Diskussion:Skalarprodukt
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Semilinearität
Wie ich dem Diskussionsarchiv entnommen habe, gab es bezüglich der Frage, ob das komplexe Skalarprodukt in der ersten oder zweiten Komponente linear sein soll, bereits Uneinigkeit. Offenbar hat man sich darauf geeinigt, Linearität in der zweiten Komponente zu wählen. Da beides funktioniert, könnte man damit ja auch zufrieden sein. Aber dann sollte man als Referenzen für den Artikel nicht undbedingt zwei Bücher angeben (Rudin und Fischer), in denen es gerade anders herum gemacht wird. Zumal ich auch davon ausgehe, dass sich viele Leser des Artikels wundern werden, denn in der mir gängigen mathematischen Literatur wird durchweg Linearität in der ersten Komponente gewählt, es sei denn, das Buch oder der Artikel behandelt ein Thema aus der theoretischen oder mathematischen Physik. Dieser Wikipediaartikel aber ist ein mathematischer, kein physikalischer Artikel. Darum plädiere ich für eine Änderung. --PatrickC (Diskussion) 11:55, 11. Jul. 2013 (CEST)
"euklidische Anschauungsraum"
Diese Einschränkung ist mir unverständlich. Unter welchen Umständen ist das das Skalarprodukt etwas anderes? TiHa (Diskussion) 12:51, 9. Aug. 2017 (CEST)
- Ein Winkel ist zunächst nur im euklidischen Anschauungsraum überhaupt definiert. Nur hier kann man das Skalarprodukt mit Hilf des Winkels definieren. In anderen Räumen wird der Winkel erst mit Hilfe des Skalarprodukts definiert. --Digamma (Diskussion) 13:36, 9. Aug. 2017 (CEST)
- Das Problem liegt hierbei vor allem darin, dass begrifflich nicht sauber zwischen dem Skalarprodukt und dem Standardskalarprodukt unterschieden wird. Das Skalarprodukt wird für beliebige Vektorräume denen ein beliebiger Körper zugrunde liegt definiert. Das Standardskalarprodukt ist nur im euklidischen Raum definiert, also ein hoch spezifisches Skalarprodukt. --WehSchnittchen (Diskussion) 14:45, 26. Jun. 2020 (CEST)
Wohldefiniertheit
Auf der einen Seite werden Koorditnaten miteinander mutlipliziert und auf der anderen Seite wird der Winkel zwischen den Vektoren verwendet. Dieser Zusammenhang wird zwar anschaulich erklährt, aber es gibt keinen Beweis dafür. Es fehlt ein Beweis oder eine Verlinkung zum Beweis, der besagt, dass dieser Zusammenhang wohldefiniert ist. (nicht signierter Beitrag von Uhennig (Diskussion | Beiträge) 07:47, 3. Mai 2020 (CEST))
- Der Zusammenhang ist "Folklore". Sind e1, e2, e3 die Einheitsvektoren, die senkrecht aufeinender stehen, so folgt ei*ej=0 für i<>j und ei*ei=1, jetzt brauchst Du nur noch ausmultiplizieren: (a1e1+a2e2+a3e3)(b1e1+b2e2+b3e3)=a1b1+a2b2+a3b3. --Joachim Mohr (Diskussion) 18:01, 3. Mai 2020 (CEST)
- Nur am Rande: Dazu muss man aber erstmal nachweisen, dass die Bilinearität gilt. --Digamma (Diskussion) 18:19, 3. Mai 2020 (CEST)
- Wikipedia ist kein Lehrbuch und kein Fachbuch. Mathematische Aussagen müssen hier nicht bewiesen, sondern nur erläutert werden. --Digamma (Diskussion) 18:18, 3. Mai 2020 (CEST)
Titel: Standardskalarprodukt/ euklidisches Skalarprodukt
Hier wird das Standardskalarprodukt (auch euklidische Skalarprodukt) beschrieben, das in der Physik und den Ingenieurswissenschaften von hoher Bedeutung ist. Dies ist ein spezifisches von unendlich vielen Skalarprodukten. Die Eigenschaften des Standardskalarprodukts als die aller Skalarprodukte darzustellen, so wie es in diesem Artikel der Fall ist, ist faktisch falsch. Man könnte den gesamten Artikel unter dem Titel "euklidisches Skalarprodukt" oder "Standardskalarprodukt" veröffentlichen um dies richtig zu stellen. Die kurzen Anmerkungen, zu anderen Skalarprodukten schaffen nur Verwirrung.
Ein Artikel über das Skalarprodukt sollte zumindest seine Definition enthalten. In der Mathematik ist ein Skalarprodukt eine Abbildung, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet und 3 Eigenschaften aufweisen muss. Das Skalarprodukt ist wie folgt definiert:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Jedem Paar zweier beliebiger Vektoren x und y aus dem Vektorraum V sei eine Zahl aus K zugeordnet, wobei für alle Vektoren x,y,z aus V und alle Zahlen r,s aus K gilt:
1) (x,y) = (y,x) (im Komplexen wird die rechte Seite konjugiert, das kann ich in dem Editor hier nicht)
2) (x,x) >= 0
3) (rx + sy, z) = r(x,z) +s(y,z)
Als ein Beispiel für ein anderes Skalarprodukt könnte man das bestimmte Integral über das Produkt zweier Polynome aufführen. Dies ist auf dem Vektorraum der Polynome definiert und erfüllt alle Eigenschaften eines Skalarprodukts. Aussagen über Winkel und andere Spezifitäten des euklidischen Skalarprodukts treffen hier jedoch nicht zu.
--WehSchnittchen (Diskussion) 15:24, 26. Jun. 2020 (CEST)
- Hast du den Artikel ganz gelesen oder nur den Anfang? Alles, was du schreibst, wird im Artikel genannt. Die Aussage, dass man nur beim euklidischen Skalarprodukt Winkel definieren könne, ist allerdings falsch. --Digamma (Diskussion) 15:31, 26. Jun. 2020 (CEST)
- Genauer: Der Artikel ist in zwei große Abschnitte gegliedert. Der erste heißt "Im euklidischen Raum", der zweite "In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen". In diesem zweiten Abschnitt steht genau das, was du vermisst. --Digamma (Diskussion) 18:32, 26. Jun. 2020 (CEST)
IP-Anmerkung
Achtung!
Die Definition für das innere Produkt ist falsch. Ein inneres Produkt muss nicht positiv definit sein. Diese Bedingung in der Definition ist falsch und nicht nötig. Es kann genauso auch negativ definite (und anders definite) innere Produkte geben. Siehe dafür z.B. auch "Manifolds, Tensors and Forms" von Paul Renteln auf Seiten 14 und 15.
Ich bin kein Meister im Bearbeiten von solchen Seiten und hoffe, dass jemand diesen Fehler entsprechend auf der ganzen Seite ausbessern kann. Für den Moment lasse ich auf der Seite einfach eine kleine Warnung an den Leser/die Leserin da, dass dieser Punkt in der Definition nicht gebraucht wird.
Vielen Dank! (nicht signierter Beitrag von 2001:67C:10EC:5746:8000:0:0:166 (Diskussion) 11:44, 5. Aug. 2021 (CEST))
