Diskussion:Quadrik

Erklärung

Hier wäre eine Erklärung schön, wie man von der Funktion q: R^n->R zu der Figur (der Punktmenge ) gelangt, die u.a. unter "Kurven zweiter Ordnung" gezeigt sind. -- hauix 11:30, 12. Sep 2005 (CEST).

Unterschied: Quadratische Form und Quadrik

Die Begriffe Quadrik und Quadratische Form sind in keinem Fall Denkungsgleich, wie es in diesem Artikel dargestellt wird. Außerdem behandelt dieser Artikel nur einen winzigen Spezialfall der Theorie quadratischer Formen. Die Theorie quadratischer Formen hat drei Aspekte:

• In der Zahlentheorie werden homogene Polynome vom Grad 2 dahingehend untersucht, ob sie über den natürlichen Zahlen oder über den ganzen Zahlen Lösungen haben, wie man diese Lösungen finden kann, und wie diese Lösungen von den Koeffizienten und der Anzahl der quadratischen Monome abhängen.
• In der Geometrie wird versucht, die Lösungsmengen homogener quadratischer Gleichungen (meist über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$) zu klassifizieren. Diese Lösungsmengen heißen Quadriken! Die Untersuchung solcher Lösungsmengen (auch Varietäten) über beliebigen Körpern findet in der algebraischen Geometrie statt.
• Schließlich gibt es die algebraische Theorie quadratischer Formen, die sich ganz abstrakt mit homogenen Polynomen vom Grad 2 beschäftigt. Der Begriff "quadratische Form" stammt aus diesem Bereich. In der Algebra wird versucht anisotrope quadratische Formen, d.h. quadratische Formen, die nur die triviale Nullstelle besitzen, zu klassifizieren.

Deshalb ist es dringend notwendig, die Artikel über quadratische Formen und Quadriken zu trennen. Dieser Artikel, so wie es bisher besteht, gehört vollständig in das Gebiet der reellen Geometrie. Entsprechend schlage ich vor, die Definition von quadratischen Formen vollkommen neu zu formulieren. Die Beziehung zwischen quadratischen Formen, symmetrischen Bilinearformen und symmetrischen Matrizen muss verdeutlicht werden. Außerdem sollte auf die Schwierigkeiten hingewiesen werden, die man über Körpern der Charakteristik 2 bekommt. Die Beispiele aus diesem Artikel sollten vollständig in den Artikel über Quadriken verlegt werden. --Ktruehl 03:36, 14. Mai 2006 (CEST)

Der obigen Kritik muss ich mich anschließen. Unter einer Quadrik wird üblicherweise nicht eine Funktion, sondern eine Kurve bzw. Fläche bzw. Hyperfläche zweiter Ordnung verstanden. M. E. sollte der Artikel vollständig neu geschrieben werden. Falls Wikipedia auch dieser Meinung ist: Wer kann bzw. soll das tun? --Hanfried.lenz 17:59, 29. Okt. 2007 (CET).

--Hanfried.lenz 17:51, 29. Okt. 2007 (CET).

Ich habe jetzt einen vorläufigen Artikel "Quadrik" geschrieben. Der kann aber m. E. von anderen Bearbeitern noch verbessert werden. --Hanfried.lenz 11:38, 30. Okt. 2007 (CET).

Und den widerrufe ich jetzt. Denn ich sehe jetzt, wie man durch Wortänderungen den ursprünglichen Artikel in Ordnung bringen kann. Das habe ich jetzt versucht. Was meinen andere Benutzer dazu? --Hanfried.lenz 19:07, 30. Okt. 2007 (CET).

Im großen und ganzen scheint es mir in Ordnung. Schön fände ich, wenn Du die Beispiele aus deinem vorläufigen Artikel mit einarbeiten könntest.

Was ich nicht verstehe: Wozu der Faktor 2 vor dem linearen Glied?--Digamma 20:32, 31. Okt. 2007 (CET)

Noch ein paar Ergänzungen: 1. Definitheit ist wohl nur eine Eigenschaft der homogenen quadratischen Form $x\mapsto x^{T}Ax$. Ein relikt wohl aus einer Zeit, als der Artikel sich nur mit homogenen quadratischen Formen befasst hat. Das müsste noch überarbeitet werden. 2. Bei den Beispielen wird die quadratische Form zwar nach Definitheit klassifiziert, es wird aber nicht gesagt, welche Kurve welchem "Definitheitstyp" entspricht. Ein Relikt wohl aus der Zeit, als das Hauptthema des Artikels die quadratischen Formen und nicht deren Nullstellenmengen waren. HIer würden Deine Beispiel gut reinpassen. --Digamma 20:40, 31. Okt. 2007 (CET)

Sieht ganz gut aus, was aus meiner Sicht jetzt noch Fehlt ist die Erläuterung des Zusammenhanges zu quadratischen Formen und am besten auch einen lik zur quadratischer Form (den setze ich gleich mal ein).--Kmhkmh 20:49, 31. Okt. 2007 (CET)

rein quadratisch und Hauptachsentransformation

Ich habe auch noch ein paar Anmerkungen:

• Meines Wissens nach muss das Absolutglied bei einer rein quadratischen Form ebenfalls Null sein. Darüber hinaus sind in der Normalform die linearen und das Absolutglied gar nicht immer gleich Null, nämlich bei den parabolischen Flächen bzw. Kurven. Ich fände es also besser von Normalform zu sprechen (und diese natürlich auch zu definieren).
• Eine Bemerkung zum Zusammenhang der symmetrischen Matrix $A$ und der Diagonalisierbarkeit wäre auch nicht schlecht.
• Beinhaltet eine Hauptachsentransformation nicht auch die Translation?
• Außerdem sollte vielleicht in Erwägung gezogen werden, die Klassifizierung der Quadriken vom Artikel Hauptachsentransformation hier her zu verschieben.

Schöne Grüße, H.Hapablap 12:51, 2. Nov. 2007 (CET)

Üblicherweise wird eine quadratische Funktion nur dann quadratische Form genannt, wenn sie homogen ist, also keine liniearen Gieder und kein Absolutglied hat. Mit freundlichem Gruß --Hanfried.lenz 08:06, 4. Nov. 2007 (CET).

Ordnung

was heisst 2. Ordnung ? 80.218.173.152 06:05, 2. Jun. 2009 (CEST)

Falls du diesen Satz meinst:

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems ist der Symmetriepunkt der Fläche 2. Ordnung.

Dann kann ich mal die Uni Halle zitieren:

Unter einer Fläche 2. Ordnung versteht man eine Fläche im Raum, die bei Einbettung in ein räumliches Koordinatensystem durch eine implizite Gleichung 2. Grades beschrieben werden kann.

Quelle: http://did.mathematik.uni-halle.de/lern/begriffsbildungzweiOrd.html

Grüße, --Martin Thoma 21:13, 24. Aug. 2012 (CEST)

Rein quadratische Form

Aus dem Artikel:

Die Gleichung jeder allgemeinen Quadrik im obigen Sinn lässt sich durch Translationen und eine Hauptachsentransformation auf rein quadratische Form bringen. Anhand dieser allgemeinen Gleichung kann die Quadrik charakterisiert werden, d.h. bestimmt werden, welche geometrische Figur (nämlich Ellipsoid, Paraboloid, Geradenpaar, ...) sie darstellt.

Wie soll das z.B. bei einer Parabel gehen? Das geht doch nur, wenn A nicht ausgeartet ist. -- Digamma 22:22, 18. Jun. 2010 (CEST)

Eine rein quadratische Form kann nicht in allen Fällen durch Translationen und Hauptachsentransformation erreicht werden. Bei der Transformation auf Normalform muss unterschieden werden, ob die linearen Glieder völlig verschwinden oder ob noch mindestens eines bestehen bleibt! Die Beispiele (aus Paraboloid)

• elliptisches Paraboloid: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0$
• hyperbolisches Paraboloid: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0$

zeigen dies sehr deutlich: In beiden Fällen kann z nicht eliminiert werden! Die Klassifikationstabelle muss also angepasst werden, wenn sie wirklich alle möglichen Flächen enthalten soll. -- AnInterestedReader 21:51, 23. Feb. 2012 (CET)

Das ist richtig. Sei mutig. --Digamma (Diskussion) 23:04, 23. Feb. 2012‎ (CET)

Hat sich mit der neuen Version erübrigt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:55, 13. Dez. 2013 (CET)

Neue Version vom 12. Dezember 2013

Die aktuelle Einleitung ist eher für einen Abschnitt "Definition" geeignet. Ich füge die alte Einleitung wieder ein und verschiebe die jetzige in einen Abschnitt "Definition". --Digamma (Diskussion) 21:52, 12. Dez. 2013 (CET)

Die mittlerweile entstandene Redundanz zu Hauptachsentransformation#Klassifizierung müsste noch angegangen werden. Ich denke, es ist besser, die Klassifikation nur in diesem Artikel zu machen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:21, 13. Dez. 2013 (CET)

Erledigt. --Quartl (Diskussion) 19:48, 17. Dez. 2013 (CET)

Ausgeartet

Ausgeartete und nicht ausgeartete Kegelschnitte

Mir ist nicht klar, nach welchem Kriterium die Quadriken in "ausgeartet" und "nicht ausgeartet" klassifiziert werden. --Digamma (Diskussion) 20:38, 13. Dez. 2013 (CET)

Ich nehme an, das ist wie in 2D die Unterscheidung, ob die entsprechende Schnitt-Hyperebene den Ursprung enthält oder nicht. Eine alternative und vielleicht bessere Unterscheidung wäre nach Quadriken vom kegeligen Typ, Mittelpunktsquadriken und Quadriken vom parabolischen Typ. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:45, 13. Dez. 2013 (CET)

Danke. Die diversen Zylinder sind als ausgeartet einsortiert, aber sie enthalten den Ursprung nicht. Naheliegend wäre für mich, dass man nach der Signatur der quadratischen Form sortiert. Aber dann wären die Paraboloide auch ausgeartet. Wenn es nach der Regularität gehen würde, wären auch die Zylinder nicht ausgeartet. --Digamma (Diskussion) 23:38, 13. Dez. 2013 (CET)

Ich meinte eine Dimension höher :-). Ebenso wie zweidimensionale Quadriken als Schnittstrukturen einer zweidimensionalen Ebene mit einem dreidimensionalen Kegel entstehen, kann man dreidimensionale Quadriken als Schnittstrukturen einer dreidimensionalen Ebene mit einem vierdimensionalen Kegel ansehen. Eine Quadrik heißt nun ausgeartet, wenn dieser Schnitt den Nullpunkt (in 4D) enthält oder leer ist. Diese Eigenschaft ist in drei Dimensionen gleichbedeutend damit, dass die Quadrik eine Gerade enthält (oder nur aus einem Punkt besteht oder die leere Menge ist). In der Tabelle sind die Quadriken der ersten Spalte in zwei Richtungen gekrümmt, die in der zweiten Spalte nur in einer Richtung gekrümmt und in der anderen Richtung (der nach oben zeigenden) geradlinig und in der dritten Spalte in beiden Richtungen geradlinig oder noch stärker entartet. Allgemein ist eine Quadrik genau dann ausgeartet, wenn für die erweiterte Darstellungsmatrix

$\det {\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}=0$

gilt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:00, 14. Dez. 2013 (CET)

Das mit der erweiterten Matrix macht Sinn. Danke. Ich denke, der Artikel könnte noch ein bisschen Theorie vertragen.

Dass du einen Schnitt einer dreidimensionalen Abene mit einem vierdimensionalen Kegel meinst, war mir schon klar. Aber wenn so eine Ebene durch den Ursprung geht, dann enthält die Quadrik automatisch den Ursprung, weil ja auch der Kegel den Ursprung enthält. Also können die Zylinder nicht durch Schnitte eines 4-dim. Kegels mit einer dreidim. Ebene entstehen. Ich denke, diese Gebilde können nur entstehen, wenn der Kegel, mit dem geschnitten wird, schon parallele Geraden enthält, also von Form dreidimensionaler Kegel × Gerade ist. --Digamma (Diskussion) 10:12, 14. Dez. 2013 (CET)

Ja, da hast du recht. Das Problem mit der Sichtweise als Kegelschnitt tritt schon in 2D bei den parallelen Geraden auf. Man muss in solchen Fällen die Kegelspitze ins Unendliche gesetzt sehen und damit ist man wieder im projektiven Raum (s.u.). Diese Diskussion fehlt übrigens auch im Artikel Kegelschnitt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:28, 15. Dez. 2013 (CET)

PS: hier wird die Wikipedia übrigens von Herrn Ziegler genau aufgrund dieser mangelnden Unterscheidung kritisiert. Ich sehe das ähnlich: Kegelschnitte sind Quadriken aber nicht umgekehrt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:42, 15. Dez. 2013 (CET)

Die Bezeichnung "ausgeartet" kommt eigentlich von der projektiven Einteilung her (s. meine Spielwiese). Eine ausgeartete Quadrik besitzt ein Radikal. Die nicht ausgearteten sind projektiv: Kugel (Index 1), 1-sch. Hyperboloid (Index 2), affin: s. Tabelle. Obige Determinantenbedingung sagt, dass es (projektiv) ein Radikal gibt. Will man affin die Quadriken mit dem Rang der Koeffizienten-Matrix unterscheiden, wird es nicht übersichtlicher. Vielleicht sollte man hier nicht zu korrekt sein und die grobe Einteilung der Liste beibehalten, eventuell mit dem Hinweis auf projektive Quadriken.

Noch ein Vorschlag: Vielleicht sollte man der Vollständigkeit halber auch die Quadriken im $\mathbb {R} ^{1}$ (quadratische Gleichungen) erwähnen. Gruß ! --Ag2gaeh (Diskussion) 10:30, 14. Dez. 2013 (CET)

Finde ich eine gute Idee, ich habe den eindimensionalen Fall noch ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:10, 15. Dez. 2013 (CET)

Vielleicht sollte man im 1-dim Fall das Wort "Parabel" nicht benutzen. Das klingt 2-dim.. Ein generelles Bezeichnungs-Problem ist mir noch aufgefallen: Die Bedeutungen der Koeffizienten a,b,c in den quadratischen Gleichungen sind von denen in den Normalformen verschieden. In der Definitionsgleichung einer Quadrik müßte auch noch vermerkt werden, dass nicht alle aij Null sein sollen. Gruß ! --Ag2gaeh (Diskussion) 10:10, 15. Dez. 2013 (CET)

Ja, ist mir auch schon aufgefallen, auch bei den Normalformen muss man $a,b,c>0$ fordern. Außerdem ist die 2 nicht ganz konsistent verwendet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:29, 15. Dez. 2013 (CET)

Hallo ! Ist dieses Bild vielleicht als 1. Bild zu gebrauchen ? Gruß !--Ag2gaeh (Diskussion) 15:36, 17. Dez. 2013 (CET)

Der Link führt auf deinen "Sandkasten". Welches Bild meinst du? --Digamma (Diskussion) 16:38, 17. Dez. 2013 (CET)

Entschuldige, ich hatte nicht gespeichert. Gruß ! --Ag2gaeh (Diskussion) 17:48, 17. Dez. 2013 (CET)

Hübsch, habe es direkt eingebaut. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:54, 17. Dez. 2013 (CET)

Transformation auf Normalform

Man muss unterscheiden, ob man alle affinen Transformationen oder nur euklidische Bewegungen zulassen möchte.

So wie die Klassizifierung jetzt im Artikel steht, werden die Quadriken auf euklidische Normalform transformiert, d.h. bei der Transformation bleiben die Längen der Halbachsen $\alpha ,\beta ,\gamma$ (nennt man die bei einer Quadrik so?) erhalten. Dafür genügen Bewegungen, d.h. Kombinationen aus Drehungen und Verschiebungen.

Man kann auch affine Abbildungen zulassen. In diesem Fall erhält man aber Normalformen "ohne Koeffizienten", also z.B. im Fall des Ellipsoids die Gleichung $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, beim Hyperboloid $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ usw. Von "Hauptachsentransformation" spricht man meines Wissens nur, wenn man orthogonale Matrizen verwendet. --Digamma (Diskussion) 16:52, 17. Dez. 2013 (CET)

Das steht doch genau so im Artikel: im Abschnitt "Transformationen" ist $S$ regulär, im Abschnitt "Normalformen" orthogonal. Im letzteren Fall bleiben die Eigenwerte gleich, im ersteren nur die Signatur. Soll ich besser verschiedene Symbole wählen? Durch allgemeine affine Transformationen bekommt man natürlich auch "Normalformen ohne Koeffizienten" hin, das ist richtig. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:42, 17. Dez. 2013 (CET)

Ja, sorry, ich habe nicht genau genug gelesen. Vielleicht sollte man den Unterschied aber doch deutlicher herausstellen.

Was anderes zum Abschnitt Normalformen: Sollten die $\alpha _{i}$ in den Nennern nicht auch quadriert werden wie bei der Klassifikation? --Digamma (Diskussion) 17:59, 17. Dez. 2013 (CET)

Ja, da hast du recht. Ich habe den Hinweis auf Dreh- und Spiegelungsmatrizen an eine bessere Stelle verschoben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:08, 17. Dez. 2013 (CET)

Vektorpfeile

Ein Editor hat in dem Artikel teilweise Vektorpfeile hinzugefügt. Diese sind in der LA eher unüblich. Allerdings wird da etwas großzügig mit Bezeichnungen umgegangen. So ist b ein Vektor, c aber nicht. Da sollte man vielleicht doch optisch eine Unterscheidungshilfe verwenden. --Ag2gaeh (Diskussion) 16:30, 21. Feb. 2022 (CET)

Hi @Ag2gaeh,

jetzt haben wir uns direkt wieder jemanden eingehandelt, der die Großbuchstaben-Methode sichten lassen wollte. Ich muss sagen, ich bin Fan davon, da die Verwechslungsgefahr bei $e$ und vor allem $i$ aus meiner Sicht größer ist. Vorschlag: Lass uns so pragmatisch sein wie englischen Kollegen, und noch den Halbsatz "wobei $A,B,...$ reelle Zahlen sind" hinzufügen. Was denkst du? --Jooonsen (Diskussion) 17:05, 23. Sep. 2022 (CEST)

Also, egal was man macht, eine eindeutige Verwendung von Bezeichnungen ist kaum zu machen. Wer sich mit LA beschäftigt, wird wohl kaum e mit der eulerschen Zahl und i mit der imaginäre Einheit verwechseln. (In dem Artikel kommen beide nicht vor.) Großbuchstaben tauchen in dem Artikel schon als Matrizen auf. Die sind also auch problematisch. Deswegen sehe ich in den eingetauschten Großbuchstaben eher einen Nachteil.

Vorschlag: Man sollte Vektoren durch Fettdruck (wie im Englischen) oder Pfeile kenntlich machen, Zahlen in Kleinbuchstaben und Matrizen in Großbuchstaben schreiben.--Ag2gaeh (Diskussion) 09:24, 24. Sep. 2022 (CEST)

Ich habe deinen Vorschlag mal (bis auf Vektorpfeile/Fettdruck) umgesetzt. Einverstanden?

Vektorpfeile hast du zuvor als "überladen" bezeichnet, da geh ich mit. Den Fettdruck habe ich ausprobiert, erscheint mir, insbesondere in den Matrizen, als weniger übersichtlich, als "nur" aufrecht.

Schau's dir mal an :) --Jooonsen (Diskussion) 09:03, 25. Sep. 2022 (CEST)

Das ist besser und konsequenter. Obwohl der Fettdruck (nur für Vektoren) stärker ins Auge springt und signalisiert "das ist was Besonderes".--Ag2gaeh (Diskussion) 12:17, 25. Sep. 2022 (CEST)

Ich sehe keinen Gewinn. Dem Unterschied zwischen aufrecht und kursiv geschriebenen Buchstaben einen Bedeutungsunterschied zuzuweisen, ist völlig unüblich. Es ist auch schwer zu erkennen. Üblich wäre vielleicht noch Blockschrift (sansserif, \sf) für die Matrizen. Überhaupt nicht dazu passt, dass jetzt auch das Q, das die Quadrik, eine Menge, bezeichnet, aufrecht gesetzt ist. Was spricht dagegen, die Vektoren mit Pfeilen zu versehen? In der analytischen Geometrie ist das durchaus üblich. Und das Thema hier ist im Wesentlichen analytische Geometrie, nicht lineare Algebra. --Digamma (Diskussion) 13:09, 25. Sep. 2022 (CEST)

Ha, erwischt! Das "Q" hast du dann aber doch direkt als aufrecht identifiziert :D Du hast recht, das Q sollte ich nicht aufrecht setzen. Werd' ich ändern.

Was üblich und was nicht, dazu haben wir wohl jeweils eine unterschiedliche Auffassung. Formatierung als Unterscheidungsmerkmal ist aber tatsächlich nicht von mir oder Ag2gaeh erfunden, sondern wird in einigen angewandten Bereichen, zum Beispiel Robotik, gerne benutzt - und wohl auch in der linearen Algebra. Lineare Algebra und analytische Geometrie sind aus meiner Sicht eng verwandt, jedenfalls in Bezug auf das Lemma.

Wie auch immer. Ich habe nichts gegen Pfeile, aber die sind bereits ausprobiert worden. Ich schau mir noch einmal an, wie die Pfeile nun mit den aktuellen Änderungen wirken und mache nochmal einen Vorschlag. Ich werde das Thema danach für mich schließen. --Jooonsen (Diskussion) 11:15, 27. Sep. 2022 (CEST)