Diskussion:Potenz (Mathematik)

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0^0 als undefiniert zu betrachten, ist aus heutiger Sicht für weite Teile der Mathematik obsolet; wenn 0^0 und 1 existieren, ist 0^0=1 beweisbar

[diesen Abschnitt habe ich aus thematischen Gründen hier eingefügt]

Die moderne Mathematik wird heute üblicherweise auf der Mengenlehre oder der Kategorientheorie begründet. Aus diesen theoretischen Grundlagen lässt sich formal herleiten, in welchen Fällen $0^{0}=1$ valide ist.

Nach der von Neumannschen Definition der natürlichen Zahlen als Mengen

$0=\{\},1=\{\{\}\},...$,

der Definition des Potenzobjekts $A^{B}$ als das Objekt aller Morphismen von $B$ nach $A$, speziell der mengentheoretischen Aussage $0^{0}=1$, der Eindeutigkeit des neutralen Elements $0$ des additiven Monoids und des neutralen Elements $1$ der Multiplikation sowohl in $N_{0}$ als auch im Körper der reellen Zahlen $R$, sowie der (monomorphen) Einbettung sowohl des additiven als auch des multiplikativen Monoids von $N_{0}$ in $R$, einschließlich der damit verbundenen und isomorph eindeutigen Zuordnung der jeweiligen neutralen Elemente der Addition sowie der Multiplikation, gilt also speziell auch in $R$ die Aussage $0^{0}=1$.

Die Interpretation aus der Analysis des 18. und der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts muss aus moderner mathematischer Sicht als obsolet und als die Folge eines historisch begründeten Missverständnisses über die Aussagekraft von Grenzübergängen betrachtet werden.

Die Konstruktion lässt sich auf alle Ringe und Körper übertragen, in die $N_{0}$ in gleicher Weise gleichzeitig additiv und multiplikativ monomorph eingebettet werden kann.

Allgemein gilt: Mathematische Theorien, die sich als Kategorien mit einem initialen Objekt $0$, einem Potenzobjekt $0^{0}$, also der Identität auf $0$, sowie einem terminalen Objekt $1$ interpretieren lassen, wird $0^{0}$ nach Definition des terminalen Objekts isomorph auf $1$ abgebildet. Das terminale Objekt ist i.a. bis auf Isomorphie definiert.

Umgekehrt gilt für Theorien ohne ein initiales Objekt $0$ oder ohne ein Potenz-Objekt $0^{0}$ oder ohne ein terminales Objekt $1$, dass entweder schon die Objekte $0$ oder $1$ oder das Objekt $0^{0}$ nicht in der Theorie enthalten sind. In diesen Fällen ist $0^{0}$ daher entweder nicht definiert oder nicht isomporph zu einem terminalen Objekt $1$ (das nicht existiert).

Triviales Beispiel: Die leere Theorie. Sie enthält keine Objekte, also auch nicht die $0$. Der Ausdruck $0^{0}$ findet daher in der leeren Theorie keine Entsprechung.

Die leere Theorie selbst kann hingegen als initiales Objekt $0$ einer Bikategorie von Theorien verstanden werden, in der die Identität $0\rightarrow 0$ und das Potenzobjekt $0^{0}$ definiert sind. Gibt es in der betrachteten Bikategorie der mathematischen Theorien zusätzliche ein terminales Objekt $1$, so gilt auch in dieser Bikategorie wiederum, dass $0^{0}$ äquivalent zu $1$ ist. Beachte: In Bikategorien ist es "natürlich", den Begriff der Isomorphie weiter abzuschwächen auf den Begriff der Äquivalenz. In schwachen n-Kategorien wie insbesondere der Bikategorien werden die detaillierten Betrachtungen mit wachsendem $n$ zunehmend komplexer. Solange man sich aber innerhalb der mengentheoretisch begründbaren Kategorien befindet, kann man mit dem Isomorphie-Begriff arbeiten. Die "üblichen" mathematischen Theorien sind damit bereits weitestgehend inbegriffen.

Konstruiertes Beispiel: Eine Theorie erlaubt zwar den identischen Morphismus $0\rightarrow 0$, aber nicht die Bildung von Potenzobjekten, insbesondere nicht die Bildung des Objekts, das nur aus der Identität des initialen Objekts $0$ besteht.

Die Kategorientheorie erlaubt es, Aussagen insbesondere für alle algebraisch begründbaren Theorien zu treffen. Die Aussagen lassen sich aber mit den Mitteln der Kategorientheorie über die universelle Algebra hinaus verallgemeinern.

Die Kategorientheorie ist strenger typisiert als die Mengenlehre. Daher werden Objekte, in der Mengenlehre oft als gleich bezeichnet werden, in der Kategorientheorie nur als isomorph bezeichnet. Ob in der betrachteten Theorie also genau ein terminales Objekt $1$ oder weitere hierzu isomorphe terminale Objekte existieren, ist in dem hier besprochenen Kontext nicht maßgeblich. Es ist also nicht relevant, ob $0^{0}=1$ oder $0^{0}\cong 1$ gilt, wenn ich hier das Symbol $A\cong B$ für die Isomorphie von $A$ und $B$ verwende. Denn das gilt in gleicher Weise für andere Potenzobjekte der Theorie, in $R$ z.B. streng genommen $3^{4}\cong 12$.

Zu den kategerientheoretschen Grundlagen mathematischer Theorien, siehe insbesondere "Categories for the Working Mathematician", Saunders MacLane und Samuel Eilenberg (aka. CWM)

Zu den Ursprüngen der elementaren Details der Einbettung von $N_{0}$ in $R$, siehe z.B. Dedkind, Hilbert oder Edmund Landau, "Grundlagen der Analysis", 1930. Diese elementaren Grundlagen werden in zahllosen Analysis-Lehrbüchern mehr oder minder ausführlich dargestellt.

Die Begründung der natürlichen Zahlen wird sowohl in der Literatur über Mengenlehre als auch in der Literatur über Kategorientheorie ausgiebig behandelt, in der Kategorientheorie unter dem Stichwort "NNO" für "natural number object".

Sieha auch "cartesian closed category", CCC, für Kategorien mit Potenzobjekt.

Eine Wikipedia-konforme Ausarbeitung überlasse ich Autoren, die mit den Wikipedia-Konventionen besser vertraut sind als ich. --2003:CB:BF0C:62A2:E84A:F0BA:A396:D6E7 10:43, 18. Feb. 2022 (CET)

In vielen Punkten bin ich ähnlicher Meinung. Die Definition nach von Neumann habe ich in einem Unterabsatz Mengenlehre dargestellt und $0^{0}=1$ dort bewiesen. Das ist also schon da.

Mir gefällt der vorangehende Teil über 0 hoch 0 auch nicht. Klar sollte man darstellen, dass es historisch fehlgeschlagene Versuche einer stetigen Fortsetzung gab und dass über den Versuch einer stetigen Fortsetzung keine Festlegung gefunden werden kann. Aber dann muss es auch gut sein!

Alles andere ist natürlich eine Definitionssache. Auch in den NNOs fügen sich die Definitionen schön und naheliegend so zusammen, dass es passt. Es ist unstrittig, dass das alles sinnvoll ist. Mir gefällt im Haupttext ebenfalls nicht, dass ein Schul-Lehrbuch wie Lambacher-Schweizer hier überhaupt eine Rolle spielen sollte, auch den hinteren Teil des Absatzes Analysis halte ich für Geschwurbel. In allen mathematischen Teilgebieten wird 0 hoch 0 zu 1, entweder beweisbar, weil andere Axiome schön gewählt sind, oder kraft Definition (Polynome in der Algebra, Ordinalzahlenarithmetik, ...) und gut ist's. Es gibt keine andere sinnvolle Festlegung. Auch ich würde mich freuen, wenn das deutlicher herausgestellt würde, aber ich fürchte, für eine solche Änderung braucht es einen langen Atem, wie andere Diskussionen auf dieser Seite zeigen.--FerdiBf (Diskussion) 14:51, 18. Feb. 2022 (CET)

Vielen Dank für Ihr promptes Feedback und Ihr treffliches Beispiel aus der Mengenlehre, das Sie bereits in den Artikel eingearbeitet hatten! Das ist immerhin ein Anfang. Vielleicht würde es helfen, mehr Beispielmaterial aus der Literatur zu beschaffen. Leider wird da $0^{0}=1$ selten explizit erwähnt, einfach da es zu trivial ist. Aber man findet allgemeiner $x^{0}=1$ für alle $x$ und $0^{x}=0$ für $x\neq 0$.

Siehe etwa Seite 68, oben, als Übungsaufgabe zu bicartesischen Kategorien https://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2007/lambda_calculi.pdf

Auch in der Wikipedia ist das unter https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category#Bicartesian_closed_categories erwähnt.

Viel allgemeiner kann man die Frage nach dem Wert von $0^{0}$ eigentlich kaum sinnvoll stellen.

Vielleicht könnte man noch demonstrieren, dass der Grenzwert i.a. nichts über den Funktionswert an der Grenze aussagt, siehe z.B. Treppenfunktionen, sondern nur unter bestimmten Annahmen über die Differenzierbarkeit wie etwa bei holomorphen Funktionen, was ja eigentlich im Wikipedia-Artikel ebenfalls erwähnt ist.

Aber wenn Sie sich da als Wikipedia-"Insider" schon an den Beharrungskräften des 18. und 19. Jahrhunderts die Zähne ausbeißen, kann ich da wohl als Außenstehender auch nicht allzu viel ausrichten.

Trotzdem nochmals vielen Dank!

--2003:CB:BF0C:62A2:E84A:F0BA:A396:D6E7 15:44, 18. Feb. 2022 (CET)

"Eine Wikipedia-konforme Ausarbeitung überlasse ich Autoren, die mit den Wikipedia-Konventionen besser vertraut sind als ich"

  "Klar sollte man darstellen, dass es historisch fehlgeschlagene Versuche einer stetigen Fortsetzung gab und dass über den Versuch einer stetigen Fortsetzung keine Festlegung gefunden werden kann.\\
   Aber dann muss es auch gut sein!" 
  

Es ist gut: Die Ausarbeitung ist ausgearbeitet - da braucht es keine weitere Ausarbeitung mehr. 0^0 ist und bleibt undefiniert - und das zu Recht, siehe Artikel. --erdimax 01:30, 21. Feb. 2022 (CET)

Wenn etwas undefiniert ist, hat man ja die Freiheit es zu definieren, und $0^{0}:=1$ ist eine sehr weit verbreitete Definition, deren Nutzen wohl außer Frage steht. Dass es einige (sehr wenige) Autoren, gibt, die $0^{0}$ nicht definieren, steht dem nicht entgegen und ist zudem eine verschwindende Minderheit. Ich teile die oben geäußerte Kritik an der bestehenden Ausarbeitung, in der meiner Meinung nach die in der Mathematik übliche Konvention nicht deutlich genug wird. Dagegen kann ich das Dogma "0^0 ist und bleibt undefiniert - und das zu Recht" nicht teilen, die mathematische Literatur unterstützt dieses Dogma nicht. Noch einmal zur Klarstellung: Die behauptete Beweisbarkeit teile ich nicht, obwohl es Kontexte gibt, in denen das so ist, siehe Unterabschnitt Mengenlehre. Es geht nicht um irgendwelche Beweise, sondern lediglich um eine sehr, sehr weite verbreitete Definition, und Definitionen kann man nicht beweisen.--FerdiBf (Diskussion) 07:53, 21. Feb. 2022 (CET)

Klar kann man in der Mathematik nur unter bestimmten Annahmen Theoreme beweisen. Diese Annahmen sind Definitionssache. Sobald man aber $x^{0}$ als leeres Produkt interpretiert (im Rahmen des Currying), gilt $x^{0}=1$ unter sehr allgemein gehaltenen Annahmen, die $0^{0}=1$ mit einschließen. Siehe dazu den Blog-Artikel "Why is an empty sum 0 and an empty product 1?" von John D. Cook. Diese Auffassung wird von den Autoren kategorientheoretischer Arbeiten durchgängig vertreten, siehe etwa Saunders Mac Lane et al. Die Kategorientheorie kann als Überbau und Vereinheitlichung mathematischer Theorien verstanden werden. Man kommt also mengentheoretisch und kategorientheoretisch zur gleichen Schlussfolgerung.

Man könnte hier viele Beispiele anführen, etwa $0!=1$ als leeeres Produkt (wie im gleichnamigen Wikipedia-Artikel) oder für kartesische Produkte oder andere Produkträume, etwa Vektorräume, $M^{0}\times M^{n}\cong M^{0+n}\cong M^{n}$, was nur mit $M^{0}\cong 1$ sinnvoll ist. Zudem kennt das leere Produkt seine Basis eigentlich gar nicht. Eine Fallunterscheidung nach der Basis macht keinen Sinn. Das Ergebnis ist das jeweilige neutrale Element 1 der Multiplikation oder noch allgemeiner formuliert, das terminale Objekt 1 der jeweiligen Kategorie, falls es existiert. Die Begründung ist dual zu der Begründung, dass die leere Summe (aka Coprodukt) gleich 0 sein muss.

Speziell für die reellen Zahlen lassen sich die natürlichen Zahlen kanonisch per additiven und multiplikativen Monoid-Monomorphismus in die reellen Zahlen einbetten. Die über die Mengenlehre definierten natürlichen Zahlen sind isomorph zu denjenigen natürlichen Zahlen, die als Teilmenge der reellen Zahlen interpretiert werden. Aus Konsistenzgründen sollte daher 0^0=1 auch für die reellen Zahlen gelten. Analoges gilt für alle algebraischen Strukturen, in die sich die natürlichen Zahlen einbetten lassen.

Der IEEE-Standard IEEE-754-2008, "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic" legt unter "9.2.1 Special values" auf Seite 44 fest: "pown(x, 0) is 1 for any x (even a zero, quiet NaN, or infinity)", "pow(x, ±0) is 1 for any x (even a zero, quiet NaN, or infinity)". Nur für die als $e^{y\ln x}$ definierte Potenzierung schreibt der IEEE-Standard: "For the powr function (derived by considering only exp(y×log(x))): powr(±0, ±0) signals the invalid operation exception".

Zur praktischen Relevanz von IEEE-754-2008 schreibt das Intel-Paper "Intel and Floating-Point, Updating One of the Industry's Most Successful Standards" (floating point case study) "Had overflow merely obeyed the IEEE 754 default policy, the recalibration software would have raised a flag, delivered with an invalid result to be ignored by the motor guidance programs, and the Ariane 5 would have persued its intended trajectory." Was mit einer Fehlinterpretation eines Overeflows passieren kann, kann auch mit einer Fehlinterpretation von $0^{0}$ im Sinne des IEEE passieren.

Obgleich sich Technologieunternehmen bei kritischen Systemen nicht auf die Wikipedia verlassen werden, würde ich dennoch dafür plädieren, missverständliche Passagen in Wikipedia-Artikeln klarzusetellen.

Der Vollständigkeit halber könnte man erwähnen, dass in der Analysis die Aussage $0^{0}=1$ mit Mitteln der Grenzwertbetrachtungen nicht allgemein beweisbar ist.--2003:CB:BF08:8FE7:9D70:9EAF:817A:DA6B 15:00, 24. Feb. 2022 (CET)

Falsche Ausdrucksweise

Der Satz

"Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert."

ist falsch bzw. missverständlich formuliert. An einem einfachen Beispiel wird dies klar:

Wenn ich die Zahl 3 viermal zu sich selber addiere, so erhalte ich die Ergebnisse: 6 , 6 , 6 , 6 .

Wenn ich die Zahl 3 viermal mit sich selber multipliziere, so erhalte ich die Ergebnisse: 9 , 9 , 9 , 9 .

Um zur Potenz 3⁴ zu kommen, muss man das Produkt aus 4 identischen Faktoren 3 bilden: 3⁴ = 3 * 3 * 3 * 3 (wobei der Faktor 3 viermal auftritt). --Yakob (Diskussion) 13:12, 17. Jun. 2020 (CEST)

Ich habe den Satz umformuliert und das "zu sich selbst" entfernt. Damit habe ich das (unerwartete aber nicht ganz unbegründete) Missverständnid hoffentlich aus dem Weg geräumt.--FerdiBf (Diskussion) 12:22, 10. Feb. 2021 (CET)

Servus FerdiBf,

was spricht eigentlich gegen die folgende Formulierung?

• So wie das Multiplizieren eine Addition mit gleichen Summanden ist, ist das Potenzieren eine Multiplikation mit gleichen Faktoren.

der Satz

Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.

führt evtl. zu einem ähnlichen Missverständnis wie von Yakob gesehen:

Beispiel erster Summand nicht definiert: 4 + 3 + 3 ...

Beispiel erster Faktor nicht definiert: 4 • 3 • 3 ...

Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 17:20, 10. Feb. 2021 (CET)

Es geht hier nur um sprachliche Befindlichkeiten, denn die nachfolgenden Definitionen lassen für die hier vorliegenden Missverständnisse keinen Spielraum. Der Beginn der iterierten Operation ist natürlich das jeweilige neutrale Element und nicht 4. Man könnte auch ohne Hinweis auf Summanden und Faktoren einfach formulieren:

• So wie die Mulpiplikation als iterierte Addition definiert ist, so wird das Potenzieren als iterierte Multiplikation eingeführt.

Die Formulierung "Wie beim Multipliziren..." missfällt mir ein wenig, weil niemand wirklich so multipliziert. Ich meine, dass man hier im Einleitungsteil nicht versuchen sollte, die spätere Definition verbal präzise zu treffen. Eine gute Andeutung, wohin die Reise geht, scheint mir besser, denn der Einleitungsteil sollte sehr leicht verständlich sein. Der Leser (ja, und natürlich auch die Leserin) wird dann ja sehr schnell mit den unmissverständlichen Definitionen bekannt gemacht und die im Einleitungsteil gemachte Andeutung wird mühelos wiedererkennbar.--FerdiBf (Diskussion) 20:04, 10. Feb. 2021 (CET)

Nun, es ist bedenklich, wenn du der Meinung bist: „Es geht hier nur um sprachliche Befindlichkeiten ...“ Viele Grüße und bleibe gesund!--Petrus3743 (Diskussion) 23:47, 10. Feb. 2021 (CET)

Exponenzieren, Potenzieren?

Müsste man nicht noch das Potenzieren (bei 2^3 wird die 2 mit 3 potenziert) vom Begriff "Exponenzieren" (bei 2^3 wird die 3 durch die 2 exponenziert) unterscheiden? In einem Lehrbuch haben wir auch den Begriff "exponieren" gefunden, den wir jedoch etwas unglücklich finden. Wie nennt ihr das denn, wenn ihr eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Basis ergänzt? a=b wird zu e^a = e^b ?? Ph. G. Freimann (Diskussion) 06:57, 6. Apr. 2022 (CEST)

Der Begriff "exponenzieren" wird jedenfalls hier und auch hier in Fachbüchern verwendet. Djat (Diskussion) 00:54, 21. Apr. 2022 (CEST)

Potenzwert

Ich bin hier gelandet, weil ich wissen wollte, wie man eigentlich eine Potenz ausrechnet, also den Zahlenwert y=r^s ermittelt. (Zuvor hatte ich Schiffbruch erlitten: Im Artikel über Wurzeln gibt es einen Abschnitt über deren iterative approximative numerische Bestimmung mittels des Newtonverfahrens, und dann dachte ich mir, das Verfahren ist ja schließlich nicht auf natürliche Wurzelexponenten beschränkt, damit kann man doch schließlich beliebige Potenzwerte bestimmen, und das Wurzelziehen ist nur ein Spezialfall davon. Nein, kann man nicht: i. a. treten in der Rekursionsformel nämlich nicht nur natürliche, sondern beliebige Potenzen auf, und um den Potenzwert zu ermitteln, muß man also erst einmal Potenzwerte ermitteln können, maW das funktioniert nicht.) Nun steht das hier aber nicht und auch nicht der durchaus angebrachte Warnhinweis, daß das eben mittels der vier Species mit geschlossenen Ausdrücken i. a. nicht geht. Es fehlt also offensichtlich ein Abschnitt "Potenzwerte", der vom Einfachen zum Schwierigen fortschreiten, also mal ganz simpel mit dem Ausmultiplizieren bei natürlichen Exponenten anfangen und dann zu rationalen Exponenten als Kombination von Ausmultiplizieren und Wurzelziehen Fortschreiten und irgendwann auch die maschinenüblichen Methoden mittels Aproximationen der e-Funktion über Reihenentwicklungen usw. behandeln sollte. Stattdessen schlägt dort unvermittelt der Abschnitt "Potenzwert mit Zirkel und Lineal" auf, der in der Überschrift aber gar nicht verrät, daß es sich lediglich um ein geometrisches Verfahren für ausschließlich natürliche Potenzen handelt; wenn, dann gehört das als Unterpunkt unter die Kapitelüberschrift "Ermittlung von Potenzwerten". --77.3.153.23 07:55, 19. Jun. 2022 (CEST)

Der Artikel erklärt doch zuerst, wie der "Potenzwert" für natürliche Exponenten berechnet wird. Dann folgen ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten. Das baut sukzessive aufeinander auf. Man könnte höchstens noch elementarer mit der Mengenlehre anfangen. Dann wäre übrigens auch von vorneherein klar, dass 0^0=1 sein muss und man könnte sich den Kokolores darüber in der Analysis sparen. Für Mengen A und B besteht die Menge A^B aus allen Abbildungen von B nach A. Das überträgt sich auf die natürlichen Zahlen, indem man die Kardinalität (Anzahl der Elemente) der jeweiligen Menge betrachtet. --2003:CB:BF04:3AE6:50D7:EB55:1F26:DE60 01:48, 29. Jun. 2022 (CEST)

Abschnitt Null hoch Null identisch mit Division durch Null, mit Beweis

Nachdem der relevante mathematische Beweis kommentarlos revertiert wurde (dazu ausschlaggebend war die Ausnutzung der Wikipedia-Regeln, nicht der mathematische Beweis[1]):

Der Ausdruck „Null hoch Null“, also $0^{0}$, ist gleichbedeutend mit der „Division durch Null“, folglich gibt es für diesen Ausdruck keine Lösung (siehe dort, Abschnitt "Mathematischer Beweis", "2. Fall" - d.h. hier braucht nicht mehr spekuliert zu werden, die Beweisführung steht schon dort).

Klassischer mathematischer Beweis für $0^{0}={\frac {0}{0}}$ mittels einfacher Umformung:

$0^{0}=0^{(1-1)}=0^{1}0^{-1}={\frac {0^{1}}{0^{1}}}={\frac {0}{0}}$

Meine Bitte: Revertiert wurde wohl von jemandem, der das nicht versteht. Vielleicht gibt es hier jemanden, der nicht nur die Wikipedia-Regeln kennt, sondern sich mit Beweisen in der wissenschaftlichen Mathematik auskennt. In der Mathematik wird nicht einfach kommentarlos gelöscht, sondern bewiesen, ein Gegenbeweis geführt oder gezeigt, dass im Beweis ein Fehler wäre. Danke!

Zudem für den Abschnitt entscheidend: Lösungen zu $0^{0}$ sind in der Analysis daher nur für Grenzwert-Näherungen möglich, mit unterschiedlichem Ergebnis je nach Anwendungsfall, eben genauso wie bei ${\frac {0}{0}}$, da gilt: $0^{0}={\frac {0}{0}}$. --92.74.40.231 23:02, 23. Aug. 2022 (CEST)

Lieber Benutzer:92.74.40.231, bitte belege deine Einträge durch qualifizierte Quellen! --Nomen4Omen (Diskussion) 09:12, 24. Aug. 2022 (CEST)

Deine Folgerung ist falsch. Das Problem ist nicht $0^{0}$, sondern $0^{-1}$, was nicht definiert ist, da man nicht durch 0 teilen kann. Wäre deine Argumentation richtig, dann gäbe es gar keine Potenzen von 0, denn dann könnte man z. B. auch schreiben

$0^{2}=0^{(3-1)}=0^{3}0^{-1}={\frac {0^{3}}{0^{1}}}={\frac {0}{0}}$

Der Punkt ist, dass die Potenzregel $a^{r-s}=a^{r}a^{-s}$ nur dann gilt, wenn alle Bestandteile, insbesondere $a^{-s}$ auch definiert sind.

--Digamma (Diskussion) 11:49, 24. Aug. 2022 (CEST)

Lieber Benutzer:92.74.40.231, wie der Artikel herausarbeitet, bist du nicht in schlechter Gesellschaft. Ganz große Asse haben an dem Problem schon rumgedoktert. Aber ähnlich (wie soeben Digamma) arbeitet der Artikel heraus, dass es ziemlich unterschiedliche Rechnungen gibt (5 Beispiele bringt der Artikel), bei denen nach einer Art „Zwischenergebnis“ (nämlich, wenn man die Limites für Basis $x\to 0$ und Exponent $y\to 0$ ausgewertet hat) bei $x^{y}$ auf jedes Ergebnis im (abgeschlossenen) Intervall $[0,+\infty ]$ kommen kann.

Das muss einen doch stutzig machen, einen, der eine fixe reelle Zahl haben möchte – wie du. Zugegeben, deine Lösung ist außerordentlich sympathisch, und hat (wie im Artikel erwähnt) sehr viele Anhänger gehabt. Aber Sympathie hin oder her, sie ist keine mathematische Kategorie, insbesondere nicht, wenn man eine simple reelle Zahl haben möchte, aber mathematisch zu 100% korrekte Grenzwertbildungen derart viele unterschiedliche Resultate zeitigen.

Da ist es doch besser, (wie das Analysis-Lehrbuch Lambacher Schweizer) 0⁰ als nicht eindeutig definierbar aufzufassen, genauso wie man es bei der Division durch 0 machen musste. [Und anders als die Beispielgrenzwerte schrammt deine Rechnung an einer Division durch 0 vorbei (s.a. die Erläuterung von Digamma).]

--Nomen4Omen (Diskussion) 18:09, 24. Aug. 2022 (CEST)

Natürlich ist ${\frac {0}{0}}$ nicht lösbar, das ist exakt der Punkt, wie ich oben beschrieb.

Nochmal zur Erklärung die Umformung ausführlich, die auch das „oft pragmatische“ „Ergebnis“ „1“ ableitet, das wäre nämlich der Grenzwert der Umformung:

$\lim _{x\to 0}x^{0}=\lim _{x\to 0}x^{(1-1)}=\lim _{x\to 0}x^{1}x^{-1}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{1}}{x^{1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}$

Offensichtlich führte ein $x=0$ direkt zu $0^{0}={\frac {0}{0}}$ – was eben nicht lösbar ist: Für die „Division durch Null“ ${\frac {0}{0}}$ gibt es keine Lösung (siehe verlinktes Lemma, Abschnitt „Mathematischer Beweis“, „2. Fall“), somit natürlich auch nicht für $0^{0}$.

(ehemals 92.74.40.231) --M0lask (Diskussion) 10:06, 25. Aug. 2022 (CEST)

Hier dieselbe Umformung zum dritten Mal, in der präzisen Schreibweise auch innerhalb der Umformung (dafür für viele noch weniger verständlich):

$\forall \varepsilon >0$: $(0+\varepsilon )^{0}=(0+\varepsilon )^{(1-1)}=(0+\varepsilon )^{1}\cdot (0+\varepsilon )^{-1}={\frac {(0+\varepsilon )^{1}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {0+\varepsilon }{0+\varepsilon }}$

--M0lask (Diskussion) 11:44, 25. Aug. 2022 (CEST)

Lieber M0lask, erstmal schön, dass du dich angemeldet hast.

Tatsächlich hatte ich dich falsch interpretiert, indem ich dir unterstellte, dass du $0^{0}$ als math Ausdruck retten wolltest. Jetzt endlich habe ich kapiert, dass du sagen wolltest

$0^{0}$ ist als math Ausdruck GENAUSO WITZLOS wie $0/0$.

Fraglos viel besser. Dennoch, was ich daran zu verstehen versuche, ist, dass du sagen willst: Ich habe hier einen unbrauchbaren math Ausdruck und ich kann daraus auf »mathematisch allersauberste Weise« einen anderen unbrauchbaren Ausdruck ableiten. Damit verbleiben bei mir 2 Probleme:

1. Was soll dieses Rumrechnen in math Sumpfgebieten?
2. Ich finde, dass die Unbestimmtheit von $0^{0}$ einen ganz anderen Charakter hat ist als die von $0/0$. (Die Grenzbetrachtungen für $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ sind ganz andere als die bei $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x/y$.
   Übrigens: Die Anzahl 2 der Variablen kann ich in deinen neuen Beispielen nicht erkennen.)

Obwohl ich dein Anliegen jetzt besser verstehe, finde ich diesen Beitrag nicht wirklich hilfreich.

[Desweiteren:

Es scheint bei allem dem vielen Leuten Schwierigkeiten zu machen, dass die Mathematiker sich dazu durchringen, etwas undefiniert zu lassen, wenn durch eine Definition jedweder Art andere Gesetze, die als wertvoll und brauchbar sich herausgestellt haben, in die Krise kommen.] --Nomen4Omen (Diskussion) 12:42, 25. Aug. 2022 (CEST)

Mir geht es um maximale Vereinfachung des Problems zu „$0/0$“, das bereits im anderen Wikiepdia-Lemma schön explizit aufgeführt ist.

Gehen wir Dein Beispiel mit $x$ und $y$ als Umformung in der mathematischen Notation allgemein durch (Du siehst, Deine beiden Grenzwert-Notationen sind tatsächlich nicht identisch):

$\forall \varepsilon >0,\delta \geq 0$: $(0+\varepsilon )^{(0+\delta )}=(0+\varepsilon )^{(\delta +0)}=(0+\varepsilon )^{(\delta +1-1)}=(0+\varepsilon )^{(\delta +1)}\cdot (0+\varepsilon )^{-1}={\frac {(0+\varepsilon )^{(\delta +1)}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {(0+\varepsilon )^{(1+\delta )}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {(0+\varepsilon )^{(1+\delta )}}{0+\varepsilon }}$

Wenn nun $\delta$ gegen Null geht, kann es auch direkt als „0“ eingesetzt werden, und wir sind beim vereinfachten Beispiel obiger Notation, mit dem auch die außerhalb der Mathematik oft übliche Verwendung des „Scheinergebnisses“ „1“ direkt erklärt werden kann:

$\forall \varepsilon >0$: $(0+\varepsilon )^{0}={\frac {0+\varepsilon }{0+\varepsilon }}$

Mir geht es darum, dass im Artikel die Unbestimmtheit des Ausdrucks „$0^{0}$“ zu wenig hervorgeht. Die Formulierung „Die Frage, ob und auf welche Weise dem Ausdruck…“ unterstellt, dass es da noch Unklarheiten gäbe. Doch die gibt es ebenso wenig wie bei „${\frac {0}{0}}$“, wie Cauchy schon vor 201 Jahren aufführte. Ein Satz wie „Donald E. Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse…“ suggeriert, hier gäbe es verschiedene Sichtweisen, dabei war er Informatiker, kein Mathematiker. Natürlich arbeiten Disziplinen wie Physik, Informatik, etc. mit vielen mathematisch gesehen unzulässigen „Abkürzungen“, die meist ihren Zweck erfüllen. Doch das ist keine wissenschaftlich fundierte Mathematik mehr, sondern nur noch deren pragmatische Anwendung. Tools wie die „Rechner“-App unter Windows etc. tragen ebenso zur Irreführung bei. --M0lask (Diskussion) 13:56, 25. Aug. 2022 (CEST)

Lieber M0lask, wie ich schon ausgeführt habe, bin ich entschieden GEGEN eine Zurückführung des Problems auf $0/0$. (Welches andere Wikipedia-Lemma meinst du, wo das schön explizit aufgeführt ist? Ich habe nur Division (Mathematik)#Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich gefunden, und dort geht es mMn NICHT um $0/0$, sondern um $x/0$. Für richtige Rummmmmacher ist das in KEINER WEISE dasselbe!)

Im Gegensatz zu dir finde ich, dass im Artikel die Unbestimmtheit des Ausdrucks $0^{0}$ gut genug hervorgeht: Es werden 5 Grenzwerte gezeigt, die alle 5 den Limes $\scriptstyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ enthalten. Mit unterschiedlichen Abhängigkeiten zwischen $x$ und $y$ gemäß

Knuth differenziert jedoch und schreibt: “Cauchy had good reason to consider $0^{0}$ as an undefined limiting form” (deutsch etwa: Cauchy hatte guten Grund, $0^{0}$ als unbestimmten Limes-Ausdruck zu betrachten), wobei er unter der limiting form $0^{0}$ Grenzprozesse der Form $\lim x(t)^{y(t)}$ versteht, bei denen sich sowohl die Basis $x(t)$ wie der Exponent $y(t)$ für ein gewisses $t$ der 0 beliebig nähern.

Kann sein, dass es bessere Beispiele gibt; kann sein, dass man alles besser herausarbeiten oder kürzer sagen könnte. Aber den Weg über $0/0$ halte ich trotz deiner vielen Worte für keinen guten Weg. Weil nun mal in $0^{0}$ eine Division durch 0 überhaupt nicht wirklich vorkommt. Nimm nur $\forall y>0:0^{y}=0$ und $\forall x\neq 0:x^{0}=1$, siehst du da irgendwo eine Division durch 0??

--Nomen4Omen (Diskussion) 16:37, 25. Aug. 2022 (CEST)

Ich halte den Zusammenhang zwischen $0/0$ und $0^{0}$ ebenfalls für nicht schlüssig. Er kommt dadurch zustande, dass durch 0 geteilt wird. Mit einer Division durch 0 kann man bekanntlich viel Schabernack treiben. Die Unbestimmtheit von $0^{0}$ und übliche Definition (kein Beweis!) als 1 ist mehr als ausreichend im Artikel dargestellt. Und ja, ich habe den Argumentationsversuch, einen Zusammenhang zwischen der Unbestimmtheit von $0^{0}$ und $0/0$ herzustellen, vollständig verstanden und als fehlerhaft erkannt, eben weil durch 0 geteilt wird. Ich spreche mich daher ebenfalls gegen eine entsprechende Erweiterung des Abschnitts "Null hoch Null" des Artikels aus.--FerdiBf (Diskussion) 17:01, 25. Aug. 2022 (CEST)

@Nomen4Omen, @M0lask: $0^{0}$ ist von ganz anderer Qualität als $0/0$. M.E. stellt der Artikel das auch einigermaßen gut dar. Etwa mit dem Satz "Ein Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht und der sich nicht auf Grund von Grenzwertsätzen und Stetigkeitseigenschaften berechnen lässt, heißt unbestimmter Ausdruck." Essenz: $0^{0}=1$ erweist sich nicht ohne weiteres als widersprüchlich oder sonstwie problematisch. Wenn man Stetigkeit haben will, klar. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:16, 28. Aug. 2022 (CEST)

Erweiterte Definition des Begriffes Potenz

Ich muss noch nach der Quelle suchen, will aber keine Theoriefindung betreiben. Ich halte allerdings die folgende Definition für sehr hilfreich und ohne Widersprüche zu bestehenden Regeln und Begriffen: Die Schreibweise einer Zahl als Potenz a^b bedeutet: "Multipliiziere die Zahl 1 (neutrales Element bezüglich der Multiplikation) mit der Basis a, so oft, wie die Hochzahl b angibt." Dann wird bei 2^3 tatsächlich 3mal multipliziert. Auch ist a^0 kein Problem: Die Zahl 1 wird mit a multipliziert, allerdings 0mal. Also ist das Ergebnis 1. Einleuchtend ist auch die Paralellität zur Definition der Multiplikation: "b*a bedeutet: Zur Zahl 0 (neutrales Element bezüglich der Addition) wird die Zahl a addiert, so oft, wie die Zahl b angibt." --Djat (Diskussion) 20:45, 11. Sep. 2022 (CEST)

Genauso steht bereits im Artikeltext.--FerdiBf (Diskussion) 07:28, 12. Sep. 2022 (CEST)

Danke, FerdiBf. Und jetzt rate mal, wer das am 15.03.2006 um 14.13 Uhr eingefügt hat. 😖 Djat (Diskussion) 19:52, 12. Sep. 2022 (CEST)

Obige Formulierung klang eher wie ein Vorschlag, insbesondere wegen des Hinweises auf mögliche Theoriefindung. Ich war daher nicht davon ausgegangen, dass Du da das schon eingefügt hattest. --FerdiBf (Diskussion) 07:24, 13. Sep. 2022 (CEST)

Ich habe erstens nicht genau hingeschaut und zweitens vergessen, dass ich da schon mal was gemacht hatte. Eigene Blödheit; deshalb: 😖 und sorry. Ich werde mal nach der Quelle suchen, sehr wahrscheinlich aus der Schweiz. Djat (Diskussion) 23:30, 14. Sep. 2022 (CEST)

Natürlich wäre es fein, wenn Du eine Literaturstelle finden könntest. Aber für mein Verständnis ist der vom Leser zu tätigende Denkschritt so klein und so kurz, dass man ihn ihm auch ohne Beleg zumuten kann. Ich finde, dass man ihm das Denken beim Lesen nicht völlig abnehmen kann. Liege ich da falsch? --Nomen4Omen (Diskussion) 16:08, 15. Sep. 2022 (CEST)