Diskussion:Satz von Bolzano-Weierstraß

reell vs. komplex

Gilt dieser Satz nicht auch für komplexe Folgen? Ich glaube schon. Und beim Beweis wird dann zwischen reellen und komplexen Folgen unterschieden. Ich werde das bald ändern, wenn keine Einwände kommen.

--K.Dingiling 18:05, 17.08.2006 (CEST)

Monotonie

Dieser Artikel enthält fälschlich den Zusatz monotone Folge schon in der Satzformulierung. Das ist aber gar nicht die korrekte Formulierung des Satzes. Vielmehr muss die Monotonie erst durch Fallunterscheidungen im Beweis sondiert werden. Werde das Wort monotone entfernen. --Pa 2.3.2005 00:10 (CET)

I.O. --SirJective 21:11, 29. Mär 2005 (CEST)

Beispiel

Wäre es möglich, dass jemand ein Anwendungsbeispiel dieses Satzes nennt? Fände ich gut. Danke -- 11:25, 25. Mär 2005 (CET)

Ich hab jetzt einen weiteren Satz genannt, der auf B-W aufbaut. Hättest du gern eine konkrete Folge, zu der durch den Beweis des Satzes eine konvergente Teilfolge konstruiert wird? Das sollte sich einrichten lassen. --SirJective 21:11, 29. Mär 2005 (CEST)

Falls jemand einen Trick sucht, den Satz richtig zu verstehen, empfehle ich folgendes sehr ungewöhnliches Vorgehen: Man stelle sich vor, der Satz sei falsch. Es sei eine Folge so definiert, dass sie, in dem Moment, wo sie konvergieren will (also etwa mehr als 50 Folgenglieder hintereinander in einer sehr kleinen Epsilonumgebung liegen), per definitionem außerhalb dieser Epsilonumgebung weitergehen muss (ohne zu divergieren).--Paul 17:02, 31. Mär 2005 (CEST)

Erweiterung auf komplexe Zahlen

Zwei Punkte: (1) Wenn, dann kann man das gleich für den $\mathbb {R} ^{n}$ machen. (2) In der eingestellten Fassung könnten die Indexmengen der Teilfolgen disjunkt sein; man muss also vielmehr zunächst eine Teilfolge auswählen, für die der Realteil konvergiert, und dann *daraus* eine Teilfolge mit konvergentem Imaginärteil. Aber ehrlich gesagt sehe ich da das Kosten-Nutzen-Verhältnis nicht mehr so recht, das ist einfach viel Text für wenig Erkenntnisgewinn.--Gunther 16:03, 23. Nov. 2006 (CET)

Unendlich dim. norm. Raum

Der Satz gilt in unendlich dim. norm. reellen Räumen nicht! Beweis siehe "Funktionanalysis" D. Werner, Seite 27. (nicht signierter Beitrag von 85.178.236.180 (Diskussion | Beiträge) 19:36, 23. Feb. 2010 (CET))

Hier nochmal der Beweis:

Sei X ein norm. reeller unendlich dimensionaler Raum. Wähle x1 Element X mit ||x1|| = 1 beliebig. Setze U1 = lin{x1}; dann ist U1 endlichdimensional, folglich abgeschlossen und von X verschieden. Nach dem Riezschen Lemma (http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Riesz) angewandt mit Delta = 1/2, existiert x2 Element X mit ||x2|| = 1 und ||x2 - x1|| >= 1/2. Nun betrachte U2 = lin {x1,x2} und wende das Riezsche Lemma erneut an, um x3 mit ||x3|| = 1, ||x3 -x1|| >= 1/2 zu erhalten. Dann betrachte U3 = lin{x1,x2,x3}, etc. Auf diese Weise wird induktiv eine Folge (xn) mit ||xn -xm|| >= 1/2 für alle m,n Element der natürlichen Zahlen (m ungleich m) definiert. Die Folge (xn) ist beschränkt, hat aber keine Cauchy-, also erst recht keine Konvergente Teilfolge.

(nicht signierter Beitrag von 85.178.236.180 (Diskussion | Beiträge) 20:08, 23. Feb. 2010 (CET))

Und was ist jetzt das Problem, außer dass man diesen Fakt auch explizit als Warnung in den Artikel schreiben könnte? Und warum ist das noch nicht passiert? Und eigentlich ist das auch nicht das Rieszsche Lemma, was anzuwenden ist, sondern der Satz von Hahn-Banach, der dann diese Konstruktion auch in allgemeinen Banachräumen ermöglicht. Als Gegenbeispiel im Artikel sollte aber einer der Folgenräume reichen.--LutzL 11:51, 24. Feb. 2010 (CET)

Das Problem war, dass gestern noch in dem Artikel stand, der Satz würde auch für unendlich dimensionale normierte Räume gelten! Das dort oben ist der Gegenbeweis. Welche Konstruktion meinst du mit Hahn-Banach? Das Riesz'sche Lemma reicht doch hier vollkommen aus. (nicht signierter Beitrag von 85.178.215.16 (Diskussion | Beiträge) 20:00, 24. Feb. 2010 (CET))

Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass der Abschnitt sogar von mir stammte. Da muss mir in Begeisterung über Arzela-Ascoli was durchgegangen sein. Natürlich folgt aus dem Diagonalargument nur die komponentenweise Konvergenz, also allgemeiner die schwache Konvergenz der Folge, aber nicht die starke Konvergenz in der Norm.--LutzL 11:35, 25. Feb. 2010 (CET)

Schwach konvergente Teilfolgen von beschränkten Folgen gibt es i.A. aber auch nur in reflexiven Räumen. Darauf könnte man eventuell noch irgendwo verweisen. (nicht signierter Beitrag von 85.178.215.16 (Diskussion | Beiträge) 13:30, 25. Feb. 2010 (CET))

Einleitung

Wie üblich ist eigentlich die Reihenfolge der Aussagen in der Einleitung? Ich würde es für logischer halten, die reelle Aussage zuerst zu bringen, dann Verallgemeinerung auf den endlichdimensionalen reellen Fall und den komplexen Fall als Spezialfall davon.--LutzL 11:38, 25. Feb. 2010 (CET)

Weitere Verallgemeinerung

Kann man den Satz nicht noch viel mehr verallgemeinern, indem man sagt:

Jede Folge in einem metrischen Raum hat mindestens einen Häufungspunkt, wenn es eine kompakte Menge gibt, die fast alle Folgenglieder beinhaltet.

Das finde ich nochmal um einiges schöner, da wir hierfür keine Vektorräume brauchen und es natürlich auch für unendlich dimensionale Vektorräume gilt. --Jobu0101 18:30, 23. Nov. 2011 (CET)

Wenn es eine kompakte Menge gibt, die fast alle Folgenglieder enthält, dann kann man diese um endlich viele Punkte erweitern und hat eine kompakte Menge, die alle Folgenglieder enthält. Ansonsten: Jede Folge in einem kompakten metrischen Raum hat wenigstens einen Häufungspunkt. Oder: In metrischen Räumen ist folgenkompakt=überdeckungskompakt.--LutzL 19:07, 23. Nov. 2011 (CET)

Ja, ich weiß, dass es stimmt und auch wie man das zeigen kann. Nur ist das doch eine viel bessere Verallgemeinerung als die, die im Artikel geboten wird. Warum nimmt man also nicht die? --Jobu0101 22:33, 23. Nov. 2011 (CET)

Die Frage ist ja, ob man diese Aussage noch nach Bolzano und Weierstraß benennt. In dem Artikel fehlt sowieso die Erklärung, was von Bolzano und Weierstraß erforscht wurde und was nur nach ihnen benannt wurde. --Christian1985 (Diskussion) 22:04, 26. Nov. 2011 (CET)

Ist das nicht egal? Es geht ja um Verallgemeinerungen, nicht um das Ändern der eigentlichen Aussage. Die bisherigen Verallgemeinerungen wurden ja auch nicht so von Bolzano oder (vielleicht eher noch) Weierstraß formuliert.--LutzL 15:24, 27. Nov. 2011 (CET)

Aber was stimmt ist, dass diese Aussage nicht so richtig in den bisherigen Erzählstrang passt. Es sollte die Formulierung der Aussage in die Reihenfolge reell -> komplex -> endlichdimensional gebracht werden, danach entweder wie bisher unendlichdimensional oder erst, aber zusammen damit in einem extra Abschnitt, die Diskussion des Zusammenhangs zur Folgenkompaktheit.--LutzL 15:32, 27. Nov. 2011 (CET)

Diese Aussage (weitere Verallgemeinerung) stimmt nicht.--Frogfol (Diskussion) 22:35, 23. Mär. 2014 (CET)

Was genau stimmt nicht? -- HilberTraum (Diskussion) 12:34, 24. Mär. 2014 (CET)

ups, hatte mich verlesen. --Frogfol (Diskussion) 01:39, 25. Mär. 2014 (CET)

Bedenklich

"mindestens eine Hälfte muss unendlich viele Folgenglieder enthalten, diese Hälfte werde nun mit I bezeichnet."

Soweit, so gut. Aber jetzt muss man sich entscheiden. Wenn ein Intervall nur ein paar Punkte enthält ist, das einfach. Dann muss das andere Intervall halt unendlich viele Punkte enthalten und man kann weiter machen.

Nehmen wir die anderen Fälle. Beide Intervalle enthalten "große" Mengen. Ich darf auf keinen Fall ein Intervall mit einer endlichen Menge erwischen. Was tun? Wir geben die Menge in einen Computer und lassen sie zählen. Bricht das Programm ab, war die Menge endlich und ich kann weiter machen wie oben. Wenn nicht, werde ich wohl bis zum Ende des Universums warten müssen. Na gut, ich kann gleichzeitig die andere Menge testen. Aber wenn das Programm da auch nicht abbricht?

Es sieht so aus, als wenn der Satz etwas mit dem Halteproblem der Informatik zu tun hat.

Um es kurz zu machen: Der Satz mag richtig sein, aber er lässt sich nicht beweisen (jedenfalls nicht so und wenn er äquivalent zum Halteproblem ist auch nicht anders). Er ist möglicherweise ein Axiom.

(nicht signierter Beitrag von 62.143.164.18 (Diskussion) 10:39, 8. Mai 2012)

"Es sieht so aus, als wenn der Satz etwas mit dem Halteproblem der Informatik zu tun hat."

Das nehme ich zurück: Nicht der Satz an sich, aber womöglich der traditionelle Beweisansatz. (nicht signierter Beitrag von 62.143.164.18 (Diskussion) 12:09, 9. Mai 2012 (CEST))

Nicht jeder Beweis ist auch ein Algorithmus. Die Menge $\left\{k\in \mathbb {N} :\;x_{k}\in [a,b)\right\}\subset \mathbb {N}$ ist wohldefiniert.--LutzL (Diskussion) 13:10, 9. Mai 2012 (CEST)

Ich denke, das Problem ist: Der Beweis ist so geschrieben als wäre er ein Algorithmus und das ist das Verwirrende. -- HilberTraum (Diskussion) 13:22, 9. Mai 2012 (CEST)

Es wird halt eine Folge und gleichzeitig eine Intervallschachtelung konstruiert. Beides sequentielle Objekte, weshalb die Schleifenkonstruktion angemessen ist. Man könnte sicher das formell straffen und einen Induktionsbeweis draus machen, die Aussage wäre dann:

Es gibt eine Intervallschachtelung $(I_{k}=[u_{k},v_{k}])_{k\in \mathbb {N} }$ (mit, definitionsgemäß, ${}_{\lim _{k\to \infty }v_{k}-u_{k}=0}$) und eine Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n_{k}}\in I_{k}$.

Und der Beweis wie angegeben ist der Induktionsschritt. Die Folgerung ist dann wie gehabt, dass dann $\bigcap _{k\in \mathbb {N} }I_{k}=\{x^{*}\}$ und nach Konstruktion $\lim _{k\to \infty }a_{n_{k}}=x^{*}$.--LutzL (Diskussion) 15:40, 9. Mai 2012 (CEST)

Man sollte wenigstens die Sätze grammatisch so umformulieren, dass dem Leser keine Befehle erteilt werden ;-) Und was meiner Meinung nach nur in einem Computeralgorithmus, aber nicht in einem Beweis geht ist: "Die Hälfte werde nun [wieder] mit $I$ bezeichnet", fehlt nur noch "while(true)" oder "goto 1" ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 16:05, 9. Mai 2012 (CEST)

Was ist an

$[a_{n+1},b_{n+1}]={\begin{cases}\,[a_{n},c_{n}]&{\text{ wenn }}\#\left\{k\in \mathbb {N} :\;x_{k}\in [a_{n},c_{n})\right\}=\infty ,\\\,[c_{n},b_{n}]&{\text{ sonst.}}\end{cases}}$

so unverständlich? Dass man in der Analysis ständig mit dem aktual Unendlichen rechnet, wie z.B. mit der aktual unendlichen Menge $\mathbb {N}$, oder gar $\mathbb {R}$, sollte keine Neuigkeit mehr sein. Ansonsten siehe die verschiedenen Spielarten des Konstruktivismus.--LutzL (Diskussion) 12:19, 8. Mai 2012 (CEST)

Das ist genau der Punkt

Unverständlich ist daran nichts. Dieser Ausdruck bedeutet, dass man eine Entscheidung treffen muss: Wie stellen Sie fest, ob eine vorgelegte Menge unendlich viele Elemente enthält oder nicht, d.h. mit welchem Intervall der Beweis fortgesetzt werden soll? Das hat nichts mit "aktual unendlich" oder Konstruktivismus (was für ein hässliches Wort) zu tun. Es ist schlicht die Frage nach einen Entscheidungskriterium.

Es genügt imho für diesen Beweis nicht zu sagen, mindestens eine von diesen beiden Mengen hat unendlich viele Elemente. Wenn ich nicht weiß, welche von diesen beiden Mengen es ist, ist der Ausdruck und damit der Beweis sinnlos.

Das habe ich etwas unmathematisch formuliert (ich hatte versucht, es für Nichtmathematiker plastisch zu formulieren). Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion auf die natürlichen Zahlen gibt. Der traditionelle Beweis stellt fest (korrekt), dass für mindestens ein Intervall eine solche Bijektion existieren muss. Das genügt aber nicht. Man muss dieses Intervall auch bestimmen können. Der Beweis unterstellt stillschweigend, dass eine endliche Menge sofort als solche erkannt werden kann. Das ist ein Denkfehler. Zu zeigen ist entweder, dass es keine Bijektion auf die natürlichen Zahlen gibt oder dass es eine Bijektion auf eine endliche Teilmenge gibt. Beides ist eben nicht trivial.

(nicht signierter Beitrag von 62.143.164.18 (Diskussion) 11. Mai 2012, 10:41 Uhr)

Bitte setze Zeitstempel bzw. volle Unterschriften, sonst ist Neues nur sehr schwer von Altem zu unterscheiden. Nicht immer schafft es der Bot, nachzuräumen. Aus Sicht der Analysis kann man das "sofort" sehen, da die Folge in ihrer Gesamtheit als bekannt gesetzt wird., Wie gesagt, das ist der Unterschied zwischen potentiell und aktual Unendlich, in der Analysis arbeitet man mit dem aktual Unendlichen, alle unendlichen Objekte sind schon fertig da.--LutzL (Diskussion) 10:56, 11. Mai 2012 (CEST)

Und noch eine andere Frage: Wurde der Beweis je mit einem Computer verifiziert? Da wäre ich gespannt, wie sich ein Rechner um das Problem herummogelt oder, zu meinem Erstaunen, beweist.

Konstruktivismus ist kein häßliches Wort, sondern eine philosophische Strömung innerhalb der Mathematik, die genau ihren Standpunkt der (endlichen) Konstruierbarkeit aller Ergebnisse vertritt. Mit ihrer Einstellung kann man z.B. auch nichts über die Vollständigkeit der reellen Zahlen aussagen, da man den Grenzwert einer Cauchyfolge auch erst nach unendlich vielen Schritten eindeutig bestimmen kann. Oder einfacher, man kann in endlich vielen Schritten nicht entscheiden, ob der Grenzwert einer Cauchyfolge positiv oder negativ ist.--LutzL (Diskussion) 18:05, 8. Mai 2012 (CEST)

Schade, dass Sie das so sehen, denn mein Argument hat nichts mit dem Hilbert/Brouwer Gedöns zu tun. Es geht um pure Beweistechnik. In jedem Schritt der Kette muss ich mich für ein Intervall entscheiden. Wenn eines der beiden endlich viele Elemente enthält ist es einfach. Dann hat das andere Intervall unendlich viele Elemente. Aber wenn beide Intervalle unendlich viele Elemente enthalten, gibt es ein Problem. Ich werde nie sicher sein können, ob eine der beiden Mengen nicht doch endlich ist. Und wenn ich Pech habe, dann entscheide ich mich für eine endliche Menge. Game over.

Aber es gibt Hoffnung: Auf Seite 63, Dieudonné, Grundzüge der modernen Analysis, ISBN 3-528-28290-8, gibt es einen Beweis, der mit rein topologischen Argumenten auskommt. Da gibt es dieses "Unendlichkeitsproblem" nicht, weil man sich auf endliche Teilüberdeckungen kompakter Mengen stützen kann. Also vielleicht überdenken, diese Beweisidee vorzuschlagen, weil sie jeden Zweifel beseitigt.

Nein, dieses Problem hat man in der einen oder anderen Form immer. Es gibt kein konstruktives Verfahren, Häufungspunkte zu bestimmen oder wenigstens einzuschränken. Was nützlich wäre, da viele Probleme nur eine schwache Lösung haben, d.h. man weiß nicht, ob die Approximationsfolge konvergiert, aber man weiß, dass sie wenigstens einen Häufungspunkt hat und dass dieser eine exakte Lösung wäre.

Ein anderer, ebenso unkonstruktiver Beweis ist die Mengenkonstruktion des obersten Häufungspunktes, des limes superior, als

$\limsup a_{n}=\sup \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\bigcup _{k\in \mathbb {N} }(-\infty ,a_{n+k}]$

--LutzL (Diskussion) 19:31, 8. Mai 2012 (CEST)

Wenn ich mich mal einmischen darf: Ich finde den Beweis im Artikel (didaktisch) auch nicht so gut. Er ist so formuliert, dass man annehmen muss, dass jetzt ein Konstruktionsverfahren oder ein Computerprogramm kommt, mit dem man den Häufungspunkt bestimmen kann ("geht man so vor", "beginne", "halbiere"). Da muss man sich fast zwangsläufig fragen: "und wie soll ich das jetzt entscheiden?". Warum tatsächlich nicht einfach: Ein solcher Häufungspunkt ist z.B. der Limes superior der Folge? Würde ich für viel leichter nachvollziehbar halten. -- HilberTraum (Diskussion) 08:09, 9. Mai 2012 (CEST)

Am Ende, wenn man sich in jeder Wahlsituation für das obere Intervall entscheidet, landet man auch beim Lim sup. Wie gesagt, ein echtes Computer-implementierbares Verfahren gibt es nicht. Die dritte Variante ist, die Aussage zu benutzen, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge enthält, entweder die Folge der oberen oder die der unteren Spitzen. Dann erhält man mit monoton und beschränkt die Existenz eines Häufungspunktes.--LutzL (Diskussion) 10:37, 9. Mai 2012 (CEST)

Vielen Dank fürs Überarbeiten, so finde ich's viel besser. -- HilberTraum (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2012 (CEST)

Alle Wege führen nach Rom

Es können nicht in beiden Teilintervallen nur endlich viele Folgeglieder liegen, mindestens ein Teilintervall muss unendlich viele Folgenglieder enthalten, diese Hälfte wird mit I_{k+1} bezeichnet.

Das ist mit der folgenden Situation vergleichbar. Man weiß, dass alle Wege nach Rom führen, soll heißen, dass es, egal wo man startet, einen Pfad gibt, der nach Rom führt. Man geht also los und an einer Weggabelung verzweifelt man nicht. Einer der beiden Zweigwege führt sicherlich nach Rom, wenn nicht so gar alle beide. Wir bezeichnen den Weg, der nach Rom führt mit I_{k+1} ????

Jedem sollte klar sein, dass man mit diesem Verfahren fast überall hinkommt, aber nur in den seltensten Fällen nach Rom. In der harten Realität hat es der Mathematiker schwer. Die meisten Leute kennen den Witz mit der Konservendose ...

Verzeihen Sie bitte das drastische Beispiel. Es soll noch einmal den Denkfehler illustrieren. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 03:30, 16. Mai 2012 (CEST))

Nein. Eine korrekte Analogie wäre, dass man an manchen Gabelungen direkt sieht, dass (genau) einer der Wege eine Sackgasse ist. Dann muss man zwingend den anderen Weg gehen. Ist an einer Gabelung keine Sackgasse erkennbar, ist es egal, welchen Weg man wählt. Und ja, alle Pfade, die nicht in einer Sackgasse enden, führen nach Rom.--LutzL (Diskussion) 11:03, 16. Mai 2012 (CEST)

Ja, ich glaube wir nähern uns dem Kern. In der Realität sind die Menschen so schlau an jeder Weggabelung Schilder aufzustellen, weil es eben nicht trivial ist, vorauszusehen, ob ein Weg in eine Sackgasse führt oder ggf. nach Rom.

Und jetzt zu den endlichen Mengen: Die meisten endlichen Mengen sind irre groß (z.B. die Menge der Primzahlzwillinge (3,5 5,7 11,13 17,19 ...). Ich weiß, dass mich jetzt die meisten Leser für geistig behindert bis total bescheuert halten, ebenso wenn ich sage, dass es viel mehr unstetige als stetige Funktionen gibt. Und wenn ich hier von "die meisten" und "viel mehr" rede, dann meine ich richtig viel mehr.

Deswegen laufen Sie mit der Einstellung "Ist an einer Gabelung keine Sackgasse erkennbar, ist es egal, welchen Weg man wählt." bei mir und in der Praxis häufig gegen die Wand.

Das mit den Primzahlzwillingen ist ein schlechtes Beispiel (die sind unendlich, nicht wahr). Ich denk mir was anderes aus. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 12:00, 16. Mai 2012 (CEST))

Bitte denken Sie nochmal tief nach, welche Position genau Sie hier vertreten wollen. Ich kann ein Problem aus Ihren Beiträgen nicht wirklich herauslesen. Weiter würde ich um einen Literaturnachweis bitten, in welchem Ihre Kritik an diesem Standardbeweis (er ist so standard, dass sogar Witze mit ihm gemacht werden, Löwenjagd in der Sahara) eine theoretische Untermauerung erfährt. Es geht in der Wikipedia und auch auf den Diskussionsseiten nicht darum, die Mathematik zu revolutionieren, sondern den aktuellen, in anerkannter Literatur dargestellten Wissensstand abzubilden. Das schließt Kritik ein, aber nicht beliebige Meckerei.--LutzL (Diskussion) 17:57, 16. Mai 2012 (CEST)

Was da steht, ist keine beliebige Meckerei. Es ist entweder wahr oder falsch. Mag der geneigte Leser entscheiden. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 19:42, 16. Mai 2012 (CEST))

Ja, aber was ist "es"? Oder hängt das von der Bedeutung von "ist" ab?--LutzL (Diskussion) 20:20, 16. Mai 2012 (CEST)

[entrückt] @IP: Wie wär's denn, wenn man im Beweis statt der indeterministischen Hälftenwahl einfach beide Hälften nimmt, und später die sicher als solche erkannten Sackgassen aussortiert? Zu zeigen wäre dann nur noch, dass niemals alle Intervalle in Sackgassen enden können (widerspräche der Voraussetzung, dass die Folge beschränkt und unendlich lang ist). Die überbleibende nicht-konstruktive Zutat wäre die Entscheidung, ob in einem bestimmten Intervall hinter einem bestimmten Index ein weiteres Folgenglied existiert. Kannst du damit leben? --Daniel5Ko (Diskussion) 03:59, 17. Mai 2012 (CEST)

Er hätte ja gleich schreiben können, dass ihm die Fallunterscheidung nicht vollständig genug ist. Was hat Rom damit zu tun. Ich war mir nicht sicher, ob es nicht doch die Fortsetzung der Diskussion einen Punkt höher war. Und ja, es ist im dritten Fall, beide Teile mit unendlich vielen Folgegliedern, wirklich egal, welches der Teilintervalle man wählt, weil (nach diesem Satz) in jedem Intervall, welches unendlich viele Folgeglieder enthält, immer auch schon ein Häufungspunkt liegt.--LutzL (Diskussion) 12:25, 17. Mai 2012 (CEST)

@[entrückt]

Das von Ihnen vorgeschlagene Verfahren sortiert nach n Schritten alle Mengen mit n oder weniger Elementen aus, während die potenziellen Sackgassen in der Größenordnung von 2 hoch n zugenommen haben. Diese Idee läuft also exponentiell aus dem Ruder.

Deswegen: Alle Sackgassen (oder endlichen Mengen) müssen aussortiert werden, bevor man mit dem nächsten Schritt weiter machen kann. Von den meisten Mengen, weiß man bedauerlicherweise bis heute nicht, ob sie endlich oder unendlich sind. Gewiss ist nur, dass die meisten endlichen Mengen mehr Elemente haben, als das Universum Elementarteilchen besitzt.

Gesucht ist: Ein Verfahren, das zu einer vorgelegten Menge entscheidet, ob sie endlich ist. Dass das nicht trivial ist, habe ich mit meiner "Meckerei" hoffentlich hinreichend klar gemacht.

@[LutzL]

Er hätte ja gleich schreiben können, dass ihm die Fallunterscheidung nicht vollständig genug ist.

Hat er: das war eigentlich der Ausgangspunkt des ersten Postings.

Was hat Rom damit zu tun?

Das Entscheidungsproblem auf Wege zu verlagern, zeigt sehr eindrucksvoll die logische Schwachstelle des Beweises. Das machen Mathematiker des öfteren, dass sie zwischen isomorphen Modellen wechseln. Manchmal ist das hilfreich.

Und ja, es ist im dritten Fall, beide Teile mit unendlich vielen Folgegliedern, wirklich egal, welches der Teilintervalle man wählt, weil (nach diesem Satz) in jedem Intervall, welches unendlich viele Folgeglieder enthält, immer auch schon ein Häufungspunkt liegt.

Das Problem sind nicht die Intervalle mit unendlich vielen Folgegliedern, es sind die mit endlich vielen. Man findet nämlich die Intervalle mit unendlich vielen Elementen, indem man die Intervalle mit endlich vielen Elementen aussortiert. Aber wie geht das?

Die Existenz eines Intervalls mit unendlich vielen Elementen gibt keinen Hinweis, mit welchem Intervall die Intervallschachtelung fortgesetzt werden soll. Es gibt tatsächlich unendlich viele Möglichkeiten in einer Sackgasse zu landen, weil es unendlich viele endliche Mengen gibt. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 22:59, 17. Mai 2012 (CEST))

Sie haben nichts verstanden und Sie haben keine Ahnung von Erstsemesteranalysis, oder den ihr zugrunde liegenden Fragmenten der Mengenlehre. Bitte belegen Sie die von Ihnen behauptete Kontroverse und tragen Sie damit zur Entwicklung des Artikels bei, oder verlagern Sie diese Diskussion in ein Forum, das zur Lernunterstützung gedacht ist. Es gibt hier den Helpdesk Mathematik, und außerhalb der Wikipedia diverse Foren wie den Matheplaneten.--LutzL (Diskussion) 23:35, 17. Mai 2012 (CEST)

Bitte nur sachliche Diskussionsbeiträge einstellen. Stand der Diskussion: Der traditionelle Beweis des Satzes ist fehlerhaft. Wer meint, dass es da noch etwas zu retten gibt, mag sich dazu äußern. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 10:57, 18. Mai 2012 (CEST))

Nein, sie haben deutlich in Ihren Diskussionsbeiträgen demonstriert, dass Sie keine Ahnung von der Materie haben. Sie können einen Existenzbeweis nicht von einem Algorithmus unterscheiden, Sie wissen nicht, was zulässige Konstruktionen von Teilmengen sind, Sie scheinen eine schräge Ansicht vom Begriff einer Folge zu haben,... Wenn der Beweis, der sich so in Lehrbüchern der Analysis findet, ach so fehlerhaft ist, dann geben Sie endlich eine Quelle an, wo man dies nachlesen kann. Oder verfassen Sie selbst einen Artikel und publizieren Sie ihn in einem wissenschaftlichen oder wissenschaftspädagogischen Journal und kommen dann damit wieder.--LutzL (Diskussion) 12:11, 18. Mai 2012 (CEST)

Wer mich persönlich beschimpfen will, kann das unter auto74939377@hushmail.com tun. Bitte nicht hier. Hier bitte nur konstruktive Diskussionsbeiträge. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 12:47, 18. Mai 2012 (CEST))

Ich war konstruktiv. Sie sollen einen Fehler belegen, d.h. mit Literatur, oder einen sonstigen Verbesserungsvorschlag machen. Dazu müssen Sie aber den Inhalt des Artikels verstehen, also was ist ein Häufungspunkt, was ist eine Existenzaussage, was ist ein Existenzbeweis. Das:

Jedem sollte klar sein, dass man mit diesem Verfahren fast überall hinkommt, aber nur in den seltensten Fällen nach Rom.

war auf jeden Fall ein Fehlschluss ihrerseits, mit einer sehr unkonstruktiven, beleidigenden Seitenbemerkung. Denn man gelangt beweisbar mit jeder Wahl der Wegführung zu einem Häufungspunkt. Das ist auch am Ende der Rekursion ausgeführt.--LutzL (Diskussion) 16:09, 18. Mai 2012 (CEST)

So, so einen Fehler beweist man jetzt neuerdings damit, dass man Literatur zitiert. An diese Art von Mathematik werde ich mich noch gewöhnen müssen. hic Rodhos, hic salta. Aber gut, Literatur habe ich ja weiter oben zitiert (Dieudonné). Da fällt eben auf, dass auf die Art der Schulbuchbeweisführung für die gymnasiale Oberstufe verzichtet wird, ohne das Andenken an Bolzano und Weierstrass zu beschädigen.

Jetzt zu meinen "Fehlschluss": Ich stehe an einer Weggabelung. Einer der Wege führt definitiv nach Berlin (Rom mögen sie wohl nicht). Ich markiere den Weg nach Berlin. Die Frage ist, wie stelle ich fest, welcher Weg nach Berlin führt.

Oder analog ich teile eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Eine Teilmenge hat definitiv unendlich viele Elemente. Es stellt sich die gleiche Frage: Welche? (oder welche auf gar keinen Fall, weil endlich?)

Der Witz mit der Konservendose endet mit dem Zitat: "Angenommen die Dose wäre offen ..." Daran ist überhaupt nichts Beleidigendes oder Abwegiges, sondern der Hinweis auf das Problem. "Angenommen diese Menge habe unendlich viele Elemente ..." oder "Angenommen dieser Weg führt nach Berlin ..." Es zeigt die Nutzlosigkeit solcher Annahmen.

Konkret, wenn das ein Denkfehler meinerseits ist, dann sollte das ja wohl mit einem Argument ausgeräumt werden können. Unzulässig sind die Argumente: "Sie haben nichts verstanden", "suchen Sie sich einen Aufsatz und kommen später noch einmal wieder", "machen Sie erst mal ein Diplom". (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 17:32, 18. Mai 2012 (CEST))

Der Satz ist wahr, aber der Beweis wurde leider falsch wiedergegeben. Um das zu verdeutlichen gebe ich hier ein Gegenbeispiel für den "Wiki-Beweis" (nicht für den Satz). Nehmen wir also eine Folge a(n), die mit a(1) = 1 startet. a(i) bleibt 1 bis zum nächsten Primzahlzwilling P. Für alle i größer P wird a(i) = -1 bis zum nächsten Primzahlzwilling Q. Für alle i größer Q wird a(i) = 1. usw. Dieses Verfahren lässt sich beliebig fortsetzen. Und zweifelsohne hat die Folge einen Häufungspunkt (1 oder -1 oder beide, wer weiß das schon). Aber die angegebene Konstruktion einer Teilfolge, so wie beschrieben, bricht schon nach dem ersten Schritt ab. 1 oder -1 läßt sich z. Zt. nicht entscheiden.

Statt: Es kann also immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgenglieder ausgewählt werden, diese Hälfte wird mit I_{k+1} bezeichnet.

muss es heißen: Es existiert immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgegliedern und diese Hälfte wird mit I_{k+1} bezeichnet.

Die Existenz impliziert nicht die Auswahl. Die wird für den Beweis auch nicht benötigt und lässt sich s.o. manchmal auch gar nicht bewerkstelligen. (nicht signierter Beitrag von 176.198.133.69 (Diskussion) 00:04, 19. Mai 2012 (CEST))

Ich sehe keinen Unterschied zwischen beiden Formulierungen. Wenn beide Teilintervalle unendlich viele Folgeglieder enthalten, muss trotzdem eine Auswahl erfolgen. Da es Ihnen wichtig genug ist, ändern Sie doch bitte den Artikel auf Ihre Version, es sollte keine Proteste dagegen geben. Niemand hat gesagt, dass der Text nicht noch verbessert werden kann, was ja am Anfang der Diskussion auch massiv geschah.--LutzL (Diskussion) 11:40, 21. Mai 2012 (CEST)

Beweisskizze

In der Beweisskizze ist von Intervallschachtelungen die Rede, der Satz selbst ist aber mit komplexen und nicht reellen Folgen formuliert. Das sollte man vielleicht mal besser aufeinander abstimmen. --Jobu0101 (Diskussion) 22:06, 8. Jun. 2013 (CEST)

Oben wurde schon öfters angesprochen, dass man erst den reellen Fall formulieren (und beweisen) sollte und dann erst auf verschiedene Verallgemeinerungen eingehen sollte. Dem kann ich nur zu stimmen: Ich sehe nicht, was gerade am komplexen Fall so wichtig sein soll, dass man den voranstellt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:11, 9. Jun. 2013 (CEST)

S. meinen Beitrag unten. Ich hab das mal bei Königsberger nachgeschaut. Der macht das genauso. In den anderen Einführungen wird das aber nicht direkt mit komplexen Zahlen gemacht. Gerade hier sollte mE erstmal eine einfache Version gewählt werden, dann können die Verallgemeinerungen kommen.--Frogfol (Diskussion) 23:34, 25. Mär. 2014 (CET)

Das sehe ich auch so. Die wesentliche Erkenntniss liegt bereits im reellen Fall. Der komplexe Fall ist auch nicht interessanter als die Verallgemeinerung auf (endlich-dimensionale) euklidische Vektorräume. Die Erwähnung dort, die auch jetzt schon vorhanden ist, müsste eigentlich ausreichen. Zumindest finde ich es für den Leser etwas überraschend, wenn es beim Satz von B-W gleich mit den komplexen Zahlen losgeht.--Gzim75 (Diskussion) 10:25, 1. Okt. 2021 (CEST)

unterschiedliche Fassungen

Mir gefällt nicht, dass hier unterschiedliche Fassungen (mit komplexen Zahlen) dargestellt werden. Königsberger macht das zwar, andere Einführungen aber nicht. Meiner Ansicht nach wäre es besser, eine Formulierung zu wählen, die häufig vorkommt, und dann vielleicht zu sagen, dass es auch andere Formulierungen gibt.--Frogfol (Diskussion) 01:43, 25. Mär. 2014 (CET)

Beschränkt und doch ohne Häufungspunkt/e?

Hallo, von dem in diesem Artikel besprochenen Satz kursieren in der Schulliteratur leider auch eine Reihe weiterer Fassungen, u.a. „Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Häufungswert“, womit da schon einmal unklar ist, ob damit „mindestens einen“ oder „einen und nur einen“ gemeint ist, die dritte in diesem Artikel aufgeführte Formulierung dagegen schon mal von mindestens zwei möglicherweise verschiedenen spricht.

Da in dieser Formulierung selbst jedoch (anders als ganz zu Anfang des Artikels) mit keinem Wort ein monotoner Verlauf der Folge verlangt ist, könnte diese Folge ja bspw. auch $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} ;k\in \mathbb {Q} }$ mit $a_{i}=\sin(\pi \cdot k\cdot i)$ und den beiden Schranken +1 und -1 lauten, und jedesmal, wenn das Produkt $k\cdot i$ der beliebigen rationalen Konstante $k$ und natürlichen Indexzahl $i$ zweier Folgeglieder dabei die Differenz 2 ergäbe, wären diese beiden Folgeglieder damit aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion gleich, was heißt, dass es je nach Wert der Konstante $k$ eine ggf. abzählbar unendliche Anzahl von Häufungspunkten geben müsste, dabei auch einen größten und kleinsten.

Was aber, worauf einer meiner Studenten verfiel, wenn man diese Folge zu $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} ;k\in \mathbb {Q} }$ mit $a_{i}=\sin(k\cdot i)$ und wieder den beiden og. Schranken +1 und -1 abwandelt? Da das Produkt der beliebigen rationalen Konstante $k$ und der natürlichen Indexzahl $i$ nun stets wieder eine rationale Zahl liefert, die Periode der Sinusfunktion jedoch mit $2\pi$ eine irrationale Zahl ist, kann es damit bei dieser Folge eigentlich auch keine zwei identischen Folgeglieder mehr geben, selbst bei unendlich oft fortgeführter Intervallschachtelung also am Ende auch keine Häufungspunkte, geschweige denn einen größten und kleinsten (bzw. überhaupt ein benennbares größtes und kleinstes Glied der Folge).

Müsste folglich nicht auch noch wenigstens das Kriterium der Monotonie in die oben von mir zitierte sowie die drei in diesem Artikel aufgeführten Formulierungen des Satzes von Bolzano-Weierstraß aufgenommen werden, damit er wirklich „wasserdicht“ ist? --Qniemiec (Diskussion) 02:53, 3. Sep. 2021 (CEST)

Hallo, hab nochmal in einem weiteren Buch, der "Kleinen Enzyklopädie Mathematik", nachgeschaut, und da steht dann in der Ausgabe von 1970, S.388-389, als Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen ganz allgemein: „Jede beschränkte unendliche Menge hat mindestens einen Häufungspunkt.“ sowie für Zahlenmengen und -folgen im besonderen nochmal: „Jede unendliche und beschränkte Zahlenmenge hat mindestens einen Häufungswert.“ Was schon mal die Frage, ob mit „einen“ „mindestens einen“ oder „einen und nur einen“ gemeint ist, beantwortet, das oben geschilderte Problem mit der og. beschränkten unendlichen Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} ;k\in \mathbb {Q} }$ mit $a_{i}=\sin(k\cdot i)$ jedoch, die gleichwohl keinen Häufungspunkt aufweisen dürfte, weiter offen lässt. --Qniemiec (Diskussion) 10:47, 3. Sep. 2021 (CEST)

Einfacher zu diskutieren ist ja die alte Formulierung „Jede beschränkte Folge reeller/komplexer Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.“ Wenn man konstante unendliche Folgen ausschließt (die Konstante wäre dann ja der Grenzwert), gibt es entweder eine monoton steigende oder eine monoton fallende unendliche Teilfolge.--Pacogo7 (Diskussion) 13:37, 3. Sep. 2021 (CEST)

Ja, setzt aber immer voraus, dass da schon Monotonie drin ist. Wie aber soll man bei $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} ;k\in \mathbb {Q} }$ mit $a_{i}=\sin(k\cdot i)$ irgendwelche Häufungspunkte finden? Die Folge ist unendlich und beschränkt, und trotzdem dürfte es, das das Argument der Sinusfunktion rational ist, ihre Periode $2\pi$ dagegen irrational, eigentlich jedes Folgeglied nur genau einmal geben, und damit auch keinerlei Häufungen, geschweige denn Konvergenz. Oder hab ich da einen Fehler im Gedankengang? --Qniemiec (Diskussion) 00:19, 14. Sep. 2021 (CEST)

Monotonie ist nicht "schon drin" (also als Bedingung im Satz formuliert), sondern folgt aus einer geschickten Fallunterscheidung im Beweis.--Pacogo7 (Diskussion) 23:46, 18. Sep. 2021 (CEST)

Relation zwischen Satz von Bolzano-Weierstraß und Monotoniekriterium

Im Abschnitt "Folgerungen und Verallgemeinerungen" wird behauptet, dass das Monotoniekriterium für die Konvergenz reeller Zahlenfolgen aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt. Nun kann man aber sehr leicht einsehen, dass sich das Monotoniekriterium sehr einfach direkt aus den grundlegenden Eigenschaften reller Zahlen (Vollständigkeit, d.h. Existenz von Supremum bzw. Konvergenz von Cauchy-Folgen) beweisen lässt. Ich wüsste nicht, an welcher Stelle man dafür den Satz von Bolzano-Weierstraß bemühen wollte. Mehr noch: Es lässt sich umgekehrt der Satz von Bolzano-Weierstraß sehr leicht aus dem Monotoniekriterium (zusammen mit der Tatsache, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge besitzt) beweisen. Will der Autor mit der oben genannten Behauptung implizieren, dass das Monotoniekriterium und der Satz von Bolzano-Weierstraß äquivalent sind? --Gzim75 (Diskussion) 10:00, 1. Okt. 2021 (CEST)