Diskussion:Philosophie der Mathematik

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel Philosophie der Mathematik zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Artikelthema gehören nicht hierher. Sei mutig im Verbessern dieses Artikels. Wenn du im Bearbeiten der Wikipedia unsicher bist, findest du hier das Wichtigste in Kürze. Schwerwiegende Qualitätsprobleme kannst du dem Projekt Philosophie melden. Neues Diskussionsthema beginnen.

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ein Grünhorn als Bearbeiter

Die zaghaften Bearbeitungsversuche an diesem Artikel sind mein erster Schritt als Wiki-Akteur. Ich finde das Thema verdient eine breitere Darstellung, als Modell könnte die englische Seite dienen. Deshalb möchte ich schrittweise Absätze von dort (vereinfacht) hier einfügen. Ein Problem, das bei Wikipedia wahrscheinlich natürlicherweise oft vorliegt: ich bin kein Fachgelehrter, aber das Thema "macht mich an". Wenn sich der Seiten-Gründer oder ein Fachmann zu meinem Plan äußern würde: er könnte ein Grünhorn an die Leine nehmen und es (ein bischen) glücklich machen! --Astrofm 12:25, 30. Dez. 2006 (CET)

Hi Günhorn, Astrofm. :) Schön das du hier mitmachst. Englische Vorlage ist eine gute Idee. Was die Literaturformate angeht, schau mal in andere Artikel, vielleicht kann ein * vorweg. Viel Spaß viel Erfolg!!--PaCo 12:31, 30. Dez. 2006 (CET)

Danke für die Ermutigung

Es geht in kleinen Schritten weiter. Unterwegs lerne ich langsam das Formatieren. Die Seite wird vorerst eine Baustelle bleiben - bitte entschuldigt einsweilen die Inkonsistenzen zwischen alten und neuen Fragmenten.--Astrofm 18:44, 30. Dez. 2006 (CET)

Prima, dass Du Dich um dieses schwierige Thema kümmerst. Die Verschiebung war auch lange überfällig. Schöne Grüße, --Markus Mueller 13:50, 5. Jan. 2007 (CET)

MatheRealismus*

Philosophische Grundlage der Mathematik, welche aus den physikalischen Zwängen, denen die Mathematik unterliegt, auf die möglichen Inhalte der Mathematik schließt. Insbesondere bedingt die Endlichkeit des Universums (zumindest jedes ausnutzbaren Teils) die Endlichkeit der speicherbaren Information und damit jeder Informationsmenge. Unendliche Mengen besitzen keine Existenzgrundlage. Insbesondere existiert keine vollständige unendliche Menge natürlicher Zahlen sondern eine Menge von natürlichen Zahlen, deren Kardinalzahl kleiner als 10¹⁰⁰ ist. Diese Zahlen sind zwar alle endlich, ihrer Größe nach aber nicht beschränkt.

(* Wortschöpfung in Anlehnung an Materialismus.)

Literatur: W. Mückenheim: Die Mathematik des Unendlichen, Shaker-Verlag, Aachen 2006. http://www.fh-augsburg.de/~mueckenh/MR.mht

(gelöschten Artikeltext von W. Mueckenheim hierher übertagen --Lutz Hartmann 15:05, 9. Jan. 2007 (CET))

Widerspruchsfreiheit

Zur Mathematik verhalte es sich, wie es mag. Ich glaube, der Artikel selbst ist widersprüchlich.

Im Absatz "Logizismus" steht folgendes:

Später konnten mit komplizierteren Axiomensystemen die Widersprüche vermieden werden, so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchslos begündet werden konnten.

Im Absatz "Formalismus, Deduktivismus" steht:

[Hilbert] strebte einen konsistenten axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik an, wobei er wiederum die Natürlichen Zahlen als Ausgangspunkt wählte, in der Annahme, hier ein vollständiges und widerspruchsloses System zu haben. Dieser Auffassung hat kurze Zeit später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz den Boden entzogen.

Sind die natürlichen Zahlen nun widerspruchsfrei oder nicht?

Falls der Artikel so stimmt, wie er gerade ist, sollte auf diesen (dann) scheinbaren Widerspruch hingewiesen und seine Auflösung erklärt werden. Ich selbst verstehe leider fast nichts von logischen Kalkülen und weiß zu wenig, um die Änderung selbst vorzunehmen.

--84.178.38.85 15:56, 22. Jan. 2007 (CET)

Danke für den wichtigen Hinweis. Es ist nicht einfach, im Artikel selbst eine Erklärung einzuarbeiten - der komplizierte Gegenstand wird für den Konsumenten schnell unverdaulich - ich will das aber zusammen mit anderen Erweiterungen mal versuchen.

Hier nur kurz: mit der axiomatischen Begründung der Mengenlehre konnten die Probleme aus dem Umkreis der Russelschen Antinomie (also die Widersprüche, die sich durch Selbstbezug ergeben) beseitigt werden. Insofern sind die Natürlichen Zahlen auf ein sicheres Fundament gestellt worden.

Jahre später zeigen die Arbeiten von Gödel dann, daß die Widerspruchsfreiheit eines jeden mathematischen Gebäudes nicht bewiesen werden kann. In der Praxis der Mathematik scheint (von mir als Nichtmathematiker jedenfalls so wahrgenommen) die ganze Gödelsche Revolution seltsamerweise kein Echo zu finden. Man axiomatisiert munter weiter und leitet Satz um Satz ab. Keiner stört sich daran, daß letzlich die Konsistenz jedes mathematischen Systems aufgrund der Gödelschen Ergebnisse in der Luft hängenbleibt.

Überhaupt ist es der Mathematik ziemlich egal, was die Philosophie sagt. Sie funktioniert doch! Irgendwo habe ich gelesen, daß die meisten Mathematiker werktags Realisten und feiertags Formalisten sind - ich glaube sogar, man weiß bei den Mathematikern gar nicht, daß es diesen philosophischen Diskurs gibt. Auch den Teilchenphysikern oder den Molekularbiologen ist schnuppe, was die Philosophen glauben, zu ihren Wissenschaften bemerken zu müssen. Wie man zu Erkenntnissen kommt und wie man die Ergebnisse zu kritisieren hat, ist Teil der jeweiligen Wissenschaft selbst. Das Verhältnis von Philosophie zu den Wissenschaften ist ein Fragenkomplex der Metaphilosophie... (??) Ob das auch ein Lemma werden soll? Worüber man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.--Astrofm 18:58, 4. Feb. 2007 (CET)

Natürlich ist es den einzelnen Wissenschaften Schnuppe, was andere Welterschließungssysteme (Religion, Philosophie, Esoterik) zu Ihnen sagen. Alle Wissenschaften sind in Ihrem Geltungsbereich aber auch extrem eingeschränkt, so dass sie sich problemlos überall in diese Sinngebungssysteme integrieren oder genausogut auch ausschließen lassen. Die Geschehnisse des normalen Alltags sind viel zu komplex, um z.B. mit physikalischen Formeln oder den Modellen der Molekularbiologie adäquat beschrieben zu werden - der Abstraktionsgrad der Wissenschaften ist viel zu hoch und angesichts der Kompliziertheit der Welt sind sie nur auf ganz eng beschränkte Ausschnitte (bzw. Idealisierungen oder abgegrenzte Systeme) anwendbar - das gilt auch für große Teile der Mathematik. Natürlich kann die Mathematik die philosophischen Reflektionen über diesselbe ignorieren (wozu ich allerdings nicht raten würde), muss allerdings auch damit leben, dass die meisten Menschen die Mathematik ebenfalls komplett ignorieren (von ein bisschen Rumrechnerei mal abgesehen). ;-)

Wie man zu Erkenntnissen kommt und wie man die Ergebnisse zu kritisieren hat, ist Teil der jeweiligen Wissenschaft selbst. - dies allerdings ist eine falsche Aussage, denn wenigstens im erstgenannten Bereich haben Erkenntnis- und Wissenschaftstheorie das Sagen, und beides sind rein philosophische Disziplinen. Die Wissenschaften „borgen“ sich Ihre Konzepte dort nur aus. --Markus Mueller 19:17, 4. Feb. 2007 (CET)

Habe einen kurzen Satz angefügt, der den Unterschied hoffentlich klarer macht. Ich hoffe, er ist inhaltlich nicht falsch. --84.178.25.17 22:51, 5. Feb. 2007 (CET)

In dieser Diskussion ist ja so viel Richtiges gesagt worden, dass mir die einfache Antwort auf die eingangs gestellte Frage banal vorkommt:

Nein, es liegt kein Widerspruch vor. Die Zahlentheorie ist als widerspruchsfrei nachgewiesen, aber sie ist nachweislich nicht vollständig.

Dies widerspricht weder dem Satz, „…dass die Mengenlehre(??) und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchslos begründet werden konnten“, noch dem Satz „Dieser Auffassung (der Auffassung, ‚hier ein vollständiges und widerspruchsloses System zu haben‘) hat kurze Zeit später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz den Boden entzogen.“

Auch abgesehen von den von mir eingefügten Fragezeichen: Das ist sicher nicht die Darstellungsweise, die man sich von einer Enzyklopädie wünscht.

-- Peter Steinberg 23:07, 28. Okt. 2007 (CET)

Ähm, zur Frage oben; ein axiomatischer Aufbau der Mathematik war gerade _nicht_, was Frege wollte. Insofern ist der Hinweis an der Stelle irreführend. Frege wollte die Arithmetik nur aus der Logik entwickeln - ohne andere Axiome.--134.76.62.65 01:32, 5. Mär. 2009 (CET)

Im Teil über Logizismus findet sich dieser Teilsatz: "so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchslos begründet werden konnten." Der hier in der Diskussion vorliegende Abschnitt ist übertitelt mit "Widerspruchsfreiheit". So muss es auch heißen. "Widerspruchslos" gehorchen meine Kinder und bringen den Müll raus. Ich bin der Meinung, dass der Teilsatz lauten muss: "so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchsfrei begründet werden konnten." Jemand dagegen? Sonst ändere ich das. --Chth (Diskussion) 17:56, 10. Feb. 2019 (CET)

Nun ist es schon so, das Frege selbst ja "Grundgesetze der Arithmetik" formuliert, die die Rolle von Axiomen haben. er begründet sie zwar aus der Logik heraus. für die Arithmetik gelten sie wie Axiome. So einverstanden?-- Leif Czerny 11:01, 11. Feb. 2019 (CET)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe. Was ich meinte (und wohl unklar ausgedrückt habe), war: Das Wort „widerspruchslos“ bedeutet: „ohne dass jemand widersprochen hätte“. Im angesprochenen Teilsatz ist wohl nicht gemeint, dass die Mengenlehre ohne Widerspruch seitens anderer Mathematiker begründet werden konnte. - Das Wort „widerspruchsfrei“ hingegen bedeutet hier genau das, was es in der mathematischen Logik eben immer bedeutet, nämlich, dass in der aus diesen Axiomen folgenden Theorie kein Widerspruch abgeleitet werden kann. Das scheint mir im angesprochenen Teilsatz gemeint zu sein, und deshalb würde ich einfach das Wort „widerspruchslos“ durch „widerspruchsfrei“ ersetzen wollen. – Stimmst du dem so zu? --Chth (Diskussion) 08:09, 12. Feb. 2019 (CET)

Ach so, ich dachte, dir ginge es um die Beschreibung von Freges Vorgehen als "Axiomatisierung". Die "Widerspruchslosigkeit" habe ich ja, wie von Dir vorgeschlagen, geändert, da sind wir uns ohnehin einig.-- Leif Czerny 12:39, 13. Feb. 2019 (CET)

Neue Pläne

Nach der (nicht sehr lebhaften) Diskussion bei Grundlagen der Mathematik sind eine Menge Probleme von dort auf dieses Lemma hier verschoben worden. Wenn sich jetzt auch hier keine nennenswerte Diskussion entwickelt, packe ich die Sache mit meinen schwachen Kräften halt mal an (Ich sagte ja schon: Ich bin kein Philosoph).

Als Grundlage habe ich die englischen Artikel en:Philosophy of mathematics und en:Foundations of mathematics, und den Artikel von U. Dirks dazu im Lexikon der Mathematik ISBN: 9783827411594.

Dabei möchte ich den 3teiligen Aufbau von Grundlagen der Mathematik am liebsten beibehalten: IMHO gibt es keinen Sinn, den Formalismus unter Realismus/Platonismus zu subsummieren, noch kann man den Logizismus allem voranstellen.

Konstruktivismus ist m.E. ein Oberbegriff zu Intuitionismus und verwandten Strömungen und sollte deshalb auch so erscheinen.

Wenn jemand grundsätzliche Einwände hat, möge er sie bitte bald vorbringen.

-- Peter Steinberg 23:53, 28. Okt. 2007 (CET)

Hallo, ich habe mal einen Abschnitt zum Strukturalismus eingeschoben. Vielleicht kommt noch was zum Nominalismus. Bitte um Feedback, ist mein erster Artikel. - --134.76.62.65 21:29, 4. Mär. 2009 (CET)

Mathematik als Metasprache

bitte meine Ergänzung des Artikels genauer lesen: ist schon relevant! Danke. (nicht signierter Beitrag von 89.217.40.37 (Diskussion) 19:02, 20. Apr. 2013 (CEST))

Ich füge diese Ergänzung mal hier ein:

Eigentlicher Kern der Sache ist aber die einfache Tatsache, dass Mathematik prinzipiell eine Metasprache ist. Das hat wohl damit zu tun, dass schon der einfache Begriff „Zahl“ ein metasprachliches Phänomen beschreibt, nämlich: sie ist etwas, das die Zahl einer Menge ist - wie es Bertrand Russel in seiner Einführung in die mathematische Philosophie beschreibt (Wiesbaden, 1923 und 1930). Deshalb stimmen Mathematik und Wirklichkeit überein, und zwar so, dass etwa rein mathematische Singularitäten auch eine entsprechende Stelle (Lücke, Sprung usw.) in der physikalischen Wirklichkeit anzeigen.

Diese Ergänzung hat leider mehrere Probleme: Dies wird hier als die Lösung des Problems des Zusammenhangs von Mathematik und Wirklichkeit beschrieben. Dies ist eine Verletzung der Wikipedia-Maxime "Wikipedia:Neutraler Standpunkt ": Wir dürfen hier keine Lösungen auf philosophische Probleme präsentieren, sondern nur Standpunkte einzelner Philosophen umreißen. Der zweite Konflikt mit einer Wikipedia-Maxime scheint mir zu sein, dass es sich hier um Theoriefindung handelt: Das ist nicht die Sichtweise eines anerkannten Philosophen, die bereits so publiziert wurde und in der philosophischen Community diskutiert wird. Vielleicht liege ich da auch falsch, aber dann sollte man entsprechende Quellen angeben, aus denen das hervorgeht.

Daneben gibt es auch inhaltliche Probleme: Metasprache ist "Sprache über Sprache" und es ist nicht klar, warum eine Zahl etwas Metasprachliches sein soll, denn sie ist ja keine Sprache über Sprache. Im Zweifelsfall müsste man das auch wiederum durch eine anerkannte Quelle belegen (siehe auch Wikipedia:Belege ).

Der Zusammenhang zwischen mathematischen Singularität und Lücken in der physikalischen Wirklichkeit ist ebenfalls nicht klar, dies müsste dann ggf. ebenfalls belegt werden.

Bitte folge den von mir geposteten Links und mache Dich mit der Arbeitsweise hier in der Wikipedia vertraut. Ich bin mir im Klaren darüber, dass das wenig einladend klingt, aber so sind nun mal hier die Regeln und wir müssen uns alle dran halten. Sorry. --Hajo Keffer (Diskussion) 20:01, 20. Apr. 2013 (CEST)

Nun lieber Hajo, ich danke Dir für Deine Replik. Doch ehrlich ich verstehe Dich nicht: Wie kannst Du nur so was sagen? (das geht mit Verlaub über keine Kuhhaut). Erstens ist meine Quelle ganz klar und prominent angesagt: Russel. Mach dich doch bitte mal über ihn klug, wenn das noch nicht geschehen ist, was ich aber von Dir kaum glauben kann. Und Du wirst doch nicht behaupten, dass er nicht ein grosser und bedeutender Mann ist, auch als Philosoph. Na also. Doch eben darum: weil eine Zahl gerade das beschreibt, was die Zahl einer Menge ist, entpuppt sie sich doch gerade als das, was wir von einem Begriff über einen Begriff bzw. von Sprache über Sprache (Metasprache) seit dem 20. Jahrhundert verstehen. Ok: ich habe hier meine Meinung als unbekannter Autor dargestellt. Allerdings bin ich historisch kein anerkannter Philosoph, der bereits so und da und dort zitiert wurde. Aber publiziert habe ich und wünsche, in der philosophischen Community wenigstens der Wikipedia, die ich sehr schätze, diskutiert zu werden, besonders und vielleicht mit meinem Hauptwerk, was ich demnächst publizieren werde. (nicht signierter Beitrag von 89.217.40.37 (Diskussion) 20:48, 20. Apr. 2013 (CEST))

Hallo IP, auch von mir ein Sorry, denn ich muss Hajo zustimmen. Wir schreiben hier an einer Enzyklopädie. Das ist eine andere Textsorte als eine philosophische Arbeit, die ein Problem analysiert und versucht, dazu eine Lösung vorzuschlagen. Ich wünsche Dir bei Deiner künftig erscheinenden Arbeit viel Erfolg und Anerkennung. Was wir hier machen ist eher philologisch als philosophisch. Wir versuchen nicht, philosophische Werke selbst zu interpretieren, sondern (soweit als möglich) anhand von Sekundärliteratur das zusammenzutragen, was zu einem philosophischen Thema diskutiert wurde und wird. Hinzu kommt, dass wir uns hier darauf geeinigt haben, dass wir unsere Darstellungen möglichst nachvollziehbar machen, weil sich ja die wenigsten der Autoren aus dem richtigen Leben kennen. Auf diese Weise hoffen wir ein möglichst großes Vertrauen für den Leser in unsere Arbeit hier zu erhalten. Wenn also nach Belegen gefragt wird, sollten tatsächlich die Angaben anhand der Literatur überprüfbar sein. Dazu reicht es nicht, einen großen Namen in die Debatte zu werfen. Und es wird auch nicht akzeptiert, wenn wir hier eine eigene Interpretation eines solchen großen Philosophen (und Russell war unstrittig einer) abliefern. Wie wir das genauer meinen, kannst Du den allgemeinen Regeln entnehmen, auf die Hajo ja hingewiesen hat. Gruß Lutz Hartmann (Diskussion) 23:34, 20. Apr. 2013 (CEST)

Liebe IP, ich denke du vermengst hier Metasprache und Funktion bzw. Begriff 2. Ordnung. Es ist dir Schon recht zu geben, das Russell in seiner Einführung die Mathematik auf den Anzahlbegriff aufbaut und die Anzahlen über Prädikate der ersten Stufe bestimmen will. Sicher ist auch, das von Frege oder Russell eine starker Intetion ausgeht, probleme der natürlichen Sprache durch Übersetzungen in die ideale Sprache der Mathematik zu lösen, und mit der Logfizierung der mathematik auch eine Mathematisierung der Logik voranzutreiben. nur handel es sich dabei a) eben um spezifische philosophische Positionen, nicht um eine allgemeingültige Lösung eines Problems b) nicht um eine Antwort auf die Frage der Beziehung zwischen Mathematik und Wirklichkeit. diese ergibt scih ja erst, wenn man z.B. Russels Sprach- und Erkenntnistheorie hinzunimmt; aber z.B. Freges Ontologie sieht da schon wieder ganz anders aus, und ebenso die von Russells Partner A.N. Whtitehead.-- Leif Czerny 10:08, 22. Apr. 2013 (CEST)

Physism

Warum taucht denn hier "Physism", wie ihn Omnès, R in "Converging Realities" beschreibt nicht auf? Das Buch ist in sich sehr schlüssig geschrieben und bezieht die in Hinsicht dieses Artikels problematiscbe Quantenmechanik meiner Meinung nach schlüssig in die Betrachtung einer Philosophie der Mathematik mit ein.

Lieben Gruß, Tim Petan (nicht signierter Beitrag von 2003:56:CD10:55AD:B49D:8800:94E2:6C9C (Diskussion | Beiträge) 13:18, 30. Apr. 2015 (CEST))

Hegel?

Thematisch passend wäre noch ein kleiner Hinweis auf Hegels Gedanken zur Infinitesimalrechnung und auch Mathematik im allgemeineren. Insbesondere die drei großen Anmerkungen in der "Wissenschaft der Logik" mit fast 100 Seiten in den Druckversionen scheinen zu diesem Thema durchaus relevant (http://www.zeno.org/Philosophie/M/Hegel,+Georg+Wilhelm+Friedrich/Wissenschaft+der+Logik/Erster+Teil.+Die+objektive+Logik/Erstes+Buch%3A+Die+Lehre+vom+Sein/Zweiter+Abschnitt%3A+Die+Gr%C3%B6%C3%9Fe+%28Quantit%C3%A4t%29/Zweites+Kapitel%3A+Quantum/C.+Die+quantitative+Unendlichkeit); er beschäftigt sich dort recht ausführlich mit Lagrange und Laplace und Newton im Rahmen seiner eigenen Theorie über Quantitäten. Das haben auch Stekeler Weithofer und Anton Koch in einem Buch über Hegel und die Mathematik aufgegriffen. Wäre das okay, wenn das eingefügt würde? 79.253.127.42 22:00, 24. Jan. 2016 (CET)

Andere Theorien / Experimentelle Überprüfung

"Da die Mathematik (anders als die Naturwissenschaften) nicht experimentell überprüft werden kann ..."

Wo ist das her? Natürlich kann man z.B. die Arithmetik mit einem Taschenechner oder am Computer experimentell überprüfen. Das ersetzt zwar keinen mathematischer Beweis, ist aber zur Falsifikation einer mathematischen Aussage durchaus geeignet. --NeoUrfahraner (Diskussion) 17:42, 11. Mär. 2018 (CET)

Ich habe es jetzt rausgenommen; das war anscheinend seit der allerersten Version drinnen. Wenn hier jemand einen bessere Formulierung findet, kann man diese von mir aus hineinnehmen. --NeoUrfahraner (Diskussion) 17:27, 13. Mär. 2018 (CET)

Die Gliederung widerspiegelt nicht den Gegenstand

Der erste Satz lautet: Die Philosophie der Mathematik ist ein Bereich der theoretischen Philosophie, der anstrebt, Voraussetzungen, Gegenstand, Methode und Natur der Mathematik zu verstehen und zu erklären.

Schade, dass die Gliederung und der Text sich daran nicht halten.--Walmei (Diskussion) 10:12, 16. Mär. 2018 (CET)