hans-Jürgen Streicher 22:38, 15. Feb. 2008 (CET)

Wen wir schon beim sprachlichen sind: "Eins,... Elemente"? Mein Sprachverständnis sagt mir "Ein Element". Das ist keine Wortklauberei, denn es gibt einen Disput, ob ein Number2Text Konverter (Kardinalzahlen) "1" zu "Ein" oder zu "Eins" konvertieren soll. Wikipedia würde letztere - IMHO falsche - Auffassung stützen. "Eine" wird einfach morphologisch aus "Ein" gebildet.

Verständnis

Wenn die beim Zählen verwendeten Zahlen Kardinalzahlen sind, was genau ist dann der Unterschied zu den natürlichen Zahlen? Der Artikel Natürliche Zahl verweist an keiner Stelle auf den Artikel Kardinalzahl. Die Einleitung dieses Artikels hier sollte erläutern, was der Unterschied zwischen den beiden Begriffen ist. Ich habe auf en: geschaut, dort steht: "cardinal numbers (...) are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets". Was meint generalization (Verallgemeinerung) hier? Wieso bedarf es für die Messung der Größe von Mengen anderer Zahlen als der natürlichen Zahlen? Weil es unendliche Mengen gibt? Sind die Kardinalzahlen die "ins Unendliche fortgesetzten natürlichen Zahlen", oder die "natürlichen Zahlen einschließlich Unendlich"? --Neitram 14:59, 12. Jan. 2011 (CET)

Ich habe dank englischer Wikipedia jetzt einmal die Einleitung hier komplett überarbeitet. Es fehlen hier in der deutschsprachigen Wikipedia leider noch Artikel wie en:Transfinite number und en:Aleph number, auf die man ansonsten in diesem Abschnitt auch gerne verweisen würde. --Neitram 15:18, 12. Jan. 2011 (CET)

Die (im mathematischen Sinne) natürliche Fortsetzung der natürlichen Zahlen ins Unendliche sind die Ordinalzahlen. That said, ist es schlicht so, daß man im endlichen - auch ganz im Sinne der Sprachgrammatiken - Zahlen für zweierlei Dinge braucht, fürs Abzählen (Kardinalzahlen) und fürs Durchnumerieren (Ordinalzahlen). Im endlichen gibt es da keinen Unterschied, außer halt ein anderes Wort dafür. Im unendlichen läßt sich das so nicht durchhalten (warum nicht? weil unendliche Mengen sich bijektiv auf echte Teilmengen abbilden lassen) und dementsprechend sind die Kardinalzahlen die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen in ersterer Funktion.

Dabei ist es so: die natürlichen Zahlen sind Kardinalzahlen, aber halt nicht alle davon.--2001:A61:21E3:1:D9DD:A054:6230:F25C 02:35, 21. Aug. 2015 (CEST)

Verallgemeinerte Kontinuumshypothese

Ist bekannt, ob die verallgemeinerte Kontinuumshypothese aus ZFC in Verbindung mit der gewöhnlichen Kontinuumshypothese folgt oder nicht? --131.159.0.7 15:45, 21. Jan. 2011 (CET)

Es ist bekannt, dass sie nicht folgt. Die gewöhnliche Kontinuumshypothes hat keinerlei Einf luss auf die Kardinalität der Potenzmengen größerer Kardinalzahlen. -- Digamma 21:48, 23. Jan. 2011 (CET)

Grundzahlen

Wenn ich oberflächlich nach diesem Wort eine Websuche initiiere, finde ich das Wort nur im Sinne der Basis eines Stellenwertsystems. In Kombination mit „Kardinalzahl“ werden nur Wikipedia-Kopien gefunden. Was hat es mit dem Wort auf sich, ist das eine historische Bezeichnung? --Chricho ¹ ² 01:08, 15. Apr. 2012 (CEST)

Auf den ersten Blick ist das ein Begriff aus der Sprachwissenschaft: "Grundzahlwort" = "Kardinalzahl", als Wortart. Im Duden steht unter "Kardinalzahl": „(Grundzahl, z. B. null, eins, zwei)“, unter "Grundzahl" steht: „(für Kardinalzahl)“. Auf der BKL Kardinalzahl steht:

Kardinalzahl bezeichnet:

• in der Sprachwissenschaft ein Grundzahlwort, siehe Zahlwort #Grundzahlwörter (Kardinalia)

Ich denke also auch, dass das Wort hier gestrichen werden sollte und werde es gleich mal tun.

Grundzahl ist übrigens eine Weiterleitung auf Stellenwertsystem. --Digamma (Diskussion) 15:36, 15. Apr. 2012 (CEST)

Mein Verständnis

Ich kenne Kardinalzahl eigentlich nur im Zusammenhang Mit Zahlen-und Mengenverständnis von Grundschülern, in dem Sinne, dass die Zahl Drei nicht nur als die dritte Position der Menge N nach der 0 wahrgenommen wird (Ordinalzahlen), sondern auch als Menge, die die Menge Eins und Zwei beinhaltet. Auf diesen Aspekt sollte eingegangen werden. --Belladonna Elixierschmiede 15:27, 17. Aug. 2020 (CEST)

Der letzte Absatz der Einleitung lautet:

"Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer endlich-geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge führt zum Begriff der Ordinalzahl, während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt, die hier beschrieben sind.

Drückt der das nicht aus? --Digamma (Diskussion) 15:32, 17. Aug. 2020 (CEST)

Man könnte dies konkreter fassen, so dass klar wird, dass die 3. die Position nach der 0 innerhalb der natürlichen Zahlen Ordinal ist und Kardinal die Menge von 3 meint. Und man könnte darauf eingehen, dass das Mengenverständnis der 3 (oder welche Zahl auch immer) als Kardinalzahl als Basis für das Verständnis der Mathematik gilt und in der ersten Klasse erworben werden soll. Und dass das Fehlen dieses Verständnisses als Grundlage für die Einstufung Dyskalkulie, Rechenschwäche etc. gilt.--Belladonna Elixierschmiede 16:09, 17. Aug. 2020 (CEST)

Dyskalkulie im „Kopf“ des Artikels

Ich habe mit der Erwähnung der Dyskalkulie im Kopf des Artikels starke Bauchschmerzen.

1. Die Aussagen ist IMHO weder trivial noch wird sie belegt. Aus mathematisch/logischer Sicht damit falsch. Daher habe ich den Beleg Mangel vermerkt.
2. Die Thematik wird im Bauch des Artikels nicht erneut aufgegriffen und erläutert. Daher gehört sie IMHO auch nicht in den Kopf des Artikels.

Ich schlage vor das man sie aus dem Kopf des Artikels auch entfernt.

--H.-Dirk Schmitt 16:37, 8. Jul. 2022 (CEST)

Ich sehe auch nicht, was die Dyskalkulie hier zur Sache tut und habe sie entfernt. Siehe Artikel!--Schojoha (Diskussion) 21:02, 8. Jul. 2022 (CEST)

Die Mächtikeit

wird hier nicht gut beschrieben. Mir fehlt etwa der Begriff Abzählbarkeit.--Fachwart (Diskussion) 00:28, 22. Jul. 2022 (CEST)