Diskussion:Teilbarkeit/Archiv/1

Teilbarkeit durch Primzahlen

Die Teilbarkeit von Primzahlen kann man auch sehr leicht überprüfen: Ein Benutzer namens Sascha hat eine Frage gestellt, die nach Diskussion:Teilbarkeit durch Primzahlen verschoben wurde, da sie sich auf das inzwischen dort beschriebene Verfahren bezieht. --SirJective 11:57, 1. Mär 2004 (CET)

Teilbarkeit durch Zahlen der Form 2ⁿ-1

Zahlen, die durch 3, 7, 15, 31, .. teilbat sind, haben eine bestimmte Struktur:

so ist 1449 im Binär-System 10110101001. In Dreiergruppen aufgeteilt ergibt sich folgende Struktur: 010 110 101 001. 010 und 101 ergeben zusammen 111. Das gleiche gilt für 110 und 001. Da es keine weiteren Dreiergruppen gibt, also keine Dreiergruppe übrig bleibt, ist 1449 durch 7 teilbar. Im Binärsystem hat die 7 die Form (111)₂. Die 7-adische Zahl endet mit einer 0. Auch das zeigt die Teilbarkeit durch 7 an.

In Zweiergruppen aufgeteilt sieht die Binärzahl von 1449 so aus: 01 01 10 10 10 01. Auch hier lassen sich alle Gruppen zu 11 Gruppen zusammenfassen, ohne das Eine Gruppe übrig bleibt.

--Arbol01 16:57, 24. Apr 2004 (CEST)

Ist das nicht einfach die Quersummenregel zur Basis 2? So wie die Quersumme einer Dezimalzahl die Teilbarkeit durch 9 testbar macht. --SirJective 22:42, 24. Apr 2004 (CEST)

In gewissem Sinne ist es das. Aber man darf nicht einfach Einsen zusammen gruppieren. Angenommen, ich habe die 6 5er Gruppen

A	10101	D	01010
B	11010	E	00101
C	10010	F	01101

Dann Sind die Binärzahlen AD, BE und CF durch 31 teilbar, die Binärzahlen AE, CD und BF aber nicht. Beide Teile müssen komplementär sein.

Eine Binärzahl bestehend aus allen 6 5er-Gruppen A, B, C, D, E und F ist aber in jeder Kombination durch 31 teilbbar.

Vergleichbar ist diese Art von Teilbarkeitsregel wohl am besten mit der der Elf. 341 ist dirch 11 Teilbar, weil man die 1 zu der 3 addieren kann, und so 44 erhält. Beziehungsweise 1243 ist durch 11 teilbar, weil 1+4 und 2+3 = 5 => 55, und 55 ist durch 11 teilbar. --Arbol01 23:12, 24. Apr 2004 (CEST)

OK, Denkfehler meinerseits. Zum Test der Teilbarkeit durch 2ⁿ-1 benutzt man die Quersummenregel zur Basis 2ⁿ. Wenn man die Ziffern selbst zur Basis 2 darstellt, erhält man eine Darstellung aus n-stelligen Bitblöcken. Du hast recht, dass die einfache Addition der Bits nicht funktioniert.

Für Zahlen mit zwei Ziffernblöcken reicht es, die Summe der beiden Blöcke zu bilden. Es reicht im allgemeinen (für größere Zahlen) jedoch nicht, nur je zwei Blöcke zu addieren. Beispiel:

001 011 011₂ = 91

ist durch 7 teilbar, weil die Summe aller Drei-Bit-Blöcke, 111₂, durch 7 teilbar ist. --SirJective

Ja, 91 ist ein Beispiel, warum das mit den Bit-Blocks nicht immer so einfach ist. 91 = (001 011 011)₂. Ich weiß nun nicht, ob es legal ist, aber 011 + 001 = 100, und 100 + 011 = 111. Gefällt mir nicht so richtig. --Arbol01 00:33, 25. Apr 2004 (CEST)

Was meinst du mit legal? In welcher Reihenfolge du die Ziffern bei der Quersummenbildung addierst, ist ja egal. Wenn die Zahl so geartet ist, dass schon je zwei Ziffern einen Einserblock bilden, ist das ja schön; dies ist jedoch nicht notwendig.

Dein Beispiel mit der Teilbarkeit durch 11 passt übrigens dadurch dazu, dass hier die Quersummenregel bei der Darstellung zur Basis 100 angewendet wird - du darfst nur Ziffern oder Ziffernblöcke addieren, deren Abstand gerade ist. --SirJective 00:44, 25. Apr 2004 (CEST)

Das war eine Unsicherheit meinerseits. Aber mir ist eben etwas aufgegangen: Die Binärzahl (101 011 010 100)₂ die sich prima zu zwei 111 Gruppen (101 + 010 und 011 + 100) formen läßt, hat als Quersumme (101 + 011 + 010 + 100) die 14 (1110)₂. Ansonsten stimme ich dir vollkommen zu.

Ach ja, ebenso kann man zwei andere Teilbarkeitsregeln verallgemeinern:

Eine Zahl ist durch 2ⁿ teilbar, wenn die letzten n Ziffern dieser Zahl eine durch 2ⁿ teilbare Zahl ergeben.

Eine Zahl ist durch 3ⁿ teilbar, wenn die Quersumme eine durch 3ⁿ Zahl ergibt. --Arbol01 00:55, 25. Apr 2004 (CEST)

Wenn die Quersumme mehr als einstellig ist, kann man ja das Kriterium iterieren, und also die Quersumme der Quersumme bilden. Im Endeffekt bildest du (fast) den Rest modulo 2ⁿ-1. Die Teilbarkeit durch 2ⁿ ist wie im Dezimalsystem bei 10ⁿ klar.

Testen wir also die Teilbarkeit durch 3² = 9. 23 = 27₈ = 010 111₂ hat die oktale Quersumme 1 001₂, ist aber nicht durch 9 teilbar. Die Regel gilt also so nicht. Bei 9 kann man noch die alternierende oktale Quersumme anwenden, oder die Quersumme zur Basis 64 (9*7=64-1). Bei anderen Dreierpotenzen gelingt das vielleicht nicht. --SirJective 01:06, 25. Apr 2004 (CEST)

Die binäre Quersumme muß wenn schon 2ⁿ*7 sein. Also 111, 1110, 11100, .. . Das hätte ich vielleicht vorher dazu schreiben sollen. --Arbol01 01:17, 25. Apr 2004 (CEST)

Auch eine Zahl, deren oktale Quersumme gleich 77₈ = 111 111₂ ist, ist durch 7 teilbar. (Ein solche ist aber schon relativ gross - die kleinste ist 777777777₈, dual mit 27 Bit.) --SirJective 11:23, 25. Apr 2004 (CEST)

Das wäre ja fast schon wieder etwas für die Liste der besonderen Zahlen: Die kleinsten Zahlen, deren binäre Quersumme 111111₂, 1111111111₂, 11111111111111₂,

111111111111111111111111₂, ... ist. --Arbol01 11:34, 25. Apr 2004 (CEST)

Bitte nicht! *lol* Dasselbe dann für die Quersumme zur Basis 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... :-/ --SirJective 12:03, 25. Apr 2004 (CEST)

27 ist durch 27 teilbar, aber die Quersumme 9 ist nicht durch 27 teilbar. Jetzt versteh ich aber erstmal, dass du von der dezimalen Quersumme sprichst. Eine Zahl ist durch 27 = 3^3 teilbar, genau dann wenn ihre Quersumme zur Basis 10^3 durch 27 teilbar ist. Aber schon bei 81 brauchst du 10^9 als Basis, wenn du dezimal bleiben willst. Diese Regel werde ich deshalb erstmal wieder aus dem Artikel entfernen. --SirJective 15:14, 26. Apr 2004 (CEST)

Du hast die Sache gerade umgedreht. Ich habe nicht behauptet, daß eine Zahl, die durch 27 teilbar ist, eine Quersumme haben muß, die durch 27 teilbar ist.

27 hat als Quersumme 9, und ist deshalb auch durch 9 teilbar. Ob sie nun auch durch 27 teilbar ist, steht dann auf einem anderen Blatt. --Arbol01 15:40, 26. Apr 2004 (CEST)

Was allerdings auch einschränkend ist, ist das "genau dann". Bei 9 mag es noch zutreffen, bei der 27 tut es das nicht mehr. Das könnte aber auch für andere Teilbarkeitsregeln ein Problem sein.--Arbol01 15:54, 26. Apr 2004 (CEST)

Das "genau dann" gilt für die Quersumme zur Basis 10^3 = 1000, wenn man also die Dezimalzahl in Dreierblöcke einteilt, wie wir es für die Binärzahlen gemacht haben. Zur Basis 10 gilt keine der beiden Richtungen: 1899 ist nicht durch 27 teilbar, aber seine Quersumme zur Basis 10 ist genau 27.

Bei den angegebenen Teilbarkeitsregeln für 2,3,4,5,6, 8,9,10,11,12 gilt Äquivalenz, soweit ich weiß. --SirJective 16:39, 26. Apr 2004 (CEST)

Entschuldigung, ich bezog mich nicht auf dein "genau dann", sondern auf die "genau dann" in dein Teilbarkeitsregeln auf der Artikelseite. --Arbol01 16:51, 26. Apr 2004 (CEST)

Teilbarkeitsregeln, eher als Tabelle???

Zahlen mit sehr vielen Teilern, wo gibt es da schon einen Artikel?

                                  Zahl Anzahl der Teiler 
                                                  Primfaktorenzerlegung (2^a, 3^b, 5^c, 7^d, 11^e, ...)
                                     1        1  
                                     2        2   1
                                     4        3   2
                                     6        4   1 1
                                    12        6   2 1
                                    24        8   3 1
                                    36        9   2 2
                                    48       10   4 1
                                    60       12   2 1 1
                                   120       16   3 1 1
                                   180       18   2 2 1
                                   240       20   4 1 1
                                   360       24   3 2 1
                                   720       30   4 2 1
                                   840       32   3 1 1 1
                                  1260       36   2 2 1 1
                                  1680       40   4 1 1 1
                                  2520       48   3 2 1 1
                                  5040       60   4 2 1 1
                                  7560       64   3 3 1 1
                                 10080       72   5 2 1 1
                                 15120       80   4 3 1 1
                                 20160       84   6 2 1 1
                                 25200       90   4 2 2 1
                                 27720       96   3 2 1 1 1
                                 45360      100   4 4 1 1
                                 50400      108   5 2 2 1
                                 55440      120   4 2 1 1 1
                                 83160      128   3 3 1 1 1
                                110880      144   5 2 1 1 1
                                166320      160   4 3 1 1 1
                                221760      168   6 2 1 1 1
                                277200      180   4 2 2 1 1
                                332640      192   5 3 1 1 1
                                498960      200   4 4 1 1 1
                                554400      216   5 2 2 1 1
                                665280      224   6 3 1 1 1
                                720720      240   4 2 1 1 1 1
                               1081080      256   3 3 1 1 1 1
                               1441440      288   5 2 1 1 1 1
                               2162160      320   4 3 1 1 1 1
                               2882880      336   6 2 1 1 1 1
                               3603600      360   4 2 2 1 1 1
                               4324320      384   5 3 1 1 1 1
                               6486480      400   4 4 1 1 1 1
                               7207200      432   5 2 2 1 1 1
                               8648640      448   6 3 1 1 1 1
                              10810800      480   4 3 2 1 1 1
                              14414400      504   6 2 2 1 1 1
                              17297280      512   7 3 1 1 1 1
                              21621600      576   5 3 2 1 1 1
                              32432400      600   4 4 2 1 1 1
                              36756720      640   4 3 1 1 1 1 1
                              43243200      672   6 3 2 1 1 1
                              61261200      720   4 2 2 1 1 1 1
                              73513440      768   5 3 1 1 1 1 1
                             110270160      800   4 4 1 1 1 1 1
                             122522400      864   5 2 2 1 1 1 1
                             147026880      896   6 3 1 1 1 1 1
                             183783600      960   4 3 2 1 1 1 1
                             245044800     1008   6 2 2 1 1 1 1
                             294053760     1024   7 3 1 1 1 1 1
                             367567200     1152   5 3 2 1 1 1 1
                             551350800     1200   4 4 2 1 1 1 1
                             698377680     1280   4 3 1 1 1 1 1 1
                             735134400     1344   6 3 2 1 1 1 1
                            1102701600     1440   5 4 2 1 1 1 1
                            1396755360     1536   5 3 1 1 1 1 1 1
                            2095133040     1600   4 4 1 1 1 1 1 1
                            2205403200     1680   6 4 2 1 1 1 1
                            2327925600     1728   5 2 2 1 1 1 1 1
                            2793510720     1792   6 3 1 1 1 1 1 1
                            3491888400     1920   4 3 2 1 1 1 1 1
                            4655851200     2016   6 2 2 1 1 1 1 1
                            5587021440     2048   7 3 1 1 1 1 1 1
                            6983776800     2304   5 3 2 1 1 1 1 1
                           10475665200     2400   4 4 2 1 1 1 1 1
                           13967553600     2688   6 3 2 1 1 1 1 1
                           20951330400     2880   5 4 2 1 1 1 1 1
                           27935107200     3072   7 3 2 1 1 1 1 1
                           41902660800     3360   6 4 2 1 1 1 1 1
                           48886437600     3456   5 3 2 2 1 1 1 1
                           64250746560     3584   6 3 1 1 1 1 1 1 1
                           73329656400     3600   4 4 2 2 1 1 1 1
                           80313433200     3840   4 3 2 1 1 1 1 1 1
                           97772875200     4032   6 3 2 2 1 1 1 1
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                          146659312800     4320   5 4 2 2 1 1 1 1
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          1162885459773267804109536000  4423680   8 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          1691111397432989450722003200  4478976   8 5 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . .
          1744328189659901706164304000  4718592   7 5 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          2325770919546535608219072000  4915200   9 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          2558348011501189169040979200  4976640   8 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          3197935014376486461301224000  5160960   6 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          3488656379319803412328608000  5308416   8 5 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          4651541839093071216438144000  5406720  10 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .
          5116696023002378338081958400  5529600   9 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .

Zahlentheoretische Teilbarkeitsbegriffe

Brauchen wir wirklich eine Unterscheidung zwischen natürlichen und ganzen Zahlen? Sollte man statt "für $p$ ganz" nicht lieber so etwas wie " $p$ -ganz" oder " $p$ -adisch ganz" schreiben?--Gunther 09:31, 4. Apr 2005 (CEST)

Ich habe diese drei Teilbarkeitsbegriffe aus einem einführenden Buch über Zahlentheorie und p-adische Zahlen übernommen. Möglicherweise stehen sie ohne die weiteren Anmerkungen aus dem Buch etwas verloren da. Ich hatte bisher noch nicht die Lust, das zu übertragen. Das Buch ist für Einsteiger, vielleicht dient diese Aufdröselung da der besseren Verständlichkeit. --Eldred 16:52, 4. Apr 2005 (CEST)

Die Teilbarkeitsbegriffe für natürliche und ganze Zahlen zu unterscheiden, verwirrt ausschließlich. Die Definitionen stehen auch schon oben. Dann noch eine andere, nicht äquivalente Teilbarkeit mit mehr oder weniger demselben Symbol zu belegen, kommt mir ein wenig fahrlässig vor. Ist dieser Teilbarkeitsbegriff (der mir vorher noch nie begegnet ist) wirklich so wichtig?--Gunther 17:11, 4. Apr 2005 (CEST)

Regel zur Teilbarkeit durch 7

Zur Teilbarkeit durch 7 steht da: "Eine Zahl ist durch 7 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist". Ich finde die Regel in der Praxis unbrauchbar. Wenn man z.B. schnell ermitteln möchte, ob 546 durch sieben teilbar ist, dann hilft die Regel nicht weiter, denn die alternierende 3er-Quersumme ist wieder 546 (jede Zahl mit höchstens drei Stellen ist ihre eigene alternierende 3er-Quersumme).

Ich verwende seit Jahren folgende Regel und möchte vorschlagen, sie zumindest ergänzend in den Artikel aufzunehmen: Von der zu testenden Zahl wird die letzte Stelle abgetrennt (hier wäre das die 6), verdoppelt (also 12) und das ganze von dem restlichen linken Teil der zu testenden Zahl (hier 54) subtrahiert (Ergebnis hier also 54-12=42). Wenn das Ergebnis (hier 42) genau durch sieben teilbar ist, ist es die ursprüngliche Zahl (hier 546) auch. Das Verfahren kann bei großen Zahlen natürlich mehrfach angewandt werden. --213.196.195.198 21:48, 1. Mär 2006 (CET)

Das sollte auf jeden Fall in den Artikel, ja. Es gibt auch noch die Variante: Die letzten beiden Ziffern plus das Doppelte der ersten.--Gunther 21:50, 1. Mär 2006 (CET)

Hallo Gunther! Deine Variante läßt sich mittels des Restklassenringes von 7 genauso leicht verstehen wie die Quersummenregel: 1 / 7 = 0 Rest 1; 10 / 7 = 1 Rest 3; 100 / 7 = 14 Rest 2; 1000 / 7 = 143 Rest -1 etc. -1 und 6 sind in der gleichen Restklasse. Da 100 den Rest 2 hat, muß man die Hunderter verdoppeln, bevor man sie zu den letzten beiden Ziffern addiert. Die Regel: "Von der zu testenden Zahl wird die letzte Stelle abgetrennt (hier wäre das die 6), verdoppelt (also 12) und das ganze von dem restlichen linken Teil der zu testenden Zahl (hier 54) subtrahiert (Ergebnis hier also 54-12=42). Wenn das Ergebnis (hier 42) genau durch sieben teilbar ist, ist es die ursprüngliche Zahl (hier 546) auch. Das Verfahren kann bei großen Zahlen natürlich mehrfach angewandt werden." scheint zwar zu funktionieren, aber ich kann sie nicht mit Hilfe des Restklassenkörpers (Restklassenringe von Primzahlen sind Körper) von 7 nachvollziehen..:-(

Helfen die in diesem Artikel und auch in Quersumme gegebenen Teilbarkeitsregeln für die 7, im Kopf in wenigen Sekunden festzustellen, ob 35687934532 durch 7 teilbar ist und wenn nein, welchen Rest es beim Teilen durch 7 ergibt? Wohl kaum. Eine Teilbarkeitsregel, die ermöglicht, das zu können, ist hier veröffentlich worden. Sie sollte wohl in den Artikel aufgenommen werden. Jxr 15:47, 17. Feb. 2007 (CET)

Gunthers Vorschlag kenne ich auch. Er ist im Wesentlichen mit der Teilbarkeitsregel von 19 vergleichbar:
Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a - 2b durch 7 teilbar ist.
Bei der 19 ist es:
Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 19 teilbar, wenn a + 2b durch 19 teilbar ist.
Ich bin auch der Meinung, dass man die Regel der Vollständigkeit halber aufnehmen sollte. Schon weil sie mit der von der 19 verwandt ist.--Sixot 02:37, 12. Jul. 2007 (CEST)

Vor allem stimmt die Regel nicht: 4'898'040 ist definitiv durch 7 teilbar. Die alternierende Dreierquersumme ergibt 4-25+4 = -17; das Ergebnis ist nicht durch 7 teilbar. Noch ein Beispiel: 7^8 = 5'764'801, die alternierende Dreierquersumme ergibt 5-17+9= -3 --80.142.232.50 06:44, 10. Mär. 2008 (CET)

Die alternierende Dreierquersumme von 4 898 040 ist

4-898+40=-854=(-122)\cdot 7

Bitte zuerst den Artikel zur Quersumme lesen, bevor hier falsche Behauptungen aufgestellt werden. Du machst den Autoren sonst nur unnötige Arbeit. --Stefan Birkner 08:31, 10. Mär. 2008 (CET)

Nochmal zur oberen Siebenerregel (find' ich faszinierend, kannte ich noch nicht, bis ich sie im Artikel Sieben las): Man kann sie auch so interpretieren: Subtrahiere 21 mal die Einerstelle (danach ist die Einerstelle Null), dann teile durch zehn und wiederhole das Ganze, bis eine Zahl übrigbleibt, der man die Teilbarkeit durch sieben 'ansieht'. Das lässt erkennen, warum die Regel funktioniert: Weil 21 durch 7 teilbar ist, ist das 21fache einer beliebigen Zahl auch durch 7 teilbar und die Addition oder Subtraktion dieser Zahl ändert das Siebenermodul nicht. --Cspan64 21:13, 2. Mai 2008 (CEST)

Definition von "Primteiler"

Diese Definition ist unklar:

Eine Primzahl die ein Teiler einer Zahl ist, nennt man kurz Primteiler.

Wie jede Zahl Teiler irgendeiner Zahl ist, so auch jede Primzahl. Wir erfahren hieraus nur, daß man jede Primzahl mit irgendeinem Recht auch Primteiler nennen kann.

Information enthält die Aussage, daß p Teiler und Primteiler sei, nur in Bezug auf die Zahl, deren Teiler und Primteiler p ist. Um dies deutlicher zu machen, änderte ich die Formulierung wie folgt:

Wenn ein Teiler einer Zahl eine Primzahl ist, dann nennt man ihn einen Primteiler dieser Zahl.

--Liberatus 20:53, 14. Mai 2006 (CEST)

Teilbarkeit in kommutativen Ringen

Im Artikel wird die Teilbarkeit in kommutativen Ringen definiert. Geht diese Definition nicht an der Realität vorbei? Soweit mir bekannt ist definiert man Teilbarkeit erst bei Integritätsringen. Dies ist insbesondere auch in der mir vorliegenden Literatur der Fall. --Squizzz 13:10, 4. Jul 2006 (CEST)

Ich sehe keinen Grund, die Teilbarkeitseigenschaft erst in Integritätsbereichen zu definieren. Im Prinzip wäre nicht mal die Kommutativität nötig: Man definiert Links- und Rechtsteiler, und ein Element

a

, welches sowohl Links- als auch Rechtsteiler von

b

ist, heißt dann Teiler von

b

.--MKI 13:38, 4. Jul 2006 (CEST)

Dem widerspreche ich nicht. Allerding soll in der Wikipedia keine Theoriefindung betrieben werden und deshalb bin ich daran interessiert, ob in der einschlägigen Literatur Teilbarkeit in Nicht-Integritätsbereichen betrachtet oder zumindest definiert wird. --Squizzz 13:45, 4. Jul 2006 (CEST)

Eigentlich spricht ja schon die Existenz des Begriffs Nullteiler dafür, dass nicht nur in Integritätsbereichen der Teilbarkeitsbegriff betrachtet wird. In dem Buch A First Course in Noncommutative Rings von T.Y. Lam werden die Begriffe Linksnullteiler und Rechtsnullteiler definiert. Für die allgemeineren Begriffe Linksteiler und Rechtsteiler habe ich jetzt grad kein Beispiel da. Aber eine google-Suche nach left divisor liefert 650 Ergebnisse. Häufig wird der Begriff im Zusammenhang mit Matrizenringen benutzt, welche normalerweise keine Integritätsbereiche sind.--MKI 14:05, 4. Jul 2006 (CEST)

[1] --Gunther 14:09, 4. Jul 2006 (CEST)

Abschnitt „Teilbarkeit im Dezimalsystem“

Was spricht dagegen, die Version der IP 84.156.56.49 im Artikel zu belassen? --Harry8 19:50, 5. Sep 2006 (CEST)

Die Aussage

Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn ihre Hälfte durch 4 teilbar ist.

ist zwar richtig, aber nicht von Wert. Um zu überprüfen, ob eine Zahl > 1000 ein Vielfaches von acht ist, teilt man nicht erst durch zwei und überprüft dann auf Teilbarkeit durch 4. --Squizzz 20:35, 5. Sep 2006 (CEST)

Der Abschnitt „Teilbarkeit im Dezimalsystem“ ist sehr lang und erhält größtenteils Teilungsregeln, die einfach auf die Primfaktorzerlegung des Teilers zurückzuführen sind. Beispiel:

Eine Zahl ist durch 15 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

Ich würde vorschlagen, diese alle zu entfernen und sich auf die wesentlichen Teilbarkeitsregeln zu beschränken. --Squizzz 20:35, 5. Sep 2006 (CEST)

Da einige der Teilungsregeln in der Schule gelehrt werden, bin ich dafür, diese Regeln zu belassen. Aber es ist sinnvoll, die Regeln anders zu sortieren: Zuerst die Zweier- und Fünferpotenzen sowie deren Kombinationen: 2, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 100, 125, 625, 1000. Dann kommen die Teilbarkeitsregeln, die auf verschiedene Quersummen basieren (einfachere zuerst): 3, 9, 11, 99, 7, 13, 27, 37, 73, 77, 91, 101, 111, 137, 143, 999, 1001, 1111. Zum Schluß kommen die Regeln, die auf die Primfaktorzerlegung des Teilers zurückzuführen sind, z.B. 6, 12, 15, 18... Durch diese Unterteilung wird die lange Liste wieder übersichtlich. Schließlich wird dieses Lexikon nicht nur von Erwachsenen benutzt sondern auch von Schülern, die ihre Schulstoffe erweitern und vertiefen möchten.

Welchen Wert hat denn diese Aussage: Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.? - Natürlich einen mathematischen Wert, aber können z. B. Schülerinnen und Schüler eines vierten oder fünften Schuljahrs oder auch einfache ältere Leute ohne große Mathematikkenntnisse etwas damit anfangen? Wer weiß denn, ob 748 durch 8 teilbar ist. Da war der Eintrag der unbekannten IP schon eine Hilfe. --Harry8 20:45, 5. Sep 2006 (CEST)

Auf Grund dieser Gesetzmäßigkeit muss nicht mehr dir ganze Zahl untersucht werden, sondern nur die letzten drei Ziffern. Somit ist sofort klar, dass 12347980064 durch acht teilbar ist. Das 748 = 800 - 52 nicht durch acht teilbar ist erkennt man mit ein bisschen Übung auch recht schnell. Die Hilfsregeln sind für Leute, die öfters mit Zahlen arbeiten. Alle anderen verwenden wohl einen Taschenrechner und rechnen xxx : 8 direkt aus. Des Weiteren können wohl auch Schüler des vierten Jahrgangs etwas damit anfangen. Zumindest war das bei meinen Schulbesuch noch der Fall. Doch auch heutzutage dürfte die (schriftliche) Division noch in der Grundschule gelernt werden. --Squizzz 20:57, 5. Sep 2006 (CEST)

Die 0 ist durch 0 teilbar?

Das ist mir völlig neu!

0:0 müsste 1 ergeben; denn 1:1 = 1, 2:2 = 1 usw.
0:0 müsste 0 ergeben; denn 0:1 = 0, 0:2 = 0 usw. und
0:0 müsste eine unendlich große Zahl ergeben; denn 16:4 = 4, 16:2 = 8, 16:1 = 16, 16:1/2 = 32 usw.

Wer also sollte da aussuchen und festlegen, was 0:0 ist? --Harry8 12:19, 31. Okt. 2006 (CET)

Siehe "formale Definition". Teilbarkeit bedeutet nicht, dass es einen Quotienten geben muss, sondern es ist nur eine Umformulierung davon, dass die eine Zahl ein Vielfaches der anderen ist, und 0 ist Vielfaches von 0.--Gunther 12:26, 31. Okt. 2006 (CET)

Im Artikel Division Mathematik steht allerdings: Die Division durch Null ist nicht definiert:

Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac{a}{0}, so wäre diese Zahl Lösung der Gleichung a = x \cdot 0 = 0, womit wir einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten.

Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac{0}{0}, so wäre diese Zahl (eindeutige) Lösung der Gleichung x \cdot 0 = 0, also zu einer Gleichung, die für jedes x\in\R richtig ist. Damit ist aber der Bruch \frac{0}{0} nicht eindeutig definiert.

--Harry8 17:02, 7. Nov. 2006 (CET)

Wie gesagt: Teilbarkeit bedeutet nicht, dass eine Division möglich ist oder dass ein Quotient existiert, sondern ist lediglich eine Umformulierung der Eigenschaft "Vielfaches".--Gunther 17:05, 7. Nov. 2006 (CET)

Teilbarkeit durch 19

Beispiel:

1881 ist durch 19 teilbar:

4\cdot 81+18=324+18=342

. 342 ist durch 19 teilbar, also ist auch 1881 durch 19 teilbar.

Oder: 6935:

4\cdot 35+69=140+69=209

. 209 ist durch 19 teilbar, also ist auch 6935 durch 19 teilbar.

Oder: 8664:

4\cdot 64+86=256+86=342

. 342 ist durch 19 teilbar, also ist auch 8664 durch 19 teilbar.--Harry8 16:18, 14. Dez. 2006 (CET)

Echter Teiler

Aus der Definition des echten Teilers erhalte ich den Eindruck, dass 1 als echter Teiler einer natürlichen Zahl ungleich 1 zugelassen ist, was aber vielerorts anders definiert ist, nämlich dass für einen Teiler a von b 1<a<b gelten muss. --BODHISATTVA 20:22, 9. Jan. 2007 (CET)

Teilbarkeit durch 11

Alternativ zum erwähnten Kriterium Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. gilt auch Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende (1er-)Quersumme durch 11 teilbar ist.. Sollte man letzteres auch erwähnen; und falls ja: wo? Ich denke, das zweite Kriterium ist in Schulen weiter verbreitet - auch wenn das erste als Spezialfall der allgemeinen Teilbarkeit durch $\sum _{i=0}^{n}10^{i}$ weiterführend ist. --Camul 00:47, 5. Aug. 2007 (CEST)

"Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist." Auch wenn es nicht explizit erwähnt ist, gilt dieser Satz auch für jede Zahl, die sich mit einer anderen Basis als 11 darstellen lässt. Beispiel: Teilbarkeit durch Dezimal 7: Dezimal 7 * 45 = 315; Basis 6: 11 * 73 = 1243; alternierende Quersumme: 12+43=55; Man könnte somit von einer universellen Teilbarkeit sprechen. Das Problem besteht dann allerdings die Zahl in Ihre Darstellung mit der beliebigen Basis umzusetzten. --Dergi 23:21, 28. Jan. 2008 (CET)

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Wie kann die Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen:

"Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl n zu überprüfen verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn sie durch 52 = 25 und 3 teilbar ist. Das heißt ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein."

bewiesen werden?

Nachdenken oder ein Mathe-Forum besuchen? Die Wikipedia ist kein Forum zur Lösung von Übungsaufgaben. --Stefan Birkner 14:52, 13. Sep. 2008 (CEST)

Teilbarkeit durch 4

Im Artikel steht:

"Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist."

Habe ich etwas falsch verstanden? Denn ich kann 200 durch 4 Teilen.

Gruß Martin --Martin Dauth 16:25, 7. Okt. 2008 (CEST)

Dies steht nicht im Wiederspruch zur Aussage, da 0 durch 4 teilbar ist. --Stefan Birkner 20:37, 7. Okt. 2008 (CEST)

Komplementärteiler

Ich wünsche mir einen Zusatz "Ist a ein Teiler von b, so nennt man n Komplementärteiler von b" oder etwas sinngemäßes. Zustimmung? --85.182.76.70 00:59, 13. Nov. 2008 (CET)

Quellenangabe: Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

"Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind" Quelle? Beweis? (nicht signierter Beitrag von 87.175.241.187 (Diskussion) 18:01, 23. Feb. 2009 (CET))

Reelle Zahlen -- Körper?

im letzten Absatz wird behaupted Addition, Multiplikation über Reelle Zahlen bildeten einen Körper? Ist Unendlich eine Primzahl, überhaupt eine Zahl? Nichtabzählbar unendlich eine Zahl? Beim Übergang nach unendlich ensteht ein Halteproblem, das erst mit der Beschränkung auf beliebig groß aber nicht unendlich aufgelöst werden kann... Die Reellen Zahlen ziehen ihre "Körpereigenschaft" daraus, dass immer nur eine definierte Teilmenge betrachtet wird, und ein (nichtabzählbar) unedlich großer Teil unbetrachtet bleibt. Anschaulich: wenn versucht würde eine Multiplikationstabelle zu erstellen, würde, unabhängig, wie groß die Tabelle auch ist, immer die Multiplikation aus der Tabelle heraus führen. Eine Erweiterung der Tabelle kann dem(auch theoretisch) keine Abhilfe schafen. Beliebige Vergrößerung der Tabelle führt zu /keiner/ Verbesserung des Zustandes. Es bleiben immer unabzählbar unendlich viele Zahlen undefiniert(->Halteproblem). Die Konstruktion konvergiert /nicht/. Ein Übergang nach Unendlich findet nicht statt. Eine bewegen richtung unendlich führt zu keiner Änderung(Anschaulich: es kann unendlich lange Richtung unendlich gelaufen werden ohne einem Punkt im unendlichen näher zu kommen) . Gerade bei reellen Zahlen ist vielmehr der immer unedlich /bleibende/ Abstand zwischen beliebigen Zahlen ausschlaggebend. Anders ausgedrückt, nehmen die reelen Zahlen ihre Brauchbarkeit aus der Eigenschaft nicht Abgeschlossen zu sein. Um den Unterschied zu zeigen: Ein fünfer(Prim) System ist anders. Es sprengt nie den Rahmen, fällt immer auf bereits Definiertes zurück, ohne, dass etwas hinzugenommen werden müsste. Alle Operationen sind immer definiert. Bei reelen Zahlen bleiben immer unendlich viele undefiniert(per Konstruktion). (nicht signierter Beitrag von 84.57.37.31 (Diskussion) 18:39, 1. Feb. 2011 (CET))

In Körper (Algebra) kannst du nachlesen, wie Körper definiert sind, und dass

\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Q}

Körper sind. Unendlich ist kein Element von ihnen. Um Berechenbarkeit geht's hier im übrigen auch nicht. Es ist unklar, warum dein Beitrag andauernd das Halteproblem erwähnt (und im Zusammenhang eigentlich eher nicht-Termination, a.k.a Partialität der zu berechnenden Operation, meint).

Damit, dass man die meisten reelen Zahlen nicht mit einer Definition festnageln kann (weil es nur abzählbar unendlich viele Definitionen geben kann) haben die meisten Mathematiker übrigens ebenfalls kein Problem. --Daniel5Ko 20:13, 1. Feb. 2011 (CET)

. ich reagiere nur noch mal um missverständnisse zu klären. ich habe nie behaupted, dass unendlich selber Teil der reelen Zahlen wäre. Ich habe behaupted, dass die /Ordnung/ der reelen Zahlen unabzählbar unendlich ist. Ich habe auch behauptet(Satz): "die /Ordnung/ eines Körpers ist immer prim."

Bis in die dreißiger Jahre wurde über Konstruktion "bewiesen", dass es dennoch ein Körper ist. Dann sind die Mathematiker, die auf das Problem stießen ins Kloster gegangen(wörtlich zu nehmen). Der Beweis schlägt fehl. Er läuft auf ein Halteproblem. Das bedeutet: die /Ordnung/ jeder Teilmenge der reelen Zahlen zwischen zwei reelen Zahlen ist wieder unendlich. Die Zahlen selber sind so geschaffen, dass mit jedem Rekursionschritt die Menge derart geteilt wird, dass mindestens eine unabzählbar unendliche Teilmenge erhalten bleibt, die (noch) nicht definiert ist aber abgebildet wird. Dies ist bei jedem Rekursionsschritt so. Anders gesagt jede reele Zahl wird so konstruiert, dass es zu jeder Zahl immer unabzählbar unendliche andere Zahlen gibt, für die das Ergebnis der Multiplikation nicht definiert ist. Die Zahlen sind so, dass zu jeder Zahl(Paar) eine solche Menge erzeugt wird. Eine Multiplikation von zwei Reelen Zahlen führt wieder in die Reelen Zahlen, indem das Ergebnis als Teiler einer Zahl konstruiert wird, die /ausserhalb/ der reelen Zahlen liegt. Für jede Multiplikation wird für das Ergebnis ein Teiler abgespalten, der selber in den reelen Zahlen liegt zu dem aber ein Faktor existieren /muss/ der aus den reelen Zahlen führt. "Nicht Termination" und "nicht Halten" hört sich nicht nur ähnlich an. Das Halteproblem ist das nicht Erreichen des zu Beweisenden(obwohl das zu Beweisende in jedem Schritt der Beweisführung zutreffen kann). Von nicht Termination wird bei Beweisführung weniger geredet. Aber natürlich: die Turingmaschine des Beweises terminiert nicht und liefert daher nie eine Antwort auf die Frage nach der Richtigkeit(kann die Falsifikation nicht liefern) - obwohl sie bis in alle Ewigkeit ohne Fehler weiterläuft. In so fern ist es nicht erstaunlich, dass eine Ähnlichkeit zu sehen ist. (nicht signierter Beitrag von 84.57.62.151 (Diskussion) 02:42, 2. Feb. 2011 (CET)) Das ganze Problem von einer anderen Seite: es ist kein Vektor konstruierbar(auch kein unendlich großer, auch nicht theoretisch als Menger R), der alle reelen Zahlen enthält, so dass alle reelen Zahlen gleichzeitig mit einer anderen Zahl(ob Skalar oder Vektor, ganz egal, was es ist) multipliziert werden können. Es /muss/ ein Teil undefiniert bleiben, um Multiplikation in R zu ermöglichen. Die Multiplikation ist nicht auf allen gleichzeitig definierbar. Problem entsteht nicht solange nicht auf R sondern geeigneten Teilmengen gerechnet wird. Problem ensteht, wenn ganz R oder ungeeignete Teilmengen betrachtet werden. (nicht signierter Beitrag von 84.57.26.147 (Diskussion) 08:25, 2. Feb. 2011 (CET))

Konstruktive Mathematik ist in den 1930er Jahren nicht verstorben. Bei Interesse mal den aktuellen Stand ermitteln und dann Argumentation entwirren, falls noch möglich. --Daniel5Ko 23:40, 2. Feb. 2011 (CET)

entwirrt: cantor und in folge alle die ihm beim Versuch ihn zu wiederlegen darauf gestoßen sind, dass er recht hat.

konstruktiv: es gibt keine Möglichkeit, die reelen Zahlen vollständig zu konstruieren. Jede Konstruktion bildet immer eine unvollständige Teilmenge der reelen Zahlen, bei der mindestens eine Operation herausführen muss(per Konstruktion) was deutlich gegen einen Körper spricht. (nicht signierter Beitrag von 84.57.0.255 (Diskussion) 00:09, 5. Feb. 2011 (CET))

Was soll denn das mit dem Herausführen immer? Eine wie auch immer angegangene konstruktive Darstellung reeller Zahlen wird bestrebt sein, die Körperoperationen so zu definieren, dass sie auch abgeschlossen sind - soll heißen, Produkte, Summen und Inverse führen eben nicht heraus, sondern ebenfalls auf eine konstruktive Darstellung. Man bleibt einfach innerhalb einer abzählbar großen Menge (und könnte daher im Prinzip die Operationen als Tabelle angeben). Über die überabzählbar vielen nicht darstellbaren reellen Zahlen kann man hier gar nichts sagen, und man muss es auch nicht.

Ich sehe Sie haben das Grundproblem erkannt:"Eine wie auch immer angegangene konstruktive Darstellung reeller Zahlen wird bestrebt sein, die Körperoperationen so zu definieren, dass sie auch abgeschlossen sind - soll heißen, Produkte, Summen und Inverse führen eben nicht heraus, ". Ein solche Konstruktion gibt es nicht. Alle die es versucht haben, sind zum Schluss gekommen, dass es sie nicht geben kann(Turing z.B. ist bei dem Versuch auf das Halteproblem gestossen, Göldel auf die Unvollständigkeit...). Wenn Sie eine solche Konstruktion finden, revolutionieren Sie die Mathematik. Sie haben das Problem erkannt! (nicht signierter Beitrag von 84.57.9.183 (Diskussion) 14:17, 5. Feb. 2011 (CET))

Doch doch, das geht schon. Probleme gibt es erst, wenn man 2 beliebige zulässige Darstellungen darauf untersuchen will, ob sie die gleiche Zahl beschreiben. Dieses tritt jedoch an der Stelle noch nicht auf, wo man die Operationen definiert und nachweist, dass sie die Körpereigenschaften erfüllen. In [2] beispielsweise wird ganz selbstverständlich von Körpern berechenbarer reeller Zahlen gesprochen.

Man vergleiche dazu auch algebraische Zahlen, die ebenfalls einen Körper bilden und abzählbar sind. --Daniel5Ko 15:15, 5. Feb. 2011 (CET)

Sie haben selbstverständlich recht, dass es Teilmengen der reelen Zahlen gibt, die abgeschlossen sind. Darüber die reelen Zahlen zu Konstruieren(wie z.b. Dedekind) führt allerdings wieder in das Problem. Weiter können Sie selbstverständlich, wie Konstruktive es tun, die reelen Zahlen als "offene Menge" ansehen(ewig Mutierend), dabei dürfen Sie allerdings im weiteren diese Vorraussetzung nicht vergessen. Vor allem, wenn Sie auf etwas stossen, dass im Widerspruch zu dieser Vorraussetzung steht. Unter Vorraussetzung der Offenheit sind die reelen Zahlen tatsächlich auch zählbar - aber eben nicht abgeschlossen. Unter der Vorraussetzung der Offenheit führt keine Operation aus der Menge - aber eben nicht abgeschlossen. (nicht signierter Beitrag von 84.57.29.202 (Diskussion) 02:25, 6. Feb. 2011 (CET))

Des weiteren dürfen Sie auf reelen Zahlen ohnehin keine Beweise über Induktion führen. Grund: NP-unvollständig( Unvollständig und unabzählbar sind Synonyme) . Es sei denn sie weisen nach dass Ihre Induktion der Offenheit(Unvolständigkeit) nicht widerspricht(D.h. nachweisen, dass Ihr spezieller Fall Vollständig oder Hard ist). (nicht signierter Beitrag von 88.65.143.155 (Diskussion) 13:45, 6. Feb. 2011 (CET))

Wie eingangs schon erwähnt: Momentan scheren sich Mainstream-Mathematiker nicht um Konstruktivität und sind mit Dedekindschen Schnitten (die mehr oder weniger definitiv funktionieren und ganz

\mathbb {R}

problemlos zu einem Körper machen) ganz zufrieden. Die Hauptproblematik bei ihnen (also den Schnitten) ist, dass eine Zahl x über eine Menge von Zahlen, die x nicht notwendigerweise enthält, angeblich eindeutig beschrieben/definiert/festgenagelt wird. Näheres kann man z.B. von hier aus [3] ermitteln. Bis Konstruktivismus wieder Mode wird, werden aber wohl noch ein paar Jahrzehnte ins Land gehen. --Daniel5Ko 23:48, 9. Feb. 2011 (CET)

Wenn man dagegen mit allen reellen Zahlen startet, gibt's ebenfalls kein Herausführen. Die Operationen können zwar hier definitiv nicht als Tabelle angegeben werden, aber anders. --Daniel5Ko 12:04, 5. Feb. 2011 (CET)

um das zu verstehen nehmen wir an, Sie hätten recht und das Problem wäre nur np-hard. Also machen Sie unendlich viele Dedekind Schritte. Nun betrachten Sie zwei benachbarte Zahlen. Trotz der unendlich vielen Schritte liegen zwischen zwei benachbarten Zahlen immer noch unendlich viele(und nicht etwa dx oder 0). [Note: Anders bei den Natürlichen Zahlen: nach unendlich vielen Schritten, haben Sie /alle/ Zahlen erfasst, ] (nicht signierter Beitrag von 84.57.54.26 (Diskussion) 14:20, 9. Feb. 2011 (CET))

Was soll denn die Argumentation? Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen auch unendlich viele weitere. Für sie kann man jedoch eine vollständige abzählbare (sogar aufzählbare) Multiplikationstabelle etc. angeben. --Daniel5Ko 23:16, 9. Feb. 2011 (CET)

sofern Cantor's Verfahren die rationalen Zahlen abzuzählen nicht bestritten werden soll, liegen zwischen zwei benachbarten Zahlen, der durch das Zählverfahren gegebenen Ordnung keine weiteren Zahlen -> rationale Zahlen sind abzählbar, reelle Zahlen sind nicht abzählbar. Erinnern Sie sich: Unabzählbarkeit, Unvollständigkeit und Halteproblem können in einander überführt werden. (nicht signierter Beitrag von 84.57.42.78 (Diskussion) 11:05, 24. Feb. 2011 (CET))

Es gibt einen Vorschlag: http://micromath.wordpress.com/2008/04/14/donald-knuth-calculus-via-o-notation/ . Könnte helfen, wenn lim(1/n) = epsilon0 für n->unendlich - aber solch eine Auffassung ist gelinde gesagt unüblich und wenig untersucht. Ausführung: wenn Sie einen Teil unendlich oft teilen, ist es kein Problem in der Unendlichkeit von einem nicht weiter teilbaren Elementarteil aus zu gehen, das kleiner als alle durch endliche Teilung entstehenden Teile ist - statt, wie üblich, davon auszugehen, dass es null wird(lim(1/n)=0 für n->unendlich). (dann wäre ein solches R mit epsilon0 zählbar und Körper, R ohne epsilon0 nicht). Denkbar aber äußert ungewöhnliche Sicht ... (nicht signierter Beitrag von 84.57.42.78 (Diskussion) 19:08, 24. Feb. 2011 (CET))

Die Ausgangsfrage ist: bilden die reellen Zahlen einen Körper? Antwort: ja. Stört die Überabzählbarkeit? Nein, denn zum Beweis, dass die Körpereigenschaften erfüllt sind, muss man nicht je zwei beliebige Darstellungen vergleichen können, sondern nur die durch die Körperoperationen erzeugten. Und dies muss auch keine exakte oder gar berechenbare Gleichheit sein, sondern nur eine Äquivalenzrelation auf den Darstellungen, welche über diverse Umwege das gleiche aussagt, wie Gleichheit der in

\mathbb {R}

"gemeinten" Zahlen. Der entscheidende Trick, wenn man das ganze konstruktiv macht, ist die Benutzung von Ko-Daten anstelle von Daten. Wenn beispielsweise reelle Zahlen als unendlich lange Folgen von rationalen Zahlen mit angegliederter (rationaler und mit einigen Forderungen versehener) Approximationsgütefunktion dargestellt werden, sagt man nicht etwas über Gesamtfolgen aus, sondern über jedes beliebige Anfangsstück. Der zweite Teil dieser Arbeit stellt eine Möglichkeit dazu vor: [4]. Dort wird zwar nicht bewiesen, dass die Körperaxiome erfüllt werden (natürlich mit

\asymp

statt

=

), das sollte aber nicht allzu schwer sein. (Was hat übrigens Komplexitätstheorie ("np-hard") hier eigentlich verloren? ) Die Argumentation mittels "zwischen zwei benachbarten reellen Zahlen liegen unendlich viele" läuft selbst in dieser äußerst konstruktiven (also nicht "klassischen") Implementation ins leere.

Was Überabzählbarkeit mit Körpern, Berechenbarkeit und Unvollständigkeit zu tun haben soll, bleibt auch ganz unklar. Mal ein einfacheres Beispiel: Ist

(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\circ ,\operatorname {id} _{\mathbb {N} })

etwa auch kein Monoid, weil

\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }

überabzählbar ist? Für

\circ :\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }

kann man ganz leicht ein Programm angeben und symbolisch dessen Korrektheit beweisen, obwohl es überabzählbar viele mögliche Operanden gibt, von denen die meisten nicht berechenbar sind. Gleichheit auf

\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }

ist ebenfalls nicht berechenbar, doch stört dies die ganze Sache nicht. --Daniel5Ko 19:33, 24. Feb. 2011 (CET)

"der Barbier rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren"<- lässt sich "naiv"(!) konstruieren, und ist doch unsinn! Zum weiteren, wenn Sie ein Programm angeben können, mit dem Sie etwas Beweisen, existiert dazu ein Aquivalentes auf einer Turingmaschine -> zählbar. -- 84.57.40.190 16:48, 28. Feb. 2011 (CET)

Das Beispiel mal genauer:

Zu zeigen ist, dass

(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\circ ,\operatorname {id} _{\mathbb {N} })

(mit

f\circ g:=n\mapsto f(g(n))

) ein Monoid ist, also

$f\circ \operatorname {id} _{\mathbb {N} }=\operatorname {id} _{\mathbb {N} }\circ f=f$ für alle $f$ , sowie
$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ .
Gleichheit von Funktionen definieren wir extensional: $(f=g):=(\forall n\in \mathbb {N} :f(n)=g(n)$ ).

Die Operation

\cdot \circ \cdot

als mögliches Programm im Lambda-Kalkül:

\lambda f.\lambda g.\lambda n.f(g\;n)

. (Eigentlich ist das relativ Wurst, ich hatte das Programm eigentlich nur erwähnt, um zu bekräftigen, dass das Programm unabhängig von der Berechenbarkeit seiner Argumente angegeben werden kann. Es ist lediglich so, dass der Aufrufer u.U. ein Problem hat, wenn er als Argument eine nicht berechenbare Funktion angeben will. Dem Programm ist das herzlich egal. Es könnte auch mit Argumenten arbeiten, die nicht berechenbar sind, und z.B. irgendwie in Orakelform vorliegen.)

Seien nun

f,g,h\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}

und

n\in \mathbb {N}

beliebig. Dann ist

$(f\circ \operatorname {id} _{\mathbb {N} })(n)=f(\operatorname {id} _{\mathbb {N} }(n))=f(n)$ , ergo $f\circ \operatorname {id} _{\mathbb {N} }=f$
$(\operatorname {id} _{\mathbb {N} }\circ f)(n)=\operatorname {id} _{\mathbb {N} }(f(n))=f(n)$ , ergo $\operatorname {id} _{\mathbb {N} }\circ f=f$
$(f\circ (g\circ h))(n)=f((g\circ h)(n))=f(g(h(n))=(f\circ g)(h(n))=((f\circ g)\circ h)(n)$ , ergo $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Was haben wir nun gemacht? Wir haben bewiesen, dass

(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\circ ,\operatorname {id} _{\mathbb {N} })

ein Monoid ist. Und das, obwohl die Gleichheit zweier Funktionen

\mathbb {N} \to \mathbb {N}

nicht berechenbar ist,

\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }

überabzählbar ist, und man

\circ

nicht als Tabelle angeben kann. Warum ging das? Nun, weil wir wussten, wie wir

\circ

und

\operatorname {id}

definiert haben, und weil wir im Beweis nicht auf ein berechenbares

=_{\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}

angewiesen waren. Ganz ähnlich ist die Lage beim Körper

\mathbb {R}

. --Daniel5Ko 20:03, 28. Feb. 2011 (CET)

Gibt es auch Teilbarkeitsregeln für Nicht-Mathematiker?

Der Artikel und fast alle Diskussionsbeiträge sind sehr akademisch und z.B. für Schüler der mittleren Klassen, wie überhaupt für den Alltag unbrauchbar. Geht es nicht auch einfach (KISS)? Eine simple, unprätentiöse Tabelle findet man z.B. in "Magnus Radke: Die große betriebswirtschaftliche Formelsammlung" und vielen Alltags-Ratgebern. signierter Beitrag von 84.159.162.95 (Diskussion) 17:41, 14. Mai 2011 (CEST))

Es ist von "der" Zahl, die aus den letzten paar Ziffern gebildet wird, die Rede, nicht von irgend einer. Es gibt also eine Regel, die aus den mehreren Möglichkeiten eine auswählt (auch wenn die nicht dasteht). Die einzige sinnvolle bei dem Informationsstand ist: Reihenfolge beibehalten.

Natürlich könnte man das noch viel genauer formulieren, beispielsweise:

10^{k}n+m

, mit

m<10^{k}

ist durch

2^{k}

teilbar, gdw.

m

durch

2^{k}

teilbar ist.

Zum "ohne Rest": wenn dieses Attribut so wichtig ist, was bedeutet dann Teilbarkeit ohne dieses Attribut? Doch wohl sowas wie "möglicherweise mit Rest teilbar". Das trifft dann aber auf alle Zahlenpaare zu und ist recht nutzlos. --Daniel5Ko 18:15, 14. Mai 2011 (CEST)

Ergänzung zu Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Folgender Hinweis stammt aus dem Artikel:

Hier folgen noch Teilbarkeitsregeln durch 13 und 17:

Es gilt $10^{k}\cdot 4^{i}=10^{(}k-i)mod13$ , denn $40^{i}=1mod13$ .

Das Verfahren läuft also so:

Multipliziere die Dezimalstellen (rechts beginnend) mit 4, addiere die nächste Dezimalstelle und fahre so fort.

Beispiel: Aus $1599$ wird $4(4(4\cdot 9)+9)+5)+1=741$ .

Nach demselben Verfahren wird 741 zu 39, dies ist durch 13 teilbar, also auch die Ausgangszahl.

Die Teilbarkeitsregel für 17 geht ähnlich:

Es gilt $10^{k}\cdot (-5)^{i}=10^{(}k-i)mod17$ , denn $(-50)^{i}=1mod17$ .

Man multipliziert also die Einerstelle mit 5, subtrahiert die Zehnerstelle, multpliziert alles mit 5, addiert die Hunderterstelle usw.

Beispiel: aus 39457 wird 3808, daraus 1037, daraus 799, daraus 187, daraus 136, daraus wieder 136; man muß also überprüfen, ob dies durch 17 teilbar ist.

Kommentar: Ich bitte, dies an passender Stelle einzufügen. Mit freundlichen Grüßen Hubert Grassmann [E-Mail-Adresse entfernt]

--Inkowik 20:07, 9. Jan. 2012 (CET)

Hmm, 'ne etwas weniger nichtssagende Herleitung wäre vielleicht auch nicht schlecht. Sowas wie

{\begin{array}{rcl}\sum _{k=0}^{n}10^{k}\cdot a_{k}\equiv 0{\pmod {13}}&\Longleftrightarrow &4^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}10^{k}\cdot a_{k}\equiv 0{\pmod {13}}\\&\Longleftrightarrow &\sum _{k=0}^{n}4^{n-k}\cdot a_{k}\equiv 0{\pmod {13}}\\\end{array}}

Außerdem könnte man vielleicht noch

10\cdot a+b\equiv 0{\pmod {13}}\Longleftrightarrow a+4\cdot b\equiv 0{\pmod {13}}

als einfachere, wenn auch zunächst weniger effektive, Variante angeben, denn analoges steht im Artikel schon zu 7 und 19 drin. --Daniel5Ko 21:30, 9. Jan. 2012 (CET)

Anmerkung: Nicht korrekte Aussage

Anm.:

Für 10^n+1 ist die Aussage nicht korrekt: Für alle durch 3 teilbaren Zahlen findet sich kein entsprechendes n (die Quersumme von 10^n+1=100...001 ist ja 2 und damit kann 10^n+1 kein Vielfaches von 3 sein). Die Zahl 31 ist ein anderes Beispiel.

Bei 10^n-1 (für die nicht-alternierenden n-Quersummen) hingegen stimmt's:

Sei k eine zu 10 teilerfremde Zahl. Man muss also zeigen, dass für dieses k ein n>0 mit 10^n-1 mod k =0 existiert, äquivalent dazu ein n mit 10^n mod k=1.

In der Folge r[n]=10^n mod k für n=0,1,2,3,... können ja nur endlich viele Werte aus dem Bereich 0 bis k-1 auftreten. Wegen r[n+1]=10*10^n mod k = 10*r[n] mod k wiederholt sich also die Folge der r[n] periodisch, d. h. es gibt ein p>0, so dass r[n+p]=r[n] ist (die Teilerfremdheit von k und 10 impliziert, dass aus r[n+p]=r[n] auch r[n+p-1]=r[n-1] folgt und somit die Folge schon von Anfang an immer wieder dieselben Werte aufweist und nicht erst ab irgendeinem n>c in die Periode "einsteigt").

Insbesondere ist r[0]=1 mod k =1=r[p] mod k und somit 10^p-1 (mit p>0!) durch k teilbar. (nicht signierter Beitrag von 93.133.157.79 (Diskussion) 16:52, 2. Sep. 2012 (CEST))

Warum gibt 10, 100, 1000 usw. geteilt durch 9 immer einen Rest von 1

Mein Sohn (4. Klasse) muss dies als Aufgabe lösen, was wir Eltern nich wissen ? Kann mir jemand helfen ? Besten Dank. (nicht signierter Beitrag von 178.194.235.63 (Diskussion) 17:41, 29. Mai 2013 (CEST))

Für die Teilbarkeit durch 9 gilt:

Eine Zahl ist immer dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Daraus folgert:

Bei den Zahlen 10, 100, 1000 ff ergibt sich immer beim Teilen der Quersumme durch 9 der Rest 1, also ergibt sich auch beim Teilen dieser Zahlen durch 9 der Rest eins.

Anders ausgedrückt: Die Zahlen davor: 9, 99, 999, 9999 ff. sind alle durch 9 teilbar. MfG Harry8 18:05, 29. Mai 2013 (CEST)

Teilbarkeit über Division erklärt - im ersten Absatz

Den einleitenden Absatz finde ich ungünstig, da er die Teilbarkeit über die Division erklären will. Dann funktioniert aber 0/0 nicht, da diese Division nicht definiert ist. Bei der formalen Definition wird die Teilbarkeit über die Multiplikation erklärt, hier funktioniert dann auch 0|0. Kurz gesagt, die Teilbarkeit über die Division zu erklären ist falsch. (nicht signierter Beitrag von 93.133.156.197 (Diskussion) 15:36, 1. Mär. 2014 (CET))

Ist das jetzt nicht etwas spitzfindig, hier die Besonderheiten mit der Zahl 0 anzuführen? MfG Harry8 22:26, 1. Mär. 2014 (CET)

Vergleich mit englischer Definition

Ich habe gerade verwundert festgestellt, dass die Definition von "echter Teiler" nicht identisch ist mit der Definition "proper divisor" auf der englischen Seite.

Der englischen Definition nach ist 1 ein "proper divisor" (dt. Übersetzung echter/eigentlicher/ordentlicher Teiler/Divisor) jeder natürlichen Zahl größer 1. --212.29.3.193 13:22, 24. Apr. 2014 (CEST)

Meiner Meinung nach ist ein "echter Teiler" einer natürlichen Zahl n jeder Teiler von n, der nicht gleich n ist. Die Teiler von 10 sind 1,2,5,10, und die echten Teiler sind 1,2,5. Dafür werde ich noch einen Beleg suchen. Die Definition im Artikel ist nicht belegt. --178.191.96.180 00:12, 11. Jun. 2016 (CEST)

Grafische Darstellung der Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Im Artikel war Folgendes eingefügt worden:

Die Teilbarkeit natürlicher Zahlen kann zwei-dimensional in Form von Punkten im positiven Quadranten des kartesischen Koordinatensystems dargestellt werden (Teilerfläche). Zur besseren Lesbarkeit wird der Zahlenstrahl auf der Y-Achse aufgetragen, Werte auf der X-Achse repräsentieren Teiler der natürlichen Zahlen des Zahlenstrahls.

Probedivision in der Teilerfläche:
Teilersuche am Beispiel der Zahl 144

Eigenschaften:

Auf den vertikalen Geraden $x=t$ finden sich alle Punkte des Teilers $t$ (im Abstand $t$ ).
Auf den Geraden $y=t*x$ finden sich alle Punkte des Teilers $t$ , die sich aus Kombinationen mit allen weiteren Teilern ergeben.
Auf den horizontalen Geraden $y=n$ finden sich alle Teiler der Zahl $n$ als Punkte in der Teilerfläche.
Der (rechte) Graph der Standard-Parabel $y=x^{2}$ teilt alle Teilerpunkte in 2 gleich große Mengen.

In dieser Darstellungsform können z.B. Probedivisionen als fortgesetzte Schnittpunkt-Analysen der Geraden $y=n$ mit den Geraden $y=t*x$ dargestellt werden. Auch andere Faktorisierungsverfahren, insbesondere die Faktorisierungsmethode von Fermat, können auf diese Weise veranschaulicht werden.

Die zwingenden Positionen von Primzahlen (alle Parallelen zur X-Achse, auf denen sich ausschließlich die Punkte der trivialen Teiler $1$ und $n$ befinden) ergeben sich auf intuitive Weise (wobei diese nach wie vor nicht in polynomieller Laufzeit berechenbar sind).

Bis auf Weiteres habe ich den Abschnitt "Grafische Darstellung der Teilbarkeit natürlicher Zahlen" hierhin kopiert.

1) Es fehlen Belege.

2) Formulierungen wie "Auf den vertikalen Geraden

x=t

finden sich alle Punkte des Teilers

t

" sind unklar. Was sind die Punkte eines Teilers?

3) Der Begriiff Teilerfläche bleibt im Dunkeln, Rotlink

4) Da dieser Artikel sehr elementar ist, wirkte dieser Abschnitt wie ein Fremdkörper, besonders an der gwählten Stelle.

Ich möchte daher hier eine Diskussion anregen, wie mit diesem Absatz zu verfahren ist. Ich beginne mit meiner Meinung, dass dieser Abschnitt nicht in den Artikel gehört.--FerdiBf (Diskussion) 12:33, 26. Okt. 2018 (CEST)

Teilbarkeit durch 3

Es gilt die Regel: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn es die Quersumme ist.

Es gibt jedoch eine einfachere Methode dies auch ohne großartige Rechnerei zu pürfen und ist leicht im Kopf durchführbar.

Bsp. wir nehmen die beliebige Zahl 756293374

dann berechnen wir für jede Stelle den Rest (Modulo 3)

7%3, 5%3, 6%3, 2%3, 9%3, 3%3, 3%3, 7%3, 4%3

wir erhalten die Rest(e)

1 2 0 2 0 0 0 1 1

nun streichen wir die Paare und Triple weg, die zusammen 3 ergeben und alle 0er Rest(e)

[1+2] 0 [2] 0 0 0 [1] 1

übrig bleibt

1

übrig bleibt der Rest 1 ... daraus folgt: diese Zahl ist nicht durch 3 teilbar

Alle Zahlen die Modulo 3 den Rest 0 haben sind logischerweise durch 3 teilbar

Kopf-Methode

von links nach rechts (oder umgekehr durchführbar)

1. Bilden des Restes Modulo 3 der ersten Ziffer

756293374 => 1 56293374

2. Bilden des Restes Modulo 3 der nächsten Ziffer und auf den zuvor gemerkten Rest aufaddieren und gebildeten Rest mit Modulo 3 rechnen

1 56293374 => 1+2 6293374 => 3 6293374 => 0 6293374

3. Schritt 2 solange wiederholen bis zur letzten Ziffer(Stelle) der Zahl

Ähnliches funktioniert mit 7 jedoch müssen hier 2 Stellen gleichzeitig betrachtet werden!

Anmerkung: Bei der Quersummenmethode können leichter Rechenfehler auftreten, wenn man die Prüfung nur mit dem Hilfsmittel Kopf durchführt.

(nicht signierter Beitrag von M.S. (Manuel Schade) (Diskussion | Beiträge) 17:18, 5. Feb. 2019 (CET))

Teilbarkeit durch 37

Die Regel dazu ist relativ einfach. MfG Harry8 13:32, 4. Apr. 2019 (CEST)

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Diskussion:Teilbarkeit/Archiv/1

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Teilbarkeit durch Primzahlen

Teilbarkeit durch Zahlen der Form 2ⁿ-1

Zahlentheoretische Teilbarkeitsbegriffe

Regel zur Teilbarkeit durch 7

Definition von "Primteiler"

Teilbarkeit in kommutativen Ringen

Abschnitt „Teilbarkeit im Dezimalsystem“

Die 0 ist durch 0 teilbar?

Teilbarkeit durch 19

Echter Teiler

Teilbarkeit durch 11

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Teilbarkeit durch 4

Komplementärteiler

Quellenangabe: Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Reelle Zahlen -- Körper?

Gibt es auch Teilbarkeitsregeln für Nicht-Mathematiker?

Ergänzung zu Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Anmerkung: Nicht korrekte Aussage

Warum gibt 10, 100, 1000 usw. geteilt durch 9 immer einen Rest von 1

Teilbarkeit über Division erklärt - im ersten Absatz

Vergleich mit englischer Definition

Grafische Darstellung der Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Teilbarkeit durch 3

Teilbarkeit durch 37

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