Diskussion:Kompaktheit (reelle Zahlen)

Anfänge

Den Redirect zum komkten Raum habe ich herausgenommen, denn ich denke, es ist so für Schüler und Studenten (der ersten Semester) einfacher zu verstehen, als sich erst in die Welt der Topologie einzulesen. Es sollten noch Beispiele Folgen hinzugefügt werden. --Impuls 14:09, 23. Jan 2006 (CET)

• Ich dachte, dass die Definition zu Kompaktheit schon das mit der offenen Überdeckung und der endlichen Teilüberdeckung ist. Erst durch Heine-Borel wird die Äquivalenz der Definition mit kompakt = abgeschlossen und beschränkt gezeigt. Es wäre nett, wenn z.B. Peter Steinberg mich aufklären könnte. MFG --K.Dingiling 00:01, 15. Mär. 2007 (CET)

Das ist richtig. Eine Menge heißt kompakt (kurz), wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Der IR^n oder IC^n sind Spezialfälle, in denen nach dem Satz von Heine-Borel die Aussage der Kompaktheit der Menge äquivalent dazu ist, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist. Das ist jedoch nicht (!) die Definition von Kompaktheit, sondern eigentlich ein Sonderfall. -- Borelspace 20:07, 29. Apr. 2009 (CEST)

K.Dingiling schrieb 00:11, 15. Mär. 2007 (CET) auf meine Diskussionsseite:

Guten Abend, hab mal was zu deinem Revert auf die Diskussionsseite geschrieben. Bin mir nicht sicher, ob das was du für die Definition ausgibst, auch eine ist. Wie hast du das mit der TU Wien gemeint. War die Definition dort rauskopiert?? Grüße --K.Dingiling 00:11, 15. Mär. 2007 (CET)

Mal vom Einfachen zum Schwierigen:

1. Die TU Wien taucht am 17.2. in der Zeile „Zusammenfassung und Quellen“ auf. Rauskopiert oder nicht, darum geht es mir nicht; ich nehme aber an, dass die Formulierung in der Sache richtig ist.
2. Das heißt aber noch lange nicht, das man das so in eine Enzyklopädie schreiben kann! Dafür müsste sie einem gebildeten Laien oder - um die Ansprüche herabzuschrauben - einem mathematisch gebildeten Laien einen Erkenntnisgewinn ermöglichen. Bei der Version von 82.218.36.20 ist das nicht der Fall.
   
   Wikipedia ist kein mathematisches Fachbuch (und auch kein anderes Fachbuch). Dafür gibt es wikibooks.
3. "Was ich für die Definition ausgebe" taucht in der Version vom 17.2. „Definition nach Heine-Borel“ auf. Auch 82.218.36.20 geht also davon aus, dass es eine ist, und zwar eine zu der von ihm gegebenen äquivalente, und auch dein (K.Dingilings) Diskussionsbeitrag ist doch so zu verstehen. Dann ist es aber prinzipiell gleichgültig, welche der beiden Formulierungen als „Definition“ und welche als „Satz“ angesehen wird. Unter gewissen fachsystematischen Gesichtspunkten mag es angebracht sein, von der endlichen Teilüberdeckung auszugehen. Für eine Enzyklopädie ist m.E. nur die mit „beschränkt und abgeschlossen“ geeignet.

-- Peter Steinberg 23:33, 15. Mär. 2007 (CET)

Wenn ich mich richtig entsinne dann sind die beiden Definitionen (also "abgeschlossen und beschränkt" und "jede offen Überdeckung...") für Endlichdimensionalen Vektorräumen äquivalent (also z.B. für die reellen und komplexen Zahlen). -- Flo 15:18, 13. Feb. 2008 (CET)

Als ich dies vor etwa einem Jahr geschrieben habe, war im Artikel überhaupt nur von der Kompaktheit einer Menge reeller Zahlen die Rede. Was für unendlichdimensionale Vektorräume gilt, hätte man dort eventuell ergänzen können. Jetzt herrscht hier IMHO ein ziemliches Chaos. -- Peter Steinberg 00:31, 15. Feb. 2008 (CET)

Kompaktheit & komplexe Zahlen

Heine Borel gilt auch im Komplexen [vgl die üblichen Bücher zur "Funktionentheorie", etwa von Timman]. Eine Beschränkung auf rein "reelle Zahlen" ist daher m.E. nicht notwendig. --132.187.253.24 19:26, 23. Jul. 2007 (CEST)

Folgenkompaktheit

Die Verneinung "keine Folgen" verwirrt mich irgendwie. Kann man das nicht umschreiben in "Alle Folgen, die konvergieren ..." oder so etwas?--129.132.210.150 11:51, 10. Jan. 2008 (CET)

Die Definition von Folgenkompaktheit, die ich kenne lautet wie folgt:

eine Menge M ist Folgenkompakt, wenn jede Folge in M eine konvergente Teilfolge hat.

das ist zwar viel weniger anschaulich, dafür fällt das "keine Folgen" raus. Mit der Definition die da steht stimmt mathematisch gesehen eh was nicht, wenn die "Zahlenfolge" konvergiert, aber der Grenzwert nicht in der Menge liegt, dann müssten wir ja die Menge schon als Teilmenge einer anderen gegeben haben, oder? Außerdem bin ich ziemlich sicher, dass das Wort "Zahlenfolge" in dieser Definition nichts zu suchen hat. -- Flo 15:06, 13. Feb. 2008 (CET)

@ „die Menge schon als Teilmenge einer anderen gegeben“: Klar, als das formuliert wurde, war ja auch nur von Teilmengen der reellen Zahlen die Rede. Inzwischen waren eine Reihe von Leuten am Werk, die alles immer noch genauer sagen wollten. Das Ergebnis mag entwirren, wer mag (vielleicht ich, irgendwann). -- Peter Steinberg 00:31, 15. Feb. 2008 (CET)

Falsches Lemma

Dieser Artikel beschreibt leider nicht den Begriff "kompakte Menge", sondern den Begriff "kompakte Teilmenge der reellen Zahlen" und sollte -- da aus irgendeinem Grund der Redirect auf Kompakter Raum nicht gewünscht ist -- dorthin verschoben werden. - Xorx77 21:01, 6. Okt. 2008 (CEST)

Daran hat sich übrigens nach über 4 Jahren nicht wirklich was geändert. Es geht immer noch um kompakte Teilmengen der reellen Zahlen und nicht umm den allgemeineren Begriff einer kompakten Menge. --Thidrek (Diskussion) 19:01, 13. Nov. 2012 (CET)

Au-weh. Natürlich muss hier ein anderes Lemma her, das sofort erkennen lässt, dass es sich nur um einen Spezialfall handelt. Ich habe einige Links auf diese Seite nach Kompakter_Raum umgebogen. Die noch verbliebenen Links können meiner Meinung nach so bleiben, da es sich dort stets um kompakte Teilmengen des R^n handelt, auch wenn das mit steigender Anspruchshöhe der Artikel zweifelhaft ist. Wenn kein begründeter Einspruch kommt, werde ich eine entsprechende Verschiebung vornehmen. --FerdiBf (Diskussion) 18:12, 30. Nov. 2012 (CET)

Ich schließe mich der Meinung an, dass diese Artikel verschoben werden sollte. Wie wäre es mit Kompakte euklidische Teilmenge oder Kompakte reelle Teilmenge? Dann könnte man hier im vgl. zu obigem Vorschlag noch den Fall $\mathbb {R} ^{n}$ mit abhandeln.--Christian1985 (Disk) 09:38, 13. Feb. 2013 (CET)

+1. Falsches Lemma. Der Gedanke, Kompaktheit leichter verständlich zu formulieren, ist letztlich ja richtig. Meiner Ansicht nach ist "Kompaktheit (Reelle Zahlen)" der richtige Name.--Frogfol (Diskussion) 18:39, 21. Mär. 2014 (CET)

Die Verschiebung ist nun gemacht, als neues Lemma habe ich Frogfols Vorschlag beherzigt. --FerdiBf (Diskussion) 17:06, 12. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe alle Links (außer Diskussions- und Benutzerseiten) angepasst, d.h. entweder auf Kompakter Raum oder auf diese verschobene Seite geändert. Da viele Links auf "Kompakte Menge" wohl unabsichtlich waren, werde ich die noch bestehende Verlinkung "Kompakte Menge" --> "Kompaktheit (Reelle Zahlen)" ebenfalls ändern, damit nicht wieder neue unabsichtliche Links entstehen.--FerdiBf (Diskussion) 17:45, 12. Apr. 2014 (CEST)

Ich denke, Klammerlemmata sind für diesen Fall nicht gedacht. Klammerlemmata braucht es, wenn mehrere verschiedene Dinge mit ein und demselben Wort bezeichnet werden. Hier geht es aber nur um ein Ding (nämlich den Begriff der Kompaktheit/des kompakten (Teil)raums), wobei hier ein Spezialfall dargestellt wird. Ein richtiges Lemma erschiene mir etwa Kompaktheit im Euklidischen Raum. --Chricho ¹ ² ³ 17:53, 12. Apr. 2014 (CEST)

Die hier vorliegende Darstellung der "Kompaktheit" ist ja sehr elementar und soll Schülerniveau treffen, das ist wohl die einzige Existenzberechtigung dieses Artikels. Dann sollte der Titel auch elementar sein. Ein mathematisch nicht sehr versierter Leser wird wahrscheinlich auch den Begriff des euklidischen Raums nicht kennen und dann nicht das finden, was er sucht. Auf der BKS Kompakt gibt es bereits Klammerlemmata, daher finde ich das Klammerlemma sogar passend. --FerdiBf (Diskussion) 18:04, 12. Apr. 2014 (CEST)

Ich denke, der Artikel gehört auch nicht in die BKS, solche Seiten sind nämlich nicht zur Auflistung von Spezialfällen gedacht. --Chricho ¹ ² ³ 02:10, 13. Apr. 2014 (CEST)

Mein Herz hängt nicht an diesem Artikel, aber der Titel sollte schon deutlich machen, dass es sich hier um einen elementaren Spezialfall handelt, damit nicht aus Versehen wieder neue Links auf diese Seite entstehen, die eigentlich den korrekten Kompaktheitsbegriff ansteuern wollen (davon gab es sehr viele). (1) Wie wäre es mit "Kompaktheit in den reellen Zahlen" oder "Kompakte Mengen reeller Zahlen"? Dann enthält der Titel nur elementare Begriffe, kann also von den beabsichtigten Lesern gefunden werden, und macht deutlich, dass es nicht der allgemeine Kompaktheitsbegriff ist. (2) In der BKS sollte der Artikel meiner Meinung nach schon verbleiben, da er sonst seine Leser nicht so leicht finden kann und damit überflüssig würde. Das bringt mich zu (3): Man kann als brutale Lösung in allen nach hierhin verlinkenden Artikeln "kompakt" durch "abgeschlossen und beschränkt" ersetzen und dann diesen Artikel löschen, auch das löst das Lemmaproblem, in anderen wikis scheint es analoge Artikel ohnehin nicht zu geben. Die beabsichtigten Leser werden dann an zwei Artikel, nämlich "abgeschlossene Menge" und "Beschränktheit", verwiesen, was zu verhindern wohl Absicht der Autoren war. Sollte jemand pro (3) eingestellt sein, dann sollten wir das nicht unter "Falsches Lemma" diskutieren, sondern einen neuen Diskussionspunkt aufmachen.--FerdiBf (Diskussion) 08:30, 13. Apr. 2014 (CEST)

Neben meinem obigen Vorschlag Kompakte reelle Teilmenge finde ich auch Kompakte Menge reeller Zahlen ganz gut. Das jetztige Lemma mit der Klammer finde ich nicht so gut aus den bereits angeführten Gründen. Ich könnte mir aber auch eine Zusammenlegung dieses Artikel mit Kompakter Raum vorstellen. Der Artikel Kompakter Raum müsste dann besser strukturiert werden und man müsste ihn mit dem Spezialfall der reellen Zahlen starten.--Christian1985 (Disk) 08:37, 13. Apr. 2014 (CEST)

Mit Kompakte Menge reeller Zahlen kann ich mich auch anfreunden. Bei einer Zusammenlegung bin ich skeptisch. Abgeschlossene und beschränkte Mengen kann man auf Schulniveau erklären und das Adjektiv "kompakt" wird dort höchstens als Abkürzung für "abgeschlossen und beschränkt" verwendet, falls überhaupt. Allgemeine Kompaktheit hingegen ist ein deutlich abstrakterer Begriff. Die Autoren des hier vorliegenden Artikels haben wahrscheinlich genau das als Grund für einen eigenen Artikel gesehen. Der Artikel Kompakter Raum beginnt ja mit "Kompaktheit in euklidischen Räumen" und motiviert daraus den allgemeinen Begriff, viel mehr kann man dazu nicht sagen. Ich bin daher für eine Verschiebung nach Kompakte Menge reeller Zahlen.--FerdiBf (Diskussion) 13:03, 13. Apr. 2014 (CEST)

Abgeschlossen beinhaltet beschränkt

Abgeschlossen beinhaltet beschränkt, eine abgeschlossene Menge ist auch immer beschränkt. Wieso werden mathematisch korrekte Änderungen von Leuten, die davon scheinbar nichts verstehen, korrigiert und gelöscht. Ich bitte um Änderung! 07.02.2013(nicht signierter Beitrag von 84.63.143.200 (Diskussion) 15:15, 7. Feb. 2013 (CET))

Hallo! Es geht hier nicht (nur) um abgeschlossene Intervalle – diese sind stets beschränkt – sondern allgemeine abgeschlossene Teilmengen (schau dir den Artikel dazu doch mal an) der reellen Zahlen (oder allgemeiner des $\mathbb {R} ^{n}$). Beispiele für abgeschlossene Mengen, die nicht beschränkt und somit nicht kompakt sind, sind zum Beispiel die Menge $\mathbb {R}$, die Menge $\mathbb {Z}$ oder die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Sei mit solchen Vorwürfen bitte etwas vorsichtiger. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 15:23, 7. Feb. 2013 (CET)