Diskussion:Transzendente Zahl/Archiv/1

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Mehrdeutige Formulierung

Aus dem Artikel:"Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs "mehr" war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist..." Wer hat das nun bewiesen? Kantor oder Kronecker? -- Gimbal 21:44, 4. Mai 2005 (CEST)

Cantor, "erstes Diagonalargument".--Gunther 22:30, 4. Mai 2005 (CEST)

Jetzt im Artikel klarer formuliert. -- UKoch 22:38, 24. Feb. 2012 (CET)

Vorschlag zum Satz von Liouville und Beweis

Ich halte es für angemessener, den Satz und Beweis inetwa wie folgt zu formulieren:

Theorem

Ist $\alpha$ eine algebraische Zahl vom Grad $n\geq 1$, so gibt es eine reelle Zahl $c>0$, so dass für alle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} verschiedenen rationalen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac p q} gilt (im Falle $n>1$ also für alle rationalen Zahlen):

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{n}}}.$

Beweis

Sei $\alpha$ algebraisch vom Grad $n$ und entsprechend Nullstelle des Polynoms $f(X)$ vom Grad $n$ mit ganzzahligen Koeffizienten, d.h.

$f(\alpha )=a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots a_{n}\alpha ^{n}=0$

mit $a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z}$ und $a_{n}\neq 0$.

Da $\alpha$ Nullstelle ist, lässt sich durch Polynomdivision der Linearfaktor $X-\alpha$ abspalten:

$(1)\quad f(X)=(X-\alpha )\cdot g(X).$

Hierbei hat das Polynom $g(X)$ allerdings im allgemeinen keine ganzzahligen Koeffizienten, sondern lediglich algebraische. Aber zumindest ist die Funktion $x\mapsto g(x)$ stetig, so dass es positive reelle Zahlen $c_{1},c_{2}$ gibt mit

$(2)\quad \left|g(x)\right|<c_{1}$, falls $|\alpha -x|\leq c_{2}$.

Da das Polynom $f(X)$ nur endlich viele Nullstellen hat, können wir oBdA. zusätzlich voraussetzen, dass keine weitere Nullstelle in der besagten Umgebung von $\alpha$ liegt, d.h.

$(3)\quad f(x)\neq 0$, falls $|\alpha -x|\leq c_{2}$ und $x\neq \alpha$.

Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man

$c:=\min\{c_{2},{\frac {1}{c_{1}}}\}$

wählt.

Zum Beweis sei also ${\tfrac {p}{q}}$ eine rationale Zahl (mit $p,q\in \mathbb {Z}$ und $q>0$), für die

$(4)\quad \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {c}{q^{n}}}$

gilt. Es ist zu zeigen, dass hieraus $\alpha ={\tfrac {p}{q}}$ folgt.

Zunächst ergibt sich aus (4) sofort

$(5)\quad \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq c\leq c_{2},$

wegen (2) also $\left|g({\tfrac {p}{q}})\right|<c_{1}$. Dann folgt weiter aus (1) und wiederum (4)

$\left|f{\Bigl (}{\frac {p}{q}}{\Bigr )}\right|=\left|{\frac {p}{q}}-\alpha \right|\cdot \left|g{\Bigl (}{\frac {p}{q}}{\Bigr )}\right|<{\frac {c}{q^{n}}}\cdot c_{1}\leq {\frac {1}{q^{n}}},$

also

$\left|q^{n}\cdot f{\Bigl (}{\frac {p}{q}}{\Bigr )}\right|<1.$

Da beim Berechnen von $f({\tfrac {p}{q}})$ jeder Summand $a_{k}\cdot ({\tfrac {p}{q}})^{k}$ einen Nenner hat, der $q^{n}$ teilt, ist $q^{n}\cdot f({\tfrac {p}{q}})$ eine ganze Zahl. Weil ihr Betrag kleiner als 1 ist, muss sie 0 sein, also gilt auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\tfrac pq) = 0} und wegen (3) und (5) schließlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=\tfrac pq} , was zu zeigen war.

So, und warum finde ich das besser? Nun, der aktuelle Beweis im Artikel nutzt eigentlich gar keine Eigenschaften von Folgen aus, sondern es wird eine einzelne Approximante betrachtet, insofern bringen Folgen hier nur kompliziertere Formulierungen (wie auch an den durchgeschleppten Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} zu erkennen). Schön ist übrigens auch, dass der Satz in dieser Formulierung auch für rationale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} richtig ist. Schließlich: Im Artikeltext wird als Satz von Liouville die stärkere Abschätzung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle > \frac c{q^n}} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle > \frac 1{q^{n+1}}} benutzt – sollte man dann nicht auch eher diese beweisen?--Hagman 23:08, 26. Jan. 2009 (CET) [Satz und Beweis überarbeitet --Hagman 10:25, 31. Jan. 2009 (CET)]

Don't bother. Ich habe jetzt ohnehin den Beweis ungefragt ins Beweisarchiv ausgelagert, da er für hier wohl doch nicht ganz einfach genug sein dürfte.--Hagman 18:29, 1. Feb. 2009 (CET)

Kontinuumshypothese

Im Artikel steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbox{card} \, \mathbb{R} = 2^{\aleph_0}} , aber das gilt doch nur, falls man die Kontinuumshypothese annimmt. Ich finde, das sollte man im Artikel ergänzen. Meinungen? -- UKoch 22:44, 24. Feb. 2012 (CET)

Die Kontinuumshypothese beantwortet die Frage, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \aleph_1 = 2^{\aleph_0}} ist mit ja. Dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\R| = 2^{\aleph_0}} ist, ist davon unberührt.

Als Gegenüberstellung und Kurzzusammenfassung sind auch Aleph-Funktion und Beth-Funktion zu empfehlen. --Daniel5Ko 23:52, 24. Feb. 2012 (CET)

Oje, ich hatte es falsch im Kopf. Danke! -- UKoch 13:45, 28. Feb. 2012 (CET)

"Transzendente Zahl"

"Transzendente Zahl" klingt interessant... - aber weder in der Einleitung noch sonstwo in diesem Artiekel ist für Wikipedie-Leser verständlich beschrieben, was man darunter zu verstehen hat... Vielleicht kann das al jemand nachholen? Idealerweise an einem Alltagsbeispiel. Danke, --Markus (Diskussion) 06:50, 22. Jul. 2014 (CEST

Welche Stellen im Artikel genau sind denn für dich unverständlich? Was eine transzendente Zahl ist, steht eigentlich gleich im ersten Satz der Einleitung (die Einleitung könnte allerdings ausführlicher sein, stimmt!). Wichtige Beispiele kommen weiter unten im Artikel ja vor. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 07:56, 22. Jul. 2014 (CEST)

Irreführende Einleitung

Es heißt: In der Mathematik heißt eine reelle Zahl (oder allgemeiner eine komplexe Zahl) transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

Die Aussage impliziert, dass eine solche reele Zahl aber sehr wohl Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sein kann und damit dennoch transzendent ist. Ronny Michel (Diskussion) 00:32, 16. Jul. 2016 (CEST)

Hallo Ronny Michel! Nein: Die von Dir behauptete Implikation ist (logisch) falsch. Vielleicht hilft Dir zur Einsicht der Hinweis, daß jede Nullstelle eines rationalen Polynoms auch Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms ist. Liebe Grüße, Franz 01:15, 16. Jul. 2016 (CEST)

O.K., das macht die Aussage dann verständlich. Danke für den Hinweis. Ronny Michel (Diskussion) 01:28, 16. Jul. 2016 (CEST)

Nichtkonstruktiv?

Im Artikel wird behauptet, dass Cantors Beweis der Existenz von transzendenten Zahlen nicht konstruktiv ist. Das halte ich für falsch.

Cantor gibt in seiner 1974 erschienenen Arbeit erstens eine Aufzählung aller algebraischen reellen Zahlen an (in moderner Sprechweise: eine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen auf die algebraischen), und zeigt dann, wie man aus einer beliebigen Folge reeller Zahlen eine reelle Zahl (als Intervallschachtelung) konstruieren kann, die nicht in dieser Folge vorkommt.

Wuzel 15:37, 30. Apr. 2004 (CEST)

Um einmal den bedeutenden Mathematiker Richard Courant seine Meinung dazu kundtun zu lassen: "Cantors Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen kann wohl kaum konstruktiv genannt werden. Theoretisch könnte man eine transzendente Zahl konstruieren, indem man Cantors Diagonalverfahren auf eine abgezählte Tabelle von Dezimalbrüchen für die Wurzeln aller algebraischen Zahlen anwendet; aber diese Methode wäre sehr unpraktisch und würde nicht zu einer Zahl führen, die sich im Dezimal- oder einem sonstigen System tatsächlich niederschreiben ließe." (Richard Courant in Was ist Mathematik?) --JensG 19:43, 30. Apr. 2004 (CEST)

Der Konstruktivitätsbegriff hat sich im Laufe des 20.Jahrhunderts vielleicht gewandelt. Akihiro Kanamori schreibt in Set theory from Cantor to Cohen, Bulletin of Symbolic Logic, 1996 [1] auf Seite 4:

A historical misrepresentation has been perpetuated that associates diagonalization with non-constructivity[...] Cantor's argument can be implemented to generate the successive digit of a [transcendental] real.

Kanamori gibt auch an (Fussnote 9), dass der Aufwand, die n-te Stelle einer transzendenten Zahl mit Hilfe von Cantors Beweis zu berechnen, $O(2^{n^{1/3}})$ (1.Beweis) bzw $O(n^{2}\,\log ^{2}n\,\log \log n)$ ist -- da hat sich also Courant einfach geirrt, bzw den Sachverhalt nicht nachgerechnet.

Ich wäre sehr dafür, dieses Missverständnis auch in der wikipedia zu thematisieren, aber nicht auf dieser Seite.

Auch scheinen mir die Bemerkungen über aleph0 hier nicht angebracht, das hat mit Transzendenz sehr wenig zu tun.

Wuzel 14:29, 19. Apr. 2007 (CEST)

Definition

Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle, bzw. Wurzel, des Polynoms

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0$

mit rationalen Koeffizienten ist.

Alle anderen Zahlen, die diese Bedingung NICHT!!! erfüllen, also nicht algebraisch sind, heißen transzendent. --Akrostychon 19:29, 5. Sep. 2004 (CEST)

Ich sehe den Unterschied nicht. Ob man rationale oder ganzzahlige Koeffizienten verlangt, macht keinen Unterschied. (Ich kann die Gleichung einfach mit dem ggT der Nenner der Koeffizienten multiplizieren und dann hat man eine gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, die die gleichen Nullstellen besitzt.)--Berni 23:12, 5. Sep. 2004 (CEST)

Akrostychon, auch ich verstehe dein Problem nicht. Die im April von dir geänderte Definition halte ich übrigens auch für falsch, und damit die Rückgängigmachung für gerechtfertigt. Wenn du magst, kannst du deinen Definitionsvorschlag hier (erstmal nicht im Artikel) aufschreiben, so dass wir ihn diskutieren können. Vielleicht gibt es ja eine verständlichere als die aktuelle. --SirJective 18:05, 6. Sep. 2004 (CEST)

Dann wenigstens diese Def. anpassen:

$f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$

auf diese

$f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x=0\qquad (n\geq 1,\,a_{n}\neq 0,\,a_{n}\in \mathbb {Z} [x])\,,$

--Akrostychon 15:03, 11. Sep. 2004 (CEST)

Schauen wir mal, wo wir solche Polynome momentan haben:

In transzendente Zahl haben wir zwei davon, eines in "Definition" und eines in "Grad einer algebraischen Zahl"; in algebraische Zahl haben wir eine in der Einleitung und eine in "Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl".

Dein Vorschlag entspricht der Schreibweise des zweiten Vorkommens in transzendente Zahl, bis auf den Fehler, dass "a_n in Z[x]" ist (es sollten alle Koeffizienten a_k in Z liegen). Wenn man die Klammer ausformuliert, erhält man das erste Vorkommen in diesem Artikel.

Ich verstehe leider immer noch nicht genau, was du willst. Vielleicht kopierst du mal den ganzen Abschnitt hierher und fügst deinen Vorschlag ein.

@JensG: Die Einschränkung beim Grad, dass n>1 sein soll, ist mir übrigens suspekt und die habe ich beim Kopieren in algebraische Zahl durch n>=1 ersetzt (jede rationale Zahl ist algebraisch vom Grad 1). --SirJective 22:23, 13. Sep. 2004 (CEST)

Mel: Eigentlich müsste man bei der Transzendenz einen Körper angeben, auf den man sich bezieht (sprich: aus dem die Koeffizienten des Polynoms kommen). So ist Pi transzedent über Q, aber nicht transzendent über R. (nicht signierter Beitrag von 188.193.23.22 (Diskussion) 20:37, 21. Okt. 2011 (CEST))

Neue Zahl

habe eine neue ziemlich transzendente Zahl gefunden

siehe auch The Herkommer Number

$h=2+{\frac {3}{5+{\frac {7}{11+{\frac {13}{17+{\frac {19}{23+{\frac {29}{31+{\frac {37}{41+{\frac {43}{47+{\frac {53}{59+{\frac {61}{67+{\frac {71}{73+{\frac {p_{n}}{p_{n+1}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\qquad (p\in \mathbb {P} )$
$h\approx 2.536027081689339$

--Akrostychon (Unterschrift nachgetragen SirJective 22:45, 13. Sep. 2004 (CEST))

Was ist mit dieser Zahl? Ist sie wirklich transzendent (das folgt nicht allein aus der Nichtperiodizität des Kettenbruchs)? Laut dem Link ist sie "transzendenter" als pi, weil diese Zahl nicht in geschlossener Form (als Kettenbruch) darstellbar ist. Da stellt sich mir die Frage: Was ist eine "geschlossene Form" in diesem Kontext? Und ist die Folge der Primzahlen nicht in "geschlossener Form" darstellbar? --SirJective 22:45, 13. Sep. 2004 (CEST)

Kettenbrüche von Quadratwurzeln werden irgendwann periodisch. Aber etwa die von dritten Wurzeln von nicht Kuben, wie root[3](5) (klar algebraisch) sind nie periodisch. Deswegen ist die Nichtperiodizität von Kettenbrüchen kein Algebraizitätskriterium. --Benutzer: Bildungskatastrophe (16:23, 16. Jul. 2012 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Reelle Zahlen abzählbar?

Soweit ich weiß, sind die algebraischen reellen Zahlen auch nicht abzählbar, möchte mich darin aber nicht verbeißen, und überlasse das lieber jemanden, der sich damit auskennt. (nicht signierter Beitrag von Arno Hakk (Diskussion | Beiträge) 21:31, 11. Dez. 2006 (CET))

Gute Idee, dich nicht zu verbeißen. Zu jeder algebraischen Zahl findet sich ein Minimalpolynom, im wesentlichen also eine endliche Folge ganzer Zahlen. Hiervon gibt es nur abzählbar viele.--Hagman 19:56, 26. Jan. 2009 (CET)

Reele und Natürliche Zahlen

Im Text "Hierbei ist $2^{\aleph _{0}}$ das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von $\mathbb {R}$; ${\aleph _{0}}$ (sprich „Aleph null“) ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge, insbesondere von $\mathbb {N}$." sind die Reelen und Natürlichen Zahlen in der Mathumgebung geschrieben. Kann jemand die Normal auschreiben lassen so dass man sie mit dann auch verlinken kann? Thx.--Sanandros (Diskussion) 21:21, 19. Nov. 2018 (CET)

@HilberTraum: Kannst du helfen? Thx.--Sanandros (Diskussion) 14:41, 26. Feb. 2019 (CET)

Ich weiß nicht genau, was gemeint ist. Dass $\mathbb {R}$ die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, steht ja schon dabei. Einen Link auf Natürliche Zahl habe ich jetzt noch ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 20:00, 26. Feb. 2019 (CET)

Ja das ist ok. Hätte ich auch selbst drauf kommen können.--Sanandros (Diskussion) 21:45, 26. Feb. 2019 (CET)

zwei Anmerkunegn

1.

Ein Satz lautet:
"Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach beliebig vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können"
Hier sollte vielleicht noch ein "endlich" hinzugefügt werden?

"Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach beliebig, endlich vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können"

Die transzendenten Zahlen können ja oft gerade über unendlichen Reihen dargestellt werden

2.

"Der Sinus sin(a) für a!=0"
Nun ja :-)

• sin(2n*π ) = 0
• sin(2n*π + π*1/6) =1/2
• sin(2n*π + π*1/2) =1
• sin(2n*π + π*5/6) =1/2
• sin(2n*π + π) =0
• sin(2n*π + π*7/6) =1/2
• sin(2n*π + π*3/2) =1
• sin(2n*π + π*11/6) =1/2

Da gibt es unendlich,abzählbare viele Werte von sin(x) die nicht transzendent sind
Gruß Ingo -- Istiller (Diskussion) 20:34, 3. Sep. 2020 (CEST)

Ersteres habe ich korrigiert, bei Sinus wird das so weit ich sehe aber nur für algebraische Argumente behauptet.--Claude J (Diskussion) 23:19, 3. Sep. 2020 (CEST)

Mit SIN() hast du Rechte. Danke für das Korrigieren :-)
Gruß Ingo -- Istiller (Diskussion) 14:17, 6. Sep. 2020 (CEST)

Letztes Beispiel 123456789101112 ...

Man kann auf diese Art zwar eine Folge von Zahlen 1, 12, 123, 1234 ... konstruieren. Nur ist diese nicht konvergent, sondern strebt gegen plus Unendlich. Konvergenz bekommt man dadurch, dass man "0." der Ziffernfolge voranstellt. (nicht signierter Beitrag von 87.141.22.163 (Diskussion) 19:13, 15. Sep. 2020 (CEST))

Korrigiert. 91.118.242.246 09:19, 24. Sep. 2020 (CEST)