Diskussion:Vektorieller Laplace-Operator

Das mit der Graßmann-Identität und der daraus folgenden Identität: ist da gemeint, dass man diese IGleichung bekommen würde, wenn der Gradient ein Vektor wäre und man ihn in die Graßmann-Identität einsetzen könnte? Und das man deshalb $\nabla ^{2}$ auf diese Weise definiert?--Café Bene (Diskussion) 20:38, 10. Feb. 2014 (CET)

Ja das habe ich damit gemeint. Vielleicht magst du es besser formulieren ?--Christian1985 (Disk) 20:43, 10. Feb. 2014 (CET)

Die Graßmann-Identität kann man in der Regel nicht auf den "Nabla-Vektor" anwenden, weil er auf ein Produkt nach der Produktregel wirkt. Hier scheint es zu funktionieren, weil ja kein Produkt von (vektorwertigen) Funktionen vorkommt. Ich verstehe dann aber nicht, warum man nicht einfach die linke Seite der Gleichung $(\nabla \cdot \nabla ){\vec {A}}$ als Definition nimmt, sondern die komplizerter und zunächst unverständlich aussehende rechte Seite $\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})$. --Digamma (Diskussion) 13:35, 1. Mär. 2014 (CET)

Koordinatendarstellungen

Ich habe mal - auf Grundlage der französischen Version und von http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html die Darstellung in Zylinder- und Kugelkoordinaten ergänzt. Ich wäre dankbar, wenn das jemand überprüfen könnte. Insbesondere bei Kugelkoordinaten gibt es verschiedene Konventionen, welcher Winkel wie bezeichnet wird. --Digamma (Diskussion) 19:58, 1. Mär. 2014 (CET)

"Skalarer" Laplace-Operator und "vektorieller" Laplace-Operator sind identisch

Hallo Digamma, Christian1985, Café Bene und ein frohes Neues! Als ich auf diesen Artikel stieß nachdem ich in Laplace-Operator "Der skalare Laplace-Operator ist vom vektoriellen Laplace-Operator zu unterscheiden" las, war ich beunruhigt. Ich rechne schon jahrelang mit dem Laplace-Operator und habe noch nie zwischen einer skalaren und einer vektoriellen Version unterschieden. Der Artikel legt nah, dass ich da jahrelang Fehler gemacht habe! Wie ich feststellen konnte, habe ich keine Fehler gemacht, denn der Laplace-Operator und der vektorielle Laplace-Operator sind identisch, wenn man den "skalaren" Laplace-Operator – wie bei Operatoren so üblich – auf das ganze Objekt anwendet, hier also auf die Koordinaten und die Basisvektoren eines Vektors. Es gilt also ohne Einschränkung

${\begin{aligned}\Delta A=&(\nabla \cdot \nabla )A=\nabla \cdot (\nabla A)=\operatorname {div(grad} (A))\\\Delta {\vec {A}}=&(\nabla \cdot \nabla ){\vec {A}}=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {A}})=\operatorname {div(grad} ({\vec {A}})^{\top })=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})\end{aligned}}$

wobei letztere Identität den Operator völlig unnötig auf drei Dimensionen beschränkt. Wenn nichts dagegen spricht, werde ich diesen Artikel Mitte Januar in den zum Laplace-Operator einbauen und anschließend durch einen Verweis ersetzen, wenn das vorher noch niemand anderes getan hat.

@Digamma: Die von dir berechneten Ausdrücke stimmen mit meinen Berechnungen überein :) --Alva2004 (Diskussion) 15:24, 2. Jan. 2016 (CET)

Weil niemand Einspruch erhoben hat, habe ich das nun umgesetzt. --Alva2004 (Diskussion) 11:34, 31. Jan. 2016 (CET)