Diskussion:Legendre-Polynom

Erklärung der Integrale?

Was ist mit einer Erklärung der Integralen: $P_{m}(x)...und...g(x)$ ?

bei:

Für sie gilt die Orthogonalitätsrelation:

$\int _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}$

dabei ist $\delta _{nm}$ das Kronecker-Delta. Sie sind also bezüglich des Skalarprodukts $\langle f,g\rangle :=\int _{-1}^{1}f(x)g(x)dx$ orthogonal.

Der Rest ist gut erklärt.

Dass Omas das nicht verstehen ... o.k. ... aber ... muss ich mir noch zusätzlich ein Mathematik Buch kaufen um diesen Artikel vollständig verstehen zu können?

--Swert 19:20, 11. Aug 2005 (CEST)

Überarbeitungsbedarf

Der Artikel beschreibt bisher nur die Legendre-Polynome 1.Art. Insbesondere im Zusammenhang mit der Legendre-DGL (wird hierher umgebogen) stellen diese nicht die vollständige Lösung dar. Die allgemeine Lösung der Legendre-DGL

$(1-x^{2})\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0$

hat die Lösung

$f(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x),$

wobei $P_{n}(x)$ die Legendre-Polynome 1.Art und $Q_{n}(x)$ die 2.Art sind. --Jensel 15:10, 21. Mai 2006 (CEST)

Pascal-Code?

So sehr ich auch die Arbeit hinter dem Pascal-Code zu würdigen weiß, sehe ich den Sinn des Code-Schnippsels nicht - was soll das hier? Warum ist der hier notwendig? --141.35.185.149 22:34, 23. Jan. 2007 (CET)

Ja, das passt nicht unbedingt in einen Artikel in einer Enzyklopädie. Wenn überhaupt, sollte es doch eher leichtverständlicher Pseudocode sein. --84.152.67.87 00:30, 1. Feb. 2007 (CET)

mein Fehler hatte die falsche Formel, sorry 129.206.196.120 15:04, 13. Feb. 2007 (CET)

"Vollständigkeit"

Ich verstehe weder

Es gilt die sogenannte Vollständigkeitsrelation

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2\,n+1}{2}}\,P_{n}(x')\,P_{n}(x)=\delta (x'-x)$

mit der diracschen Delta-Distribution, welche dies garantiert.

noch die mathematische "Präzisierung":

Unter Verwendung des Skalarproduktes

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\rm {d}}x$

kann man diese Eigenschaften auch kurz schreiben als

...

• Vollständigkeit: $\langle P_{n}(x),P_{n}(x')\rangle =\delta (x'-x)$.

Beim Skalarprodukt wird über eine Variable integriert, hier stehen aber Funktionen, die von verschiedenen Variablen abhängen.

In der ersten Fassung wird über n summiert, in der zweiten nicht. Irgendwie passt das für mich nicht zusammen.

--Digamma 18:54, 10. Nov. 2007 (CET)

Jaaaa... Dieses Hinschreiben von unabhängigen Variablen (hier das x) ist eine Unsitte, die sich höchstens dadurch entschuldigen lässt, dass man zusätzlich angeben will, von welcher Variable die Funktion abhängt. Wenn man wie hier im Skalarprodukt über diese Variable integriert, dann ist sie weg, ihr Name ist belanglos, sie hätte auch jeden anderen Namen haben können. Das stiftet nur Verwirrung und ist bei genauerer Betrachtung schlicht falsch, zumindest liegt eine inkonsistente Schreibweise vor. Der Autor ist mit hoher Wahscheinlichkeit ein Physiker. Das sind in der Regel nette Menschen, aber manche Schreibweisen sind wie ... ach, lassen wir das! Damit erklärt sich wohl auch die Verwendung der Dirac-Funktion. Wegen der von Digamma genannten Verständnisprobleme an dieser Stelle soviel:

Die verwendete Distributionsschreibweise bedeutet, dass man jede Seite auf eine Testfunktion $x\mapsto f(x)$ anwenden muss. Die rechte Seite wird dann zu $f(x')$, auf der linken Seite muss man mit f(x) multiplizieren und über x integrieren, denn so definiert sich eine Funktion als Distribution. Die einfache Rechnung ist dann $\int _{-1}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1}{2}}P_{n}(x')P_{n}(x)f(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x'){\frac {2n+1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{n}(x)f(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x')c_{n}=f(x')$.

Hier steht also nicht mehr und nicht weniger, als dass die Reihenentwicklung von f nach den $P_{n}$ gegen f konvergiert. Das ist gemeint, so sind die Physiker. (Die hier sugerierte punktweise Konvergenz ist im Allgemeinen falsch, gilt aber wohl für Testfunktionen, sonst hat man eben nur $L^{2}[-1,1]$-Konvergenz. Das sollte irgendwie erläutert werden. Ich habe die Stellen mit der Vollständigkeit zunächst stehen lassen, auch die sehr fragwürdige Formel mit dem Skalarprodukt. Wenn ich Zeit habe, werde ich mich der Sache annehmen, und versuchen, es Physikern wie Mathematikern gleichermaßen Recht zu machen.--FerdiBf 11:59, 16. Sep. 2008 (CEST)

Ich habe den Absatz durchgewischt und der mathematisch korrekten Formulierung noch die von Physikern so geschätzte Distributionsschreibweise hinzugefügt und erläutert. Damit sind hoffentlich alle Klarheiten beseitigt! --FerdiBf 18:27, 29. Sep. 2008 (CEST)

Fehlende Wurzel bei Erzeugende Funktion?

Am Ende heißt es:

$\dots ={\frac {1}{r^{2}-2rr\,'\cos \alpha +r\,'^{2}}}={\frac {1}{r{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \alpha +({\frac {r'}{r}})^{2}}}}}=\dots$

Ich denke, da fehlt wirklich eine Wurzel im zweiten und dritten Term der ganzen Formel. Sieht das noch jemand so? --Elvenlord Elrond 13:51, 29. Jan. 2009 (CET)

Ja, offensichtlich!! Ich habe die fehlenden Wurzeln eingfügt. Der geübte Physiker erkennt das auch schon an den Einheiten. Ganz links steht im Nenner der Formel des Artikels eine Größe in m, vor dem Einführen der Wurzel stand im zweiten Term im Nenner eine Größe in m². In obiger Formel liegt dasselbe Problem vor: links 1/m², rechts 1/m. --FerdiBf 09:46, 30. Jan. 2009 (CET)

Bez: "Alternative Darstellung"

In der alternativen Darstellung der Legendre-Polynome wird ein kMAX eingeführt. Dies kann man sich mithilfe der unteren Gauß-Klammer sparen. Die Summe läuft dann von k = 0 bis untere-Grauß-Klammer(n/2). Das ist, meiner Ansicht nach, etwas schicker. Das ist natürlich Ansichtssache, deswegen wollte ich nicht direkt irgendwas ändern. (nicht signierter Beitrag von Tobiasstoeckler (Diskussion | Beiträge) 13:08, 13. Jun. 2012 (CEST))

Wurde prompt ausgeführt, also erledigt. --Digamma (Diskussion) 14:50, 13. Jun. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 14:50, 13. Jun. 2012 (CEST)

"Alternative Darstellung" --> "Explizite Darstellung"

Wieso "alternative Darstellung"? *Das* ist die explizite Form der Legendre Polynome, die man bekommt, wenn man die Rodrigues Formel ausführt. Gehört am besten gleich nach die expliziten Formeln für die 6 ersten P_n hin. Der Abschnitt "Eigenschaften" sollte denselben Überschriften-Level haben wie davor "Legendre Polynome". --Anstin (Diskussion) 20:01, 6. Jun. 2013 (CEST)

Zusammenhang ersten 6. Polynome Grafik vs. Formeln

Es hat mich doch einige Zeit gebraucht, um festzustellen, dass links die ersten sieben Formeln aufgeschrieben sind, rechts aber nur die ersten 6 gezeichnet wurden. Dies könnte man ggf. vereinheitlichen. (nicht signierter Beitrag von 134.169.254.208 (Diskussion) 15:32, 10. Jul 2016 (CEST))