Diskussion:Sobolev-Raum

IMHO ist die geläufigere Version der Sobolev-Norm doch $\|f\|_{H^{n}(\Omega )}=\left(\sum _{|\alpha |\leq n}\|\partial ^{\alpha }f\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\right)^{1/2}$

Hi, Du kannst gerne einen Abschnitt zu Sovolew-Räumen über mehrdimensionalen Räumen oder gar Manigfaltigkeiten machen. Im Eindimensionalen ist die angegebene Form ausreichend und äquivalent zu allen weiteren Formulierungen. Wenn man aber sowieso Multiindexsummen für die gemischten Ableitungen einführen muss, ist es "symmetrischer", gleich über alle Ableitungen zu summieren. Damit ist dann auch die Äquivalenz zur Fourier-Definition etwas einfacher zu sehen.--LutzL 10:11, 13. Dez 2004 (CET)

Bzgl welcher Norm ist denn der Raum der Fkt'n mit schw. Abl. nicht vollständig? Bzgl der Sobolev Norm ist er das doch? (nicht signierter Beitrag von 85.178.222.225 (Diskussion) )

Der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ist mit der Sobolew-Norm nicht vollständig, dessen Vervollständigung, der Sobolew-Raum, trivialerweise schon.--LutzL 10:20, 27. Feb 2006 (CET)

Deshalb ist es falsch, dass der Funktionenraum der Funktionen, dessen schwache Ableitungen in $L^{k}$ liegen, nicht vollständig ist.

$f_{n}(x):={\sqrt {x^{2}+1/n}}$ besitzt z.B. den Limes $f(x)=\|x\|$, der wiederum eine schwache Ableitung besitzt.

Oder kennt jemand ein konkretes Beispiel, wo der Grenzwert nicht existiert?

(nicht signierter Beitrag von 131.220.154.154 (Diskussion) LL)

Diese Funktionenfolge liegt nichtmal in $L^{k}$, denn sie ist nach Unendlich unbeschränkt. Bitte lies nochmal meine Antwort, es gibt keinen Widerspruch, denn ich spreche von glatten Funktionen mit deren "starker" Ableitung.--LutzL 14:27, 5. Mai 2006 (CEST)

Da der Artikel jetzt so geändert wurde, dass der Raum bzgl. partieller Ableitungen (anstelle schwacher Ableitungen) nicht vollständig ist, stimme ich Dir zu.

Das oben angegebene Folgenbeispiel sollte natürlich nur auf einer kompakten Menge definiert sein. Es ging mir auch weniger um den $L^{k}$ als vielmehr um das Konzept schwacher Ableitungen. Danke an der Stelle für die Anpassung des Artikels.

Ich hatte lange nicht mehr intensiv auf diesen Artikel geschaut. Die Definition war ja komplett rückwärts und ist es teilweise noch. Auch die Bemerkung weiter unten zur Vervollständigung ist etwas tautologisch.--LutzL 15:43, 5. Mai 2006 (CEST)

Ich würde dafür plädieren, den tautologischen Abschnitt zu löschen. Im ersten Abschnitt bin ich jetzt auch mehr auf $L^{p}$ eingegangen. Auch steht die Konstruktion des Sobolew-Raums vor der Norm - so wie es sein sollte. --V4len 16:45, 7. Mai 2006 (CEST)

Hi, es werden 2 Definitionen angesprochen und dann deren Äquivalenz behauptet. Das ist durchaus ok. Nur sollten die Definitionen auch deutlich getrennt voneinander hingeschrieben werden. 1. Definition: Alle schwachen Ableitungen bis einschließlich Ordnung k sind in Lp. 2. Definition: Vervollständigung des Raumes der Testfunktionen bzgl. der angegebenen Norm. -- LutzL 09:25, 8. Mai 2006 (CEST)

Hallo, wie wärs dann mit folgender Vorgehensart: 1. Definiere $W^{k,p}$ als Lp-Raum, in dem die schwachen Ableitungen bis zur Ordnung k auch in Lp liegen. 2. Definiere $W^{k,p}$-Norm und erkläre, dass $W^{k,p}$ bzgl. dieser Norm vollständig ist. 3. Bemerke, dass die $\|\cdot \|_{W^{k,p}}$-Vervollständigung der Funktionen, deren partiellen stetigen Ableitungen in Lp liegen genau $W^{k,p}$ ist.--V4len 09:45, 8. Mai 2006 (CEST)

Hi, ich habe die Änderungen mal so durchgeführt, wie ich sie für richtig halte. Würde mich über Kritik freuen. --V4len 10:27, 9. Mai 2006 (CEST)

Keine Kritik, sieht gut aus. Am Design könnte man noch feilen. Oma-tauglich ist dieser Artikel natürlich weiterhin nicht, das sollte aber auch eher von den genannten Anwendungen geleistet werden.--LutzL 11:16, 9. Mai 2006 (CEST)

So, ich habe jetzt mal die redundanten Informationen gelöscht. Der Artikel ist dadurch aber jetzt sehr mathematisch geworden. @LutzL: Fällt Dir irgendeine Anwendung ein, die man auch als solche bezeichnen kann? ;) --V4len 17:38, 9. Mai 2006 (CEST)

Klassisches Anwendungsbeispiel wäre doch das Finden einer pDGL-Lösung in H^1,2 (z.B. wie beim Dirichlet-Problem, wie im Alt ausgeführt).--Henning1000 14:13, 22. Mai 2006

Anwendungen finden sich Bei der Finite Elemente Methode zur Lösung von partiellen differenzial Gleichungen. (nicht signierter Beitrag von E.G.A.L. (Diskussion | Beiträge) 22:34, 21. Mai 2016 (CEST))

Definition von Sobolew-Räumen mit reellen Ordnungen

Im Text steht:

Eine $L^{2}(\Omega )$-Funktion ist ein Element von ${\mathcal {H}}^{s}(\Omega )$, falls gilt

$(1+|\zeta |)^{s}\cdot {\hat {f}}(\zeta )\in L^{2}(\mathbb {R} )$.

Ich denke -- und die englische Seite scheint das zu unterstützen -- dass richtig wäre:

$(1+|\zeta |^{2})^{s}\cdot {\hat {f}}(\zeta )\in L^{2}(\mathbb {R} )$.

Kommentare? Eriatarka 15:51, 12. Jan. 2009 (CET)

Nein, in der zweiten Version müsste es dann

$(1+|\zeta |^{2})^{s/2}\cdot {\hat {f}}(\zeta )\in L^{2}(\mathbb {R} )$

heißen. Der Grad in zeta ist immer s, sonst wäre es auch nicht mit den natürlichen Ordnungen verträglich.--LutzL 17:10, 12. Jan. 2009 (CET)

Das stimmt so auch mit der englischen Wikipedia überein, da dort direkt die Endlichkeit des Normintegrals verlangt wird, wo obiger Ausdruck quadriert auftritt.--LutzL 17:15, 12. Jan. 2009 (CET)

Stimmt, ich habe den Faktor 1/2 im Exponenten vergessen. Dennoch muss es doch aber einen Unterschied machen, ob man die Norm nun mit $(1+|\zeta |)^{s}$ oder mit $(1+|\zeta |^{2})^{\frac {s}{2}}$ definiert. Sind die entsprechenden Normen also äquivalent? Eriatarka 13:24, 13. Jan. 2009 (CET)

Die Definition die hier steht, ist aber nur für s>= 0 sinnvoll! Für s < 0 würde ja dann folgen, dass H^s=L^s...

H_0^k und W_p^k

Derzeit steht im Artikel Die Schreibweise W_p^k(\Omega) ist ebenfalls üblich. Ist das der Fall? Ich habe bisher _immer_ nur W^{k,p} gesehen. Können wir das ändern in: Auch die Schreibweise W_p^k(\Omega) ist teilweise in Benutzung.?

Und: Spricht etwas dagegen H_0^k(\Omega ) als \overline{C_\text{c}^\infty (\Omega )}^{W^{k,2}(\Omega )} einzuführen? -- JanCK 15:12, 19. Mär. 2009 (CET)

Ich finde auch da sollte noch etwas mehr erklärt werden vor allem in der Numerik werden diese Normen oft verwendet.--Sanandros (Diskussion) 15:50, 10. Jan. 2018 (CET)

Sobolev vs. Sobolew

Wieso heißt der Artikel Sobolew-Raum? In den Büchern finde ich fast ausschließlich nur die Schreibweise Sobolev und eben auch in deutscher Literatur. --Christian1985 10:51, 27. Jun. 2009 (CEST)

Dies ist die alte Frage, wie man im Deutschen das kyrillische "b" transkripiert. Im Englischen ist "v" üblicher. Da die meiste Fachliteratur Englisch ist, hat sich auch hier das "v" eingebürgert, aber das "w" entspricht besser dem Klang: Das kyrillische "b" ist weder stimmhaft wie in "Vase", noch entspricht es einem "f" wie in "Vergehen", sondern eben ziemlich genau einem "w" wie in "Wodka".-- 92.227.140.75 09:39, 29. Jun. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 07:25, 26. Feb. 2016 (CET)

Spuroperator

Ist die Vorraussetzung

"Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ein beschränktes Gebiet mit C1-Rand."

nicht zu einschränkend? Soviel ich weiß genügt da schon ein Lipschitz-Rand. (siehe z.B. Wloka 1982 oder Alt 2006)--129.206.101.125 11:26, 16. Okt. 2009 (CEST)

In der Tat reicht Lipschitz-Rand (bzw. sogar noch etwas allgemeineres wie Kegelbedingung oder so). Dies sollte im Abschnitt über "Sobolewraum mit Nullrandbedingung" aber auch erwähnt werden, dass man die Existenz eines stetigen Spuroperators benötigt. Es gibt nämlich z.B. in der Tat offene Mengen mit fraktalen Rändern, wo diese Approximationsresultate nicht mehr stimmen! -- 92.227.140.75 09:32, 29. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe den Abschnitt Spuroperator vor einigen Tagen (als noch unregistrierter User) bearbeitet, so dass er möglichst allgemein ist, einmal für Cm-Rand und einmal für Lipschitzrand. Der Fall des Lipschitzrands ist enorm wichtig, da Dreiecke nur Lipschitzgebiete sind, aber keine C1 Gebiete. Dreiecke treten beim FEM-Verfahren auf. (nicht signierter Beitrag von E.G.A.L. (Diskussion | Beiträge) 23:04, 25. Feb. 2016 (CET))

Die Aussage für Lipschitzgebiete liest sich für mich aber genauso wie die für C_1-Gebiete. Kann man das nicht in einem Abschnitt gemeinsam abhandeln?--Christian1985 (Disk) 07:24, 26. Feb. 2016 (CET)

Sobolew-Raum mit Nullrandbedingungen

Es sollte zumindest beschrieben werden, was für ein Funktionenraum $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ist.--KMic 01:39, 18. Jun. 2011 (CEST)

Reicht nicht einfach ein Verweis auf Testfunktion? --Christian1985 (Diskussion) 01:44, 18. Jun. 2011 (CEST)

Ähm, doch. Sorry, habe ich nicht dran gedacht.--KMic 01:51, 18. Jun. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 07:26, 26. Feb. 2016 (CET)

Verschiebung nach Sobolev-Raum

Ich werde, falls keine weiteren Einsprüche kommen, den Artikel aufgrund der Diskussion nach Sobolev-Raum verschieben. --Christian1985 (Diskussion) 12:03, 4. Jul. 2011 (CEST)

Einverstanden, die genannte Diskussion verlief ja eindeutig.--KMic 12:29, 4. Jul. 2011 (CEST)

Danke, viel besser.--KMic 17:01, 7. Jul. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 07:26, 26. Feb. 2016 (CET)

Definition als topologischer Abschluss

Müsste es im folgenden Satz nicht heißen "dessen topologischer Abschluss", wie es auch die Überschrift andeutet?

"Der Raum C^{k,p}(\Omega) ist bzgl. der W^{k,p}-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessen Vervollständigung gerade W^{k,p}(\Omega)"

Also dass der Abschluss in W^{k,p} bereits der gesamte Raum ist. Sonst arbeitet man ja wieder mit Vervollständigungen, also implizit mit Cauchy-Folgen und nicht mit tatsächlichen Funktionen. (nicht signierter Beitrag von 132.230.30.148 (Diskussion) 14:09, 4. Mär. 2013 (CET))

Naja, es ist beides richtig. Wenn man nicht gerade die W^{k,p}-Norm hat, sondern eine etwas andere, dann konstruiert man sich einen dazu passenden Raum durch Vervollständigung. Man möchte jedoch, dass diese dann noch als Teilraum des ursprünglichen Raums, also L^p, realisiert werden kann. Dann ist dieser C^{k,p}(\Omega) dicht in diesem Teilraum und man muss die Vervollständigung nicht abstrakt mit Cauchy-Folgen betrachten sondern hat was konkretes - hier eben den W^{k,p}(\Omega). Wenn man die Vervollständigung als Teilraum realisieren kann, kenne ich das also "topologisch kompatibel".

Da ein bisschen weiter oben ja bereits steht, dass C^{k,p}(\Omega) dicht in W^{k,p}(\Omega) liegt, wird hier eben noch von der Vervollständigung gesprochen, das muss bei anderen Räumen nämlich nicht passen. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 18:41, 4. Mär. 2013 (CET)

Nachtrag: Es steht ja doch nicht dran, dass C^{k,p}(\Omega) dicht in W^{k,p}(\Omega) liegt. Das kann man noch hinzufügen, aber du musst auch Überlegen. Wenn du den Abschluss von C^{k,p}(\Omega) nehmen willst, musst du dich in einem größeren, topologischen Raum aufhalten - und zwar mit der Sobolevnorm versehen. Diesen hast du noch nicht definiert, also kannst du auch noch nicht den Abschluss bilden. Wenn du dagegen den Raum definiert hast (nämlich die Vervollständigung), dann kannst du auch schauen, ob dieser auch der Abschluss von C^{k,p}(\Omega). Aber als alleinige Definition taugt dies nicht. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 18:48, 4. Mär. 2013 (CET)

Sobolevungleichungen

Zu diesen wird leider nichts gesagt, noch nicht einmal eine Weiterleitung auf die Soboleveinbettungen, die immerhin etwas miteinander zu tun haben. Im Englischen haben die sogar einen eigenen Artikel. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 15:50, 8. Apr. 2013 (CEST)

Ein eigener Artikel zu den Einbettungen wäre sicher wünschenswert. Aber es muss sich halt jemand finden, der ihn schreiben will. Für den Anfang könnte man doch sicherlich die "normale" Sobolev-Ungleichung in den Abschnitt zur Sobolev-Einbettung einbauen oder?--Christian1985 (Disk) 15:58, 8. Apr. 2013 (CEST)

Die sind doch im Wesentlichen in den Stetigkeitsaussagen enthalten. --Chricho ¹ ² ³ 02:40, 14. Nov. 2013 (CET)

Einbettungssätze

Mit der Formulierung werde ich überhaupt nicht glücklich, es geht ja nicht darum, dass irgendeine Einbettung existiert, sondern um ein natürliches Enthaltensein (wenn man eben passende Vertreter wählt). Zudem wird für mich zumindest mit dem Wort „Supremumsnorm“ nicht deutlich, dass es hier um die übliche Norm auf den Räumen $C^{k}$ handelt. Und warum wird hier hervorgehoben, dass $C^{k}\subset C$? Formulierungsvorschläge? Leider scheinen wir für die $C^{k}$-Räume auch keinen Artikel zu haben. --Chricho ¹ ² ³ 18:39, 13. Nov. 2013 (CET)

Kann es nicht sein, dass hier wirklich die Supremumsnorm auf $C$ gemeint sein soll? So hätte ich das beim Lesen aufgefasst. -- HilberTraum (Diskussion) 19:35, 13. Nov. 2013 (CET)

Mit der Norm ist es natürlich a fortiori auch wahr (wobei mit „Einbettung“ hier allerdings nur eine Injektion gemeint ist, und keine Einbettung topologischer Vektorräume, das sollte man vllt. auch klarer formulieren), aber ich denke nicht, dass die gemeint ist, siehe en:Sobolev inequality. Hölder-Raum wär vllt. ein Link-Ziel, entweder $\gamma =0$ setzen oder gleich eine allgemeinere Version hier einsetzen. --Chricho ¹ ² ³ 02:39, 14. Nov. 2013 (CET)

Ja, dann sollte man das wirklich umformulieren. Für die $C^{k}$ haben wir noch Glatte Funktion. -- HilberTraum (Diskussion) 13:00, 14. Nov. 2013 (CET)

Vielleicht wollte ursprünglich jemand noch darauf hinweisen, dass diese zweite Einbettung kompakt ist (für m>0 nach Arzela-Ascoli), und damit die Verknüpfung der Einbettungen. Hat dann aber versäumt, das auch tatsächlich auszuführen.--LutzL (Diskussion) 17:56, 14. Nov. 2013 (CET)

Gibt es nicht auch ein erweitertes Einbettungsresultat mit dem Hölder-Index, also $W^{k,p}\to C^{m,\alpha }$ wenn $m+\alpha <\gamma =k+{\tfrac {n}{p}}$?--LutzL (Diskussion) 17:59, 14. Nov. 2013 (CET)

Da wir nun für dieses Thema eh ein wenig recherchieren werden, würde es sich doch anbieten zum Einbettungssatz einen eigenen Artikel anzulegen, oder?--Christian1985 (Disk) 18:06, 14. Nov. 2013 (CET)

@LutzL Ja, das macht der englische Artikel, en:Sobolev inequality (wobei er das, aus welchem Grund auch immer, als Ungleichung und nicht als Stetigkeitsaussage präsentiert). Das meinte ich mit einer „allgemeineren Version“. --Chricho ¹ ² ³ 18:35, 14. Nov. 2013 (CET)

Abschluss von $\Omega$ im Einbettungssatz?

Sollte beim Einbettungssatz der Sobolevraum nicht in den Raum $C^{m}({\overline {\Omega }})$ eingebettet werden? Die Supremumsnorm muss ansonsten auf $C^{m}(\Omega )$ gar nicht wohldefiniert sein. --Schtiwan (Diskussion) 17:28, 18. Jan. 2015 (CET)

Sobolevscher Einbettungssatz

Hallo,

ich fände es sinnvoll, für den Sobolevschen Einbettungssatz einen eigenen Artikel anzulegen und die Informationen aus diesem Artikel auszulagern. Gibt es andere Meinungen?--Christian1985 (Disk) 17:38, 19. Feb. 2016 (CET)

Zustimmung.--Pugo (Diskussion) 03:01, 8. Apr. 2016 (CEST)

Ja sollte raus.--Sanandros (Diskussion) 10:41, 14. Mär. 2018 (CET)

Beispiele "Unortodoxer" Sobolew-Räume

Kann man hier nicht noch die Räume H^1/2, oder H^-1 als Beispiel genauer betrachten? Vor allem für PDGLn werden die ja auch anders definiert als hier im Artikel beschrieben. Siehe z.B. Spektraläquivalente Vorkonditionierung lokaler Operatoren mittels H-Matrizen und das Landau-Lifschitz-Modell als Anwendung S. 16.--Sanandros (Diskussion) 10:51, 14. Mär. 2018 (CET)

Nur Mut!! --Christian1985 (Disk) 17:58, 14. Mär. 2018 (CET)

Ok kann ich schon machen, aber nicht dass ihr dann sagt, wer keine Ahnung hat solls lassen.--Sanandros (Diskussion) 22:27, 22. Mär. 2018 (CET)