Diskussion:Körper (Algebra)

Werde die Teile über endliche Körper auslagern in den (bereits aus en übersetzten) Artikel endlicher Körper, da es zu endlichen Körpern mehr zu sagen gibt, als das was hier steht.

Sollte man nicht den Begriff Restklassenring in einen eigenen Artikel legen, denn es gibt ja genug solcher Ringe, die keine Körper sind. Alternativ könnte ich den Artikel Ideal (Ringtheorie) erweitern, um alle Faktorringe zu erfassen (wie im englischen Artikel). --SirJective 15:00, 17. Aug 2003 (CEST)

Schiefkörper

Stimmt das mit den Schiefkörpern wirklich? Warum gibt es den Begriff Schiefkörper bzw Körper, wenn alle Körper Schiefkörper sein sollen?

Nicht jeder Schiefkörper ist ein Körper.--MKI 18:14, 15. Feb 2005 (CET)

Es gibt zwei verschiedene Definitionen füer einen Körper:

1. Die multiplikative Gruppe (K*, ^. ) ist nicht (zwingend) kommutativ.
2. Die multiplikative Gruppe (K*, ^. ) ist zwingend kommutativ.

Zur besseren Unterscheidung verwenden viele Mathematiker den Begriff "Schiefkörper" für 1.) und den Begriff "kommutativer Körper" für 2.), sowie den Begriff "Körper" allgemein, wenn die Kommutativität nicht von Bedeutung ist! 79.233.237.69 14:41, 4. Feb. 2010 (CET)

0*x = 0 ???

Ich behaupte mal, dass die 4 Eigenschaften

• sei $K$ eine Menge mit zwei Verknüpfungen + und *
• $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $0$ bezeichnet wird
• $(K\setminus \{0\},*)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $1$ bezeichnet wird
• es gilt das $a*(b+c)=a*b+a*c$

nicht ausreichen, um $0*x=0$ zu zeigen.

1. Zunächst kann man leicht zeigen x*0 = 0. Beweis: x*(0+0) = x*0 + x*0 = x*0, d.h. x*0 = 0.

Verwendet wurden: Distributivgesetz, 0 als neutrales Element der Addition, und Existenz des additiv Inversen.

2. Es wäre jetzt ein logischer Fehler mit x*0 = 0*x zu argumentieren. $(K\setminus \{0\},*)$ ist nämlich eine abelsche Gruppe --- Betonung auf ohne die 0.

Na, was meint ihr?

--DFG 15:17, 14. Nov 2005 (CET)

Das ist wohl wahr. Beispiel: Ändere die Multiplikation in $\mathbb {R}$ ab, indem man $0\cdot x=x$ setzt (ansonsten wie üblich).--Gunther 15:23, 14. Nov 2005 (CET)

Und wie sollen wir es fixen? Mir fallen mehrere Möglichkeiten ein. --DFG 15:30, 14. Nov 2005 (CET)

Vorläufig ist es schon behoben, aber mir missfällt diese Begriffshäufung. "Monoid" ist ein ziemlich unwichtiger Begriff, jedenfalls im Vergleich zu "Körper" oder "abelsche Gruppe". Vorschlag:

• Liste expliziter Axiome
• Definition als spezielle Ringe
• additive Gruppe, multiplikative Gruppe

--Gunther 15:35, 14. Nov 2005 (CET)

Der Fehler war ja auch erst seit gut drei Jahren im Artikel... :-( --Gunther 15:38, 14. Nov 2005 (CET)

Vorschlag: Eine Menge K mit 2 kommutativen Verknüpfungen ... Gruß von --Wasseralm 15:41, 14. Nov 2005 (CET)

Ich möchte eigentlich nicht erst $0\cdot x=0$ beweisen müssen, um zu erfahren, dass die Multiplikation generell assoziativ ist.--Gunther 15:49, 14. Nov 2005 (CET)

?? --Wasseralm 17:15, 14. Nov 2005 (CET)

Wenn man die obenstehende Definition um die Kommutativität ergänzt, muss man erst $0x=x0=0$ zeigen, um die Allgemeingültigkeit von $a(bc)=(ab)c$ zu beweisen. Oder wie willst Du das sonst beweisen?--Gunther 17:18, 14. Nov 2005 (CET)

OK, ich sehe jetzt den Punkt. Werde nochmal intensiver darüber nachdenken. Gruß von --Wasseralm 17:37, 14. Nov 2005 (CET)

Ist doch ok, wenn man das erst beweisen muss. Hauptsache so wenig Redundanz wie möglich. Am besten 0-Redundanz, so wie es sich für Axiome gehört. Also so, dass durch weglassen auch nur einer Eigenschaft sich die Menge der beweisbaren Sätze ändert. --DFG 15:46, 15. Nov 2005 (CET)

"so wie es sich für Axiome gehört" ist in der Mathematik nicht die herrschende Meinung. Für eine frühere Diskussion zu diesem Thema siehe hier.--Gunther 17:58, 15. Nov 2005 (CET)

Vielleicht wäre es auch besser, beide Distributivgesetze hineinzuschreiben; das mag redundant sein, aber nicht falsch (und wohl transparenter); außerdem brauchen wir die Distributivität von rechts sowieso später für den Schiefkörper. --Wuzel 16:11, 14. Nov 2005 (CET)

Hab' diese ganze Diskussion usw. erst jetzt gesehen. Soll die neue Version in irgendeiner Weise klarer sein als die alte? Der einzige Mangel der alten war, dass dabei übersehen wurde, dass trotz Kommutativität der Multiplikation in $K\setminus \{0\}$ wg. der 0-Problematik beide Distributivgesetze benötigt werden. Das jetzige Konstrukt mit Monoid etc. halte ich für wesentlich sperriger als die alte Version.--JFKCom 11:46, 15. Nov 2005 (CET)

Die jetzige Version war ein Quick-&-dirty-Fix, damit auf jeden Fall eine korrekte Definition im Artikel steht. Gegen eine Lösung "Additive Gruppe + multiplikative Gruppe + zwei Distributivgesetze" spricht mein Einwand von 15:49, 14. Nov. Am besten fände ich wie gesagt zwei Versionen der Definition, einmal explizit, einmal konzeptionell.--Gunther 12:40, 15. Nov 2005 (CET)

Ok, dann mache ich mal so einen Vorschlag:

Definition: Ein kommutativer unitärer Ring heißt ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element multiplikativ invertierbar ist.

Axiomenaufzählung: Eine Menge $(K,+,\cdot )$ zusammen mit zwei binären Verknüpfungen (die üblicherweise Adddition und Multiplikation genannt werden) ist genau dann ein Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten:

* (Aufzählung der Eigenschaften der Addition in K)

* (Aufzählung der Eigenschaften der Multiplikation in K inkl. der Rolle der Null)

* (Links-Distributivgesetz)

Das Rechts-Distributivgesetz folgt dann aus den übrigen Eigenschaften.

--JFKCom 16:40, 15. Nov 2005 (CET)

Klingt gut.--Gunther 17:58, 15. Nov 2005 (CET)

Hallo, mir gefällt die neue Darstellung auch gut, aber eine kleine Verbesserung muss, glaube ich, noch gemacht werde: Momentan ist durch die Liste der Axiome der Nullring nicht ausgeschlossen (oder übersehe ich da was?). Gruß von --Wasseralm 22:15, 15. Nov 2005 (CET)

Ja, der muss explizit ausgeschlossen werden.--Gunther 22:51, 15. Nov 2005 (CET)

Ähm, das mit dem Nullring ist so 'ne Sache. Mein Standpunkt: 4/5 der (mathematisch interessierten, grins) Menschheit verlangt bereits von einem Ring die Eigenschaft $1\neq 0$, dann taucht das Problem beim Körper nicht auf. Das restliche 1/5 schließt den Nullring nicht aus. Wenn diese Leute mit dem Nullring kein Problem haben, dann doch mit dem Nullkörper auch nicht: Der besteht eben dann nur aus der Null, und die multiplikative Gruppe ohne die Null ist die leere Menge, die trivialerweise alle hübschen verlangten Eigenschaften erfüllt. Deshalb sehe ich keinen Anlaß, hier den Nullring explizit auszuschließen. Das ist m.E. ein reines Problem der Frage der Ringdefinition.--JFKCom 23:19, 15. Nov 2005 (CET)

Deine Zahlen glaube ich nicht. Kommutative Algebra und damit algebraische Geometrie brauchen den Nullring: Der Nullring ist das Endobjekt in der Kategorie der Ringe, die ansonsten nicht vollständig ist. Lokalisierungen eines Ringes sind nur dann immer Ringe, wenn man den Nullring zulässt, ebenso Tensorprodukte.--Gunther 23:29, 15. Nov 2005 (CET)

Ich stimme Gunther zu. In den Definitionen der englischen Wikipedia und von mathworld.wolfram.com nachzulesen lohnt sich. ;-) --DFG 23:34, 15. Nov 2005 (CET)

Ach ja: Soll ich wirklich anfangen, Gründe aufzulisten, weshalb der "Nullkörper" kein Körper ist?--Gunther 23:38, 15. Nov 2005 (CET)

Gib' mir nur einen (wenn ich wählen darf, den schönsten), und ich schlafe ruhig. :-) --JFKCom 23:52, 15. Nov 2005 (CET)

Jeder endliche Körper hat eine Primzahlcharakteristik. --DFG 23:58, 15. Nov 2005 (CET)

Die Theorie der Vektorräume (Dimension usw.) funktioniert nicht. (Würde ich als wesentliche Rechtfertigung für den Begriff "Körper" ansehen.)--Gunther 00:03, 16. Nov 2005 (CET)

Meiner Auffassung nach ist der Nullring ein Ring, aber kein Körper.--MKI 01:43, 16. Nov 2005 (CET)

schiefe und gerade Körper

Hiesigen Erachtens nennen manche (viele) Autoren ein körperähnliches Gebilde auch schon dann Körper, wenn frei gestellt ist, ob die Multiplikation kommutativ ist. Diese Auffassung ist weit verbreitet - damit will ich aber nicht sagen: vorherrschend. Deswegen muss sie erwähnt werden. Falls die Sache jetzt eindeutig geklärt ist - z. B. durch Normung -, sollte dennoch auf die abweichende Bedeutung homngewiesen werden.

ich bitte, das einzuarbeiten -- 888344 15:53, 14. Nov 2005 (CET)

Das ist definitiv die Bourbaki-Terminologie, aber sie scheint mir nicht ausgesprochen verbreitet, allerdings lebe ich in der kommutativen Welt. Wenn es nicht gerade um einen systematischen Aufbau geht, wird im jeweiligen Gebiet meist die effizienteste Terminologie gewählt (was ist eine Algebra?). Auf welches Gebiet bezieht sich Deine Aussage "Diese Auffassung ist weit verbreitet"?--Gunther 16:00, 14. Nov 2005 (CET)

" Auf welches Gebiet bezieht sich Deine Aussage "Diese Auffassung ist weit verbreitet?" -- Auf mir bekante Leute der Gegenwart und jüngeren Vergangenheit, die mathematische Begriffe benutzen; ohne Spezialisierung auf ein Gebiet. Und auf eine Eintragung in Herbert Meschkowskis Mathematischem Begriffswörterbuch (BI 99/a/b), das ich trotz seines Alters und der angeblichen Oberflächlichkeit für einen ersten Eimnblick immer wieder gern zur Hand nehme.- Ich plädiere nur dafür, die abweichende (systematischere) Version mit zu erwähnen. -- 888344 16:20, 14. Nov 2005 (CET)

Mit erwähnen ja, aber ich bezweifle z.B., ob es irgendeine LA-Vorlesung in Deutschland gibt, die die Bourbaki-Terminologie verwendet.--Gunther 16:32, 14. Nov 2005 (CET)

Für die Gegenwart habe ich keine Ahnung - vielleicht sind die bourbakistischen Denkweisen schon wieder unmodern geworden; sie leben aber fort im Namen "Quaternionenkörper" - oder vermeidet man den heute? -- 888344 09:48, 15. Nov 2005 (CET)

Bei Schiefkörper - weiss nicht, ob du da mitgemacht hast - , fehlt die Unterscheidung zwischen Links- und Rechtsinversem. Begriffsfestlegungen sollen doch möglichst sparsam sein, nicht Folgerungen vorweg nehmen. -- 888344 16:20, 14. Nov 2005 (CET)

Nein, dem stimme ich nicht zu. Die Probleme dieser Sparsamkeit sind ja gerade einen Abschnitt weiter oben zu bewundern.--Gunther 16:32, 14. Nov 2005 (CET)

Überblicke ich gegenwärtig nicht. Ich habe sparsam aber vollständig gemeint. -- 888344 09:48, 15. Nov 2005 (CET)

Auch für Dich der Hinweis auf diese frühere Diskussion zum Thema Sparsamkeit.--Gunther 18:00, 15. Nov 2005 (CET)

"negativ"

Die Anmerkung "... hat nichts damit zu tun, ob die Zahl selbst negativ ist" halte ich für wichtig; gern würde ich das aber so erweitert sehen, dass der Leser versteht: Beim Wort "Negativ" kann es sich um Begriffe unterschiedlicher Herkunft - algebraische Operation oder Ordnungsrelation - handeln. -- 888344 16:19, 14. Nov 2005 (CET)

blöde frage

muss nicht auch 1+0=1 und 1*0=0 gelten?

$a+0=a$ für alle $a$ wird ja schon explizit gefordert, und $1\cdot 0=0$ folgt aus

$1\cdot 0=1\cdot (0+0)=1\cdot 0+1\cdot 0$

durch Addition von $-(1\cdot 0)$.--Gunther 16:24, 8. Dez 2005 (CET)

field (erledigt)

Hallo, wieso steht eigentlich "engl. field" in der Einleitung? Allgemein ist das doch nicht üblich, gleich die Übersetzung anzugeben (und wenn schon, dann bitte auch Französisch, Dänisch, etc.). Wer den engl. Begriff wissen will, braucht doch nur den englischen Artikel anschauen. Gruß von Wasseralm 09:26, 9. Dez 2005 (CET)

Weil es sich um eine der wenigen Ausnahmen handelt, in denen sich englischer und deutscher Begriff wesentlich unterscheiden. Ich find's aber auch entbehrlich.--Gunther 10:44, 9. Dez 2005 (CET)

Ich habs mal entfernt. Gruß von Wasseralm 21:58, 9. Dez 2005 (CET)

komische Formulierung

Unter "Formale Definition" steht:

Eine Menge $(K,+,\cdot )$ zusammen mit zwei binären Verknüpfungen (die üblicherweise Addition und Multiplikation genannt werden) ist genau dann ein Körper, wenn ...

Müsste es nicht eher heißen:

Eine Menge $K$ zusammen mit zwei binären Verknüpfungen $(+,\cdot )$ (die üblicherweise Addition und Multiplikation genannt werden) ist genau dann ein Körper, wenn ...

oder:

Eine Menge zusammen mit zwei binären Verknüpfungen (die üblicherweise Addition und Multiplikation genannt werden), $(K,+,\cdot )$, ist genau dann ein Körper, wenn ...

oder bin ich da zu kleinlich?--Jah 11:27, 21. Apr. 2007 (CEST)

Du hast mit Deiner Kritik schon recht. Noch eine Version als Vorschlag:

Ein Tripel $(K,+,\cdot )$, bestehend aus einer Menge $K$ und zwei binären Verknüpfungen „$+$“ und „$\cdot$“ (die üblicherweise Addition und Multiplikation genannt werden), ist genau dann ein Körper, wenn ...--JFKCom 19:11, 21. Apr. 2007 (CEST)

So scheint es am besten zu sein. Ich habe es in den Artikel übernommen.--Jah 22:37, 21. Apr. 2007 (CEST)

Klammern

Gehören beim Distributivgesetz nicht auch Klammern gesetzt? Also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ statt $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Aus der Schulmathematik kennt man zwar die Punkt-vor-Strich Regel, aber hier würde ich sie doch explizit setzen. --Drizzle 17:47, 2. Aug. 2007 (CEST)

Hervorhebung der Elemente 0 und 1 in der formalen Definition

In der formalen Definition werden an das Tripel $(K,+,\cdot )$ keine Bedingungen gestellt, nur dass "für alle $a,b,c\in K$" die genannten Eigenschaften gelten. Allerdings ist das Tripel $(\emptyset ,+,\cdot )$ kein Körper, da es keine $0$ und $1$ enthält. Nach der Definition die zur Zeit auf der Seite steht wäre es ein Körper da "$\forall a,b,c\in K:A$" immer erfüllt ist, selbst wenn A falsch ist.

-- Kritzstapf 20:56, 19. Apr. 2009 (CEST)

Interwiki Link ins Französische

Dieser Link führt (z.Z.) zum Artikel "Corps (mathématiques)". In der frz. Wikipedia hat sich aber die Bourbaki-Terminologie in manchen Bezeichnungen durchgesetzt, insbesondere gilt das bei "corps", von dem die Kommutativität nicht vorausgesetzt wird; in diesem Fall ist das bei frz. Mathematikern vermutl. allgemein so. Ich wusste bisher nicht, dass das im Deutschen (meistens) anders ist (im Gegensatz zum Englischen, wo ja sowieso ein ganz anderes Wort benutzt wird) - und übrigens auch nicht, dass da Bourbaki etwas geändert haben soll.

So wie die Sachen nun sind, ist der Interwiki-Link evtl. irreführend, da das frz. Äquivalent "corps commutatif" ist. Dieser Begriff wird im Artikel "Corps (mathématiques)" beiläufig besprochen, ist aber dort keine Abschnittsüberschrift; einen eigenen Artikel mit ihm als Lemma ist auch nicht vorhanden - ein solcher wird ja nicht benötigt. Somit kann man den Interwiki-Link nicht korrigieren, höchstens löschen. Sicher sind viele Interwiki-Links nur approximativ, sei es aus Unkenntnis, sei es mangels Besserem, da solche Abweichungen im Allgemeinen nicht so wichtig sind. Was hält ihr aber von diesem Fall hier, wo schon wegen des Englischen bekannt ist, dass es da Probleme gibt, so dass ein solcher Link zu falschen Schlüssen führen oder Vorurteile (wie meine ;-) ) bestätigen könnte?--UKe-CH 17:11, 2. Okt. 2009 (CEST)

Neue Antwort auf alten Beitrag: Ich halte im Gegenteil Interwikilinks für entbehrlich, wenn deutscher und (zum Beispiel) französischer Begriff absolut äquivalent sind. Dies ist ein Fall, der außerhalb der Mathematik und weniger anderer Strukturwissenschaften nur kurz nach der Erfindung/Übersetzung des Begriffes vorkommen kann, und er ist selbst in der Mathematik eher selten. ("River" und "Fluss" sind schon deshalb für jeweilige Muttersprachler unterschiedlich konnotiert, weil sie in jeweils unterschiedlichen Kinderliedern vorkommen). Wichtig sind Interwiki-Links vor allem dann, wenn die Begriffe nur "fast" äquivalent sind, vor allem dann, wenn rein sprachlich ein Falscher Freund vorliegen könnte. --KleinKlio (Diskussion) 23:42, 26. Jul. 2013 (CEST)

Ungenaue Definition

Meiner Meinung sind die ersten Beispiel für Körper im Artikel nicht wirklich korrekt. Dort stehen $\mathbb {R}$, $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {C}$ als wichtige Beispiele für Körper, allerdings handelt es sich bei $\mathbb {R}$, $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {C}$ ja eigentlich um Zahlenmengen. Nur durch die Verbindung mit einer Addition und einer Multiplikation entsteht dann ein Körper. Sollte dieser Satz mit den Beispielen vielleicht etwas präzisiert werden? Zum Beispiel:

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper $\left(\mathbb {R} ,+,\cdot \right)$ über den reellen Zahlen, der Körper $\left(\mathbb {Q} ,+,\cdot \right)$ über den rationalen Zahlen und der Körper $\left(\mathbb {C} ,+,\cdot \right)$ über den komplexen Zahlen.

-- Gerol 22:22, 24. Mai 2011 (CEST)

Die Sprechweise "Körper über ..." habe ich noch nie gehört. Man sagt üblicherweise "Körper der reellen Zahlen" usw. Die Verknüpfungen müssen zwar strenggenommen mitgenannt werden, verstehen sich aber in der Praxis von selbst. -- Digamma 22:41, 24. Mai 2011 (CEST)

Ich bin zwar kein Mathematiker, daher weiß ich nicht, ob die Schreibweise ohne Verknüpfungen weit verbreitet ist. Beim Lesen fiel es mir jedenfalls unschön auf. Insbesondere für Laien könnte es doch sehr verwirrend sein, diese Mengen ohne weiteren Kommentar als Körper zu bezeichnen. Als Kompromiss kann die implizite Schreibweise ja beibehalten und diese Konvention kurz erwähnt werden…? 178.200.46.253 17:02, 24. Aug. 2012 (CEST)

Also: Mit dem Link auf den jeweiligen Artikel waren die Beispiele für Körper schon über jeden Zweifel der Korrektheit erhaben. Irgendwann kommt hier noch einer und verlangt von mir, dass ich bei einer Menge auf die ich mich in einem Artikel beziehe, alle Axiome der Mengenlehre anfüge oder doch wenigstens deren Verknüpfungen (Vereinigungsmenge, Schnittmenge) und neutrale Elemente in ihrer Eigenschaft als Boolesche Algebra dazuschreibe (und verlinke). Das gäbe einem Leser eine Unmenge mehr zu lesen... --KleinKlio (Diskussion) 23:57, 26. Jul. 2013 (CEST)

Fehler im Klassendiagramm

Die Menge der "natürlichen Zahlen" ist definitiv kein(!) Ring. Gemeint waren da wohl eher die ganzen Zahlen. (nicht signierter Beitrag von 2003:54:D07:5F00:411E:1D8A:8EE4:EB77 (Diskussion | Beiträge) 13:07, 2. Feb. 2013 (CET)) Ist mir auch aufgefallen. Ich habe es in der Graphik geändert. (nicht signierter Beitrag von GernotMS (Diskussion | Beiträge) 19:19, 13. Okt. 2013 (CEST))

Ist bei dem Klassendiagramm die Assoziation (Aggregation, ausgefüllte Raute) nicht umgekehrt? Sie müssten ja von unten nach oben sein, also C--<>R--<>Q--<>Z oder? (nicht signierter Beitrag von 91.2.64.140 (Diskussion) 01:52, 1. Apr. 2015 (CEST))

„neutral poloarisierende Elemente“?

In der Darstellung werden ohne große Erklärung 0 und 1 als neutrale Elemente, in einem Zug, sowohl vorgestellt als auch gleich benutzt. Spätestens mit den „bekannten Beispielen“ und den rationalen/reellen/komplexen Zahlen scheint mir die Gefahr gegeben zu sein, daß der Leser das Ganze endgültig als rein arithmetische Übung verbucht.

Ich würde also gerne den einen oder anderen Hinweis darauf sehen, daß hier die „Spielregeln“ (Verknüpfung aus Menge und Operatoren) und nicht so sehr die „Spielfiguren“ (die jeweils aktuelle Identitiät dieser „Neutralen“, die – man verzeihe mir die Sport-Analogie – nicht zwingend „in Schwarz“ auftreten müssen) im Vordergrund stehen.

Allerdings fehlt es mir am aktuell allgemein akzeptierten „Körper des mathematischen Vokabulars mit zugehöriger Syntax und Semantik“, um dies selbst irgendwo ohne größeres Kritikpotential unterzubringen. (nicht signierter Beitrag von 79.197.77.137 (Diskussion) 23:26, 3. Sep. 2013 (CEST))

Abgeschlossenheit bei "Einzelaufzählung der benötigten Axiome"

Fehlt diese nicht hier, wenn wirklich alle Axiome aufgezählt werden müssen, oder lässt sich die Abgeschlossenheit der Verknüpfungen aus diesen Axiomen herleiten? Bin kein Mathematiker. 88.217.61.173 15:01, 5. Nov. 2014 (CET)

Die Abgeschlossenheit der Verknüpfung ist Bestandteil des Begriffs "Verknüpfung". Eine Verknüpfung auf K ist per definitionem eine zweistellige Funktion, die zwei Elementen von K wieder ein Element von K zuordnet.

Die Abgeschlossenheit ist nur dann ein Thema, wenn man die Verknüpfung erhält, indem man eine Verknüpfung auf einer umfassenderen Menge auf eine Teilmenge einschränkt. Dann muss man die Bedingung stellen, dass das Ergebnis der Verknüpfung von zwei Elementen der Teilmenge wieder in der Teilmenge liegt. Nur dann erhält man tatsächlich eine Verknüpfung auf der Teilmenge. --Digamma (Diskussion) 19:10, 5. Nov. 2014 (CET)

Im Artikel Verknüpfung steht das aber nicht so, dort wird zwischen Verknüpfungen und inneren Verknüpfungen unterschieden. Ich hab also mal im Artikel zur Deutlichkeit „innere“ ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 19:43, 5. Nov. 2014 (CET)

in der allgemeinen Definition die Verknüpfung in der multiplikativen Gruppe einschränken? und bei den Distrubitivgesetzen einen Verweis auf Operatorrangfolge?

erst wird erwähnt, dass „$\cdot$“ eine innere zweistellige Verknüpfung auf $K$ ist, also $\cdot \colon K\times K\to K$. Und in der multiplikativen Gruppe ist „$\cdot$“ eine innere zweistellige Verknüpfung auf $K\setminus 0$, also $\cdot \colon K\setminus 0\times K\setminus 0\to K\setminus 0$. Es gilt ja nicht, dass $K=K\setminus 0$ ist, deshalb bei der Gruppe lieber einschränken. (nicht signierter Beitrag von 77.21.235.82 (Diskussion) 23:07, 10. Mär. 2016 (CET))

Ich verstehe nicht ganz, worauf du raus möchtest. Auch wenn nur K ohne die Null mit der Multiplikation eine Gruppe ist, ist die Multiplikation auch für die Null definiert. Genau so, wie man es von den rationalen und den reellen Zahlen kennt. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten auch für die Multiplikation mit 0. Der einzige Grund, warum die Null bei der Formulierung des Axioms ausgeschlossen wird, ist, dass es zur Null kein multiplikatives Inverses gibt. --Digamma (Diskussion) 21:51, 12. Mär. 2016 (CET)

Das braucht nicht eigens gefordert zu werden, da die Distributivgesetze ohnehin für alle Körperelemente verlangt werden. In den Distributionsgesetzen wird also die Multiplikation auch für 0 gefordert, nur nicht als Teil der abelschen Gruppe; und es kann bewiesen werden, daß a = 1a = (0+1)a = 0a + 1a = 0a + a für jedes a; damit erweist sich 0a als ein neutrales Element der Addition, das ist aber eindeutig, ( denn 0 + a = e + a => 0 + a - a = e + a -a => 0+0 = e+0 >= 0 = e), also ist 0a = 0, egal wie der Körper ausschaut. Daraus folt dann übrigens auch 0 = 0a = (1-1)a = 1a - 1a = a - 1a für jedes a, ergo ergibt sich das additive Inverse in jedem Körper durch Multiplikation mit -1. Usw. --2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 23:10, 27. Jul. 2017 (CEST)

Worauf bezieht sich "Das braucht nicht eigens gefordert zu werden"? --Digamma (Diskussion) 09:44, 28. Jul. 2017 (CEST)

Ich hatte den ursprünglichen Fragesteller verstanden, daß er meinte, daß mit den Körperaxiomen die Multiplikation der 0 nicht definiert ist, und das sei fehlerhaft.--2001:A61:208D:2B01:65A4:7288:FFD4:A731 10:18, 28. Jul. 2017 (CEST)

Alles klar. Danke. Man könnte zusätzlich noch erwähnen, dass aus $0\cdot a=0$ folgt, dass das Kommutativ- und das Assoziativgesetz auch für die Multiplikation mit 0 gilt. --Digamma (Diskussion) 10:29, 28. Jul. 2017 (CEST)

Fehler bei formale Definition, Bemerkungen

Die Bemerkung

"Von den beiden Distributivgesetzen muss nur eines gefordert werden, das jeweils andere folgt aus der Kommutativität von ( K ∖ { 0 } , ⋅ )."

kann, sofern das folgende Gegenbeispiel richtig ist, nicht wahr sein (ich habe es bei dem Versuch gefunden eben die obige Aussage zu beweisen). Denn würde man etwa nur das erste Distributivgesetz fordern, dann wäre

(K_2)* =({0,1},+,•) mit den beiden Verknüfungstabellen

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

• 0 1

0 0 1

1 0 1

ein Körper.

Beweis:

1. (K,+) ist eine (abelsche) Gruppe: die Verknüpfungstafel für die Addition stimmt mit jener des kleinsten regulären Körpers, F_2 überein.

2. ((K_2)*\{0},•) ist eine kommutative Gruppe, nämlich die triviale Gruppe ({1},•).

3. Es gilt das Distributivgesetz: a•(b+c)=(a•b)+(a•c):

0 * (0 + 0) = 0 * 0 = 0 = 0 * 0 + 0 * 0

0 * (0 + 1) = 0 * 1 = 1 = 0 * 0 + 0 * 1

0 * (1 + 0) = 0 * 1 = 1 = 0 * 1 + 0 * 0

1 * (0 + 0) = 1 * 0 = 0 = 1 * 0 + 1 * 0

1 * (1 + 0) = 1 * 1 = 1 = 1 * 1 + 1 * 0

1 * (0 + 1) = 1 * 1 = 1 = 1 * 0 + 1 * 1

0 * (1 + 1) = 0 * 0 = 0 = 0 * 1 + 0 * 1

1 * (1 + 1) = 1 * 0 = 0 = 1 * 1 + 1 * 1

In (K_2)* gilt allerdings das zweite Distributivgesetz nicht: z.B ist

(1 + 0) * 1 = 1 * 1 = 1 ≠ 0 = 1 * 1 + 0 * 1 . ■

Damit ist (K_2)* gemäß Definition ein (kommutativer) Linksfastkörper, in welchem übrigens nicht gilt a*0=0*a=0 für alle a∈(K_2)* und widerspricht damit der in dem Wikipediaartikel: "Fastkörper" unter "Eigenschaften und Bemerkungen", gemachten Aussage, dass diese Gleichung in jedem Fastkörper erfüllt ist. Ich habe es dort auch im Diskussionsforum angemerkt.--FChopin (Diskussion) 21:49, 24. Sep. 2017 (CEST)

„...dann wäre, wenn ich richtig nachgeprüft habe,..“

Nein, du hast nicht richtig nachgeprüft. Deine Struktur ist nicht multiplikativ kommutativ, denn in dieser ist 0•1 = 1 ≠ 0 = 1•0.--Frogfol (Diskussion) 11:56, 23. Sep. 2017 (CEST)

Es ist ja in der Definition eines Körpers auch nicht gefordert, dass (K, *) eine kommutative Gruppe ist, sondern lediglich, dass (K\{0},*) eine solche ist.--FChopin (Diskussion) 21:49, 24. Sep. 2017 (CEST)

Stimmt, das wurde nur in im nächsten Abschnitt gefordert. Die Definitionen müssten überarbeitet werden.--Frogfol (Diskussion) 12:43, 23. Sep. 2017 (CEST)

(Kleine) Umgestaltung des Abschnitts "Formale Definition"

Dieser Punkt bedarf meines Erachtens einer Überarbeitung, denn die beiden Unterabschnitte "Allgemeine Definition" und "Einzelaufzählung der Axiome" widersprechen sich, oder letzterer ist zumindest unklar gestaltet: es steht hier nicht, welchen Mengen die Elemente a,b,c, für die das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten soll jeweils entnommen wurden. Geht man davon aus, dass, dort wo nichts notiert ist, a,b,c∈K gemeint ist, dann hat man, ohne darauf hinzuweisen, zusätzliche Axiome gefordert (was ja eigentlich einer Erklärung bedarf), da im vorherigen Abschnitt "Allgemeine Definition" die Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation ja nicht axiomatisch auf der gesamten Menge K definiert wurden. Diese können natürlich aus der ersten Definition hergeleitet werden, doch sollte man dann auch angeben, dass es sich bei ihnen um Folgerungen handelt (und am besten auch wie man sie erhalten hat). Geht man andererseits, wie der der Einzelauflistung der Axiome vorangestellte Satz: "Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:" nahelegt, davon aus, hier sei gemeint, dass Assoziativ- und Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation nur für a,b,c∈K\{0} gelten, so hat man noch nicht erfahren, dass sie in einem Körper auf ganz K gelten.

Mein Vorschlag wäre:

1. Man lässt am besten den ersten Abschnitt stehen, denn dieser liefert nicht nur die sparsamste(*), sondern, wie ich finde, auch die übersichtlichste Charakterisierung dessen, was man (heutzutage) normalerweise unter einem Körper versteht.

(*) Man könnte auch statt: "(K,+) ist eine abelsche Gruppe" nur fordern: (K, +) ist eine Gruppe.

2. Man folgert aus den Axiomen die wichtigsten Eigenschaften eines Körpers, was recht einfach ist (wobei man aber immer genau angeben sollte, welche Axiome/ Regeln für welchen Schritt benutzt wurden):

(i) 1≠0:

1∈K\{0} ⇒ 1≠0

(ii) ∀a∈K: a*0=0*a=0

a*0=a*(0+0)=a*0+a*0 ⇒ a*0=0

Analog unter Zuhilfenahme des 2. Distributivgesetzes schließt man 0*a=0.

Folgerungen aus (ii):

a) Kommutativität von "*" auf ganz K, wegen (ii) und K\{0} abelsche Gruppe

b) Assoziativität von "*" auf ganz K (ein oder zwei Beispiele hierzu)

(iii) Kommutativität von "+" auf ganz K:

(1+1)(a+b)= 1(a+b)+1(a+b)=a+b+a+b (I)

                                                                            }

(1+1)(a+b)= (1+1)a +(1+1)b=a+a+b+b (II)

Zweimalige Anwendung der Kürzungsregeln (von links und rechts) ergibt a+b=b+a ∀a,b∈K.

(iv) Evtl. noch die Nullteilerfreiheit von K

In der Reihenfolge und Art, habe ich die Beweise dem Buch "Arens und weiter Autoren: Grundwissen Mathematikstudium" 1. Auflage, S.80 entnommen (es gibt hier allerdings ein paar Fehler, z.B fehlt das 2. Distributivgesetz. Ohne dieses kann man z.B einen solchen "Körper" erhalten, wie er weiter oben im Diskussionsforum steht)

3. Evtl. eine Übersicht im Detail, wie in "Einzelaufzählung der Axiome" aber dann unter anderem Namen. Oder man bietet zwei Definitionen an und zeigt anschließend, dass diese äquivalent sind.

4. Der Bezug zum Ring wie im Artikel bereits enthalten

Dann der Rest.--FChopin (Diskussion) 21:00, 24. Sep. 2017 (CEST)

Was ist das Inverse von a+b*sqrt(2)+b*sqrt(3)+d*sqrt(6)

Im Artikel heißt es: $\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}$ ist ein Körper mit Basis $\left\{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\right\}$. Es wäre gut, wenn das Inverse von 1/q für q=$a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$ als Linearkombination der Basisvektoren $\left\{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\right\}$ angegeben wird. --Joachim Mohr (Diskussion) 19:32, 8. Apr. 2022 (CEST)

Ist $q=a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$ invertierbar, dann ist

${\begin{aligned}{\frac {1}{q}}&={\frac {1}{a+b{\sqrt {2}}+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}}\\&={\frac {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}{{\bigl (}a+b{\sqrt {2}}+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigl (}a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}{\bigr )}}}\\&={\frac {a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}{(a+b{\sqrt {2}})^{2}-(c+d{\sqrt {2}})^{2}3}}\\&={\frac {a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}{a^{2}+2ab{\sqrt {2}}+b^{2}2-3(c^{2}+2cd{\sqrt {2}}+d^{2}2)}}\\&={\frac {a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}{a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2}+(2ab-6cd){\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\qquad (a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}})\qquad \qquad (a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2}-(2ab-6cd){\sqrt {2}})}{(a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2}+(2ab-6cd){\sqrt {2}})(a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2}-(2ab-6cd){\sqrt {2}})}}\\&={\frac {(a+b{\sqrt {2}}-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}})(a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2}-(2ab-6cd){\sqrt {2}})}{(a^{2}+2b^{2}-3c^{2}-6d^{2})^{2}-(2ab-6cd)^{2}2}}\end{aligned}}$

oder so ähnlich. Jedenfalls kann man so schon sehen, dass man die Quadratwurzeln aus dem Nenner in den Zähler bringen kann und dass so etwas wie

$a'+b'{\sqrt {2}}+c'{\sqrt {3}}+d'{\sqrt {6}}\mid a',b',c',d'\in \mathbb {Q}$ herauskommt.

–Nomen4Omen (Diskussion) 22:12, 8. Apr. 2022 (CEST)

Oh weih! Aber ich sehe schon, der Kehrwert ist im Körper. Danke für Deine Bemühungen! Sie haben mich überzeugt.

Gibt es eine einfachere Darstellung das Inverse in Q(sqrt(2), sqrt(3)) existieren? --Joachim Mohr (Diskussion) 11:51, 9. Apr. 2022 (CEST)

Bei meiner Rechnung käme Folgendes raus:

$q^{-1}=a'+b'{\sqrt {2}}+c'{\sqrt {3}}+d'{\sqrt {6}}$

mit

${\begin{array}{lrrrrrr}a'=(&a^{3}&&-2ab^{2}&-3ac^{2}&-6ad^{2}&+12bcd)/v\\b'=(&2b^{3}&-a^{2}b&&-3bc^{2}&-6bd^{2}&+6acd)/v\\c'=(&3c^{3}&-a^{2}c&-2b^{2}c&&-6cd^{2}&+4abd)/v\\d'=(&6d^{3}&-a^{2}d&-2b^{2}d&-3c^{2}d&&+2abc)/v\\\end{array}}$

und

${\begin{aligned}v&={\begin{vmatrix}a&b{\sqrt {2}}&c{\sqrt {3}}&d{\sqrt {6}}\\b{\sqrt {2}}&a&d{\sqrt {6}}&c{\sqrt {3}}\\c{\sqrt {3}}&d{\sqrt {6}}&a&b{\sqrt {2}}\\d{\sqrt {6}}&c{\sqrt {3}}&b{\sqrt {2}}&a\\\end{vmatrix}}\\&=a^{4}+4b^{4}+9c^{4}+36d^{4}-4a^{2}b^{2}-6a^{2}c^{2}-12a^{2}d^{2}-12b^{2}c^{2}-24b^{2}d^{2}-36c^{2}d^{2}+48abcd\end{aligned}}$

Ich glaube aber nicht, dass das wirklich viele interessiert.--Nomen4Omen (Diskussion) 19:36, 10. Apr. 2022 (CEST)

Interessant schon, aber zu kompliziert für den Haupttext. Interessant wäre noch, wann der Nenner 0 wird. Ich habe übrigens mit Maple herausbekommen:

a'=(-2*a*b^2-6*a*d^2-3*a*c^2+a^3+12*b*c*d)/(9*c^4-12*b^2*c^2-36*d^2*c^2+48*b*a*c*d-12*d^2*a^2-6*c^2*a^2+36*d^4+a^4+4*b^4-4*b^2*a^2-24*b^2*d^2)

b'=-(-2*b^3+6*b*d^2+3*b*c^2+b*a^2-6*a*c*d)/(9*c^4-12*b^2*c^2-36*d^2*c^2+48*b*a*c*d-12*d^2*a^2-6*c^2*a^2+36*d^4+a^4+4*b^4-4*b^2*a^2-24*b^2*d^2)

c'=-(-4*b*d*a+2*c*b^2-3*c^3+a^2*c+6*c*d^2)/(9*c^4-12*b^2*c^2-36*d^2*c^2+48*b*a*c*d-12*d^2*a^2-6*c^2*a^2+36*d^4+a^4+4*b^4-4*b^2*a^2-24*b^2*d^2)

d'= -(3*c^2*d-2*b*a*c+a^2*d-6*d^3+2*b^2*d)/(9*c^4-12*b^2*c^2-36*d^2*c^2+48*b*a*c*d-12*d^2*a^2-6*c^2*a^2+36*d^4+a^4+4*b^4-4*b^2*a^2-24*b^2*d^2) --Joachim Mohr (Diskussion) 08:48, 11. Apr. 2022 (CEST)

Das ist ja super! – und stimmt für mein Auge zu 100% mit meinem Ergebnis überein. Zur leichteren Überprüfung habe ich Deine Formeln geringfügig umgeformt:

a'=(-2*a*b^2-6*a*d^2-3*a*c^2+a^3+12*b*c*d)/v

b'=(2*b^3-6*b*d^2-3*b*c^2-b*a^2+6*a*c*d)/v

c'=(4*b*d*a-2*c*b^2+3*c^3-a^2*c-6*c*d^2)/v

d'=(3*c^2*d+2*b*a*c-a^2*d+6*d^3-2*b^2*d)/v

Und das v ist genau Dein und mein Nenner. Für den habe ich oben noch einen Determinantenausdruck eingefügt. Bitte, prüfe die Formel mit Maple nach! Der Ausdruck könnte wohl auch eine Antwort auf Deine Frage sein, indem nämlich die Determinante genau dann verschwindet, wenn die Zeilen linear abhängig sind – und das ist wohl nur dann der Fall, wenn q=0 ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:18, 11. Apr. 2022 (CEST)

Also: Wir haben unser Bestes getan. Meine Fragestellung ist durch ausführliche Berechnungen beantwortet. --Joachim Mohr (Diskussion) 11:37, 11. Apr. 2022 (CEST)