Diskussion:Kongruenz (Zahlentheorie)

Wenn jetzt von so abstrakten Artikeln wie Faktorring auf die Kongruenz verwiesen wird, dann sollte dieser Artikel doch auch auf diese Verallgemeinerung eingehen, oder? Also z.B. Nebenklassen eines Ideals, oder Nebenklassen einer Untergruppe. Diese Begriffe sollten natürlich auch ausführlich in Artikeln über Ideale und Untergruppen erklärt werden. --SirJective 11:56, 25. Sep 2003 (CEST)

Umbennen in modulare Arithmetik (en:Modular_arithmetic) ? --Rrdd

Eher nicht. Dieser Artikel behandelt ja den Kongruenzbegriff der Zahlentheorie. Vllt. sollten wir zusätzlich einen Artikel haben, die die Verallgemeinerungen behandelt. Kongruenzrelation geht in diese Richtung. Man sollte die Verlinkung des Wortes "modulo" in den Artikeln, wo es nicht um Z geht, entweder entfernen (z.B., wenn direkt daneben der Link auf Äquivalenzklasse steht) oder auf Kongruenzrelation umändern. --SirJective 14:12, 30. Jan 2004 (CET)

Dieser Artikel wurde zusammen mit Modulo als Doppeleintrag eingesetuft. Beim Überfliegen schienen mir die Artikel allerdings eher vergleichsweise unterschiedlich zu sein, die Kongruenz in der Zahlentheorie baut lediglich auf Modulo auf, ist jedoch ein eigenständiges Thema, ähnlich wie die Multiplikation auf der Addition aufbaut. Modulo ist eine Operation und liefert genau das Element der Kongruenzmenge, welches den kleinsten absoluten Betrag hat. Jemand, der für die Informatik nach Modulo sucht, will wohl kaum eine Beschreibung der Kongruenzmengen finden, umgekehrt will jemand, der nach Kongruenzmengen sucht, wohl kaum erstmal eine Beschreibung von Modulo sehen, die kennt er meist wohl schon. Ich finde also nicht, dass es sich um einen Doppeleintrag handelt. --ChristianHujer 20:29, 8. Apr 2005 (CEST)

Der Artikel Modulo definiert die mod-Operation nicht. Er beschreibt auch keine Eigenschaften der mod-Operation, sondern benutzt sie, um den Kongruenzbegriff zu erklären. Man könnte die Artikel besser differenzieren und aus Modulo tatsächlich einen Artikel über die mod-Abbildung machen. Ich weiß allerdings nicht so genau, was es da zu sagen gibt, also mach' ruhig mal. (Die Definition mit dem kleinsten Betrag möchte ich allerdings anzweifeln: 8 mod 3 ist 2 und nicht −1.)-- Gunther 15:22, 9. Apr 2005 (CEST)

Erledigt. Modulo verweist auf Modulo (Rest) und Kongruenz (Zahlentheorie). Phrood 13:10, 14. Mai 2005 (CEST)

Vielleicht bin ich zu dumm um es zu verstehen, schließlich hab ich diesen Artikel auch aufgerufen um mich darüber schlau zu machen, was Kongruenz überhaupt ist, aber mir leuchtet das elementare Beispiel in der Einleitung nicht ein: " -8 : 6 = -2 Rest 4 " Minus acht geteilt durch sechs gibt doch minus eins Rest zwei, wenn ich so rechne wie ich es gelernt habe. Kann das bitte jemand in dem Artikel näher erläutern, oder berichtigen. Es sollte doch schließlich in erster Linie denjenigen verständlich gemacht werden, die keine Ahnung von Kongruenz haben, und nicht denen, die sowieso schon wissen, was Kongruenz ist. Danke im voraus. --anonym 26.Okt. 2011 (nicht signierter Beitrag von 149.172.58.157 (Diskussion) 02:36, 26. Okt. 2011 (CEST))

Wertebereich von m

Müsste der nicht irgendwo angegeben werden? Was ist z.B. mit m=0? Gruß, DocEW ( --131.246.191.181 09:44, 22. Mai 2007 (CEST) )

Stimmt, erledigt.--KMic 08:35, 15. Jul. 2011 (CEST)

Weitere Frage

Müßte es bei Beispiel 1 nicht heißen:

$3^{222}=3^{2\cdot 111}\equiv (-1)^{111}\mod 10\equiv -1\mod 10\equiv 9\mod 10$

anstatt

$3^{222}=3^{2\cdot 111}\equiv (-1)^{111}\equiv -1\equiv 9\mod 10$

Wenn die hier angewendete Schreibweise korrekt ist, wäre es vielleicht ganz sinnvoll darauf im Artikel einzugehen.

Nein, das ist korrekt (d.h. üblich) so. Das "mod" ist eine Art erläuternder Zusatz.--Gunther 17:51, 2. Dez 2005 (CET)

Noch ne Frage...

Müsste es bei dem Beispiel | ${\overline {a+c}}={\bar {a}}+{\bar {c}}$ | Addition

nicht heißen ${\overline {a+c}}={\overline {{\overline {a}}+{\overline {c}}}}$ oder täusche ich mich da?

die folgendne beispiele wären dann auch falsch.. Acid47 14:56, 14. Jan 2006 (CET)

Nein, der Querstrich bedeutet nicht "Rest", sondern Restklasse. Die Gleichung ${\overline {a+c}}={\bar {a}}+{\bar {c}}$ ist die Definition des Pluszeichens auf der rechten Seite, siehe Restklassenring.--Gunther 15:09, 14. Jan 2006 (CET)

Okay, aber woraus kann ich dannd ie Formel [(a+b)modm)=[amodm+bmodm]modm herleiten? mit meiner "ansicht" wäre das gegangen und der zusammenhang stimmt auch..suche nur die herleitung :-) Acid47 15:23, 14. Jan 2006 (CET)

Jede Zahl ist kongruent zu ihrem Rest, und der Rest ist die einzige Zahl zwischen 0 und $m-1$ mit dieser Eigenschaft. In Deiner Formel sind beide Seiten kongruent zu $a+b$ modulo $m$, und beide Seiten liegen zwischen 0 und $m-1$, also sind sie gleich.--Gunther 15:29, 14. Jan 2006 (CET)

Schreibweise a≡b (m)

Jemand hat die Schreibweise a≡b (m) angegeben. Gibt es für diese Belege? (Abgesehen von Vorlesungsskripten.) --Squizzz 18:17, 26. Jun 2006 (CEST)

Bücher zur Zahlentheorie? Z.B. Remmert/Ullrich, Elementare Zahlentheorie, Birkhäuser 1987.--KMic 08:38, 15. Jul. 2011 (CEST)

$(m)=m\mathbb {Z}$ ist das von $m$ erzeugte Hauptideal ($\mathbb {Z}$ ist bekanntlich ein Hauptidealring). Anstelle von $a\equiv b\mod m\mathbb {Z}$ könnte man also auch noch $a\equiv b\mod (m)$ schreiben. Die verschiedenen Schreibweisen bedeuten im Grunde nichts anderes als $a-b\in (m)=m\mathbb {Z}$, also $a-b=m\cdot n$ für ein $n\in \mathbb {Z}$. Siehe auch: Modul (Mathematik)#Ringideale --RPI (Diskussion) 14:42, 9. Okt. 2018 (CEST)

Das ist aber anachronistisch. Die Schreibweise mit den Klammern dient nicht dazu, das erzeugte Hauptideal anzugeben, sondern nur dazu, den Modulus zu kennzeichen. Entsprechend schreibt meines Wissens kein Zahlentheoretiker $a\equiv b\mod m\mathbb {Z}$, sondern nur $a\equiv b\mod m$. --Digamma (Diskussion) 17:26, 9. Okt. 2018 (CEST)

mathematisches Teilgebiet der Zahlentheorie?

"Die Kongruenz ist im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ..."

Frage: Aus welchen nichtmathematischen Teilgebieten besteht denn die Zahlentheorie?

Muss es nicht richtig lauten:

"Die Kongruenz ist im zahlentheoretischen Teilgebiet der Mathematik ..." oder auch "Die Kongruenz ist im mathematischen Teilgebiet Zahlentheorie ..." ?

Ich habe es angepasst. Allerdings würde ich mich freuen, wenn jemand im neuen Einleitungssatz ein Synonym für „zählende“ finden könnte. --Stefan Birkner 08:50, 15. Feb. 2008 (CET)

"gehörende" ?

Wobei natürlich fraglich ist, ob es jemanden gibt, der die Zahlentheorie nicht zur Mathe zählt, also ob der Bezug zur Mathe nicht überflüssig ist?

An gehörende habe ich auch schon gedacht. Allerdings war ich mir nicht sicher, ob das hochsprachlich in Ordnung geht. Ein OMA-Leser weiß vielleicht nicht was Zahlentheorie ist. Es könnte sich ja um so etwas wie Zahlenmystik handeln. --Stefan Birkner 21:22, 15. Feb. 2008 (CET)

Unverständlich

Im Abschnitt Lösbarkeit von Kongruenzen werden „dubiose“ Aussagen über „simultane Kongruenz(en)“ gemacht. Dubios? Nun, zunächst ist unklar, wieso genau drei dieser Zeilen exakt eine Lösung haben sollen (was, wenn man dem Link zum Chinesischen Restesatz folgt, gleich bestritten wird, da es – dort – auch keine Lösung geben kann). Was haben die drei Zeilen denn, abgesehen von ihrer „typografischen Ähnlichkeit“, miteinander zu tun? Wieso nicht (vgl. Chinesischer Restsatz) 197 oder … 42? Nimmt man sich die (vermeintliche) Freiheit, die „as“ mit 1, 2 und 3, die „ms“ mit 4, 5 und 6 zu besetzen, dann kommt genau eine Lösung heraus? Eine, die obendrein die gleiche (oder doch nur selbe?) ist, als wenn man dafür 9, 15, 7 sowie 13, 13 und 13 einsetzt? Überhaupt: die Lösung für was?

(Ja, ich habe mich hier und jetzt und außerdem mit Absicht „naiver“ gestellt, als es hätte sein müssen. Aber wenn es schon Kopfzerbrechen bereitet, die „Frage“ zu verstehen – kann dann der betreffende Text dann hier relevant sein? So scheint er mir jedenfalls nicht mal als Fragestellung im Zusammenhang zu einer Mathematik-Prüfung geeignet zu sein.)--87.163.109.146 23:20, 27. Mär. 2010 (CET)

Zweites Beispiel

Im zweiten Beispiel des Artikels wird gesagt, dass -8 und 10 kongruent wären modulo 6. Übersehe ich da etwas ganz Essentielles (ich bin Laie auf dem Gebiet) oder ist die Gleichung -8 / 6 = -2, Rest 4 falsch? Denn wenn man hier keinerlei Bedingung davorsetzt, müsste -8 / 6 doch -1, Rest 2 ergeben und -16 wäre der gesuchte Dividend, der geteilt durch sechs -2, Rest 4 ergibt. Demnach wären -8 und 10 auch nicht kongruent modulo 6, -16 und 10 aber schon. --82.58.60.66 20:52, 17. Aug. 2011 (CEST)

Alle Zahlen mit einem Abstand zueinander, der dem Vielfachen von p entspricht, sind kongruent modulo p.

Oder ganz anders: Die Vielfachen von 6 rund rund um -8 sind -6 und -12. Man kommt also von -8 aus zu einem Vielfachen von 6, indem man 2 addiert, oder 4 subtrahiert. Dasselbe gilt für 10. Deswegen sind die kongruent modulo 6. --Daniel5Ko 23:55, 17. Aug. 2011 (CEST)

Es gilt -8 = -2 · 6 + 4 und -8 = -1 · 6 - 2. Der Rest beträgt also, je nach Definition 4 oder -2. -- Digamma 19:54, 19. Aug. 2011 (CEST)

Einleitung

Der erste Satz lautet:

Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen drei ganzen Zahlen.

Ich halte es für irreführend, die Kongruenz als Beziehung zwischen drei Zahlen zu bezeichnen. Ich würde sie als Beziehung zwischen zwei Zahlen bezeichnen, die durch eine dritte Zahl, den Modul, definiert wird. --Digamma (Diskussion) 09:40, 7. Mär. 2014 (CET)

Letztlich sind drei Zahlen involviert, insofern stimmte die Aussage. Andererseits hast du natürlich Recht. Aber die genaue Beziehung wird im Satz später definiert. Ich hab einfach die "drei" gestrichen. So OK? --Frogfol (Diskussion) 16:37, 7. Mär. 2014 (CET)

Ja, klar. Auf diese einfache Lösung hätte ich eigentlich selber kommen können. Aber manchmal ist man blind. --Digamma (Diskussion)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 19:59, 7. Mär. 2014 (CET)

Anwendungen

>"Kongruenzen bzw. Restklassen sind oft hilfreich, wenn man Berechnungen mit sehr großen Zahlen durchführen muss."

Gibt es dazu auch Verweise oder Quellenangaben ?

37.4.67.248 22:52, 26. Jan. 2016 (CET)

Visualisierung der Gleichungen a = b(mod m) ist möglich.

Hallo,

Ich konnte die Gleichung a = b(mod m) "für alle a,b,m" visualisieren. Achtung: der vorherige Satz ist streng genommen ein wiederspruch da es ja unendlich viele a,b,m gibt. deswegen kann man nicht alle visualisieren. Ich lasse den Satz trotzdem so stehen und spezifiziere: Ich habe ein dreidimensionales farbiges Modell aus Karton gebaut und die ersten Tripel a,b,m im R^3 visualisiert. Es ist aus diesem "Ding" abzusehen dass es sich regelmäßig fortsetzt sodass man es als "Kristallisationskeim" für dass ganze Objekt (daß natürlich unendlich ist) nehmen/ansehen kann. Beispiel wie ich dass meine: Sieht man eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche von oben während deren Grundfläche in einem Nebel verborgen liegt, kann man erraten dass der Körper den man sieht pyramidenförmig ist obwohl man den Boden der Pyramide nicht direkt sieht. Ziemlich ähnlich verhält es sich bei meinem Kartonmodell

Haltet ihr es für ratsam dies hier zu integrieren? Anmerk: Ich habe mich glaube ich auf die rationalen zahlen beschränkt. geht a = b(mod m) auch in den komplexen zahlen und anderen Zahlenbereichen? Wenn ja wie könnte man daß visualisieren?

Hilbert

@Digamma Was bitte ist hier kein Beleg? Man (David Hilbert) sagt einfach auch: Eine Zahl $a$ heißt kongruent $b$ nach dem Ideal $(m)$ und schreibt kurz: $a\equiv b,(m)$. Dass diese Sprech- und Schreibweise eventuell etwas älter und derzeit nicht mehr in Mode ist, bestreite ich nicht. Aber so versteht man dies wenigstens intuitiv. --Ralf Preußen (Diskussion) 14:27, 25. Jul. 2020 (CEST)

"Das ist kein Beleg": Damit meinte ich vor allem, dass man Belege so nicht angibt. Du musst das schon hier im Artikel als Einzelnachweis einbringen, aber nicht, indem du "David Hilbert" auf die entsprechende Fußnote im Artikel David Hilbert verlinkst. Dann: Ich habe die Stelle in dem verlinkten Artikel nicht gefunden. Da bräuchte es schon eine genauere Angabe.

Ich glaube gerne, dass man in der Ringtheorie diese Sprechweise verwendet. Und auch, dass Hilbert das in dem Artikel tut. Das ist aber etwas anderes als "Man sagt einfach auch ...". Zumal das eben nicht einfacher ist als "modulo" zu sagen. Das Besondere am ringtheoretischen Zugang ist doch, dass man das verallgemeinern kann. Aber dann muss man auch sagen, dass es hier um Ringtheorie geht und was Ideale sind. "Ideal" ist nicht einfach nur eine andere Sprechweise für "modulo". Die Schreibweise $a\equiv b(m)$ (bist du sicher, dass da nach dem $b$ ein Komma stehen soll?) wird auch mit der Sprechweise "$a$ kongruent zu $b$ modulo $m$" verwendet. --Digamma (Diskussion) 17:48, 25. Jul. 2020 (CEST)

Ja OK, aber dann bitte selbst wie genehm umformulieren / verschieben, bspw. in: In der Ringtheorie verwendete man anfangs auch die Sprechweise ... Und natürlich kann die verlinkte Ref. zu Hilbert auch hier direkt rein, aber ich fand das mit dem Link geeigneter, weil man da gleich bei Hilbert ist, welcher dieses grundlegende Werk: (genannt) "Zahlbericht" verfasste. --Ralf Preußen (Diskussion) 17:59, 25. Jul. 2020 (CEST)

Wo genau steht das denn bei Hilbert. Es reicht nicht, dass Hilbert etwas geschrieben hat, damit wir hier schreiben: Man kann das auch so nennen. Oder früher hat man das auch so genannt. Es geht schon gar nicht um "anfangs". Sondern eher darum, dass "Kongruenz" zunächst ein Konzept der elementaren Zahlentheorie ist und nicht der algebraischen. Man kann das zwar auf Ringe verallgemeinern und auch vom Standpunkt der Ringtheorie aus betrachten (ist es das, was Hilbert tut?), aber das ist dann doch etwas anderes. Und wie gesagt: Ideale sind ein eigenständiges Konzept der Ringtheorie, nicht einfach eine Sprechweise der Zahlentheorie. Wenn die Arbeit von Hilbert etwas hergibt für diesen Artikel, dann kann es möglicherweise hier auch rein. Aber nicht also so eine für sich genommen sinnlose Bemerkung in der Einleitung. --Digamma (Diskussion) 18:09, 25. Jul. 2020 (CEST)

Sorry, das steht in §4 auf S.183ff (der neue Link ist downloadbar und ein suchbares PDF). Hier im WP verweist der Satz davor doch auch auf die Ringtheorie mit: Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. Hilbert geht allgemein von ganzen algebraischen Zahlen aus, kommt zu den Idealen und führt den Zahlring erst viel später ein in §34. --Ralf Preußen (Diskussion) 18:59, 25. Jul. 2020 (CEST)